Başlangıç Bulanık Esnek Yakınmsılık (Proximity)

Bu kısmın temel hedefi FSP bulanık esnek yakınımsı uzaylar kategorisinde çarpım tanımlamaktır. Bunun için öncelikle verilen bir bulanık esnek yakınımsı uzay ailesi için başlangıç bulanık esnek yakınımsı uzayının varlığı araştırılacaktır.

Tanım 4.3.1: boştan farklı klasik bir küme, , parametre kümeleri, {( , )} _∈ bulanık ( , )-esnek yakınımsı uzayların bir ailesi ve her ∈ için ( _, ) ∶ → ( , ) bir bulanık esnek fonksiyon olsun. Her ∈ için

102

( _, ) ∶ ( , ) → ( , ) fonksiyonlarını esnek yakınımsı sürekli yapan kümesi üzerindeki en zayıf yakınlığına verilen fonksiyonlar ailesi için başlangıç bulanık esnek yakınlık denir.

Başlangıç bulanık esnek yakınlık yapısının varlığı aşağıdaki teoremde gösterilmektedir.

Teorem 4.3.2: boştan farklı klasik bir küme, , parametre kümeleri, {( , )} ∈ bulanık ( , )-esnek yakınımsı uzayların bir ailesi ve her ∈

için ( _, ) ∶ → ( , ) bir bulanık esnek fonksiyon olsun. , ∈ ( ) ve ∈ olmak üzere,

( , ) = ⋀ ⋁ ⋀, _{( )} ( ), =⊔ , =⊔ , ∈ ℕ

olarak tanımlanan ∶ → ( ) ×( ) dönüşümü verilen fonksiyonlar ailesi için üzerinde bir bulanık ( , )-esnek yakınlıktır.

İspat: Öncelikle dikkat edilirse her ∈ için ( , ) ≥ (burada ∈ ) sağlanır ancak ve ancak sırasıyla ve nin =⊔ , =⊔ sonlu örtümleri için en az bir ∈ {1,2, … , } ve ∈ {1,2, … , } vardır öyle ki her ∈ için

( ) , ≥ sağlanır.

Genelliği bozmaksızın = olduğunu kabul edelim. Öncelikle yukarıdaki şekilde oluşturulan dönüşümünün bir bulanık ( , )-esnek yakınlık olduğunu gösterelim. Her ∈ için , = 0 ve ( , ) = ( , ) olduğu açıktır.

(P3) nın bu aksiyomu sağladığını göstermek için öncelikle,

⊔ ℎ ⊒ ve ⊔ ℎ ⊒ ℎ iken ( , ⊔ ℎ) ≥ ( , ) ∨ ( , ℎ) olduğuna dikkat edelim.

103

eşitsizliğinin sağlandığı varsayılırsa, buradan =⊔ , =⊔ ∗ , =⊔ , ℎ =⊔ ℎ örtümleri bulunabilir öyle ki,

, ( ) ( ), ∨ , ( ) ∗ , ℎ <

sağlanır. Genelliği bozmaksızın = ∗ olarak kabul edilsin. (aksi halde _, = ⊓ olmak üzere =⊔_{, ,} olarak alınabilir). Her ∈ {1,2, … , } için = ℎ olsun. Buradan, ⊔ ℎ =⊔ dir. Böylece yukarıdaki eşitsizlikten aşağıdaki ifade elde edilir:

, ∈{ ,…, } ( ) ( ), ∨

, ∈{ ,…, } _{( )} ( ), ℎ <

< _{∈{ ,…, }, ∈{ ,…, } ( )} ( ),

Eşitsizliğin sağ tarafından görülür ki en az bir ∈ {1, … , }, ∈ {1, … ,2 } vardır öyle ki her ∈ için _{( )} ( ), > sağlanır.

1 ≤ ≤ ve + 1 ≤ ≤ 2 olasılıklarından hangisi düşünülürse düşünülsün eşitsizliğin sol tarafıyla ilgili bir çelişki kolaylıkla elde edilir.

(P4) Bu aksiyomun sağlandığını göstermek için

( , ) < ∈ ( ⊓ ) ( ) olacak şekilde bir , ∈ ( ) olduğunu ve

her ∈ için de _{( )} ( ), < _∈ ( ⊓ ) ( )

olacak şekilde =⊔ , =⊔ örtümlerinin bulunduğunu kabul edelim. Buradan, aşağıdaki çelişki elde edilir

104

(P5) Son aksiyomun sağlandığını göstermek için ise, > 0 sabit sayısını ve ( , ) < ve { ( , ℎ) ∨ (ℎ , ) ∶ ℎ ∈ ( ) } ≥

koşullarını sağlayan ( , ) ∈ ( ) × ( ) ikililerinin kümesi olan kümesi ele alınsın. (P5) in geçerliliği aşağıda da gösterileceği gibi her ∈ parametresi için

kümesinin boş olması gerçeğinden elde edilecektir.

