Armendariz halka sınıfı ile inmi¸s halka sınıfı arasındaki ili¸ski Lemma 3.1.3’te ver- ilmi¸stir. Bundan ba¸ska Armendariz halkaların Gaussian, abelyan, Baer, p.p-halka ve yarıde˘gi¸smeli halka sınıfları arasındaki ili¸skiler de incelenecektir.
¨
Onerme 3.3.1 R de˘gi¸smeli bir halka olmak ¨uzere R halkası Gaussian ise Armen- dariz’dir (Anderson and Camillo, 1998).
˙Ispat R Gaussian bir halka olsun. R’nin Armendariz oldu˘gunu g¨osterelim. f, g ∈
R[x] i¸cin f g = 0 olsun. Bu durumda Af g = 0 olup R Gaussian oldu˘gundan 0 =
Af g = AfAg e¸sitli˘gi sa˘glanır. AfAg = 0 oldu˘gundan f ’nin katsayıları ile g’nin
katsayılarının ¸carpımı sıfır olur. B¨oylece R Armendariz’dir.
Teorem 3.3.2 R de˘gi¸smeli bir halka olsun. R’nin Gaussian olması i¸cin gerek ve yeter ko¸sul R’nin her homomorfik g¨or¨unt¨us¨un¨un Armendariz olmasıdır (Anderson and Camillo, 1998).
˙Ispat R Gaussian olsun. I, R’nin herhangi bir ideali olmak ¨uzere ηI : R → R/I
kanonik epimorfizması vardır. ηI(R) = R/I ,R’ nin homomorfik g¨or¨unt¨us¨ud¨ur. R
Gaussian oldu˘gundan R/I Gaussian’dır. Bir ¨onceki ¨onermeden R/I’nın (yani R’ nin her homomorfik g¨or¨unt¨us¨un¨un) Armendariz oldu˘gunu s¨oyleyebiliriz. Tersine R’nin her homomorfik g¨or¨unt¨us¨un¨un Armendariz oldu˘gunu kabul edelim. f, g ∈ R[X] olsun. Bu durumda Af g, R’nin bir idealidir. Kabulden R/Af g Armendariz’dir.
Bundan dolayı (R/Af g)[x] = { n ∑ i=0 (ri+ Af g)xi : ri ∈ R }
olmak ¨uzere ¯f , ¯g ∈ (R/Af g)[x] polinomları i¸cin ¯f ¯g = ¯0 ise R/Af g Armendariz
oldu˘gundan ¯f ’nin katsayıları ¯g’nin katsayılarını sıfırlar. Yani her i, j i¸cin (ai +
Af g)(bj+ Af g) = Af g ise aibj+ Af g = Af g olup buradan aibj ∈ Af g’dir. Sonu¸c olarak
AfAg ⊆ Af g’dir. Di˘ger yandan Af g ⊆ AfAg kapsamı her zaman sa˘glandı˘gından
AfAg = Af g bulunur. B¨oylece R Gaussian’dır.
˙Ispat R Armendariz bir halka olsun. R’nin abelyan oldu˘gunu g¨osterelim. Bunun i¸cin e2 = e ∈ R olmak ¨uzere her r ∈ R i¸cin er = re oldu˘gunu g¨ostermeliyiz. Bir
r∈ R i¸cin f = e + er(1 − e) olsun. f2 = f f
= (e + er(1− e))(e + er(1 − e))
= e + er(1− e) + er(1 − e)e + er(1 − e)er(1 − e) = e + er− ere + ere − ere
= e + er(1− e) = f
oldu˘gundan f e¸skare elemandır.
(1− e)f = (1 − e)(e + er(1 − e)) = (1 − e)e + (1 − e)er(1 − e) = e − e = 0 oldu˘gundan Lemma 3.1.21’den f (1− e) = 0’dır.
0 = f (1−e) = [e+er(1−e)](1−e) = e(1−e)+er(1−e) = e−e+er−ere = er−ere oldu˘gundan er = ere bulunur. Di˘ger taraftan bir r∈ R i¸cin f′ = (1− e) + (1 − e)re olsun.
(f′)2 = f′f′
= [(1− e) + (1 − e)re][(1 − e) + (1 − e)re]
= (1− e) + (1 − e)re + (1 − e)re(1 − e) + (1 − e)re(1 − e)re = 1− e + re − ere
= (1− e) + (1 − e)re = f′
oldu˘gundan f′ e¸skare elemandır.
ef′ = e[(1− e) + (1 − e)re] = e(1 − e) + e(1 − e)re = e − e + ere − ere = 0 olup Lemma 3.1.21’den f′e = 0’ dır. Bu durumda
oldu˘gundan re = ere bulunur. Sonu¸c olarak her r ∈ R i¸cin er = re oldu˘gundan
R’deki her e¸skare merkezildir. Yani R abelyandır.
