Bu bölümün son slaytıdır. Herhangi bir sorunuz var mı?

Mekanik Doğrusal Hareket

Fiziğin amaçlarından biri, cisimlerin hangi hızda hareket ettiğini ve ne kadar yol aldıklarını incelemektir. Bu nedenle bazı kavramlar tanımlanmıştır. Bunlardan biri olan konum bir cismin o anda bulunduğu yerdir. Örneğin bir paçacığın konumu x= 3 m veya x= -2m olabilir.

Mekanik Doğrusal Hareket

Mekanik Doğrusal Hareket

1 Tek boyutta doğrusal hareket, herhangi bir cismin tek bir eksen üzerinde yaptığı harekettir. Bu eksen yatay, düşey veya eğimli olabilir ama doğrusal olmalıdır.

2 Cisimin x₁ konumundan x₂ konumuna yaptığı değişikliğe onun ∆x yer değiştirmesi denir.

Bunu şöyle yazarız: ∆x = x₂− x₁

3 Cismin ne kadar hızlı gittini ortalama hız kavramıylada gösterebiliriz. Ortalama hız, belirli bir ∆t zaman aralığında gerçekleşen ∆x yer değiştirmesinin bu zaman aralığına oranıdır. ϑ_ort = ^∆x_∆t = ^x2−x1

Mekanik Doğrusal Hareket

Bu grafikte ϑ_ort, x(t) eğrisinin üzerindeki belirli iki noktayı

birleştiren doğrunun eğimidir: bu noktalardan biri x₂ ve t₂ diğeri ise x1 ve t₁’e karşılık gelir. Yerdeğiştirme gibi ϑ_ort’nında hem

Mekanik Doğrusal Hareket

1 Karıştırılmaması gereken kavramlardan biriside ortalama sürattir. Ortalama sürat yönden bağımsız olarak kat edilen birim zamandaki toplam mesafe ile ilgilidir.

Mekanik Doğrusal Hareket

1 Herhangi bir andaki hız (ϑ)(anlık hız), ortalama hızın ∆t sıfıra yaklaşırken aldığı limit değerdir.

ϑ = lim ∆t→0 ∆x ∆t ⁼ dx dt

2 Süratterimi ise hızın büyüklüğüdür, yani yönden bağımsızdır. 3 Bir parçacığın ortalama ivmesi, parçacığın hızındaki

değişmenin, bu değişimin olduğu ∆t zaman aralığına oranıdır. 4 Ani ivme ise hızın zamana göre türevidir. Ortalama ivme ve

ani ivme ifadeleri sırasıyla şöyle verilmektedir:

aort = ^ϑ2−ϑ1

Mekanik Doğrusal Hareket

Mekanik Doğrusal Hareket

Figure:2.7 (Serway) Herhangi bir noktadaki hız, x-t grafiğinde o andaki teğetin eğimiyle verilir. Herhangi bir andaki ivme ise o noktadaki ϑ − t grafiğinin eğimi ile verilir. Eğer parçacığın hızı ve ivmesinin yönleri aynıysa; parçacığın hızı artarken, zıtken hız azalır.

Mekanik Doğrusal Hareket

Figure:2.7(Serway) (a) Arabalar arasında eşit aralıklar vardır. Eşit zamanda eşit yollar alan bu araç sabit pozitif hızla ivmesiz hareket eder. (b) Zamanla arabalar arası mesafe açılmakta yani araba hızlanmaktadır. Araba pozitif hız ve ivmeyle hareket edecektir. (c) Yavaşlayan arabalar arası mesafe azalmaktadır. Bu durumda sağa doğru negatif bir ivme mevcutturki hız ve ivmenin işaretleri zıt yönlüdür.

Mekanik Doğrusal Hareket

Denklem Tanım ϑortalama=ϑs+ϑo

2 sabit ivmeli cismin ortalama hızı. ϑs= ϑo+ at sabit ivmeden yararlanarak son hızı bulma ϑortalama= ϑo+1

2at sabit ivmeyle ortalama hızı bulma xs− xo= ϑot +1

2at2 sabit ivmeden yararlanarak yer değiştirmeyi bulma ϑ2

s= ϑ2

o+ 2a(x − xo) ivme ve yer değiştirmeden yararlanarak son hızı bulma xs− xo=1

2(ϑo+ ϑ)t yer değiştirme xs− xo= ϑt −1

2at2 sabit ivme ve son hızdan yararlanarak yer değiştirmeyi bulma

Table:Sabit ivmeli cisimlerin hareket denklemleri

Soru çözümlerinde uygulanması gereken method, çıkarımların en temel formüllerden türetilip, bilinmeyen parametreleri bilinenler yardımıyla bulmak olmalıdır. Hareketin sabit ivmeli olma şartı aranmalıdır.