Varsayalım ki, kümesi boştan farklı, yani bir ( , ) ∈ mevcut olsun. Bu durumda, her bir ∈ için

( ) ( ), ( ) ≥

eşitsizliğinin sağlandığı aşikardır. Gerçekten de, bir ∈ ( ) için ℎ = ( ) olsun. Eğer ( , ℎ) ≥ eşitsizliği sağlanırsa

( ) ( ), (ℎ) ≥

ve buradan da

( ) ( ), ≥

ifadelerinin sağlandığı görülür. Benzer şekilde, eğer (ℎ , ) ≥ ise bu durumda

( ) ( ), ≥ sağlanır.

nın tanımlanışından ve , (P5) aksiyomunu sağladığından,

( ) ( ), ( ) ≥

dir. Her ( , ) ∈ için bir , ∈ ℕ doğal sayısı ve =⊔ , =⊔ örtümü vardır öyle ki her ( , ) ∈ {1, … , } × {1, … , } için

( ) ( ), < olacak şekilde bir ∈ bulunabilir. Ayrıca,

105

için ilgili + toplamı minimum olsun. ℎ = ⊔ … ⊔ olarak tanımlanırsa aşağıdaki iki olası seçenekten birisi doğru olacaktır:

(a) her ∈ ( ) için ya (ℎ, ) > ya da ( , ) > dır. (b) her ∈ ( ) için ya ( , ) > ya da ( , ) > dır. Gerçekten de, ne (a) ne de (b) sağlansın. Bu durumda,

(ℎ, ) < , ( , ) < , ( , ) < , ( , ) < olacak şekilde en az bir , ∈ ( ) vardır.

= ⊓ denirse, ( , ) ∨ ( , ) < elde edilir ki; bu durum ise ( , ) ∈ olması ile çelişir.

(a) nın sağlandığını kabul edelim. Buradan, ℎ ⊑ ve ( , ) < olduğundan (ℎ, ) < ve böylece de (ℎ, ) ∈ sonucu elde edilir. Ancak bu durum + toplamının minimum seçilmesiyle çelişir.

Benzer durum (b) içinde sağlanacaktır. Sonuç olarak, kümesi boştur.

Böylece, , kümesi üzerinde bir bulanık ( , )-esnek yakınlıktır.

Ayrıca, tanımlanışı gereği her ∈ için ( , ) ≤ _{( )} ( ), ( ) sağlanır, yani tüm ( _, ) ∶ ( , ) → ( , ) dönüşümleri esnek yakınımsı süreklidir.

Son olarak, ∗, üzerinde dan daha ince olan ve tüm ( _, ) dönüşümlerini esnek yakınımsı sürekli yapan başka bir bulanık ( , )-esnek yakınlık olsun.

Bu durumda, en az bir , ∈ ( ) , =⊔ ve =⊔ örtümü vardır öyle ki her ∈ , , ∈ {1,2, … , } için

∗_{( , ) >}

106

sağlanır. ∗ bir bulanık ( , )-esnek yakınlık olduğundan, bir , ∈ {1,2, … , } için ∗ , = ∗( , ) dir. Böylece,

∗ _{, >}

( ) ,

elde edilir ki, bu durum ( _, ) dönüşümlerinin esnek yakınımsı sürekli olmasıyla çelişir.

Tanım 4.3.3: {( , )} ∈ bulanık ( , )-esnek yakınımsı uzayların bir ailesi ve

= ∏ _∈ , = ∏ _∈ ve = ∏ _∈ kartezyen çarpım kümeleri olsun. Bu durumda, ∶ → , ∶ → ve ∶ → izdüşüm fonksiyonları yardımıyla üretilen başlangıç bulanık ( , )-esnek yakınlık, çarpım bulanık esnek yakınlık olarak adlandırılır ve ( , ) = ∏ _∈ ( , ) biçiminde gösterilir.

Teorem 4.3.2. gereğince ∶ → ( ) ×( ) çarpım bulanık ( , )-esnek yakınlık aşağıdaki şekilde tanımlanır:

( , ) = ⋁ ⋀, _{( )} ( ), =⊔ , =⊔ , ∈ ℕ

Dikkat edilirse bu operatörünün gerçekten FSP kategorisinde bir çarpım tanımladığı görülür.