Huh ve di˘gerleri 2002’de; a¸sa˘gıdaki lemmayı ispatladıktan sonra Lemma 3.3.3’¨un ispatını farklı bir bi¸cimde vermi¸slerdir.
Lemma 3.3.4 R Armendariz bir halka olsun. Bu durumda a¸sa˘gıdakiler sa˘glanır: (1) a, b, c ∈ R ve uygun bir n ≥ 1 tam sayısı i¸cin ab = 0 ve acnb = 0 ise, bu
durumda acb = 0’dır.
(2) a, b, c ∈ R ve uygun bir n ≥ 1 tam sayısı i¸cin ab = 0 ve cn merkezil ise, bu
durumda acb = 0’dır.
˙Ispat (1) a, b, c ∈ R ve uygun bir n ≥ 1 tam sayısı i¸cin ab = 0 ve acnb = 0
oldu˘gunu kabul edelim. R[x]’de f (x) = a(1− cx) ve g(x) = (1 + cx + c2x2 +
. . . + ck−1xk−1)b polinomlarını g¨oz ¨on¨une alalım. f (x)g(x) = 0 oldu˘gu a¸cıktır. R Armendariz oldu˘gundan acb = 0 elde edilir.
(2) cn merkezil oldu˘gundan (1)’den a¸cıktır.
Sonuc. 3.3.5 Armendariz halkalar abelyandır (Huh et al, 2002).
˙Ispat R Armendariz bir halka olsun. e2 = e ∈ R alalım. r ∈ R olmak ¨uzere
Lemma 3.3.4’de a = e, b = 1− e ve c = er(1 − e) olarak alınırsa ab = 0 ve ac2b = 0
oldu˘gu a¸cıktır. Lemma 3.3.4 gere˘gince acb = e[er(1− e)](1 − e) = er(1 − e) = 0 olup er = ere bulunur. Benzer ¸sekilde a1 = 1− e, b1 = e ve c1 = (1− e)re
alınırsa a1b1 = 0 ve ac21b = 0 oldu˘gu a¸cıktır. Yine Lemma 3.3.4 gere˘gince a1c1b1 =
(1− e)[(1 − e)re]e = (1 − e)re = 0 olup re = ere elde edilir. Sonu¸c olarak her r ∈ R i¸cin er = re oldu˘gundan e e¸skare elemanı merkezil olup R abelyandır.
Lemma 3.3.4’¨un ba¸ska bir sonucu a¸sa˘gıda verilmi¸stir.
Sonuc. 3.3.6 R Armendariz bir halka olmak ¨uzere R’nin merkezi Z(R) olsun. N;
R’nin bir iki yanlı nil ideali ise, bu durumda Z(R)+N halkası R’nin hem Armendariz
Lemma 3.3.7 R halkası abelyan bir halka olsun. Bu durumda (1) R[x]’deki her e¸skare eleman R’dedir ve R[x] abelyandır.
(2) R[[x]]’deki her e¸skare eleman R’dedir ve R[[x]] abelyandır. (Kim and Lee, 2000)
˙Ispat R[x] polinom halkası R[[x]] kuvvet seriler halkasının bir alt halkası oldu˘gundan (2)’yi ispatlamak yeterlidir. R[[x]]’de f2 = f olacak ¸sekilde bir f (x) = e
0 + e1x +
. . . + enxn+ . . . polinomunu alalım. f2 = f oldu˘gundan
e20 =e0 (3.22) e0e1 + e1e0 =e1 (3.23) e0e2+ e1e1 + e2e0 =e2 (3.24) .. . e0ek+ e1ek−1+ . . . + eke0 =ek (3.25) .. .
e¸sitlikleri elde edilir. (3.22) e¸sitli˘ginde e20 = e0 ∈ R ve R abelyan oldu˘gundan e0
merkezildir. (3.23) e¸sitli˘gi soldan e0 ile ¸carpılırsa e20e1 + e0e1e0 = e0e1 = e0e1 +
e0e1e0 = e0e1 olup e0e1e0 = 0 olur. e0 merkezil oldu˘gundan e0e1e0 = e0e0e1 =
e2
0e1 = e0e1 = 0 bulunur. Bu ifade (3.23)’ te yerine yazılırsa e1e0 = e1 olur. e0
merkezil oldu˘gundan e1e0 = e0e1 = e1 = 0 elde edilir. (3.24) e¸sitli˘gi soldan e0 ile
¸carpılırsa
e20e2+ e0e21+ e0e2e0 = e0e2 = e0e2+ e0e2e0 = e0e2
olup e0e2e0 = 0’dır. e0 merkezil oldu˘gundan e0e2e0 = e0e0e2 = e20e2 = e0e2 = 0 olur.
