ARCH (Ardışık Bağımlı Koşullu Farklı Varyans) Modeli

Engle (1982), Đngiltere’nin enflasyon verilerini inceleyerek hata teriminin varyansının sabit olmadığını göstermiştir. Đlk defa bir serinin eş-anlı olarak varyans ve ortalamasını modellemeyi ortaya koyan Engle (1982)’ın çalışması “ARCH modeli” olarak finansal ekonometri yazınına girmiştir. Engle (1982), geçmiş dönem hata terimlerinin fonksiyonu olan koşullu varyansın zaman içinde değiştiğini (conditional heteroscedasticity), koşulsuz varyansın ise sabit olduğunu (unconditional homoscedasticity) ileri sürmektedir. Bu çalışmayla başlayan yazının temel özelliği, varyansın sabit olmadığı zaman serilerinde durağanlığı sağlamak için üssel dönüştürme tekniklerine gerek kalmamasıdır(Bollerslev, 1986: 307-308; Harris ve Sollis, 2003: 215) 140.

139

ARCH modelinin, “Ardışık Bağımlı Koşullu Farklı Varyans” olarak ifade edilmesinin nedeni, finansal zaman serilerinin hem dönemler arası bağımlılık hem de koşullu farklı varyans özelliğini dikkate almasıdır(Aydın ve Özcan, 2005: 84).

140

Üssel dönüştürme tekniklerinden biri olan “üssel ağırlıklı hareketli ortalamalar modeli (exponentially weighted moving average models)”, “tarihsel oynaklık” öngörülmesinin genişletilmiş şeklidir. Ancak, bu modelde, güçlü bir oynaklık öngörülmesi yapmak amacıyla son dönemdeki gözlemlerin ağırlığı daha fazladır. Dolayısıyla, oynaklık daha çok son dönemdeki olaylardan

167 Zaman serilerinde yüksek frekanslılığa bağlı olarak ortaya çıkan “oynaklığın ölçülmesi” gereksinimi doğrusal olmayan ARCH modellerinin kullanımının artmasına neden olmuştur. Alınan gecikme uzunluğuna bağlı olarak ortaya çıkan şoklar, dönemin varyansını ya da gecikme uzunluğunda oynaklığı arttırıcı etkide bulunmaktadır. ARCH modeli ile serilerde meydana gelecek şok niteliğindeki bir değişmenin (hata teriminin karesi), oynaklık (koşullu varyans) üzerinde yaratacağı etkiyi saptamak olanaklıdır(Patterson, 2000: 708).

Engle (1982) metodolojisini anlayabilmek için ARMA (otoregresif hareketli ortalama) modelinden hareket ederek birinci-derece ardışık bağımlı süreci AR(1) değerlendirmek gerekir(Engle, 1982: 987-989);

yt = γyt-1 + εt (3)

3. denklemde, εt, varyansı V(εt)=σ 2 olan beyaz gürültü hata terimidir. yt nin koşulsuz ortalaması sıfır, koşullu ortalaması γ yt-1’dir. yt nin koşulsuz varyansı σ 2 / 1-

γ2_{, koşullu varyansı ise σ} 2 _{dir. Farklı varyansın, ardışık bağımlı bir süreç olmasının} nedeni, yt nin geçmiş değerlerine bağlı ya da “koşullu” olmasıdır(Patterson, 2000: 711).

Farklı varyansın geleneksel yaklaşımı, varyansı öngören bir xt dışsal değişkeni ileri sürmektedir. Buna göre, sıfır ortalama ile model yt = εt xt-1 şeklinde yazılabilir. εt’nin varyansı V(εt)=σ

2_{, y}

t’nin varyansı σ 2x2t-1’dir. Yetersiz gibi görünen bu çözüm, hem koşullu ortalamaların hem de varyansların birlikte zamana göre değişebileceğini göz önünde bulundurmak yerine, varyansın değişme nedenlerinin bir özelliği olarak algılanır. Belki de bu sorun nedeniyle farklı varyans sorunu zaman serisi analizlerinde çok az rastlanan bir durumdur(Engle, 1982: 988). Bilindiği gibi, “otokorelasyon” zaman serilerinin, “farklı varyans” ise yatay kesit verilerinin sorunu olarak ortaya çıkmaktadır.

Değişen varyansın, yt nin geçmiş değerlerine bağlı olduğunu aşağıdaki model ile gösterilmektedir(Engle, 1982: 988-989);

etkilenmektedir. Geçmiş gözlemlere gidildikçe belirli bir olayın oynaklık üzerindeki etkisi üssel oranda azalmaktadır(Brooks, 2002: 442).

