Ayrık Dalgacık DönüĢümü

Dalgacık dönüĢümü, verilen bir fonksiyonu farklı frekans bileĢenlerine bölerek her bileĢenin kendi yapısına uygun olarak iĢlenmesine olanak sağlar. Bu dönüĢümün temeli Joseph Fourier tarafından geliĢtirilen Fourier DönüĢümüne dayanmaktadır. Fourier DönüĢümü, karmaĢık iĢaretlerin yaklaĢık olarak daha basit iĢaretlerin toplamı Ģeklinde ifade edilebileceğini öne sürmüĢ ve böylelikle frekans dönüĢümünün de temelini atmıĢtır. Dalgacık dönüĢümünde, verilen bir iĢaretin düĢük ve yüksek frekanslarda farklı boyutlarda

pencereler kullanılarak ġekil 5.6.’da gösterildiği gibi zaman düzlemindeki karĢılığı elde edilir. Böylelikle amaca uygun olarak, düĢük frekans bilgilerinin geniĢ zaman aralığında, yüksek frekans bilgilerinin ise küçük zaman aralığında iĢlem yapılmasına olanak sağlar.

ġekil 5.6. Dalgacık dönüĢümü ile bir iĢaretin frekans bileĢenlerine ayrılması

Günümüzde Dalgacık dönüĢümü, Fourier dönüĢümü ile incelenen durağan iĢaretlerin yanı sıra durağan olmayan iĢaretlerin iĢlenmesinde de kullanılır.

Dalgacık dönüĢümü;

- Ayrık Dalgacık DönüĢümü (ADD) - Sürekli Dalgacık DönüĢümü (SDD)

olarak 2 sınıfta incelenebilir. Hem ADD hem de SDD sürekli zaman sinyallerini temsil etmek için kullanılırlar. SDD elde edilebilir ölçeklenmiĢ ve ötelenmiĢ değerler üzerinde çalıĢır. Bu dönüĢümde ölçekleme ve dönüĢüm parametreleri sürekli değiĢtiğinden dolayı dalgacık katsayılarının hesaplanması iĢlemi sürekli tekrarlanmalıdır. ADD ise belirli ölçeklenmiĢ ve ötelenmiĢ değerlerin altkümesi ya da grid gösterimini elde etmek için kullanılır. SDD’nin belirtilen dezavantajından dolayı ADD uygulamalarda daha sık tercih edilmektedir [119].

ADD görüntü iĢleme uygulamalarında da büyük oranda kullanılır. Dalgacık dönüĢümü bir resmi yatay, dikey ve diyagonal olarak üç boyuta ayrıĢtırır. Bundan dolayı, dalgacıklar ĠGS’nin yön bağımlı özelliklerini çok dikkatli bir Ģekilde yansıtır. ADD’nin çoklu çözünürlük özeliğinden dolayı, ölçeklenebilirlik ve alçaltmaya dayanıklılık gerektiren uygulamalarda sıklıkla tercih edilir ve bu özelliğinden dolayı resimlerin aĢamalı iletimine izin verir. Yüksek çözünürlük alt-bantları, resmin içindeki kenar ve doku örüntülerinin kolay bir Ģekilde bulunmalarını sağlar.

(DD) alt-bantların ADD genlik katsayıları daha büyük olur. ADD’nin genlik katsayıları diğer (DY, YD, YY) alt-bantlarda daha küçük olur. ADD ile elde edilen 4 alt bant

DD= YaklaĢık resim DY= Dikey detay YD= Yatay detay

YY= KöĢegen resim olarak temsil edilmektedir. Damgalama uygulamalarında damga genellikle YD ve DY alt bantlarına eklenir. Sağlamlığı artırmak maksadı ile DD bandına da damga ekleme yapılabilir. Damga, sıkıĢtırma sonrası zarar göreceği için genellikle YY alt bandına eklenmez. Fakat YY alt bandı kırpma, keskinleĢtirme, kontrast değiĢtirme, histogram denkleĢtirme, gamma düzeltme gibi saldırılara karĢı sağlamdır [120].

Orijinal Resim

DD DY YD YY

DD DY DY YY

1. Seviye

2. Seviye

ġekil 5.7. ADD ile resmin alt bantlarına ayrılması

Amaca ve kullanım yerine uygun olarak bir resme ayrık dalgacık dönüĢümü birden fazla uygulanabilir. Orijinal bir resmin tek seviyeli ADD ġekil 5.8.’de, iki seviyeli ADD ise ġekil 5.9.’da verilmiĢtir [119].