Bu ifade (3.24) e¸sitli˘ginde yerine yazılırsa e2e0 = e2 olur. e0 merkezil oldu˘gundan
e2e0 = e0e2 = e2 = 0 bulunur. Bu ¸sekilde devam edilerek t¨umevarımla her 1 ≤ i ≤ k
i¸cin ek = 0 oldu˘gunu kabul edelim. Bu durumda (k + 1). terimin katsayısı
e0ek+1+ e1ek+ e2ek−1+ . . . + eke1+ ek+1e0 = ek+1
dır. Bu e¸sitlik soldan e0 ile ¸carpılırsa e20ek+1+ e0e1ek+ . . . + e0eke1+ e0ek+1+ e0 =
e2
0ek+1 = e0ek+1 = 0 bulunur. Bu ifade yukarıdaki e¸sitlikte yerine yazılırsa ek+1e0 =
ek+1 olur. e0 merkezil oldu˘gundan ek+1e0 = e0ek+1 = ek+1 = 0’dır. Sonu¸c olarak
f (x) polinomunda her i≥ 1 i¸cin ei = 0 olup f (x) = e0 ∈ R’dir. B¨oylece R[[x]]’teki
her idempotent R’dedir.
S¸imdi R[[x]]’in abelyan oldu˘gunu g¨osterelim. Bunun i¸cin R[[x]]’deki her e¸skare elemanın merkezil oldu˘gunu g¨ostermeliyiz. f ∈ R[[x]] e¸skare bir eleman olsun. f (x) = e0 ∈ R oldu˘gunu g¨osterdik. g(x) = b0 + b1x + . . . + bmxm + . . . ∈ R[[x]]
olmak ¨uzere e0 merkezil oldu˘gundan f (x)g(x) = e0(b0+ b1x + . . . + bmxm+ . . .) =
e0b0+ e0b1x + . . . + e0bmxm+ . . . = b0e0+ b1e0x + . . . + bme0xm+ . . . = (b0+ b1x +
. . . + bmxm + . . .)e0 = g(x)f (x) bulunur. B¨oylece her f (x) merkezil olup R[[x]]
abelyandır.
S¸imdi bir R halkası Baer (ya da p.p)-halka iken Armendarizlik ko¸sulu altında R[x] polinom halkasının da Baer (ya da p.p)-halka oldu˘gunu g¨ostermeden ¨once a¸sa˘gıdaki iki lemmayı verelim.
Lemma 3.3.8 R bir Baer halka ise, bu durumda R bir p.p halkadır (Kim and Lee, 2000).
Lemma 3.3.9 R bir abelyan sa˘g p.p halka ise, bu durumda R inmi¸s bir halkadır (Kim and Lee, 2000).
Teorem 3.3.10 R bir Armendariz halka olsun. Bu durumda R’nin p.p halka olması i¸cin gerek ve yeter ko¸sul R[x]’in p.p halka olmasıdır (Kim and Lee, 2000).
˙Ispat (⇒) R p.p halka olsun. R[x]’in p.p halka oldu˘gunu g¨osterelim. Bunun i¸cin her bir p(x)∈ R[x] i¸cin rR[x](p(x)) = e(x)R[x] olacak ¸sekilde e2(x) = e(x)∈ R[x] e¸skare
elemanının var oldu˘gunu g¨ostermeliyiz. p(x) = a0 + a1(x) + . . . + amxm ∈ R[x]
olsun. R p.p halka oldu˘gundan her i = 0, 1, 2, . . . , m i¸cin rR(ai) = eiR olacak
¸sekilde e2
i = ei ∈ R e¸skare elemanı vardır. Yani her bir i = 0, 1, 2, . . . , m i¸cin
aieiR = 0’dır. Lemma 3.3.3’ten R Armendariz oldu˘gundan abelyandır. Ayrıca
Lemma 3.3.7’den R abelyan oldu˘gundan R[x]’deki her idempotent R’ dedir. Bundan dolayı her e(x)∈ R[x] e¸skare elemanı i¸cin e(x) = e ∈ R’dir. R abelyan oldu˘gundan
her ei e¸skare elemanı merkezildir. e = e0e1e2. . . em olsun. e2 = (e0e1e2. . . em)2 = (e0e1e2. . . em)(e0e1e2. . . em) = e20e 2 1. . . e 2 m = e0e1. . . em = e
oldu˘gundan e2 = e∈ R e¸skaredir. Ayrıca
eR =
m
∩
i=0
rR(ai)
dir. Ger¸cekten ; x∈ eR ise x = er = (e0e1e2. . . em)r olacak ¸sekilde r ∈ R vardır.
Bu durumda a0x = a0(e0e1e2. . . em)r = a0e0(e1e2. . . em)r = 0(e1e2. . . em)r = 0 olup x∈ rR(a0)’dır. a1x = a1(e0e1e2. . . em)r = a1e1(e0e2. . . em)r = 0(e0e2. . . em)r = 0 olup x∈ rR(a1)’dir. a2x = a2(e0e1e2. . . em)r = a2e2(e0e1. . . em)r = 0(e0e1. . . em)r = 0 olup x∈ rR(a2)’dir.
