Utilizando os parâmetros FHH e GHH, Henstock e Hanratty (1976) propuseram as
correlações para o fator de atrito interfacial, dadas por, fi
fv
= 1 + 1400FHH (esc. vertical ascendente) (4.51)
fi fv = 1+1400FHH " 1− exp à − ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 1 GHH (1 + 1400FHH) 3 2 13, 2FHH ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ !#
(esc. vertical descendente) (4.52)
fi
fv
= 1 + 850FHH (esc. horizontal) (4.53)
Henstock e Hanratty (1976) constataram, também, que a espessura do filme de líquido pode ser representada como uma função apenas do número de Reynolds do líquido, ou seja,
δ+= f (Rel) (4.54)
na qual Rel = [G(1 − x)D/μl] é o número de Reynolds do líquido. Dessa forma,
propuseram uma correlação, válida para escoamentos verticais e horizontais, dada por, δ+ =h¡0, 707 Re0,5l ¢2,5+¡0, 0379 Re0,9l ¢2,5i0,4 (4.55) Mais recentemente, Asali e Hanratty (1985) apresentaram resultados experimentais de perda de pressão, espessura e vazão do filme de líquido, obtidos para escoamentos anulares verticais de água-ar e água-glicerina em tubos de diâmetro de 22,9 e 42,0 mm, com e sem dispersão de líquido, os quais foram utilizados no desenvolvimento de correlações para o cálculo da espessura do filme e para o fator de atrito interfacial em situações nas quais a vazão em massa do filme é conhecida.
Asali e Hanratty (1985) concluíram que, apesar de consistente, a análise de Henstock e Hanratty (1976) não representa satisfatoriamente o efeito do diâmetro do tubo sobre o fator de atrito interfacial ou da vazão em massa do filme sobre sua espessura. Observaram, também, que, para velocidades do vapor acima de 25 m/s, o comportamento das ondas
86 4 Modelos Analíticos varia de acordo com os parâmetrosδ/D e δ+v, sendo esse último dado por,
δ+v = δ νv µ τi ρv ¶1 2 (4.56)
Da mesma maneira que Henstock e Hanratty (1976), Asali e Hanratty (1985) utilizaram o número de Reynolds do líquido para correlacionar a espessura do filme, obtendo a expressão dada por,
δ+ = 0, 19 Re0,7l (4.57)
Utilizando o parâmetro da Eq. (4.56), Asali e Hanratty (1985) propuseram as seguintes correlações para o fator de atrito interfacial em escoamentos anulares verticais:
fi
fv
= 1 + 0, 45¡δ+v − 4
¢
Re−0,2v (esc. vertical ascendente) (4.58)
fi
fv
= 1 + 0, 45¡δ+v − 5, 9
¢
Re−0,2v (esc. vertical descendente) (4.59)
nas quais o número de Reynolds é dado pela Eq. (4.48). Essas correlações também apresentaram melhores resultados do que aquelas propostas por Henstock e Hanratty (1976). Entretanto, a utilização das Eq. (4.58) e Eq. (4.59) requer um processo iterativo.
Embora as análises de Henstock e Hanratty (1976) e Asali e Hanratty (1985) proponham parâmetros fisicamente consistentes para o fator de atrito interfacial e para a espessura do filme de líquido, salienta-se que ambas foram desenvolvidas, basicamente, para escoamentos adiabáticos verticais, utilizando como fluidos de trabalho água e ar. Dessa forma, análises que envolvam outros fluidos, o escoamento horizontal e a transferência de calor devem ser consideradas.
4.3.2- ESCOAMENTOESTRATIFICADO
Na modelagem do escoamento estratificado são necessárias três relações constitutivas para expressar os coeficientes de transferência de quantidade de movimento (fatores de atrito), as quais afetam diretamente a determinação da perda de pressão e da fração de líquido. Dessa forma, a escolha de um modelo ou correlação que represente
adequadamente esses fatores é fundamental.
A determinação do fator de atrito entre o vapor e a parede do tubo é, geralmente, obtida extrapolando-se as relações clássicas utilizadas no escoamento monofásico (Blasius). Para o cálculo do fator de atrito entre o líquido e a parede do tubo, esse tipo de extrapolação pode fornecer resultados inadequados quando a espessura do filme de líquido for reduzida. Dessa forma, vários autores têm proposto correlações empíricas para o cálculo do fator de atrito líquido-parede, especialmente, em condições nas quais o filme de líquido é pouco espesso. Entretanto, a caracterização do fator de atrito na interface líquido-vapor é a que necessita ser melhor avaliada, o que pode ser verificado pelo grande número de trabalhos destinados à sua determinação.
