A proposta desse volume tem por objetivo ampliar o estudo com a utilização do número
ππππ
(pi) apresentando os cálculos métricos envolvendo o círculo e ocilindro, partindo dos cálculos do perímetro, da área e do volume, uma vez é presumido que no 7º ano, com esses mesmos alunos, foi realizada a abordagem sobre a utilização desse número na expressão da razão entre o comprimento da circunferência e seu diâmetro.
Para a incorporação desses conteúdos serão abordados os seguintes temas ao longo deste volume: O significado da razão
ππππ;
A área e o comprimento do círculoe suas partes; Volume do cilindro; Probabilidade e Geometria.
A Situação de Aprendizagem (Figura 73) analisada a seguir tem como objetivo proporcionar a ampliação do conhecimento dos alunos sobre o conjunto dos números irracionais sobre a construção na aquisição do valor decimal número
ππππ
;embora no 7º ano esse tema tenha sido tratado no estudo da Situação de Aprendizagem 3 intitulada Razões na Geometria, (p. 35) seu objetivo não era a ampliação do campo numérico, e sim a compreensão sobre a existência de uma razão constante. Para isto, as atividades 1, 2, e 3 desta sequência tratam da abordagem histórica do tema.
São sugeridos nesta abordagem tópicos históricos, que além dos aspectos matemáticos como, aproximação, arredondamento e discussões sobre os números irracionais situam o aluno sobre o contexto nas quais foram desenvolvidas as ideias sobre o número
ππππ,
e quais os desafios intelectuais encontrados na época, a partirdas representações dessa razão, ou seja, a representação por infinitas casas decimais sem a periodicidade, de um número irracional.
Figura 73: Situação de Aprendizagem 1 do 9º ano
Fonte: SÃO PAULO, 2009, p.11.
Nesta série/ano é pertinente não só a ampliação deste contexto, como o resgate da representação do número
ππππ
de modo a formalizar a definição de númeroirracional mediante a observação da falta de regularidade. Por este motivo, as atividades que compõem essa Situação de Aprendizagem exploram em seu contexto diferentes temas matemáticos que necessitam da representação do número
ππππ,
procurando estabelecer significados para o seu estudo em Matemática.
A atividade 1, numa perspectiva histórica, traz informações a partir da Leitura
e Análise de Texto de maneira breve as respostas às inquietações dos alunos
decimais devem ser utilizadas em sua representação? Para que serve o número
ππππ
? , como mostra o texto seguinte (Figuras 74, 75 e 76).Figura 74: Perspectiva Histórica I
Figura 75: Perspectiva histórica II
Figura 76: Perspectiva histórica III. Você aprendeu?
Fonte SÃO PAULO, 2009, p. 6.
É recomendado ao professor para que direcione a ampliação nesse tipo de pesquisa, indicando quais sites deverão ser visitados e a bibliografia recomendada, com objetivos delineados; quais informações deverão ser pesquisadas, tornando-as relevantes ao contexto estudado. Deixa-se a seu critério a escolha sobre o que é mais adequado, de acordo com o perfil da turma a que será ministrado o conteúdo.
As atividades propostas a seguir constituem uma fonte de informação para o professor trabalhar o significado de π em sala de aula. Elas devem complementar o trabalho que já é feito com os alunos. Não há necessidade de abordar todas as atividades dessa Situação de Aprendizagem. Deve ficar a critério do professor a forma de explorá-las e a escolha daquelas que são mais adequadas ao seu curso. (SÃO PAULO, 2009, p.12)
O trabalho realizado com esta atividade proporciona ao aluno, a partir da leitura e análise de fatores relevantes ao estudo do número
ππππ
, a verificação do errona aproximação, causado por alguma imperfeição do objeto medido; assim, esse método está sujeito a imprecisões e, por isso, a fórmula se torna mais indicada. Na atividade 2, é proposto que o aluno verifique que, quanto maior for o número de parcelas, mais o valor se aproximará de 3,141 e que a variação de um pouco mais ou um pouco menos que π se dá por conta da alternância entre a soma e a 4 subtração.