Bu ¸sekilde devam edilecek olursa;
amx = am(e0e1e2. . . em)r = amem(e0e1. . . em−1)r = 0(e0e1. . . em−1)r = 0
oldu˘gundan x∈ rR(am) olur. Her i = 0, 1, 2, . . . , m i¸cin x∈ rR(ai) oldu˘gundan
x∈ m ∩ i=0 rR(ai) elde edilir.
Di˘ger taraftan y ∈ ∩mi=0rR(ai) alalım. Buradan her i = 0, 1, 2, . . . , m i¸cin y ∈
rR(ai) = eiR olup y ∈ eiR’dir. Her i = 0, 1, 2, . . . , m i¸cin y = eiri olacak ¸sekilde
ri ∈ R vardır. y =e0r0 ise e0y = e0r0 = y ise e0y = y y =e1r1 ise e1y = e1r1 = y ise e0e1y = y y =e2r2 ise e2y = e2r2 = y ise e0e1e2y = y .. . y =emrm ise emy = emrm = y ise e0e1e2. . . emrm = y
y = e0e1e2. . . emrm olacak ¸sekilde rm ∈ R vardır. Bu durumda y = erm olacak
¸sekilde rm ∈ R var olup y ∈ eR’dir.
S¸imdi ise rR[x](p) = eR[x] oldu˘gunu g¨osterelim. f (x) ∈ eR[x] ise f(x) = eg(x)
olacak ¸sekilde g(x)∈ R[x] vardır.
E¸sitli˘gin her iki tarafını p(x) ile ¸carparsak
p(x)f (x) =p(x)[eg(x)] =[p(x)e]g(x) =[(a0+ a1x + . . . + amxm)e]g(x) =[a0e + a1ex + . . . + amexm]g(x) =[a0(e0e1. . . em) + a1(e0e1. . . em)x + . . . + am(e0e1. . . em)xm]g(x) =[a0e0(e1e2. . . em) + a1e1(e0e2. . . em)x + . . . + amem(e0e1. . . em−1)xm]g(x) =0
oldu˘gundan f (x)∈ rR[x](p(x)) olup eR[x]⊆ rR[x](p) elde edilir.
Di˘ger taraftan q(x) = b0+ b1x + . . . + bnxn∈ rR[x](p) olsun. Bu durumda p(x)q(x) =
0’dır. R Armendariz oldu˘gundan her i = 0, 1, . . . , m ve her j = 0, 1, . . . , n i¸cin
aibj = 0’dır. Bundan dolayı her i = 0, 1, . . . , m i¸cin bj ∈ rR(ai)’dir. Buradan
bj ∈ ∩mi=0rR(ai) = eR olup bj = erj olacak ¸sekilde rj ∈ R vardır. q(x) = b0+ b1x +
. . . + bnxn = er0 + er1x + . . . + ernxn = e(r0+ r1x + . . . + rnxn) ise q(x) = e(r0 +
r1x + . . . + rnxn) ∈ eR[x] olup rR[x](p) ⊆ eR[x]’tir. Sonu¸c olarak rR[x](p) = eR[x]
oldu˘gundan R[x] bir sa˘g p.p halkadır.
Benzer olarak R[x]’in bir sol p.p-halka oldu˘gu g¨osterilebilir. B¨oylece R[x] hem sa˘g hem de sol p.p halka oldu˘gundan R[x] bir p.p halkadır.
(⇐) R[x] p.p halka olsun. R’nin p.p halka oldu˘gunu g¨osterelim. a ∈ R olsun.
R ⊆ R[x] oldu˘gundan a ∈ R[x]’tir. R[x] p.p halka oldu˘gundan rR[x](a) = eR[x]
olacak ¸sekilde e2 = e ∈ R e¸skaresi vardır. Bu e¸sitli˘gin her iki yanı R ile arakesit alınırsa rR[x](a) ∩ R = rR(a) = eR[x] ∩ R = eR oldu˘gundan rR(a) = eR olacak
¸sekilde e2 = e∈ R bulundu˘gundan R bir sa˘g p.p halkadır. Benzer ¸sekilde R’nin bir sol p.p halka oldu˘gu da g¨osterilebilir. Sonu¸c olarak R hem sa˘g hem de sol p.p halka oldu˘gundan R bir p.p halkadır.
Teorem 3.3.11 R Armendariz bir halka olsun. Bu durumda R’nin Baer halka
olması i¸cin gerek ve yeter ko¸sul R[x]’in Baer halka olmasıdır (Kim and Lee, 2000) ˙Ispat (⇒) R bir Baer halka olsun. R[x]’in bir Baer halka oldu˘gunu g¨osterelim.