Orijinal Resim ADD ile Orijinal Resmin Altbantları

ġekil 5.8. Tek seviyeli ADD ile resmin alt bantlarına ayrılması

Orijinal Resim Ġki Seviyeli ADD ile Orijinal _{Resmin Altbantları}

ġekil 5.9. Ġki seviyeli ADD ile resmin alt bantlarına ayrılması

Denklem 5.1 ve 5.3’de Dalgacık dönüĢümünün karĢılığı verilmiĢtir. Burada α˃0 ve βϵR olmak üzere α parametresi frekansı, β parametresi zamanı, δ dalgacık fonksiyonunu ve DD (α, β) dalgacık dönüĢümünü temsil etmektedir.

( ) √ ∫ ( ) ( ₎ 5.1 ve ( ) _√ ( ) 5.2 olmak üzere

Denklem 5.4.’de verilen uygunluk Ģartını sağlamak üzere Denklem 5.5.’de Ters Dalgacık DönüĢümü verilmiĢtir. Bu denklemde cδ bir dalgacık sabitidir ve kullanılan

dalgacık türüne bağlıdır.

∫ | ( )|_{| |} 5.4

( ) ∫ ∫ ( ) ( ) 5.5

ADD aĢağıda belirtilen bazı özellikleri nedeniyle damgalama uygulamalarında yaygın olarak kullanılmaktadır.

a. ADD, çok çözünürlüklü doğasından dolayı ölçeklendirme ve kabul edilebilir

bozulmaya ihtiyaç gösteren, dayanıklılık gerektiren uygulamalar için uygundur.

b. Büyük genlikli ADD katsayıları damga gömmek için uygundur.

c. DüĢük çözünürlükte damga algılama iĢlemlerinde hesapsal olarak etkilidir.

Çünkü her ardıĢık çözünürlük seviyesinde sadece birkaç frekans bandı ile ilgilenilmektedir.

d. Çok çözünürlüklü damgalama, zaman veya frekans boyutunda iki veya ikinin

katları Ģeklinde yapılan aĢağı örneklemeye karĢı dayanıklıdır.

e. ĠGS, görüntüdeki köĢeler ve dokulu alanlardaki bozulmalara yumuĢak

alanlardaki bozulmalardan daha duyarsızdır. Yüksek çözünürlüklü alt bantlarda asıl görüntüye ait köĢe ve doku desenlerini kolaylıkla ortaya çıkardığından damga, ĠGS tarafından daha zor algılanabilmektedir.

f. Dalgacık dönüĢümü hesapsal olarak etkilidir, basit süzgeç dönüĢümleri

kullanılarak uyarlanabilir.

g. Ġletim ve kod çözme hatalarına karĢı daha dayanıklıdır.

h. ADD katsayılarının genliği her seviyede temel bileĢende daha büyüktür. Diğer

yatay, düĢey ve köĢegensel bileĢenlerde temel bileĢene göre daha küçüktür. Sayısal damgalama uygulamalarında ADD kullanırken yöntemin sahip olduğu belirli avantajlarının yanında aĢağıda belirtilen bir takım dezavantajları da mevcuttur.

Avantajları:

a. ADD, resmin farklı çözünürlüklerinde iĢlem yapabilir. Bu özelliği ile AKD’den

b. ADD’nin gerçekleĢtirilmesi için geliĢtirilen hızlı algoritmalar vardır.

c. ADD, iyi enerji sıkıĢtırma özelliğine sahiptir. Bu nedenle ADD çok sayıda

görüntü iĢleme probleminin çözümünde kullanılmıĢtır.

d. Bloklara ayırmaya gerek kalmadan yüksek sıkıĢtırma oranı sağlanmakta,

dolayısıyla blok kenarlarının doğurduğu sıkıntılardan sakınılmaktadır.

e. Dalgacık fonksiyonu kullanıcıya bağlı olarak serbestçe seçilebileceğinden

yüksek esneklik özelliğine sahiptir. Dezavantajları:

a. Yönsel seçicilik özelliği, amaca uygun olarak aynı yönde sıralanmıĢ özelliklere

karĢı güçlü cevap vermesi, diğer özellik yönlerine karĢı cevabının zayıf olabileceği anlamına gelir. ADD’nin yönsel seçicilik özelliği iyi değildir.

b. ADD ötelemeden bağımsız değildir [93].