Além dos aspectos destacados, relacionados à leitura do gráfico, o aluno deveria perceber que aquele gráfico apresentava resultados parciais, de acordo com a fórmula em que 1 4 5 ,3 5 0 11 4 9 91 . . . 91 71 5 1 31 1. 4 = + − − + − + − ≅ π em função das parcelas consideradas.
Na atividade 3, O cálculo de ππ ao longo da história, o aluno é situado ππ
historicamente a respeito da tentativa de antigas civilizações para expressarem o valor de
ππππ
como uma razão entre dois inteiros. Este contexto é propício para que oprofessor proponha aos alunos uma discussão sobre as características do conjunto dos números irracionais. Para a atividade, foi proposto um estudo sobre o método de aproximação desenvolvido por Arquimedes, como mostram as Figuras 77, 78, 79 e 80.
A constatação de que π é um número irracional demorou para ser construída e aceita. Muitos matemáticos, ao longo da história, tratavam o π como racional, ou seja, passível de ser transformado em fração. Para os
egípcios, o valor de π era equivalente a 8 1
2 5 6
, que, em termos decimais,
equivale a 3,16. Na Mesopotâmia, esse valor era 8
2 5
, ou 3,125. Ptolomeu, que viveu em Alexandria, no Egito, por volta do século II d. C. conseguiu
calcular o valor de π como 1 2 0
3 7 7
, que é, aproximadamente, igual a 3,1416, uma aproximação muito boa para a época. (SÃO PAULO, 2009, p.13)
Figura 77: Cálculo de π ao longo da história – I Parte
Fonte: SÃO PAULO, 2009, p.6.
Figura 78: Cálculo de π ao longo da história- II Parte
Figura 79: Cálculo do número π ao longo da História – III Parte
Figura 80: Cálculo do número π ao longo da História – IV Parte
Fonte: SÃO PAULO, 2009, p.9.
Para essa atividade é sugerido que os alunos usem para a resolução os dados extraídos ao longo do texto, de forma a inteirá-los sobre alguns aspectos históricos que determinaram o valor de
ππππ.
Para a atividade 4, Lição de casa, foi utilizado o método de aproximação, de Arquimedes, para descobrir o valor de
ππππ
, a partir dos hexágonos inscritos ecircunscritos na circunferência, conforme a Figura 81.
Figura 81: Método de Arquimedes para a descoberta do valor de π
Como o número de lados dos polígonos inscrito e circunscrito pode crescer indefinidamente, com uma aproximação crescente entre seus perímetros e o comprimento da circunferência (π), podemos concluir que o valor de π pode ser calculado cada vez mais precisamente, sem que se chegue ao final dos cálculos. O método de Arquimedes, levado ao limite, pode ser um bom argumento para convencer os alunos de que π tem infinitas casas decimais. (SÃO PAULO, 2009, p. 15)
Ao longo do desenvolvimento desta atividade, é desejável que os alunos percebam que o valor de
ππππ
está compreendido no intervalo 3< ππππ <
3,46, valores obtidos pela razão entre o perímetro dos hexágonos e o diâmetro da circunferência. Na atividade 5 , a seguir, a seção Você aprendeu? tem como propósito fazer com que o aluno perceba a distribuição irregular dos algarismos componentes da parte decimal do númeroππππ,
investigando quais são os seus 260 primeirosalgarismos, após o que os alunos deverão calcular a frequência relativa, referente à aparição total de cada número, como mostram as Figuras 82, 83 e 84.
Figura 82: Representação do número π - I Parte
Fonte: SÃO PAULO, 2009, p.10.
