Bayes Ağları

Bayes ağları, olasılıklı ağ modellerinin içerisinde yer almaktadır. Olasılıklı ağ modellerinde düğümler rastgele değişkenleri, değişkenler arasındaki oklar değişkenler arasındaki ilişkileri gösterir. Olasılıklı ağ modelleri, aşağıdaki gibi değişik formlarda oluşur [18].

1) Bayes Ağlar: Nedensel ve olasılıklı süreçleri gösterir.

2) Veri Akış Diyagramları: Deterministik hesaplamaları gösterir. 3) Etki Diyagramları: Karar süreçlerini gösterir.

4) Markov Ağlar: Saklı nedenler ve görüntülerdeki korelasyonu gösterir.

Olasılıklı ağ modelleri, değişkenler arasındaki ilişkileri grafiksel olarak göstermek ve uzman sistemlerde belirsizlik ile ilgilenmek için güçlü yöntemlerdir. Bu modeller kolay yorumlanabilir ve kullanılabilir oldukları için kullanımları son yıllarda önemli derecede artmıştır [18].

Bu çalışmada, yukarıdaki modellerden Bayes ağları kullanılmıştır. Bayes ağları, yön verilmiş döngüsel olmayan grafiklerden oluşur [18].

22

3.2.1 Bayes ağ modelleri

Bayes ağ modelleri belirsizlik durumunda çıkarım yapmak için kullanılan önemli yöntemlerdir. Bir Bayes ağı, birleşik olasılık dağılımlarının gösterildiği bir yapı ya da koşullu bağımsızlıkların kodlanması olarak yorumlanabilir. İlk tanım, ağın nasıl oluşturulacağı, ikinci tanım ise çıkarım prosedürlerinin nasıl tasarlanacağı hakkında bilgi verir [1].

D üğümler ölçülen bir parametre, örtülü bir değişken veya bir hipotez olabilen değişkenlere ve düğümler arasındaki kenarlar değişkenler arasındaki koşullu bağımlılığa yani ilişkiye karşılık gelir [1].

Bir X düğümünden Y düğümüne çizilen bağ olması, X’in Y üzerinde etkisinin olduğu ve X’in Y’nin atası olduğu anlamına gelir. Böylece bir kanıt değişkenini temsil etmekte olan düğümün olasılığı biliniyorsa, bu düğüme bağlı diğer alt düğümlerin koşullu olasılıkları da kanıta bağlı olarak hesaplanabilir. Eğer X hiçbir ebeveyne sahip değilse yerel olasılık dağılımının koşulsuz olduğu, aksi takdirde koşullu olduğu söylenebilir [1, 6].

Bayes ağlarında düğümler arasındaki bağımlılıkların koşullu olasılık değerleri ile ifade edilmesi için olasılık dağılım tabloları çıkartılır. Bu tablolara KOT denir. Bu tablonun satırları herhangi bir koşul olduğu durumda ata düğümlerin alabileceği değerleri gösterir. k adet atası olan bir düğümün 2k adet olasılığı vardır. Atası olmayan bir düğümün ise sadece tek değerli olasılığı vardır [1].

Yukarıda bahsedilen düğüm, düğümler arası bağlantılar ve KOT’ları kullanılarak oluşturulan Bayes ağları kullanıldıkları birçok modelde ilgilenilen alan üzerinde çalışılan değişken için başarılı çıkarımlar yapabilirler. Bayes ağları son yıllardaki popülaritesiyle oldukça göze çarpan bir yöntemdir [1].

Avantajları arasında uzman bilgisi sağlaması, yeni bir veri geldiğinde güncel tutulma kolaylığı, bağımlılık ve dağılımların eksiksiz birleşik dağılımlar yerine sezgiyle anlaşılması sebebiyle kolay olması sayılabilir. Fakat algoritma gelişigüzel ve kişisel olduğu için oluşan ağın her zaman çok sağlıklı olamama dezavantajı vardır [6].

3.2.2 Birleşik olasılık dağılımının temsili

Birleşik olasılık dağılımında her değişken ağdaki bilgi ile hesaplanabilir. Bir değişken, diğer değişken değerlerinin birleşiminin olasılığı olarak gösterilebilir [1].

23

( , … , ) = ( | ( )) (3.11)

Böylelikle birleşik olasılık dağılımındaki her değişkenin KOT’larındaki değerlerin çarpımı ile temsil edilebilir. Birleşik olasılık dağılımına dayanan bu hesaplama ile ağdaki değişkenlere ait tüm sorgular cevaplanabilir [1].