A, R[x]’in bo¸stan farklı bir alt k¨umesi olsun. G¨ostermemiz gereken rR[x](A) =
e(x)R[x] olacak ¸sekilde e2(x) = e(x) ∈ R[x] e¸skaresinin var oldu˘gudur. ¨Oncelikle Lemma 3.3.3’ den R Armendariz oldu˘gundan R abelyan ve Lemma 3.3.7’den R abelyan oldu˘gundan R[x]’teki her e¸skare eleman R’dedir diyebiliriz. A∗; A’daki t¨um polinomların t¨um katsayılarının k¨umesi olsun. Bu durumda A∗; R’nin bo¸stan farklı bir alt k¨umesidir. R Baer halka oldu˘gundan ∅ ̸= A∗ ⊆ R i¸cin rR(A∗) = eR olacak
¸sekilde e2 = e ∈ R e¸skaresi vardır (yani her a ∈ A∗ i¸cin aeR = 0’dır). S¸imdi
rR[x](A) = eR[x] oldu˘gunu g¨osterelim. f (x) ∈ eR[x] alalım. Bu durumda f(x) =
eg(x) olacak ¸sekilde g(x) ∈ R[x] vardır. Buradan Af(x) = Aeg(x)) = (Ae)g(x)
olur. Her q(x)∈ A i¸cin q(x)f(x) = q(x)[eg(x)] = [q(x)e]g(x) = [(a0 + a1x + . . . +
amxm)e]g(x) = [a0e + a1ex + . . . + amexm]g(x) = [0 + 0x + . . . + 0xm]g(x) = 0g(x) = 0
oldu˘gundan Af (x) = 0 olup f (x)∈ rR[x](A)’dır. Bu durumda eR[x]⊆ rR[x](A) olur.
Di˘ger taraftan g(x) = b0+b1x+. . .+bmxm ∈ rR[x](A) alalım. Bu durumda Ag(x) = 0
olup her f (x) = a0 + a1x + . . . + anxn ∈ A i¸cin f(x)g(x) = 0’dır. R Armendariz
oldu˘gundan f (x)g(x) = 0 iken her i, j i¸cin aibj = 0’dır. Bundan dolayı b0, b1, . . . , bt∈
rR(A∗)’dır. Her j i¸cin bj ∈ rR(A∗) = eR olup bj = erj olacak ¸sekilde rj ∈ R vardır.
g(x) = b0 + b1x + . . . + btxt = er0 + er1x + . . . + ertxt = e(r0 + r1x + . . . + rtxt)
olacak ¸sekilde r0 + r1x + . . . + rtxt ∈ R[x] vardır. Bu durumda g(x) ∈ eR[x] olup
rR[x](A)⊆ eR[x] oldu˘gundan R[x] Baer halkadır.
(⇐) R[x] Baer halka olsun. R’nin Baer oldu˘gunu g¨osterelim. R’nin bo¸stan farklı bir B alt k¨umesini alalım. Bu durumda R ⊆ R[x] oldu˘gundan ∅ ̸= B ⊆ R[x]’ dir.
R[x] Baer halka oldu˘gundan rR[x](B) = eR[x] olacak ¸sekilde e2 = e ∈ R vardır. Bu
e¸sitli˘gin her iki yanı R ile arakesit alınırsa rR[x](B)∩ R = rR(B) = eR[x]∩ R = eR
olacak ¸sekilde e2 = e∈ R var oldu˘gundan R Baer halkadır.
Benzer sonu¸clar, formal kuvvet seriler halkası i¸cin de a¸sa˘gıdaki gibi verilebilir. ¨
Onerme 3.3.12 R abelyan bir halka olmak ¨uzere. (1) R[[x]] p.p halka ise R p.p halkadır.
(2) R[[x]] Baer halka ise R Baer halkadır. (Kim and Lee, 2000)
˙Ispat ˙Ispatı, Teorem 3.3.10 ve Teorem 3.3.11’in ispatlarındaki metoda benzer olarak yapılır.
Sonuc. 3.3.13 Bir R halkasının Armendariz oldu˘gunu kabul edelim. (1) R[[x]] p.p halka ise R p.p halkadır.
(2) R[[x]] Baer halka ise R Baer halkadır. (Kim and Lee, 2000)
˙Ispat Lemma 3.3.3’ten R Armendariz oldu˘gundan abelyandır. ¨Onerme 3.3.12’den (1) ve (2)’nin sa˘glandı˘gı a¸cıktır.
Bir halkanın klasik sa˘g kesirler halkasını kullanarak Kim ve Lee 2000’de inmi¸s hal- kalar i¸cin bir karakterizasyon vermi¸slerdir. Huh ve di˘gerleri 2002’de Armendariz halkalar ¨uzerinde bu ifadeyi geni¸sleterek a¸sa˘gıdaki gibi ifade etmi¸slerdir.
Teorem 3.3.14 Bir R halkasının Q(R) klasik sa˘g kesirler halkasının var oldu˘gunu kabul edelim. Bu durumda R’nin Armendariz olması i¸cin gerek ve yeter ko¸sul
Q(R)’nin Armendariz olmasıdır.
