1− ∞ ∑ k=1 ( k ∑ i=1 aibk−i ) Xk ) imi¸s.
Aynı sonucu biraz ilerde daha ¸sık bir bi¸cimde elde edece˘giz.
B¨oylece cos X bi¸cimsel kuvvet serisinin tersinir oldu˘gunu ama sin X bi¸cim-sel kuvvet serisinin tersinir olmadı˘gını g¨or¨uyoruz. Dolayısıyla
tan X = sin X cos X
tanımını yapmaya hakkımız var. Daha genel olarak tersinir bir f kuvvet seri-sinin tersi f−1 ya da 1
f olarak yazılır. Bu durumda gf−1 kuvvet serisi yerine g
f yazılabilir.
Alı¸stırmalar
14.16. Z[X]∗={1, −1} ve Q[X]∗=Q∗e¸sitliklerini kanıtlayın.
14.17. 1/ cos X bi¸cimsel kuvvet serisinin ilk 6 katsayısını bulun. 14.18. tan X bi¸cimsel kuvvet serisinin ilk 6 katsayısını bulun.
14.19. exp X kuvvet serisinin tersini bulun. exp X’in tersi exp(−X) olarak yazılır. Neden?
14.20. sin X
X kuvvet serisinin tersinir oldu˘gunu g¨osterin ve tersinin ilk 8 katsayısını hesaplayın. 14.21. 5, 10, 50 ve 100 liralık kˆa˘gıt paralarla ka¸c farklı bi¸cimde 1000 lira elde edebiliriz?
14.5 Bile¸ske
Bazen, ama her zaman de˘gil, sonsuz sayıda bi¸cimsel kuvvet serisini de topla-yabiliriz. Zaten her ∑∞
n=0anXn bi¸cimsel kuvvet serisi anXn bi¸cimsel kuvvet serilerinin (ki herbiri bir monomdur) toplamı olarak da g¨or¨ulebilir ve polinom olmayan bir bi¸cimsel kuvvet serisinde bunlardan sonsuz sayıda vardır.
Bir 0 ̸= a = ∑∞n=0anXn bi¸cimsel kuvvet serisinde a0 = . . . = an−1 = 0 ama an ̸= 0 ise, o zaman bu bi¸cimsel kuvvet serisinin sırasının n oldu˘gunu s¨oyleyelim5ve bu durumda ord a = n yazalım. Demek ki e˘ger a bi¸cimsel kuvvet serisi Xn’nin bir ¸carpımıysa (katıysa), yani a bi¸cimsel kuvvet serisi
a = anXn+ an+1Xn+1+· · · = Xn(an+ an+1X +· · · )
bi¸ciminde yazılabiliyorsa, o zaman a’nın sırası en az n’dir. E˘ger an = 0 ise sırası n’den de b¨uy¨ukt¨ur.
Bu durumda
f0+ f1+ f2+· · ·
sonsuz toplamına (bi¸cimsel kuvvet serisi serisine) bir anlam verebiliriz. Nite-kim, her n i¸cin Xn monomu sadece f0, f1, . . . , fn bi¸cimsel kuvvet serilerinde belirir ve di˘gerlerinde belirmez. Dolayısıyla f0+ f1+ f2+· · · ifadesinde Xn’nin katsayısını sonlu sayıda toplama yaparak hesaplayabiliriz.
ord f g ≥ ord f +ord g oldu˘gundan (katsayıları Q k¨umesinden aldı˘gımızdan aslında e¸sitlik vardır), e˘ger ord f ≥ 1 ise, ord f < ord f2 < ord f3 < . . . olur ve dolayısıyla
1 + f + f2+ f3+· · · toplamı anlamlıdır. ¨Orne˘gin
1 + sin X + sin2X + sin3X +· · ·
sonsuz toplamının anlamı vardır ¸c¨unk¨u sin X serisi X ile ba¸slar, yani sırası 1’dir. Ama
1 + cos X + cos2X + cos3X +· · · sonsuz toplamının anlamsızdır ¸c¨unk¨u cos X’in sırası 0’dır.
Yukarıda s¨oylediklerimizden ¸su ¸cıkar: E˘ger (fn)nherhangi bir bi¸cimsel kuv-vet serisi dizisiyse,
f0+ Xf1+ X2f2+ X3f3+· · · bi¸cimsel kuvvet serisi anlamlıdır.
Bi¸cimsel kuvvet serilerinin bile¸skesini almaya gelelim. ¨Orne˘gin exp ℓ(X) ifadesini ele alalım. exp ℓ(X) ne demektir?
exp X = ∞ ∑ i=0 Xn n!
olarak tanımlanan bi¸cimsel kuvvet serisinde X yerine ℓ(X) bi¸cimsel kuvvet serisini koyup, ∞ ∑ i=0 ℓ(X)n n!
terimini hesaplıyoruz demektir, yani exp X bi¸cimsel kuvvet serisini ℓ(X) bi-¸
cimsel kuvvet serisinde de˘gerlendiriyoruz demektir. Bunun bir anlamı var mı? Evet var, ¸c¨unk¨u ord ℓ(X) = 1 > 0 ve biraz ¨once sıraları mutlak artan sonsuz sayıda bi¸cimsel kuvvet serisini toplayabilece˘gimizi g¨ord¨uk.