Para que o aluno se oriente em relação ao número de vezes em que há a ocorrência de um mesmo número, é apresentada uma figura (Figura 82) na qual cada cor representa um algarismo. Somente com a observação dessa figura, o aluno deve responder se ela apresenta ou não uma repetição, para que se observe uma das características que define um número irracional, ou seja, falta de periodicidade, seguido de uma tabela para que os alunos a completem, de acordo com as orientações das cores, como mostra o item b da Figura 83.
Figura 83: Representação do número π - II Parte
Fonte: SÃO PAULO, 2009, p. 11.
Na realização do preenchimento da tabela (ítem c da Figura 83) foi deixada ao aluno a “dica” do uso da calculadora, não evidenciando a importância que esse recurso apresenta na obtenção de dados, uma vez que nem todos os resultados expostos na frequência relativa a 100 são exatos, como no caso da frequência relativa do algarismo zero, cuja frequência relativa a 1 é igual a 0,084615384615384615384615384615385...,O professor deve aproveitar esse momento para trabalhar os cálculos com arredondamento, uma vez que na atividade 6 é sugerido o trabalho com valores percentuais com cinco dígitos decimais, como mostra a Figura 84.
Figura 84: Frequências absoluta e relativa dos algarismos de π
Fonte: SÃO PAULO, 2009, p. 12.
Segundo as orientações dadas ao professor sobre essa atividade (p. 18), um dos interesses em calcular grandes quantidades de dígitos do número
ππππ
é verificarse a distribuição de seus dígitos é aleatória ou não.
Ao final da atividade, é desejável que o aluno perceba existir uma diferença entre a tabela da Atividade 5 e da atividade 6, em relação à distribuição dos algarismos, isto é, quanto maior o número de dígitos, mais equilibrada a frequência relativa se apresenta na distribuição dos algarismos, como apresentado na Figura 84.
Síntese da nossa análise
A Situação de Aprendizagem 1 apresentou como um dos objetivos a ampliação da compreensão do conceito sobre o número
ππππ
, oferecendo ao alunodiferentes perspectivas sobre sua aplicação. Como esse conteúdo já tinha sido abordado no 7º ano, foi utilizado de um contexto histórico para destacar aspectos do motivo da sua utilização em determinados conceitos matemáticos.
Podemos enfatizar que, na atividade 1 dessa Situação de Aprendizagem, percebemos a presença da componente da abstração, a qual pode levar o aluno a perceber que, ao fazer uso da fórmula, evitam-se imperfeições a partir das tentativas apresentadas para o cálculo do método de Arquimedes, na representação dos hexágonos inscrito e circunscrito, pois, segundo Dreyfus (1991, p.36), para realizar a abstração é preciso conceber, no objeto matemático, as suas relações com objetos matemáticos semelhantes ou diferentes.
Observamos a representação quando solicitada a interpretação do gráfico quanto aos resultados apresentados na atividade 2, além do aspecto visual que permite a inferência do aluno, além da exploração por tabelas nas atividades 5 e 6, com diferentes representações de um número, ou seja, sua representação em percentual.
A utilização da calculadora durante essa Situação de Aprendizagem deteve- -se na realização dos cálculos percentuais, solicitada somente na atividade 5 com a intenção de realizar a equivalência da representação da frequência absoluta em frequência relativa (%). Em se tratando da realização dos cálculos dos algoritmos da divisão e da multiplicação, é importante salientar a sua inserção como facilitadora da
abstração, quando o aluno estabelece em seu pensamento de que forma ordenará o
seu cálculo. Nesse momento, seria interessante propor ao aluno a análise da obtenção dos valores 1 0 0 8 de 5, forma que ele perceba que:
2 6 02 2 2 6 0 / ) 1 0 0 2 2 ( ≅ = x x .
Como no 8º ano já foi mencionada a utilização de uma calculadora científica, também seria apropriada a exploração da tecla que representa a segunda função, como, por exemplo, quando numa operação se pretende utilizar do símbolo do percentual (%), para efetuá-la é necessário que a tecla 2ndf ou SHIFT que aciona o
teclado superior, antes do símbolo pretendido, o qual, no nosso caso, ocupa o mesmo lugar para o símbolo que expressa igualdade (=).