168

yt = εt h1t/2 (4)

ht= α0 + α1 y2t-1 (5)

Burada, V(εt)=1’dir ve ht, öngörülen hata terimlerinin koşullu varyansıdır. yt- 1 nin büyük değerler (pozitif veya negatif) alması, yt nin büyük varyans değerlerine sahip olmasına yol açar. Diyelim ki, yt enflasyon olsun. Bu durumda ARCH(1) süreci, son dönemdeki yüksek enflasyonun, enflasyonda yüksek varyansa yol açtığını belirtmektedir. Bu örnek, Ardışık Bağımlı Koşullu Farklı Varyans(ARCH) modelidir(Patterson, 2000: 711). ARCH modeli, tam olarak ikili doğrusal model olmasa da, 1’e çok yakındır. Normallik varsayımını ekleyerek, t zamanındaki bilgi seti olan ψ t’ye dayanarak doğrudan bir şekilde ifade edilebilir. Koşullu yoğunluklar kullanılarak,

yt / ψ t-1 N (0, ht) (6)

ht= α0 + α1 y2t-1 (7) elde edilir. Varyans fonksiyonu daha genel olarak şu şekilde ifade edilebilir;

ht= h (yt-1, yt-2,……,yt-q,α ) (8)

Burada, ψ t-1, t-1 dönemindeki bilgi seti; q, ARCH sürecinin derecesi; α ise bilinmeyen parametrelerin vektörüdür.

ARCH regresyon modeli, yt nin ortalamasının, β bilinmeyen parametreler vektörü ile ψ t-1 bilgi setinde yer alan gecikmeli dışsal ve içsel değişkenlerin doğrusal birleşmesi olan xtβ olduğu varsayılarak elde edilmektedir.

yt / ψ t-1 N (xtβ , ht) (9)

ht= h (εt-1, εt-2,……….εt-q,α) (10)

169 olmaktadır. Varyans (h ) fonksiyonu, bilgi setinde de yer alan x’in şimdiki ve

gecikmeli değerlerini içerecek şekilde genelleştirildiğinde şu biçimde yazılabilir;

ht= hε(εt-1, εt-2,……….,ε t-q,α ) hx(xt,…………, xt-q) (12) ARCH modelinin işleyişi ise, aşağıdaki şekilde ele alınabilir. Örneğin, k değişkenli bir regresyon modelini ele alalım(Brooks, 2002: 447);

Yt = β1 + β2X2t + ...+ βkXkt + εt (13) 13. denklemde, (t-1) döneminde şartlı bilgi elde edilebildiği varsayımı altında hata terimi; εt~ N[0, (α0 + α1ε2t-1)] yani εt, sıfır ortalama, (α0 + α1ε2t-1) varyansla normal dağılmaktadır. Hata teriminin sıfır ortalamaya sahip olması klasik en küçük kareler yönteminin varsayımlarından biri iken, hata teriminin t dönemindeki varyansının, (t- 1) dönemindeki hata teriminin karesinin bir fonksiyonu olarak ele alınması ARCH modelinin getirdiği bir yeniliktir. Bir başka deyişle, ARCH modelinde koşullu varyans, hata terimlerinin karelerinin gecikmeli değerlerinin fonksiyonu olarak ifade edilmektedir. ε2

t nin, kendi gecikmiş değerlerinin modele katılmasıyla t dönemindeki hata teriminin koşullu varyansı

ht = σt2 = α0 + α1 ε2t−₁ (14)

şeklinde ifade edilir ve bu süreç, ARCH(1) süreci olarak adlandırılmaktadır. Burada, koşullu varyans, hata teriminin karesinin sadece bir gecikmeli değerine bağlıdır. t-1 döneminde meydana gelen büyük bir şok, t döneminde büyük değerde bir (koşullu) varyansa neden olmaktadır. Bunu genelleştirerek ARCH (q) sürecini şu şekilde ifade edebiliriz. ε α ε α α σ ε 2 2 1 1 0 2 _... ) ( _{t t} h_{t t q t q} Var = = = + − + − = α α ε2 1 0 t i q i i − = ∑ + (15)

170 15. denklemde hata teriminin koşullu varyansı (ht), εt2−1’in gerçekleşen değerine

bağlıdır. ε2 1 −

t ’in gerçekleşen değeri yüksek ise, t dönemindeki koşullu varyans yüksek olacaktır. Başka bir deyişle, denklemde katsayılara bir sınırlama getirilmiştir ve koşullu varyans denklemindeki parametreler kesinlikle negatif olamaz. Çünkü, negatif değere sahip bir koşullu varyans öngörümlemesi anlamsız olur. Bu nedenle,