E˘ger a(X) ve b(X) birer bi¸cimsel kuvvet serisi ise a(b(X)) ifadesine bir anlam vermek istiyoruz, a(X) bi¸cimsel kuvvet serisini b(X) bi¸cimsel kuvvet se-risinde de˘gerlendirip, yani X yerine b(X) koyup m¨umk¨unse bir ba¸ska bi¸cimsel kuvvet serisi elde etmek istiyoruz. Bunun i¸cin ord b(X) > 0 ko¸sulu yeterlidir.
Ama mesela a(X) bi¸cimsel kuvvet serisinde X yerine 1 + X koyamayız; koymayı deneyelim, bakalım ba¸sımıza neler gelecek:
a(1 + X) = a0+ a1(1 + X) + a2(1 + X)2+· · · + an(1 + X)n+· · · Bu ¸seyin sabit terimi hesaplamak i¸cin, halkada
a0+ a1+ a2+· · · + an+· · ·
sonsuz toplamı hesaplamamız gerekti˘gini g¨or¨uyoruz. Diyelim bu sonsuz top-lamla bir bi¸cimde ba¸sa ¸cıkabildik. Ama bir sonraki a¸samada a(1+X) ifadesinde X’in katsayısını hesaplamak i¸cin, halkada,
a1+ 2a2+ 3a3+· · · + nan+· · ·
sonsuz toplamını hesaplamamız gerekti˘gini g¨or¨ur¨uz. Daha sonraki katsayılar i¸cin daha da karma¸sık toplamlar belirir.
Burada sorun yaratan 1 + X’in 0’a e¸sit olmayan sabit katsayısıdır (yani 1’dir). 1 + X yerine sabit terimi 0 olmayan hangi polinomu alırsak alalım benzer sorunu ya¸sarız. ¨Orne˘gin, a(2− 3X + X2) ifadesini hesaplamak istersek, 2− 3X + X2’nin sabit katsayısı olan 2 sorun yaratır. (˙Inanmayan a¸cık a¸cık yazsın a(2 − 3X + X2) ifadesini.) Sabit terim 0 olmazsa benzer sorun hep ya¸sanır, her seferinde R’de sonsuz bir seri hesaplamak zorunda kalırız.
Bu zorluktan kurtulmanın en kolay yolu b’nin sabit terimini 0 almaktır, yani ord b ≥ 1 ko¸sulunu varsaymaktır. Nitekim bir bi¸cimsel kuvvet serisini, sabit terimi 0 olan bir ba¸ska bi¸cimsel kuvvet serisinde de˘gerlendirebiliriz. Bunu bu altb¨ol¨um¨un ba¸sında g¨orm¨u¸st¨uk.
¨
Orne˘gin,
a(X) = a0+ a1X + a2X2+· · · + anXn+· · · bi¸cimsel kuvvet serisinde X yerine −X alıp,
a(−X) = a0− a1X + a2X2− · · · + (−1)nanXn+· · · bi¸cimsel kuvvet serisini elde edebiliriz. Ya da X yerine 2X koyup,
a(2X) = a0+ 2a1X + 4a2X2+· · · + 2nanXn+· · · bi¸cimsel kuvvet serisini elde edebiliriz. Ya da X yerine X2 koyup,
a(X2) = a0+ a1X2+ a2X4+· · · + anX2n+· · · bi¸cimsel kuvvet serisini elde edebiliriz.
bi¸cimsel kuvvet serisinin sabit katsayısı 0’sa, o zaman herhangi bir a(X) bi-¸
cimsel kuvvet serisinde X yerine b(X) koyup a(b(X)) bi¸cimsel kuvvet serisini elde edebiliriz.
Bu durumda, a ve b’nin (bu sırayla) bile¸skesi adı verilen a(b(X)) bi¸cimsel
kuvvet serisi bazen a◦ b olarak yazılır.
¨
Ornek 14.22. exp ℓ(X) bi¸cimsel kuvvet serisi anlamlıdır. Ayrıca,−1+exp X bi¸cimsel kuvvet
serisinin sabit katsayısı 0 oldu˘gundan, ℓ(−1 + exp X) bi¸cimsel kuvvet serisi de vardır.
Bir an exp ℓ(X)’i elle bulmaya ¸calı¸salım.
exp X = 1 +X 1! +
X2
2! +· · · +Xn n! +· · ·
bi¸cimsel kuvvet serisinde X yerine
ℓ(X) = X−X2 2 + X3 3 −X4 4 + X5 5 − · · ·
koymak gerekir. Okur deneyip bunun hi¸c de kolay bir hesap olmadı˘gını g¨ormeli. Hatta zamanına acımayıp exp ℓ(X)’in ilk d¨ort katsayısını hesaplamaya ¸calı¸smalıdır. Nihai sonu¸c exp ℓ(X) = 1 + X ¸cıkar ama bunun kanıtını buraya almak istemiyoruz, isteyen okur [N2]’ye ba¸svurabilir.