˙Ispat ˙Ispatın di˘ger y¨on¨u a¸cık oldu˘gundan R Armendariz iken Q(R)’nin Armendariz oldu˘gunu g¨ostermek yeterlidir. Q(R)[x]’te f (x)g(x) = 0 olacak ¸sekilde f (x) =
∑m i=0αix
i ve g(x) =∑n j=0βjx
j polinomlarını g¨oz ¨on¨une alalım. Q(R); R’nin klasik
sa˘g kesir cismi oldu˘gundan ai, bj ∈ R ve u, v ∈ R reg¨uler elemanlar olmak ¨uzere
her i, j i¸cin αi = aiu−1, βj = bjv−1 bi¸ciminde yazılabilir. Ayrıca her bir j i¸cin
u−1bj = cjw−1 olacak ¸sekilde cj ∈ R ve w ∈ R reg¨uler elemanı vardır. Bu durumda
f1(x) = ∑m i=0aix i ve g 1(x) = ∑n j=0cjx j ∈ R[x] olmak ¨uzere 0 =f (x)g(x) = m ∑ i=0 n ∑ j=0 αiβjxi+j = m ∑ i=0 n ∑ j=0 ai(u−1bj)v−1xi+j = m ∑ i=0 n ∑ j=0 aicj(vw)−1xi+j =f1(x)g1(x)(vw)−1
bulunur. B¨oylece R[x]’te f1(x)g1(x) = 0 olup R Armendariz oldu˘gundan her i, j
i¸cin aicj = 0 bulunur. B¨oylece her i, j i¸cin αiβj = aiu−1bjv−1 = aicjw−1v−1 = 0
olur. Sonu¸c olarak Q(R) Armendariz’dir.
Bu teoremin bir sonucu olarak von Neumann reg¨uler bir halka ¨uzerinde Armendariz olmanın denk ko¸sulları a¸sa˘gıdaki gibi verilebilir.
Sonuc. 3.3.15 R von Neumann reg¨uler bir halka olmak ¨uzere R’nin Q(R) klasik sa˘g kesir halkasının var oldu˘gunu kabul edelim. Bu durumda a¸sa˘gıdaki ifadeler birbirine denktir: (1) R Armendariz’dir. (2) R inmi¸stir. (3) Q(R) inmi¸stir. (4) Q(R) Armendariz’dir. ˙Ispat (3)⇒ (2) ve (4) ⇒ (1) a¸cıktır. (2)⇒ (1) Lemma 3.1.3’ten a¸cıktır.
(3)⇒ (4) (Kim and Lee, 2000)’de ispatlanmı¸stır.
(1)⇒ (3) R Armendariz olsun. Q(R)’nin inmi¸s oldu˘gunu g¨osterelim. Bunun i¸cinde ¨
oncelikle R’nin inmi¸s oldu˘gunu elde etmeliyiz. Onceki bilgilerimizden R abelyan¨ sa˘g p.p halka ise R’nin inmi¸s oldu˘gunu biliyoruz. Bu nedenle ilk olarak R abelyan von Neumann reg¨uler halka iken R’nin abelyan sa˘g p.p halka oldu˘gunu g¨osterirsek
R’ nin inmi¸s oldu˘gunu buluruz. O halde R abelyan von Neumann reg¨uler halka olsun. R’nin abelyan sa˘g p.p halka oldu˘gunu g¨osterelim. R abelyan von Neumann reg¨uler oldugundan a ∈ R i¸cin ara = a olacak ¸sekilde r ∈ R vardır. R’nin sa˘g p.p halka oldugunu g¨ostermek i¸cin a∈ R olmak ¨uzere rR(a) = (1− ra)R olacak ¸sekilde
(1− ra)2 = 1− ra ∈ R e¸skaresi var olmalıdır. (ra ve (1 − ra)’nın e¸skare oldu˘gu a¸cıktır) S¸imdi x ∈ (1−ra)R ise x = (1−ra)r1 olacak ¸sekilde r1 ∈ R vardır. Buradan
ax = a(1− ra)r1 olup ax = ar1− arar1 = ar1− ar1 = 0’dır. Yani x ∈ rR(a) olup
(1− ra)R ⊆ rR(a)’dır. Di˘ger taraftan y ∈ rR(a) alalım. Bu durumda ay = 0’dır.
olarak y ∈ (1 − ra)R olup rR(a) ⊆ (1 − ra)R’dir. Buradan rR(a) = (1− ra)R elde
edilir. Yani R abelyan sa˘g p.p halkadır. Bu nedenle R inmi¸s olup Q(R) inmi¸stir. Anderson ve Camillo 1998’de R sol ve sa˘g Noetherian olan asal bir halka olmak ¨uzere “R’nin Armendariz olması i¸cin gerek ve yeter ko¸sulun R’nin inmi¸s olması” ifadesini ispatlamı¸slardır. Kim ve Lee 2000’de daha zayıf bir ¸sart altında a¸sa˘gıdaki sonucu elde etmi¸slerdir. ¨Oncelikle Goldie halkanın tanımını hatırlatalım.