0

0〉

α ve αi〉0olmaktadır. Sonuç olarak, ARCH(q) modelinde ardışık bağımlı sürecin istikrarı ya da ARCH sürecinin durağanlığının sağlanması için tüm katsayıların sıfırdan büyük ve sabit terim dışında parametrelerin toplamlarının birden küçük (0〈α i〈1) olması beklenir(Brooks, 2002: 448; Kutlar, 2000: 110-111).

Öngörülen modelin hata teriminde “ARCH etkisi”nin olduğunu test etmek için kurulan hipotez şu şekildedir(Brooks, 2002; 449);

H0 : α1=α2= ……αq =0

H1 : α1 ≠0 veya α2≠0 veya...αq≠0 [H1 : en az bir αi 〉 0 i=1,2,…,q]

Bütün α değerlerinin (α 1……α q) sıfıra eşit olduğu dolayısıyla, hata terimleri arasında korelasyon ilişkisinin bulunmadığını gösteren sıfır hipotezi, ARCH etkisinin bulunmadığını yani, değişen varyansın olmadığını göstermektedir. Bu regresyonun açıklama gücü düşük olacağı için belirlilik katsayısı olan R2 oldukça düşük çıkacaktır. Öte yandan, bütün α değerleri sıfırdan farklı ise, H0 hipotezi reddedilir ve ARCH etkisinin bulunduğu dolayısıyla farklı varyansın olduğu sonucuna ulaşılır.

ARCH modeli, doğrusal olmayan bir model olduğu için parametrelerin tahminlenmesinde “en çok olabilirlik (maximum likelihood-ML)” yöntemi kullanılmaktadır. Bu yöntem, ortalama ve varyansı birlikte modelleme olanağı vermektedir. Dolayısıyla, ML yöntemi asimtotik olarak daha üstündür, yani öngörümleyecisi doğrusal olmayan bu yöntem kullanılarak ARCH modelinin hata terimlerine sahip bir doğrusal regresyon modelinin daha etkin öngörümlemeler vereceği kabul edilmektedir(Engle, 1982: 995; Harris ve Sollis, 2003: 225). Bu

171 öngörümleme yöntemiyle en uygun katsayı değerleri, log-olabilirlik fonksiyonunun maximizasyonu ile bulunur. “ARCH etkisi”nin olup olmadığına, (p+q) serbestlik dereceli _χ2 _{dağılımına sahip olabilirlik oranı (LR) kullanılarak karar verilir.}

Çalışmada, 2

~ ) (

2 L_R L_{U p q}

LR=− − χ ₊ kullanılarak en uygun oynaklık modelleri

seçilmiştir(Brooks, 2002: 492)141.

Öngörümlenen hata terimlerinin ARCH etkisi gösterip göstermediğinin belirlenmesinde kullanılan bir başka yöntem, LM (Lagrange Çarpanı) testidir. LM testinin amacı, hata terimlerinin karelerinin geçmiş değerleri arasında bir ilişki bulunup bulunmadığı test etmektir. TR2 şeklinde hesaplanan LM test istatistiğini bulmak için, belirlilik katsayısı (R2) ile gözlem sayısı (T) çarpılır. LM test istatistiğinin ki-kare dağılıma [xq2] sahip olduğu varsayıldığı için, P-serbestlik dereceli ki-kare dağılımının tablo değeri ile karşılaştırılarak karar verilir. TR2 değeri p-serbestlik derecesinde tablo değerinden büyük ise, ARCH etkisinin olmadığını gösteren sıfır hipotezi reddedilir ve ARCH etkisinin bulunduğuna karar verilir. Öte yandan, TR2 yeterince düşük ise, ARCH etkisinin olmadığı sonucuna ulaşılır (Enders, 1995: 148-149; Harris ve Sollis, 2003: 228; Patterson, 2000: 721).