Mekanik Doğrusal Hareket

Serbest Düşme: Eğer aşağıya veya yukarıya bir cisim fırlatıp havanın etkilerini yok ederseniz, cismin aşağı doğru sabit bir ivmeyle hareket ettiğini görürsünüz. Serbest düşme ivmesi olarak

adlandırılan bu ivme g ile gösterilip büyüklüğü 9.8m/s²’dir. 1 Bu hareketlerde yön y ekseni boyunca olup pozitif yön yukarı

doğrudur.

2 Serbest düşme ivmesi negatif olduğundan denklemlerde a=-g=9.8m/s2 alınır, fakat büyüklük g=9.8m/s2’dir.

3 Yukarıya doğru atılan cisimde pozitif hız azalır ve zirvede sıfır olur. İnişe geçtiği andan itibaren artık "negatif olan hızın büyüklüğü" giderek artar. İvme ise her iki durumdada a=-g’dir. Örnek video için tıklayınız.

Mekanik Doğrusal Hareket

Bu bölümün son slaytıdır.

Herhangi bir sorunuz var mı?

Mekanik

İki ve Üç Boyutta Hareket

Bu bölümde konum, yer değiştirme, ortalama ve anlık hız, ortalama ve anlık ivme kavramlarına vektörler konusunda aldığımız bilgiyle başka bir bakış açısıyla değineceğiz.

1 Konumu belirlemenin en genel yollarından biri vektörel gösterimdir. Bu üç boyutta ~r = x~i + y~j + z~k konum vektörüyle ifade edilir.

2 Eğer konum vektörü belirli bir zaman aralığında ~r1’den ~r2’ye değişiyorsa yer değiştirme vektörü 4~r = ~r1− ~r2 ile verilir. Birim vektörlerle aynı ifadeyi gösterecek olursak:

Mekanik

Mekanik

İki ve Üç Boyutta Hareket

1 Yine daha önceden gördüğümüz ortalama hız (~ϑort = ^4~_4t^r) kavramını şimdide vektörel olarak gösterirsek:

~

ϑ_ort = ^4x~i+4y~_4t^{j +4z~k} 2 _{ϑ =}~ d~r

dt olarak verilen anlık hız, ~ϑ = _dt^d(x~i + y~j + z~k) veya ~

ϑ = ϑ_x~i + ϑ_y~_{j + ϑz}~_{k şeklinde sadeleştirebiliriz.}

Mekanik

İki ve Üç Boyutta Hareket

Ani hızı bulmak için eğer yukarıdaki figür a’da 4t 0’a doğru küçültülürse üç farklı şey gözlenir:

1 ~r2 konum vektörü ~r1’e doğru hareket eder ve 4~r 0’a doğru küçülür.

2 4~r

4t’nin yönü konum 1’de çizilen teğetin doğrultusuna yaklaşır. 3 _ϑ~_{ort (ortalama hız), t1’deki ~ϑ anlık hıza yaklaşır.}

Sonuç: Bir parçacığın ~ϑ anlık hızının yönü, her zaman parçacığın konumuna o noktada teğettir. Bu yukarıdaki figür b’dende görülebilir.

Mekanik

İki ve Üç Boyutta Hareket

1 Ortalama ivme ~a_ort = ^4~_4t^ϑ = ^ϑ~1−~ϑ2

4t iken, anlık ivme ~a = ^{d ~}_dt^ϑ şeklinde 4t zamanı 0’a yaklaştırılarak bulunur.

2 Not: Eğer hızın büyüklüğü veya yönü değişiyorsa ivmesi olmak zorundadır.

3 Ani ivme aynı zamanda ~

a = _dt^d(ϑx~i + ϑy~_{j + ϑz}~_{k) = ax}~i + ay~_{j + az}~_{k şeklindede} gösterilir.

Mekanik

İki ve Üç Boyutta Hareket

Mekanik

İki ve Üç Boyutta Hareket

Eğik Atış: Şimdi yukarıda gösterilen eğik atış hareketini analiz edersek:

1 _ϑ~_{o = ϑox}~i + ϑ_oy~_{j , ϑox = ϑocos θo ve ϑoy = ϑosin θo}

Bu iki boyutlu hareket sırasında cismin ~r konum vektörü ve ~ϑ hız vektörü sürekli olarak değişirken, yatay hız (ϑ_ox) ve ~

a_y = −g ivme vektörü sabit kalır. Yatay yöndeki sabit hızlı hareketten dolayı herhangi bir ivme gözlenmez (a=0). Not: Eğik atışta yatay ve düşey hareketler birbirinden bağımsızdırlar.

