BÖLÜM

A resenha é um estilo literário em que se propõe a construção de relações entre  as propriedades de um objeto analisado, descrevendo‐o e enumerando aspectos com‐ siderados relevantes sobre ele. No jornalismo, é utilizado como forma de prestação  de  serviço.  É  texto  de  origem  opinativa  e,  portanto,  reúne  comentários  de  origem  pessoal e julgamentos do resenhador sobre o valor do que é analisado. 

O objeto resenhado pode ser de qualquer natureza: um romance, um filme, um  álbum,  uma  peça  de  teatro  ou  mesmo  um  jogo  de  futebol.  Uma  resenha  pode  ser 

descritiva  ou  crítica . 

Resenha  Crítica  é  a  apresentação  do  conteúdo  de  uma  obra,  acompanhada  de  uma avaliação crítica. Expõe‐se claramente e com certos detalhes o conteúdo da obra,  o  propósito  da  obra  e  o  método  que  segue  para  posteriormente  desenvolver  uma  apreciação crítica do conteúdo, da disposição das partes, do método, de sua forma ou  estilo e, se for o caso, da apresentação tipográfica, formulando um conceito do livro. 

Consiste  na  leitura,  resumo  e  comentário  crítico  de  um  livro  ou  texto.  Para  a  elaboração  do  comentário  crítico,  utilizam‐se  opiniões  de  diversos  autores  da  comunidade científica em relação às defendidas pelo autor e se estabelece todo tipo  de comparação com os enfoques, métodos de investigação e formas de exposição de  outros autores e até mesmo de seus produtos e serviços.   

7.2

E

empregado pelo autor. 

9 Capacidade  de  juízo  crítico  para  distinguir  claramente  o  essencial  do 

supérfluo. 

9 Independência de juízo; o que importa não é saber se as conclusões do autor 

coincidem com as nossas opiniões, mas se foram deduzidas corretamente. 

9 Correção  e  urbanidade;  respeitando  sempre  a  pessoa  do  autor  e  suas  in‐

tenções. 

9 Fidelidade  ao  pensamento  do  autor,  não  falsificando  suas  opiniões,  mas 

assimilando com exatidão suas idéias, para examinar cuidadosamente e com  acerto sua posição.    Evidentemente, uma resenha crítica bem feita pode converter‐se num pequeno  artigo científico e até mesmo num trabalho monográfico, podendo ser publicada em  revistas especializadas. 

A  resenha  crítica  compreende  uma  abordagem  objetiva  (onde  se  descreve  o  assunto  ou  algo  que  foi  observado,  sem  emitir  juízo  de  valor)  e  uma  abordagem  subjetiva  (apreciação  crítica  onde  se  evidenciam  os  juízos  de  valor  de  quem  está  elaborando  a  resenha  crítica).  O  cientista  formado  tem  uma  capacidade  de  juízo  crítico mais desenvolvida, devido ao acumulo de informações e experiência adqui‐ rida. O estudante esforça‐se para o exercício de compreensão e crítica inicial. 

Na  introdução  o  acadêmico  deve  apresentar  o  assunto  de  forma  genérica  até  chegar  ao  foco  de  interesse,  ou  ao  ponto  de  vista  o  qual  será  focalizado.  Uma  vez  apresentado  o  foco  de  interesse,  o  acadêmico  procura  mostrar  a  importância  do  mesmo, a fim de despertar o interesse do leitor. Por último, deixa‐se claro, o caminho  /método que orienta o trabalho. 

A  descrição  do  assunto  do  livro,  texto,  artigo  ou  ensaio  compreende  a  apresentação das idéias principais e das secundárias que sustentam o pensamento do  autor.  Para  facilitar  a  descrição  do  assunto  sugere‐se  a  construção  dos  argumentos  por  progressão,  que  consiste  no  relacionamento  dos  diferentes  elementos,  mas  encadeados  em  seqüência  lógica,  de  modo  a  haver  sempre  uma  relação  evidente  entre um elemento e o seu antecedente. 