Tanım 3.3.16 Bir R halkası a¸sa˘gıdaki ¸sartları sa˘glıyorsa sa˘g Goldie halka olarak
adlandırılır.
(i) RR sonlu mertebeye sahiptir.
(ii) R’nin sa˘g sıfırlayanlarının k¨umesi ¨uzerinde artan zincir ko¸sulu (ascending chain condition) sa˘glanır.
Sonuc. 3.3.17 R’nin bir yarıasal sa˘g ve sol Goldie halka oldu˘gunu kabul edelim. Bu durumda R’nin Armendariz olması i¸cin gerek ve yeter ¸sart R’nin inmi¸s olmasıdır. “Bir R halkasının yarıasal sa˘g Goldie halka olması i¸cin gerek ve yeter ko¸sul R’nin yarıbasit Artinian olan klasik sa˘g kesirler halkasının var olmasıdır” ifadesi iyi bilinen bir durumdur. Ayrıca bir yarıasal R halkası i¸cin “R’nin inmi¸s olması i¸cin gerek ve yeter ko¸sul R’nin yarıde˘gi¸smeli olmasıdır”. Bu bilgilerin ı¸sı˘gı altında Armendariz halkaların di˘ger halka sınıflarıyla ili¸skilerini i¸ceren bir karakterizasyonu a¸sa˘gıda ver- ilmi¸stir.
Sonuc. 3.3.18 R bir yarıasal sa˘g Goldie halka olsun. Bu durumda a¸sa˘gıdaki ifadeler birbirine denktir: (1) R Armendariz. (2) R inmi¸s. (3) R yarıde˘gi¸smeli. (4) Q(R) Armendariz. (5) Q(R) inmi¸s.
(6) Q(R) yarıde˘gi¸smeli.
(7) Q(R) b¨ol¨uml¨u halkaların bir sonlu direkt ¸carpımı.
Bir R halkası inmi¸stir ⇔ R[x] inmi¸stir. (Lemma 3.1.8’den a¸cıktır.)
Bir R halkası Armendariz’dir⇔ R[x] Armendariz’dir. (Teorem 3.1.15’ten a¸cıktır.) Bir R halkası abelyandır⇔ R[x] abelyandır (Lemma 3.3.7’den a¸cıktır.)
Bu bilgilerin ı¸sı˘gı altında “Bir R halkası yarıde˘gi¸smelidir ⇔ R[x] yarıde˘gi¸smelidir” olmasından ¸s¨uphe edilebilir. Fakat, Huh ve di˘gerleri 2002’de a¸sa˘gıdaki ¨orne˘gi vererek bu olasılı˘gı ortadan kaldırmı¸slardır.
¨
Ornek 3.3.19 Z2 tam sayıların 2 mod¨ul¨une g¨ore kalan sınıflarının cismi ve Z2
¨
uzerinde de˘gi¸smeli olmayan a0, a1, a2, b0, b1, b2, c bilinmeyenlerine g¨ore sıfır sabit ter-
imli polinomların serbest cebiri A = Z2[a0, a1, a2, b0, b1, b2, c] olsun. r ∈ A ve
r1r2r3r4, r1, r2, r3, r4 ∈ A olmak ¨uzere a0b0, a1b2 + a2b1, a0b1 + a1b0, a0b2 + a1b1 +
a2b0, a2b2, a0rb0, a2rb2, (a0+ a1+ a2)r(b0+ b1+ b2) ile ¨uretilenZ2+ A’nın bir I idealini
g¨oz ¨on¨une alalım. Bu durumda A birimsiz bir halka ve A4 ∈ I’dır. R = (Z
2+ A)/I
olsun. R halkası yarıde˘gi¸smelidir fakat R[x] yarıde˘gi¸smeli de˘gildir.
“Bir R halkası yarıde˘gi¸smelidir⇔ R[x] yarıde˘gi¸smelidir” ifadesinin do˘gru olmadı˘gını yukarıdaki ¨orne˘gi vererek g¨ostermi¸s olduk. Fakat, Rege ve Chhawchharia 1997’de R Armendariz iken bu ifadenin sa˘glandı˘gını a¸sa˘gıdaki gibi ispatlamı¸slardır.
¨
Onerme 3.3.20 R Armendariz bir halka olsun. R’nin yarıde˘gi¸smeli olması i¸cin gerek ve yeter ko¸sul R[x]’in yarıde˘gi¸smeli olmasıdır.