Mekanik

İki ve Üç Boyutta Hareket

1 Yatay Kısım: 4x = ϑ_oxt + ¹₂a_xt² iken, burada a_x = 0 ve ϑ_ox = ϑ_ocos θ_o olduğuna göre x − x_o = (ϑ_ocos θ_o)t’dir. 2 Dikey Kısım: y − y_o = ϑ_oyt + ¹₂a_yt² iken, a_y = −g ve

ϑoy = ϑosin θ_o olduğundan 4y = (ϑ_osin θ_o)t −¹₂gt²’dir. 3 ϑ_y = ϑ_osin θ_o− gt ve ϑ2

y = (ϑ_osin θ_o)²− 2g (y − y_o) formülleri daha önceki ünitede gördüğümüz sabit ivmeli hareket denklemlerinden uyarlanabilir.

Mekanik

İki ve Üç Boyutta Hareket

IDüzgün Dairesel Hareket

Figure:4.17 (Halliday) Saat yönünün tersine hareket eden p cisminin konumu, hızı ve ivmesi verilmektedir.

F Burada hız vektörünün büyüklüğü sabitken yönü sürekli değişmektedir. Bu yüzden, cisim bir ivmeye sabittir ve bu ivmenin yönü daima merkeze doğrudur.

Mekanik

İki ve Üç Boyutta Hareket

F Düzgün dairesel hareketin ivmesine merkezcil ivme denir ve büyüklüğü a = ^ϑ_r²’dir. Cismin tam dolanım süresine periyot denir ve değeri T = ^2πr_ϑ ’dir.

İvmenin ispatı:

F ϑ = ϑ^~ _x~i + ϑ_y~_{j = (−ϑ sin θ)~i + (ϑ cos θ)~j = (−}ϑ.yp

r )~i + (^ϑ.xp r )~j F ~a = ^{d ~}_dt^ϑ= (^−ϑ_r ^dyp dt )~i + (^ϑ_r ^dxp dt )~j burada ^dyp dt = ϑy = ϑ cos θ ve ^dxp

dt = ϑx = −ϑ sin θ değerleri yerine koyulursa:

~a = (−^ϑ_r²cos θ)~i + (−^ϑ_r² sin θ)~j Buradaki negatif işaret sadece merkezcil ivmenin bileşenlerinin yönünü vermektedir.

Mekanik

İki ve Üç Boyutta Hareket

F |~a| =^qa2 x+ a2

y = ^ϑ_r²(^pcos2θ + sin²θ) = ^ϑ_r² büyüklük olmak üzere tan φ =^ay

ax = ⁻

ϑ2 r sin θ

−^ϑ2_r cos θ = tan θ

F Sonuç olarak φ = θ bulunmuştur. Bunun anlamı ~a vektörünün r yarıçapı yönünde ve dairenin merkezine doğru olduğudur.

F İvme dairesel yola dik ve içe dönüktür. Bu nedenle cismin hızının yönü değişirken, sürati sabit kalır. Eğer, düzgün dairel harekette periyodu T = ^2π.r_T olarak yazarsak, a_radyal = ^ϑ_r² = ^4π_T²2^r olarak bulabiliriz.

Mekanik

İki ve Üç Boyutta Hareket

Mekanik

İki ve Üç Boyutta Hareket

Mekanik

İki ve Üç Boyutta Hareket

Göreli Hareket: ~ϑ_bagil = ~ϑ_cisim− ~ϑ_gozlemci

(a) Tek boyutta(Halliday Fig4-18) (b) İki boyutta(Halliday Fig4-19)

Şimdi bu figürlere dayanarak, birbirlerine göre sabit hızda giden ve farklı referans sistemlerindeki gözlemcilerin, hareket eden bir parçacık için aynı ivmeyi ölçeceklerini ispatlayacağız.

Mekanik

İki ve Üç Boyutta Hareket

1 Tek boyutta hareket eden parçacık için hareket denklemleri yazılırsa: ~ x_PA= ~x_PB+ ~x_BA, d dt(~xPA) = _dt^d(~xPB) +_dt^d(~xBA), ~ϑPA= ~ϑPB+ ~ϑBA, d dt(~ϑPA) = _dt^d(~ϑPB) +_dt^d(~ϑBA), ~aPA= ~aPB+ 0

2 Aynı denklemler iki boyutta hareket eden bir parçacık için yazılırsa: ~ r_PA= ~r_PB+ ~r_BA, ~ ϑ_PA= ~ϑ_PB+ ~ϑ_BA, ~ a_PA= ~a_PB+ 0

Mekanik

İki ve Üç Boyutta Hareket

Bu bölümün son slaytıdır.

Herhangi bir sorunuz var mı?

Mekanik