A apreciação crítica deve ser feita em termos de concordância ou discordância,  levando  em  consideração  a  validade  ou  a  aplicabilidade  do  que  foi  exposto  pelo  autor.  Para  fundamentar  a  apreciação  crítica,  deve‐se  levar  em  conta  a  opinião  de  autores  da  comunidade  científica,  experiência  profissional,  a  visão  de  mundo  e  a  noção histórica do país. 

Nas  considerações  finais,  devem‐se  apresentar  as  principais  reflexões  e  constatações  decorrentes  do  desenvolvimento  do  trabalho.  As  referências  bibliográficas seguem a NBR‐6023 de 2000 da ABNT sobre referências bibliográficas. 

A  partir  de  uma  solicitação  do  Departamento  de  Educação  Básica  do  Minis‐ tério de Educação de Portugal, neste livro os autores, renomados professores‐pesqui‐ sadores,  propõem  reflexões  para  mudanças  curriculares  para  a  Matemática  no  referido  nível  educativo.  Na  perspectiva  de  que  todas  as  pessoas  devem  tornar‐se  matematicamente  competentes  e  ao  assumirem  a  Matemática  e  sua  problemática  como  um  “assunto  de  todos”  os  autores  acreditam,  muito  pertinentemente,  que  a  leitura  do  livro  também  seja  útil  a  qualquer  professor  ou  formador,  aos  pais,  aos  pesquisadores e demais interessados no processo ensino‐aprendizagem.    

Vista  como  o  elo  entre  a  teoria  e  a  prática,  a  pesquisa  é  muito  percebida  e  evidenciada  na  obra,  na  medida  em  que  os  autores  além  de  considerarem  as  tendências curriculares atuais e os resultados – nacionais e internacionais ‐ recentes  da  investigação  em  Educação  Matemática,  demonstram  constante  preocupação  em  proporcionar aos professores mais um instrumento para o seu fazer pedagógico.   

A obra, de linguagem acessível e leitura muito agradável, está estruturada em  quatro  capítulos,  além  da  bibliografia.  No  primeiro,  os  autores  fazem  uma  apresentação  e  justificativa  para  o  livro  e,  no  segundo,  reacionam  sobre  o  que  significa  aprender  matemática  atualmente,  apresentam  onze  idéias  fundamentais  para  a  aprendizagem  e  que  são  consideradas  por  eles  relevantes  no  processo  de  desenvolvimento  das  competências  matemática  e,  ao  final  do  capítulo,  inserem  o  professor  e  a  sua  responsabilidade  para  a  transformação  da  sala  de  aula  em  um  ambiente  de  aprendizagem  que  favoreça  o  progresso  e  o  desenvolvimento  das  competências  matemáticas  em  todos  os  alunos.  Ao  afirmarem  (p.31)  que  “o  conhecimento  de  termos  e  regras  não  pode  ser  identificado  com  a  competência  matemática,  mesmo  a  um  nível  elementar,  e  que  esse  conhecimento,  embora  seja  parte  integrante  e  um  produto  inevitável  de  uma  aprendizagem  significativa  da  Matemática ao longo de vários anos, apenas se torna relevante quando está integrado  a um conjunto mais amplo de capacidades e atitudes”, no terceiro capítulo os autores  apresentam  capacidades  e  atitudes,  bem  como  discutem  o  seu  significado  para  a  Educação  Básica.  No  capítulo  4  são  apresentados  os  grandes  e  importantes  temas  matemáticos  ‐  números  e  cálculo;  geometria;  estatística  e  probabilidades; álgebra  e  funções  –  seguidos  de  discussões  e  orientações  didáticas  que  exemplificam  e  justificam os pressupostos teórico‐filosóficos dos autores para um currículo atento ao  desenvolvimento das competências matemáticas. 