˙Ispat R halkası bir Armendariz halka olsun. R’nin yarıde˘gi¸smeli oldu˘gunu kabul edelim. R[x]’in yarıde˘gi¸smeli oldu˘gunu g¨osterelim. Bunun i¸cin f (x), g(x) ∈ R[x] i¸cin f (x)g(x) = 0 olsun. R Armendariz oldu˘gundan f ’nin katsayıları g’nin kat- sayılarını sıfırlar yani her i, j i¸cin aibj = 0’dır. R yarıde˘gi¸smeli oldu˘gundan aiRbj = 0
olur. Bu durumda f (x)R[x]g(x) = 0 olup R[x] yarıde˘gi¸smeli bulunur. Tersine R[x] yarıde˘gi¸smeli olsun. Yarıde˘gi¸smeli halkaların alt halkaları da yarıde˘gi¸smeli (Huh et al. 2002) oldu˘gundan R’nin yarıde˘gi¸smeli oldu˘gu a¸cıktır.
Ayrıca terslenebilir halkalar i¸cin de benzer bir sonucu Kim ve Lee 2003’te a¸sa˘gıdaki gibi vermi¸slerdir.
¨
Onerme 3.3.21 R Armendariz bir halka olsun. R’nin terslenebilir olması i¸cin
gerek ve yeter ko¸sul R[x]’in terslenebilir olmasıdır.
˙Ispat R halkası Armendariz bir halka olsun. R’nin terslenebilir oldu˘gunu kabul edelim. R[x]’in terslenebilir oldu˘gunu g¨osterelim. Bunun i¸cin f (x), g(x)∈ R[x] i¸cin
f (x)g(x) = 0 olsun. R Armendariz oldu˘gundan f ’nin katsayıları g’nin katsayılarını sıfırlar yani her i, j i¸cin aibj = 0’dır. R terslenebilir oldu˘gundan bjai = 0 olur. Bu
durumda g(x)f (x) = 0 olup R[x] terslenebilir bulunur. Tersine R[x] terslenebilir olsun. Terslenebilir halkaların alt halkaları da terslenebilir (Kim and Lee, 2003) oldu˘gundan R’nin terslenebilir oldu˘gu a¸cıktır.
4
KAYNAKLAR
Anderson, D. D. and Camillo, V. (1998). Armendariz rings and Gaussian rings.
Communications in Algebra, 26: 2265-2272.
Anderson, D. D. and Camillo, V. (1999). Semi groups and rings whose zero products commute. Communications in Algebra, 27: 2847-2852.
Armendariz, E. P. (1974). A note on extensions of Baer and p.p rings. Mathematical
Society, 18: 470-473.
Goodearl, K. R. (1991). Von Neumann Regular rings. Krieger Publishing Co. Second Edition, Malabar, Florida.
Huh, C.,Lee, Y. and Smoktunowicz, A. (2002). Armendariz rings and semicommu- tative rings. Communications in Algebra, 30(2): 751-761.
Hungerford, T. W. (1973). Graduate Texts in Mathematics. Springer-Verlag, Hong, C. Y., Kim, N. K. and Kwak, T. K. (2000). Ore extensions of Baer and p.p
rings. Journal Pure and Applied Algebra, 151 (3): 215-226.
Hong, C.Y., Kim, N. K. and Kwak, T. K. (2005). Extensions of generalized reduced rings. Algebra Colloquium, 12(2): 229-240.
Kim, N. K. and Lee, Y. (2000). Armendariz rings and reduced rings. Journal of
Algebra, 223: 477–488.
Kim, N. K. and Lee, Y. (2003). Extensions of reversible rings. Journal of Pure and
Applied Algebra, 185: 207-223.
Krempa, J. (1996). Some examples of reduced rings. Algebra Colloquium, 3(4): 289-300.
Lee, T. K. and Zhou, Y. (2004) Armendariz and reduced rings. Communications in
Lee, T. S. and Wong, T. L. (2003). On Armendariz rings. Houston Journal of
Mathematics, 29 (3): 583-593.
Lee, Y., Kim, N. K. and Hong, C. Y. (1997). Counterexamples on Baer rings.
Communications in Algebra, 25: 497-507.
Lee, Y. and Huh, C. (1998). Counterexamples on p.p rings. Kyungpook Mathematical
Journal, 38: 421-427.
Rege, M. B. and Chhawchharria, S. (1997). Armendariz rings. Procedings of the
¨
OZGEC¸ M˙IS¸
Adı Soyadı : Beg¨um Hi¸cyılmazDo˘gum Yeri ve Tarihi : Afyonkarahisar, 05/07/1989 Yabancı Dili : ˙Ingilizce
˙Ileti¸sim (Tel/e-posta) : 0 555 362 33 90, bgmhcylmz@hotmail.com
E˘gitim Durumu
Lise : Afyon Kocatepe Anadolu Lisesi, 2003–2007 Lisans : Afyon Kocatepe ¨Universitesi, 2007–2011 Y¨uksek Lisans : Afyon Kocatepe ¨Universitesi, 2011–2013