Assim: = S h i f t 2 6 0 : 2 2 8,461538462.
Deve-se, ainda, discutir o motivo pelo qual o último algarismo foi arredondado para 2, observando que a sua representação é uma dízima periódica, destacando essa diferença entre um número racional e o irracional.
A síntese esteve presente no momento em que os conteúdos estudados anteriormente, como o cálculo com números fracionários e os tópicos sobre o número
ππππ,
precisavam ser relembrados, para dar continuidade à abordagem proposta nessa Situação de Aprendizagem.Observamos nessa Situação de Aprendizagem a presença das componentes do Pensamento Matemático Avançado: a representação, quanto à utilização das diferentes formas representações numéricas, a visualização quanto ao aporte nas figuras geométricas, a síntese em relação ao resgate de conteúdos anteriormente estudados e a abstração, em relação à inserção da fórmula para estabelecer a precisão nos cálculos.
Tabela 10: Componentes do P. M. A: 9º ano – volume 4
9º ano – volume 4
Componentes do P. M. A. Situação de Aprendizagem
1 2 3 4 Visualização Representação Generalização Síntese Abstração Fonte: A autora
As informações sobre em qual seção estas componentes foram observadas se encontram no Anexo F.
4.1.7 Caderno do Professor (2009) – 8ª série/9º ano – Volume 4 Situação de Aprendizagem 2
O objetivo dessa Situação de Aprendizagem ainda é o estudo do número
ππππ,
Figura 85: Razão
ππππ
no cálculo do perímetro da área do círculoFonte: SÃO PAULO 2009, p 19.
Para iniciar essa atividade, é proposto ao professor um trabalho de exploração com objetos de corpos redondos conhecidos pelos alunos, de forma que expressem o valor de
ππππ,
dado pela razão entre o comprimento e o diâmetro da circunferência, para a realização da atividade 1 na seção Você aprendeu?, de forma a observar na fórmula do perímetro da circunferência, como mostram as Figuras 86 e 87.Dependendo do conhecimento prévio dos alunos, o professor pode iniciar esse estudo com o uso de uma atividade experimental envolvendo a medida de objetos circulares. (SÃO PAULO, 2009, p.19)
Figura 86: Razão π no cálculo do perímetro e da área do círculo – I Parte
Fonte SÃO PAULO, 2009, p.13.
Figura 87: Razão π no cálculo do perímetro e da área do círculo – II Parte
É sugerido ao professor que contextualize o tema, de maneira que o aluno vislumbre a aplicação desses conceitos em situações cotidianas, como mostram as Figuras 88 e 89.
Figura 88: Leitura e análise do texto
Figura 89: Você aprendeu?
Fonte: SÃO PAULO, 2009, p.15.
A partir das orientações dadas a respeito das medidas do pneu, é esperado que o aluno compreenda que o diâmetro do pneu é igual à soma entre o diâmetro da roda interna e dobro da altura do pneu. E que o cálculo da distância percorrida pela circunferência pode ser obtido pela aplicação da fórmula C = ππππ.D, sendo C a
medida do comprimento e D a medida do diâmetro da circunferência.
Após ser explorado o assunto sobre as medidas do pneu e do cálculo da distância percorrida em metros em um giro completo da roda, é solicitada, na Atividade 5 na seção Lição de casa, que seja realizado o cálculo para 1000 (mil) giros completos com tipos de pneus e aros diferentes, conforme a Figura 90.