Inicialmente, alguns autores admitem que o fator de atrito na interface é idêntico àquele da fase vapor, como o modelo proposto por Taitel e Dukler (1976). Tal hipótese pode, em algumas condições, levar a erros significativos pois, segundo Andritsos e Hanratty (1987), com o aumento da velocidade do vapor e o surgimento da ondas, o fator de atrito interfacial é superior àquele do vapor-parede.
Atualmente, não é possível medir diretamente a tensão de cisalhamento na interface. Entretanto, essa tensão pode ser obtida pelos seguintes procedimentos:
1. Perfil de velocidade do vapor ; 2. Perfil de energia cinética turbulenta ;
3. Balanço de quantidade de movimento, utilizando a perda de pressão, a fração de vazio e as tensões de cisalhamento líquido-parede e vapor-parede ;
4. Extrapolação dos perfis de tensão de cisalhamento no líquido e no vapor.
Kowalski (1987) determinou a tensão de cisalhamento na interface utilizando o balanço de quantidade de movimento e medidas da tensão de Reynolds. As tensões de Reynolds e de cisalhamento na parede foram obtidas utilizando anemometria de fio-quente em um tubo de 50,8 mm de diâmetro e 3,67 m de comprimento, para o escoamento água/ar a 225 kPa e R-12/água a 225 e 420 kPa. Os números de Reynolds para o escoamento R-12/água variaram de 22600 a 430600 para o R-12 e de 8800 a 47800 para a água, enquanto que para o escoamento ar-água os números de Reynolds variaram de 24260 a 57200 para o ar e de 15590 a 36560 para a água.
88 4 Modelos Analíticos Inicialmente, Kowalski (1987) avaliou os fatores de atrito líquido-parede e gás-parede, observando que as maiores variações da tensão de cisalhamento na parede ocorriam próximo à interface parede-gás-líquido. Comparando os resultados experimentais para a tensão de cisalhamento gás-parede com os obtidos pelas correlações de Blasius e de Taitel e Dukler (1976), Kowalski (1987) observou que essas correlações representam adequadamente o fator de atrito nessa região. Entretanto, realizando a mesma comparação para a tensão de cisalhamento líquido-parede, Kowalski (1987) observou que a correlação de Blasius não representa adequadamente esse fator de atrito. Dessa forma, sugeriram a utilização da correlação de Agrawal apud Kowalski (1987), a qual apresentou melhores resultados.
Para o cálculo da tensão de cisalhamento na interface, Kowalski (1987) utilizou o modelo para escoamento estratificado proposto por Russel et al. (1974), cujos resultados foram comparados com aqueles obtidos pela tensão Reynolds. Dessa forma, foi observado que, paraReg > 55000 a tensão de cisalhamento na interface é 13 a 20% superior àquela
obtida pela tensão de Reynolds. Tal fato pode estar relacionado à presença de ondas na interface pois, a tensão de Reynolds para o gás, (ρgu0v0), medida por Kowalski (1987),
próximo à interface apresentou um comportamento não-linear para velocidades do gás elevadas,Reg > 55000 , ug > 7 m/s. Além disso um aumento nas vazões de água e ar
ocasionou um aumento na tensão de Reynolds.
Utilizando seus resultados experimentais, Kowalski (1987) propôs as seguintes correlações para o fator de atrito interfacial,
fi = 7, 5.10−5(1− α)−0,25Re−0,3g Re 0,83
l (interface ondulada) (4.60)
válida para,
22600≤ Reg ≤ 430600 ; 8800 ≤ Rel ≤ 47800
fi = 0, 96(Reg, J)−0,52 (interface lisa) (4.61)
nas quais, fi = 2τi ρg(ug− ul)2 ; Reg = ugD νg ; Rel = ulD νl ; Reg, J = JgD νg
As correlações de Kowalski (1987) foram comparadas com resultados experimentais obtidos por outros autores e se mostraram adequadas. Entretanto, apesar do sucesso de Kowalski (1987) em correlacionar o fator de atrito interfacial, nota-se a ausência de uma análise mais fenomenológica do comportamento do atrito na interface, ou seja, uma verificação dos grupos adimensionais que realmente governam esse parâmetro. Nesse sentido, o trabalho de Andritsos e Hanratty (1987) propõe um abordagem mais criteriosa, uma vez que leva em consideração a formação de ondas.