3.2.2.2. GARCH (Genelleştirilmiş ARCH) Modeli

ARCH modelinin uygulamasında, koşullu varyans denkleminde uzun gecikme yapılarının modelde kullanılmasından kaynaklanan bazı sorunlarla karşılaşılmaktadır. Bu nedenle, koşullu varyans denklemindeki parametrelere bazı kısıtlar konulmuştur. Bunlardan en belirgini, hata terimi parametrelerinin artı değer alma kısıtının sağlanmasına yöneliktir. Öte yandan, eksi değerdeki varyans parametresi öngörümleyicileri ile ilgili sorunlardan kaçınmak amacıyla sabit gecikme yapısı ileri sürülmüştür. Bu kısıtların sağlanamaması ve eksi değerdeki varyanslı parametre öngörülerine ulaşılması sakıncasını gidermek amacıyla Bollerslev (1986), ARCH modelini genişleterek, hem daha fazla geçmiş bilgiye dayanan hem de daha esnek bir gecikme yapısına sahip olan bir model geliştirmiştir. Söz konusu model,

141

U RveL

172 ARCH modeline bir alternatif olmaktan çok ARCH modelinin eksikliklerini

gidermeyi amaçladığı için “Genelleştirilmiş ARCH (GARCH)” olarak

adlandırılmaktadır(Bollerslev, 1986: 307-308).

ARCH modelinin gecikme uzunluğunun ortaya çıkardığı olumsuzluklar, GARCH modelinin gecikmeleriyle azaldığı için daha etkin sonuçlar vermektedir. GARCH modelinin, ARCH modelinden tek farkı, koşullu varyansın gecikmeli değerinin değişken olarak modele eklenmesidir. Başka bir deyişle, ARCH(p) sürecinde koşullu varyans, sadece geçmiş örneklem varyanslarının doğrusal bir fonksiyonu iken, GARCH(p,q) süreci, gecikmeli koşullu varyansların modele eklenmesine izin vermektedir.

εt , kesikli-zaman stokastik süreci ve ψ t , t zamanı boyunca varolan tüm bilgilerin oluşturduğu bilgi seti olmak üzere; koşullu varyansın, ε2

t ve htnin gecikmeli değerlerinin bir fonksiyonu olduğu GARCH(p,q) süreci, aşağıdaki şekilde belirtilebilir(Bollerslev, 1986: 309-311) ; ε t /ψ t-1 N (0, ht) h h ht=α0+α1εt2−1+...αqε2t−q+β1 t−1+...βp t−p ya da = _{ht j} p j j i t q i= i − ∑= − + ∑ + 1 2 1 0 α ε β α (16)

ya da gecikme operatörünü (L) kullanarak,

= α0 + A(L) εt2 + B(L) ht (17)

16. denklemde, aşağıda belirtilen yeterli koşullar sağlanmalıdır (Bollerslev’s conditions);

173 0 〉 q , p≥0 0 0〉 α , αi≥0 i=1,….,q 0 ≥ β_j j=1,….,p

GARCH(p,q) modelinde p, GARCH terimindeki gecikmeleri; q ise, ARCH terimindeki gecikmeleri belirtmektedir. Đyi tanımlanmış bir GARCH(p,q) sürecini elde edebilmek için, koşullu varyans (ht) denklemindeki parametrelerin artı değerlere sahip olması gerekir. Ayrıca, α₁+β₁〈1 koşulu sağlanmalıdır. Bu koşul, GARCH sürecinde hata teriminin zayıf durağan olduğunu göstermektedir.

GARCH modeli, doğrusal olmayan bir model olduğu için maximum olabilirlik yöntemi ile öngörülmektedir. “GARCH etkisi”nin olup olmadığına ise, Log Olabilirlik Değeri ya da (p+q) serbestlik dereceli _χ2 _{dağılımına sahip LM test}

istatistiği ( 2

TR ) kullanılarak karar verilir. Dolayısıyla, log-olabilirlik oranı ya da LM

testi, ARCH modelinin yanı sıra, GARCH modelinin test edilmesinde de kullanılmaktadır. ARCH modeli için kurulan hipotez göz önüne alınarak, GARCH(p,q) modeli için kurulacak hipotezler şu şekilde belirtilmektedir;

0 ... ... : _{1 1} 0 α = αq=β = βp= H 0 ... ... 0 , 0 ... ... 0 : _{1 1} 1 α ≠ veya αq≠ β ≠ veya βp≠ H [H1 : en az bir αi 〉0, βj 〉 0 i=1,2,…,q ve j=1,2,…,p]

Sonuç olarak, oynaklık modelinin seçim aşamasında GARCH(p,q) modelinde p ve q’nın düşük değerlere sahip olması, yüksek dereceli ARCH(q) modeline göre tercih edilen bir durumdur. Örneğin, GARCH(1,1) modeli, ARCH(6) modeline tercih edilir(Harris ve Sollis, 2003: 221-231).