Figura 90: Lição de casa
Para a realização dessa atividade, o aluno deve atender às especificações de cada pneu, como por exemplo, no item a em que:
• Altura do pneu é 50% de 195 mm = 97,5 mm = 9,75 cm; • Diâmetro da parte interna da roda é 15 x 2,54 cm = 38,1 cm; • Diâmetro total é (2 x 9,75 cm) + 3,81cm = 75,6 cm;
• Circunferência da roda é 3,14 x 57,6 cm = 180,86 cm ≅1,81m;
Ao final, o aluno deveria concluir que esse tipo de pneu percorreria em 1000 giros a distância de 1,81 km.
A atividade contou com a solicitação da calculadora para facilitar os cálculos; após as etapas apresentadas de acordo com as especificações do pneu, verificamos a sua importância, pois os cálculos estão intimamente envolvidos a diferentes tipos de representações numéricas.
Com essas informações, podem-se propor alguns problemas para os alunos. Em virtude da complexidade de alguns cálculos, sugere-se o uso de calculadora nas atividades a seguir. (SÃO PAULO, 2009, p. 22)
O momento é apropriado para que os alunos se concentrem nas exigências do problema e que o professor comente a razão de algumas transformações serem realizadas, isto é, como se trata da distância percorrida por um pneu, a unidade de medida mais adequada é o quilômetro e não o metro.
Síntese da nossa análise
A atividade 1 contou com a exploração concreta que encaminha o aluno a deduzir a fórmula do perímetro da circunferência, podendo promover a
generalização a partir dos resultados obtidos pela experiência, verificando que uma
volta completa de uma circunferência cujo diâmetro mede 1 unidade equivale a 3,14 unidades; assim, quando o diâmetro corresponder a 2 unidades, equivaleria a 6,28, e para 10 unidades teríamos 31,4, item b desta atividade, até formalizar que a fórmula do comprimento da circunferência, em função do raio é obtido por C = 2
ππππr
eque em função do diâmetro é C =
ππππ
.D, lembrando que duas vezes a medida do raio é igual ao diâmetro.Para a seção Leitura e análise do texto, na qual se encontram as atividades 2, 3 e 4 o aluno recebe, antes dos cálculos, orientações sobre as medidas de um pneu, com o objetivo de perceber qual a fórmula mais adequada para a realização do cálculo da distância percorrida previamente estabelecida, pelo tipo de pneu apresentado. Nessa atividade, é desejável que o aluno já tenha abstraído qual das duas fórmulas, em função do raio (C = 2πr) ou em função do diâmetro (C = π.D) é a
ideal para ser aplicada nesta fase da Situação de Aprendizagem.
A atividade Lição de casa exige que o aluno possua os conhecimentos sobre transformação de unidades de medidas bem definidos, de modo se concentrem em descobrir qual a quilometragem percorrida em 1000 giros, assim, que ele tenha abstraído tal conhecimento nas séries anteriores (síntese) Nessa atividade, a utilização da calculadora desempenha um papel fundamental, haja vista o volume de cálculos solicitados para um único item. Essa utilização pode promover uma discussão ampla sobre os múltiplos do metro (m) e os algoritmos da multiplicação e divisão por 10, 100 e 1000, a partir dos resultados apresentados por esse recurso, encaminhando o aluno a formalizar a relação que se estabelece entre a quantidade
de casas decimais e a quantidade de zeros, como, por exemplo na multiplicação de 5,36x1000= 5360, apesar de nada a esse respeito ter sido mencionado ao longo de
sua realização.
Para o desenvolvimento desta Situação de Aprendizagem observamos em nossa análise as componentes da representação, generalização, síntese e
abstração.
Tabela 11: Componentes do P. M. A: 9º ano – volume 4
9º ano – volume 4
Componentes do P. M. A. Situação de Aprendizagem
1 2 3 4 Visualização Representação Generalização Síntese Abstração Fonte: A autora
As informações sobre em qual seção estas componentes foram observadas se encontram no Anexo G.