Concluindo  gostaria  de  ressaltar  que  apesar  de  nossas  diferentes  realidades  Ministério da Educação  Departamento da Educação  Básica       A MATEMÁTICA   na   Educação Básica   

ABRANTES,  Paulo;  SERRAZINA,  Lurdes  e  OLIVEIRA,  Isolina.  A  Matemática  na  Educação  Básica.  Lisboa:  MEC/Departamento  da  Educação  Básica,  1999.  130p.  Coleção  Reflexão Participada. ISBN 972‐742‐123‐7 

Exemplo de uma resenha elaborada  por Marcelo Almeida Bairral 

educacionais,  as  idéias  e  contribuições  desta  obra,  também  para  o  contexto  educa‐ cional  brasileiro,  sem  dúvida  muito  contribuirão,  como  os  próprios  autores  enfati‐ zam,  para  que  a  Educação  Matemática  favoreça,  “de  um  modo  significativo  e  insubstituível, a ajudar aos alunos a tornarem‐se indivíduos competentes, críticos e  confiantes nos aspectos essenciais em que a sua vida se relaciona com a matemática”.  Nesta busca e desafio, destacam Abrantes, Serrazina e Oliveira, compete também “às  escolas e aos professores a responsabilidade de tomarem as decisões mais adequadas  na gestão do currículo”.  Na página seguinte o leitor interessado poderá acessar ao livro, bem como a  outras  publicações  disponibilizadas  pelo  Departamento  de  Educação  Básica  do  Ministério de Educação de Portugal:   http://www.deb.min‐edu.pt/NewForum/publicacoes.htm    TEXTO COMPLEMENTAR:    O PROBLEMA DA QUADRATURA DO CÍRCULO12    Por CARLOS SÁ   

O  problema  da  quadratura  do  círculo  consiste  em,  dado  um  círculo,  construir  um quadrado que tenha a mesma área. 

Julga‐se  que  o  problema  é  muito  antigo:  o  Papiro  Rhind  (também  conhecido  como  Papiro  de  Ahmes),  dos  começos  do  milênio  II  a.C.,  tem  um  enunciado  que  muitos  historiadores  interpretam  como  uma  proposta  de  solução  do  problema  da  quadratura  do  círculo:  dado  um  círculo,  considera‐se  o  seu  diâmetro;  divide‐se  o  diâmetro  em  9  partes  iguais;  tomam‐se  8  delas;  e,  finalmente,  constrói‐se  um  qua‐ drado  cujo  lado  são  essas  oito  nonas  partes  do  diâmetro.  Esta  não  é  uma  solução  exata do problema; é uma solução aproximada, que pode servir muito bem para uma  questão  de  natureza  agrícola  (por  exemplo,  para  construir  uma  área  quadrada  que  leve  tanto  cereal  como  uma  dada  área  circular),  mas  que  dificilmente  satisfará  um  ourives  (que  queira  fazer,  por  exemplo,  duas  bandejas  de  ouro  equivalentes,  uma  quadrada e uma circular...). 

Interpretando este documento à luz dos conhecimentos de hoje, pode dizer‐se  que os antigos egípcios usavam 256/81 como valor de  pi , ou seja, um valor ligeira‐ mente  superior  a  3,16.  Mas  nada  permite  supor  que  já  naquela  época  se  pensasse 

num valor de pi , isto é, num fator pelo qual se devesse multiplicar o quadrado do  raio para obter automaticamente o valor da área. 

Continuando a cometer este  abuso  histórico de considerar os  valores de pi   de  várias  civilizações  antigas,  é  de  realçar  que  os  hebreus  e  os  mesopotâmicos  pensavam  aparentemente  mais  no  perímetro  da  circunferência  do  que  na  área  do 

12 Fichário da Associação Portuguesa de Matemática, obtido em http://www.apm.pt, acesso em 07/05/  2007. 

círculo;  aproximando  a  circunferência  por  um  hexágono  regular  nela  inscrito  (cujo  lado é igual ao raio), tem‐se que o sêxtuplo do raio (ou o triplo do diâmetro) é uma  aproximação  do  perímetro,  claramente  por  defeito,  mas  suficiente  para  muitas  aplicações práticas. 