Andritsos e Hanratty (1987) definiram, inicialmente, dois tipos de ondas interfaciais: uma de formato regular bidimensional e outra irregular de grande amplitude, associada às instabilidades de Kelvin-Helmholtz, as quais causam um aumento na tensão de cisalhamento na interface. Andritsos e Hanratty (1987) mostraram que o modelo de Taitel e Dukler (1976) fornece bons resultados para a fração de líquido e para a perda de pressão. Porém, um considerável aperfeiçoamento poderia ser realizado se a influência das ondas sobre τi fosse considerada, com uma correlação que melhor representasse a tensão de
cisalhamento líquido-parede em lugar da correlação de Blasius. Isso porquê, a hipótese de fi = fv pode levar a imprecisões para as condições nas quais as ondas interfaciais
ocorrem, uma vez que, nessas condições,τi é muito superior ao valor correspondente à
interface lisa. Andritsos e Hanratty (1987) também observaram que a transição entre os distintos padrões de ondas não foi afetada pelo diâmetro do tubo.
Para o cálculo da tensão de cisalhamento líquido-parede Andritsos e Hanratty (1987) utilizaram o modelo de Cheremisinoff e Davis (1979) modificado. No modelo de Cheremisinoff e Davis (1979),τpl é obtido por meio da espessura de filme adimensional,
δ+LB. Tal procedimento permite considerar a variação do perfil de velocidades no líquido causada pelo arrasto do gás na interface. Entretanto é necessário a implementação de um procedimento iterativo para queτplseja calculado.
A correlação desenvolvida por Cheremisinoff e Davis (1979) utiliza o parâmetro (δLB/νl)(τp/ρl)0,5em lugar defl. Entretanto, o fator de atrito do líquido pode ser obtido
90 4 Modelos Analíticos pela relação, δ2LB(τp/ρl) ν2 l = 1 2Re 2 l µ δLB D ¶2µ D Dl ¶2 fl (4.62)
na qual Dl = 4Al/Sl é o diâmetro hidráulico da região ocupada pelo líquido e Re =
Dlul/νl é o número de Reynolds associado ao escoamento do líquido. Observa-se que
D/Dlé uma função deδLB/D.
A modificação realizada por Andritsos e Hanratty (1987) na correlação de Cheremisi- noff e Davis (1979) consiste na utilização de uma tensão de cisalhamento característica, τc, na Eq. (4.62) semelhante à utilizada em escoamentos anulares (Eq. (4.46)),dada por,
τc= 2 3τpl µ 1−δLB D ¶ + 1 3τi (4.63)
Utilizando um balanço de quantidade de movimento no líquido, os conceitos de viscosidade turbilhonar e a relação para o comprimento de mistura de van Driest, Andritsos e Hanratty (1987) obtiveram a seguinte correlação, válida para o escoamento laminar e turbulento, δ+LB = ⎧ ⎨ ⎩ ¡ 1, 082 Re0,5l ¢5+ " 0, 098 Re0,85l ¡ 1− δLB D ¢0,5 #5⎫⎬ ⎭ 0,2 (4.64)
A espessura do filme adimensional é dada por, δ+LB = δLB u∗ νl (4.65) na qual u∗ = ³τc ρl ´1 2
é a velocidade de cisalhamento. Segundo Andritsos e Hanratty (1987) os efeitos deδLB/D e fi/fv sobreδ+LB são pequenos.
Para o cálculo do fator de atrito na interface Andritsos e Hanratty (1987) analisaram os modelos de Russel et al. (1974), Cheremisinoff e Davis (1979) e Kowalski (1987), demonstrando que o fi aumenta linearmente para velocidades do gás acima daquelas
necessárias para o surgimento das ondas, e que a constante de proporcionalidade não varia com o diâmetro do tubo. Para velocidades do gás inferiores àquelas que promovem a formação de ondas pode ser considerado quefi = fv, demonstrando, para essa região,
a validade do modelo de Taitel e Dukler (1976).
Os efeitos da viscosidade e da vazão de líquido são de menor importância e podem ser considerados assumindo quefi é uma função da relação entre a espessura do filme de
líquido e diâmetro do tubo(δLB/D). A influência das propriedades do escoamento sobre
fitambém pode ser relacionada às propriedades da onda, assumindo que a diferença entre
fi relativo à interface ondulada e a lisa, fv, está relacionada à razão entre amplitude e
comprimento da onda. Entretanto, obter uma correlação com tais parâmetros dificultaria sua utilização em casos práticos pois, a obtenção desses parâmetros não é simples. Dessa forma, Andritsos e Hanratty (1987) propuseram os seguintes parâmetros para correlacionar o fator de atrito interfacial,fi,
fi fv − 1 ∼ z µ δLB D , Jv ut ¶ (4.66) na qualfv é fator de atrito do vapor, dado por,
fv = 0, 079 Re−0,25v ; Rev =
uvD
νv