3.2.3 Bayes ağlarının oluşturulması

Bölüm 3.2.2 de anlatılan birleşik olasılık dağılımı temsili Bayes ağlarının oluşturulmasında kullanılır. Öncelikle birleşik olasılık dağılımı koşullu olasılık cinsinden P(x1, …, xn) = P(xn |x1, …, xn-1)P(x1, …, xn-1) şeklinde açılır.

Bu işlem formüldeki her birleşik olasılık, koşullu olasılıkla temsil edilene kadar devam ettirilir ve böylece bir zincir kuralı oluşur [1].

( , … , ) = ( | , … , ) ( | , … , ) … ( | ) ( )

= ( | ₁, … , ₋₁)

=1

(3.12)

Bu formül her düğüm ile ataları arasında koşullu bağımsızlığı yani ağın ata- ebeveyn-çocuk ilişkileriyle nasıl oluşturulacağını gösterir. Doğru bir ağ oluşturabilmek için her düğüm ve ataları yukarıdaki eşitliğe uygun olmalıdır. Kısaca Xi düğümünün ebeveynleri, Xi üzerinde etkisi olan X1… Xn-1 aralığındaki tüm düğümleri içermelidir [1].

Bayes ağları düğümler arasındaki bu etkileri birleşik olasılıklardan yararlanarak koşullu olasılığa çevirir ve bu şekilde ağ oluşturulur. Bu sayede ağ genellikle doğrusal karmaşıklıkta büyür. Eğer ağda n adet düğüm ve bunların etkilendiği k adet düğüm varsa, düğümlere ait KOT’larında 2k adet veri tutulur. Ağ n adet düğümden oluştuğu için tüm ağ n2k ile ifade edilebilir. Ancak ele alınan alandaki tüm değişkenler birbirlerinden etkilenirse ağ yapısı tam bağlı bir hal oluşturur ve karmaşıklık üstel olarak artar [1]. Böyle bir durumda ağı tasarlayıp çıkarım yapmak her zaman mümkün olmayabilir.

Düğümlerin gelişigüzel ağa yerleştirilmesi de ağ içerisindeki bağ sayısını dolayısıyla da KOT’sunda tutulacak değerleri arttıracaktır. Bu durum hesaplanması zor

24

olasılıklar doğurabilir. Kötü bir yapıdan kaçınmak için modeli oluşturulacak alan iyice incelenmeli, değişkenler arasındaki neden-sonuç-etki ilişkileri çıkarılmalıdır. Bundan sonra yapılacak eklemeler; kök-ata-ebeveyn-çocuk-yaprak sırasında yapılmalıdır [1].

3.2.4 Bayes ağ modellerinde öğrenme

Bir modelin bağımlılık yapısı ve koşullu olasılık fonksiyonları uzman görüşü ile sağlanabilir. Birçok uygulamada, bu bilgi elde edilemeyebilir. Buna ek olarak, farklı uzman kişiler farklı uzman görüşleri verebilir. Bu gibi durumlar ele alınan problemde bilgi karmaşası oluşturur. Bu nedenle, modelin bağımlılık yapısı ve koşullu olasılık fonksiyonları veriden tahmin edilir. Bu süreç öğrenme olarak adlandırılır. Amaç, mevcut veritabanı kullanılarak, en iyi modeli elde etmektir [18]. Öğrenmenin iki farklı çeşidi vardır. Grafikte yer alan bağlantıları belirleyen bağımlılık yapısını öğrenme yapıyı öğrenmeyi, koşullu olasılık fonksiyonlarının parametrik yapısını öğrenme ise parametre öğrenmeyi ifade eder [18].

3.2.5 Kullanım alanları

Verilerin değerlendirilme ve birleştirilme biçimi, Bayesci yaklaşımı kullanan uygulama alanlarını çoğaltmaktadır. Özellikle banka ve genetik gibi sektörlerde, mevcut verilerle yapılan analizlerin, geçmişteki verilerle desteklenerek bir takım sonuçlara varılması elde edilen sonuçların güvenilirliği açısından daha uygun olmaktadır. Bayesci yaklaşım nitel ve nicel bilgileri istatistiksel temellere dayandırarak birleştirebildiği için, uygun bir çözüm sunabilmektedir [17].

Görüntülerden sonuç çıkartan uygulamalarda [25], borsa gelecek değer tahmin uygulamalarında [26], otomatik öğrenme sistemlerinde [6] Bayes tipi olasılık kavramları kullanılabilmektedir.

Ayrıca bu teorem genetik danışmanlar tarafından, soy ağacı bilgileri ile klinik verilerin kombine edilmesinde ve taşıyıcılık risklerinin hesaplanmasında kullanılmıştır [27]. Bilgisayar destekli tanısal yaklaşımda kullanımı giderek artmaktadır [1].

25