Há duas passagens da Bíblia em que se faz referência a um grande recipiente  para água, feito de metal fundido, que existia no Templo de Salomão, em Jerusalém,  tendo  10  côvados  de  diâmetro  e  30  côvados  de  perímetro;  por  esta  razão  (e  por  se  pressupor que o recipiente tinha base circular) se diz que 3 é o  valor bíblico de pi .  Quando se decifrou a escrita da Mesopotâmia, no século XX, encontraram‐se placas  de barro com indicações semelhantes e concluiu‐se, um tanto apressadamente, que os  mesopotâmios  usavam  também  o  valor  bíblico  de  pi ;  mais  tarde,  porém,  encon‐ traram‐se outras placas babilônicas contendo melhores aproximações para o perime‐ tro da circunferência e para a área do círculo.  Alguns séculos mais tarde, a questão interessou os geômetras da Grécia antiga.  Os gregos distinguiam entre soluções exatas e soluções aproximadas de problemas.  Independentemente da forma que os agricultores, os ourives, ou outros profissionais  tivessem para resolver os problemas práticos com que se deparavam, os geômetras  queriam  saber  como  passar  dum  círculo  a  um  quadrado  exatamente  com  a  mesma  área. 

Esta palavra  área  presta‐se a equívocos que podem falsear a questão histórica.  Dadas  uma  certa  unidade  de  área  (que  é  arbitrária  ‐  por  exemplo:  um  metro  quadrado, ou um hectare, ou ...) e uma certa figura plana, nós estamos habituados a  associar à figura um número real não negativo, que mede a sua área; por exemplo,  dado um círculo com 5 polegadas de raio, dizemos que a sua área vale  pi  vezes 25  (polegadas quadradas). 

Ora, os geômetras gregos não pensavam desta forma; viam no círculo uma certa  grandeza  (que  é  uma  entidade  geométrica,  e  não  medida  por  um  número)  e  tenta‐ vam construir um quadrado equivalente. (Tentavam construí‐lo geometricamente, e  não numericamente). 

Embora nunca definissem explicitamente o que entendiam por  grandeza  (ou  por grandezas  equivalentes ), formularam alguns axiomas que indicam que apenas  esperavam que essa noção se regesse por leis muito sensatas (por exemplo, espera‐se  que duas figuras que coincidam tenham a mesma grandeza, assim como, se juntar‐ mos  a  mesma  grandeza  a  duas  grandezas  iguais,  se  espera  que  obtenhamos  gran‐ dezas iguais). 

Uma vez aceite este conceito de grandeza, o procedimento grego relativamente à  quadratura do círculo pode formular‐se assim: dado um círculo, os geômetras gregos  queriam  dar‐lhe  uma  nova  forma  (queriam  transformar  uma  figura  redonda  numa  quadrada), mantendo‐lhe a grandeza. 

Uma  observação  de  passagem:  este  programa  de  trabalho   é  exatamente  o  oposto do que levava esses geômetras a estudar figuras semelhantes (que são as que  têm a mesma forma, mas não necessariamente a mesma grandeza; por exemplo, dois  triângulos semelhantes mas não congruentes têm a mesma forma mas têm grandezas 

diferentes). 

O primeiro nome dum grego associado à questão da quadratura do círculo é o  de Hipócrates de Quios, no século V a.C. (não confundir com o médico Hipócrates de  Cós, no século seguinte, que deu o nome ao  juramento de Hipócrates ). 