4.1.8 Caderno do Professor (2009) – 8ª série/9º ano – Volume 4 Situação de Aprendizagem 4
O objetivo geral das atividades que fazem parte desta Situação de
Aprendizagem é a continuação do estudo do tópico de probabilidade, já visto no 6º e
7º anos, em problemas com contagem e tratamento da informação, na análise de ocorrência e comparação de eventos, conforme a Figura 91.
No atual programa, o conceito de probabilidade vem sendo trabalhado desde a 5ª série, juntamente com os problemas de contagem e com a Estatística, constituindo o eixo denominado Tratamento da Informação. (SÃO PAULO, 2009,
p.41)
Figura 91: Situação de Aprendizagem 4
Fonte: SÃO PAULO, 2009, p.40.
Como este tema vem sendo tratado desde o 6º ano, para o 9º ano a abordagem de probabilidade relacionada à Geometria objetiva, a retomada das ideias sobre o assunto numa proposta de atividade experimental, em que o aluno poderá verificar algumas ocorrências com eventos aleatórios, como no lançamento de um dado, observado a face voltada para cima, no lançamento de uma moeda em lançamentos sucessivos.
A atividade 1 tem o propósito de apresentar a relação existente entre a Probabilidade e a Geometria, aparentemente existe não só por conta da diferente natureza entre esses eixos temáticos, isto é, enquanto uma trata da razão entre eventos, a outra trata das medidas das formas geométricas, recorrendo à experiência realizada pelo naturalista do século XVIII, Conde de Buffon, como apresentarão as Figuras 92, 93 e 94.
Figura 92: Leitura e Analise de Texto: O π e a agulha de Buffon – I Parte
.
Figura 93: Leitura e Análise de Texto: O π e a agulha de Buffon – II Parte
Figura 94: Leitura e Análise de Texto: O π e a agulha de Buffon- III Parte
Fonte: SÃO PAULO, 2009, p.42.
Para a realização dessa atividade, é esperado que o aluno responda as questões baseando-se no texto apresentado anteriormente, e que descubra no item c como o Conde de Buffon obteve o valor de
ππππ
, observando que, com o lançamento sucessivo das agulhas, elas poderão cair sobre a mesma linha e, substituindo pela fórmula do Conde de Buffon, pode-se alcançar o valor aproximado deππππ.
No item 2 integrante dessa seção, e em que a utilização da calculadora foi solicitada, espera-se que o aluno aplique a fórmula do Conde Buffon no cálculo da probabilidade de uma agulha de 3 cm cair sobre uma linha de um tabuleiro formado por linhas paralelas, distantes 3cm entre si, em que: ,06 3 7 6 4 %
3 1 4 ,3 3 2 2 ≅ = = = x x d a P π , segundo a Figura 95.
Figura 95: Leitura e Análise de Texto: O π e a agulha de Buffon-IV Parte
Síntese de nossa análise
No desenvolvimento da atividade 1, mesmo não tendo sido comentado, o professor pode encaminhar a atividade de forma que leve o aluno a estabelecer relações entre as Situações de Aprendizagem anteriormente trabalhadas, uma vez que se observou na Situação de Aprendizagem 1, desse mesmo Caderno, de acordo com o método experimental de Ellie (Figura 75) realizado na obtenção do valor de
ππππ
que, quanto maior for a quantidade de frações utilizadas por intermédio do seu método descrito ( adições e subtrações alternadas) mais o valor se aproximará de 3,141 e que algo semelhante aconteceu na experiência mencionada, ou seja, quanto maior for a quantidade de lançamentos, mais se aproxima do valor deππππ;
assim articulados, pode-se dizer que a componente síntese é estabelecida.
O item desta mesma seção contou com a sugestão da utilização da calculadora para a realização dos cálculos, também recomendado que se utilizasse o valor aproximado de 3,14 para
ππππ.
Como verificamos nas Situações deAprendizagens destinadas ao 8º ano, a solicitação de uma calculadora científica já foi mencionada, então podemos lembrar que esse modelo de calculadora traz a representação do próprio