Teorem 4.3.4: Her ∈ için ( _, ) ∶ ( , ) → ( , ) bir bulanık esnek fonksiyon ve _, ∶ ( , ) → ∏ _∈ ( , ) ise diyagonal fonksiyon olsun. Bu takdirde, _, = ⋁ _, eşitliği sağlanır.

İspat: Her ∈ için _, : ( , ) → , , _, : , → ( , ) ve ( , ) ∶ ( , ) → ( , ) dönüşümleri göz önüne alınsın.

Fonksiyonun hatası tanımından ve _, = 0 oluşundan,

107 ve böylece de

⋁ , ≤ ,

ifadeleri elde edilir. Eşitliğin tersini göstermek için ⋁ _, < _, olduğunu kabul edelim. Bir > 0 için

∈ _{, ∈} ( , ) − ( ) ( ), ( )

< ( ∈ _{, ∈} ( ( , ) − _{( )}( ( ) − ( )))) − dir.

Eşitsizliğin sağ tarafına dikkat edilirse her ∗, ∗ _{∈ ( ) için}

( ∗_, ∗_{) −} ( ) ( ∗), ( ∗) < ( , ) − ( ) ( ) − ( ) − ve buradan da ( ) ( ) − ( ) < ( , ) − ( ∗_, ∗_{) +} ( ) ( ∗), ( ∗) −

sağlanır. =⊔ ve =⊔ keyfi iki örtüm ve ( , ) = ( , ) olacak şekilde , verilsin. Yukarıdaki eşitsizlikte ∗ = , ∗ _{= yazılırsa}

≔

( ) ( ) − ( ) + < ( ) (

∗_{), (} ∗₎

elde edilir. Böylece, herhangi =⊔ ve =⊔ örtüleri için en az bir , vardır öyle ki, her ∈ için

( ) , >

sağlanır. ( ) =⊔ ( ) ve ( ) =⊔ ( ) olduğuna dikkat edilirse çarpım bulanık esnek yakınlık tanımından,

108

( ) ( ) − ( ) ≥

eşitsizliği bulunur. Elde edilen bu çelişki ise ispatı tamamlar.

Sonuç 4.3.5: ( _, ) ∶ ( , ) → , , ∈ fonksiyonlar ailesinin diyagonali

, : = (( , ) ): ( , ) → ∏ ∈ ( , ) esnek yakınımsı süreklidir ancak ve

ancak her bir ( _, ) esnek yakınımsı süreklidir.

Teorem 4.3.6: kümesi üzerindeki tüm bulanık ( , )-esnek yakınlıkların kümesi olan D, ≤ bağıntısına göre bir tam latisdir.

İspat: Her ∈ için

∗_{( , ) =} 0, = =

1, ğ

olarak tanımlanan ∗∶ → ( ) ×( ) dönüşümü üzerinde bir bulanık esnek yakınlıktır. Ayrıca, ∗ ın üzerindeki en geniş (yani en zayıf) bulanık ( , )-esnek yakınlık olduğu açıktır. ∗ antidiskret (trivial) yakınlık olarak adlandırılır. Diğer yandan her ∈ için

( , ) = _∈ ( ⊓ ) ( )

şeklinde tanımlanan ∶ → ( ) ×( ) dönüşümü de üzerinde bir bulanık ( , )-esnek yakınlıktır.

(Gerçekten, açık olmayan tek aksiyom (P5) in sağlandığı da şu şekilde görülür: bir , ∈ ( ) için

( , ) < { ( , ℎ) ∨ (ℎ , ) ∶ ℎ ∈ ( ) }

olduğu kabul edilirse ve ℎ = alınırsa ( , ) = 0 çelişkisi elde edilir.)

Ayrıca, diskret (ayrık) yakınlık olarak adlandırılan ın üzerindeki en güçlü (yani en küçük) bulanık ( , )-esnek yakınlık olduğu da kolaylıkla görülür.

109

⊆ ve ∈ olmak üzere, ≔ , üzerinde _, : → ( , ) fonksiyonları ile üretilen başlangıç bulanık ( , )-esnek yakınlık olsun. Dikkat edilirse, , ın en büyük alt sınırıdır. Bu nedenle ile gösterilecektir. ∗, nin en büyük elemanı olduğundan, en küçük üst sınıra da sahiptir.

110

5. BULANIK ESNEK DÜZGÜN UZAYLAR VE BULANIK ESNEK