O  trabalho  de  Hipócrates  de  Quios  é  historicamente  interessante,  porque  é  o  primeiro que se conhece que se insere numa tradição que procura soluções exatas e  com  uma  restrição  adicional  importantíssima:  para  além  do  material  de  escrita  ‐  geralmente um papiro ou uma pele de animal curtida para o efeito (o pergaminho) e  uma pena com tinta, ou então uma porção (mais ou menos plana) de chão arenoso e  uma vara – só é permitido usar régua (não graduada) e compasso! Outra restrição não  menos importante era: só é permitido usar régua e compasso um número finito de  vezes!  Hipócrates não foi bem sucedido. Mas, na procura de uma maneira de resolver o  problema,  fez  algumas  descobertas  interessantes.  Por  exemplo,  conseguiu  quadrar  das figuras a que se chama  lúnulas  (uma lúnula é uma porção de plano delimitada  por  dois  arcos  de  circunferência  com  a  concavidade  para  o  mesmo  lado;  a  forma  duma lúnula depende das amplitudes dos dois arcos de circunferência que a delimi‐ tam; Hipócrates quadrou algumas delas e mostrou que quadrar outras é equivalente  a quadrar o círculo).  Aliás, com restrições assim tão drásticas, ninguém conseguiu resolver o proble‐ ma da quadratura do círculo, nem Hipócrates nem nenhum dos outros matemáticos  (e foram imensos...) que tentaram durante séculos. As tentativas sérias só terminaram  no  século  XIX,  quando  os  algebristas  conseguiram  demonstrar  que  é  impossívelresolver  o  problema  da  quadratura  do  círculo  usando  régua  e  compasso  um número finito de vezes. 

Mas nem todos os geômetras gregos quiseram submeter‐se a tais regras. E foram  sendo  concebidos  outros  instrumentos   (em  particular  foram  sendo  inventadas  certas  curvas,  que  podem  considerar‐se  instrumentos  matemáticos,  embora  apenas  ideais  por só existirem na mente humana) adequados à resolução do problema. No  século IV a.C., Dinóstrato de Atenas conseguiu quadrar o círculo com o auxílio de  três instrumentos: régua, compasso e uma certa curva (que, por essa razão, ganhou o  nome de quadratriz). No século III a.C., Arquimedes de Siracusa fez algo de seme‐ lhante: demonstrou que com régua, compasso e uma outra curva (chamada espiral)  também é possível quadrar o círculo.  A quadratriz de Dinóstrato por vezes também é chamada curva de Hípias (este  foi um matemático anterior a Dinóstrato, que usou a curva para trissectar o ângulo;  por esta razão, a curva também tem o nome de trissectriz). Pode ser vista no site  http://turnbull.dcs.st‐and.ac.uk/~history/Curves/Quadratrix.html  A espiral de Arquimedes pode ser vista no site  http://turnbull.dcs.st‐and.ac.uk/~history/Curves/Spiral.html 

É  também  a  Arquimedes  que  se  deve  um  teorema  muito  importante  ligado  à  questão  da  quadratura  do  círculo:  todo  o  círculo  equivale  (em  grandeza)  a  um  triângulo cuja base é igual ao perímetro da circunferência do círculo e cuja altura é  igual ao raio do círculo. 

Este  teorema  permite  passar  dum  círculo  a  um  triângulo  com  a  mesma  área;  passar  dum  triângulo  a  um  quadrado  com  a  mesma  área  não  é  difícil  (os  gregos  sabiam fazer isso); logo, pode passar‐se do círculo ao quadrado. 

É  claro  que,  de  certa  forma,  este  teorema  não  é  grande  ajuda:  como  é  que  se  constrói  a  base  do  tal  triângulo?  Ou  seja,  dada  uma  circunferência,  como  é  que  se  constrói  um  segmento  de  reta  igual  ao  seu  perímetro?  Este  problema  chama‐se  retificação da circunferência. O que o Teorema de Arquimedes significa é que quem  souber resolver um destes dois problemas (quadratura do círculo ou retificação da  circunferência) também saberá resolver o outro. 

Há  outro  aspecto  do  teorema  de  Arquimedes  que  é  de  grande  importância  teórica;  para  o  explicar  será  melhor  adotar  um  ponto  de  vista  mais  moderno.  Pode  talvez achar relativamente evidente que as áreas dos círculos sejam proporcionais às  áreas dos quadrados cujos lados são os raios (como diz a fórmula conhecida: área do  círculo = pi vezes quadrado do raio) e também que os perímetros das circunferências  sejam  proporcionais  aos  comprimentos  dos  diâmetros  (como  diz  a  fórmula:  perímetro da circunferência = 2 vezes pi vezes raio). Mas quem nos garante que as  constantes de proporcionalidade são a mesma? 