Bile¸ske tanımını kullanarak Teorem 14.1’i bir defa daha kanıtlayabiliriz.
Teorem 14.1’in ˙Ikinci Kanıtı: ¨Once ¸su basit g¨ozlemi yapalım: Daha ¨once farkına vardı˘gımız
(1) (
1 + X + X2+ X3+· · · + Xn+· · ·)(1− X) = 1
e¸sitli˘ginde X yerine sabit katsayısı 0 olan herhangi bir bi¸cimsel kuvvet serisi alabiliriz. S¸imdi a, sabit terimi tersinir olan bir bi¸cimsel kuvvet serisi olsun. E˘ger a(0) = 1 ise,
a(X) = 1− Xb(X) olarak yazılabilir; nitekim
a(X) = 1 + a1X + a2X2+· · · + anXn+· · · ise, b(X)’i
b(X) =−a1− a2X− a3X2− · · · − anXn−1− · · ·
olarak almak yeterlidir. S¸imdi a(X)’in tersini kolayca buluruz: Bunun i¸cin (1) e¸sitli˘ginde X yerine sabit terimi 0 olan Xb(X) almak yeterlidir, Altb¨ol¨um 14.5’e g¨ore buna hakkımız oldu˘gunu biliyoruz.
1 + Xb(X) + X2b(X)2+· · · + Xnb(X)n+· · · bi¸cimsel kuvvet serisi 1− Xb(X)’in yani a(X)’in tersidir.
En genel durum: E˘ger a(0) ∈ R∗ ise (ama illa 1’e e¸sit de˘gilse), o
za-man a(X)’in tersini bulmak i¸cin a(0)−1a(X) bi¸cimsel kuvvet serisi ele alınır
(¸c¨unk¨u bunun sabit katsayısı 1’dir) ve yukarıdaki y¨ontem uygulanır. ¨
Orne˘gin, exp 0 = 1 oldu˘gundan, exp X tersinirdir. exp X bi¸cimsel kuvvet serisinin tersinin exp(−X) oldu˘gunu okur kanıtlayabilir.
cos X = ∞ ∑ i=0 (−1)i (2i)! X 2i
kuvvet serisi Q[[X]]’te tersinirdir: 1 cos X = 1 1−X2 2! +X4!4 −X6 6! +· · · = 1 1−(X2 2! −X4 4! +· · ·) = 1 + ( X2 2! − X4 4! +· · · ) + ( X2 2! − X4 4! +· · · )2 +· · · = 1 + ( X2 2! − X4 4! +· · · ) + ( X4 4! +· · · ) +· · · = 1 +X 2 2! + ( −1 24 + 1 4 )
T4+ daha ¨ust dereceden terimler.
Ama sin X = ∞ ∑ i=0 (−1)i (2i + 1)!X 2i+1
bi¸cimsel kuvvet serisiQ[[X]]’te tersinir de˘gildir ¸c¨unk¨u X ile ba¸slar. ¨Ote yandan 1 + sin X bi¸cimsel kuvvet serisi Q[[X]]’te terisinirdir ve tersi de
1− sin X + sin2X− sin3X + sin4X− · · ·
kuvvet serisidir. Bu bi¸cimsel kuvvet serisinin ilk birka¸c katsayısını bulmayı deneyebilirsiniz. 2 + X bi¸cimsel kuvvet serisinin Z[[X]]’te tersinir olmadı˘gını ama Q[[X]]’te tersinir oldu˘guna dikkatinizi ¸cekeriz.
Alı¸stırmalar
14.23. 1 + sin X + sin2X + sin3X +· · · kuvvet serisinin ilk 8 terimini hesaplayın.
14.24. f =∑∞
n=0anXnbi¸cimsel bir kuvvet serisiyse ve f (X) = f (−X) ise, her n i¸cin a2n+1= 0 e¸sitli˘gini kanıtlayın.
14.25. f (−X) = −f(X) ise f’nin katsayıları hakkında ne s¨oyleyebiliriz?
14.26. f (X) = f (X2) ise f ’nin sabit oldu˘gunu kanıtlayın. 14.27. exp XX−1=∑∞
n=0 Xn
(n+1)! bi¸cimsel kuvvet serisinin ba¸skatsayısı 1’dir, dolayısıyla tersinir-dir. Bnsayılarını, X exp X− 1= ∞ ∑ n=0 Bn n!X n
B0 n!0!+ B1 (n− 1)!1!+· · · + Bn−1 1!(n− 1)!= 0
e¸sitliklerini kanıtlayın. E˘ger n > 1 bir tek sayıysa Bn = 0 e¸sitli˘gini kanıtlayın (bkz Alı¸stırma 14.24).
14.28. sin(cos X) bi¸cimsel kuvvet serisinin ilk 8 katsayısını hesaplayın.