Ora, o teorema de Arquimedes garante isso: se chamarmos  pi  à constante de  proporcionalidade relativa aos perímetros, então o perímetro duma circunferência de  raio R será  2 vezes pi vezes R  e, por este teorema, a área do círculo será a área do  triângulo da base  2 vezes pi vezes R  e altura R, que vale  pi vezes o quadrado de  R . A constante de proporcionalidade relativa às áreas é pois  o mesmo pi . 

Convém  ainda  referir  que  não  foi  só  na  Antiguidade  e  no  século  XIX  que  se  descobriram resultados interessantes relativos à quadratura do círculo. 

Também  no  Renascimento,  por  exemplo,  se  investigou  a  questão.  No  número  66, de Janeiro /Fevereiro de 2002, da revista Educação Matemática, da Associação de  Professores de Matemática, pode ler‐se um artigo da autoria de Luís Reis sobre este  assunto, intitulado  O Segredo de Leonardo . Aí se explica como a obra  O Homem  de Vitrúvio  de Leonardo da Vinci (um dos maiores artistas de sempre) poderá com‐ ter a idéia que permite obter uma solução aproximada da quadratura do círculo por  meio  duma  seqüência  infinita  de  construções  que  usam  apenas  uma  régua  e  um  compasso. 

Uma  última  questão  pode  ainda  ser  pertinente:  porquê  esta  idéia  de  mudar  a  forma  das  figuras  mantendo‐lhes  as  grandezas?  Em  particular,  porquê  transformar  figuras em quadrados? A resposta poderá ser mais uma tarefa para antropólogos do  que para matemáticos ou para historiadores. 

Mas  há  aspectos  da  questão  que  a  matemática  pode  ajudar  a  compreender.  Imaginemos duas figuras bem irregulares, de tal modo que não se perceba imedia‐ tamente se são ou não iguais e, no caso de serem diferentes, qual delas é maior. Se as 

transformarmos em quadrados, a comparação das figuras torna‐se muito mais fácil: é  maior a que corresponde ao quadrado com maior lado. A figura quadrada parece ser,  de algum modo, privilegiada pelo gênero humano... 

Nesta hipótese, o teorema de Pitágoras (que, à primeira vista, parece tão estra‐ nho...  porque  é  que  alguém  havia  de  se  lembrar  de  somar  dois  quadrados  e  obter  outro quadrado?!) ganha uma razão de ser inteiramente nova: permite‐nos adicionar  ou subtrair as duas figuras e, ainda por cima, a soma e a diferença vêm já no formato  normalizado , isto é, no formato quadrado! 

▪ 

“Os  poderes  miraculosos  dos  cálculos  modernos  se  devem  a  três  invenções:  a  notação arábica, as frações decimais e os logartimos”.  Florian Cajori    “Os sinais + e ‐ modificam a quantidade diante da qual são colocados como o  adjetivo modifica o substantivo”.  Cauchy      “Os números são as regras dos seres e a Matemática é o Regulamento do Mun‐ do”.  F. Gomes Teixeira      “Zero, esse nada que é tudo”.  Laisant 

CAPÍTULO 8 

FICHAMENTOS

8.1

O

F

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Em outras palavras, fichamento consiste em armazenar em fichas informações  relevantes para a pesquisa. Ao conjunto de fichas denominamos arquivo. 

Este trabalho pressupõe a anotação. Anotação é um procedimento de seleção de   dados  para  futura  utilização.  Uma  das  características  marcantes  de  uma  anotação  adequada é permitirem a redação. Deste modo, elas não podem ser sintéticas demais,  a ponto de serem incompreensíveis. Muitas vezes queremos reduzir a informação e  usamos códigos que não são lembrados posteriormente, inviabilizando a escritura a  partir deles.  As fichas compreendem: cabeçalho, corpo da ficha e referência bibliográfica. O  cabeçalho engloba título genérico ou específico e letra indicativa da seqüência das