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Lógicas e linguagens lógicas são desenvolvidas para fins específicos e com características, capacidades e limitações distintas. O conhecimento da conformação dessas lógicas e linguagens a determinados critérios propiciam-nos o conhecimento de garantias formais que nos serão exigidas conforme as necessidades de nosso domínio de aplicação e das soluções almejadas.

De um lado, diz-se que os requisitos de completude, juntamente com os requisitos de consistência e de decidibilidade constituem os requisitos fundamentais dos cálculos lógicos. De outro lado, a capacidade de expressividade é uma necessidade crescente dos sistemas formais, principalmente, em vista de aplicações em domínio de linguagem natural como o da Web Semântica.

Para compreender o alcance das lógicas, suas linguagens derivadas, e termos condições de avaliá-las melhor, apresentamos abaixo algumas considerações sobre critérios que sempre são levados em conta na apreciação e comparação dessas lógicas e linguagens.

Decidibilidade

Grosso modo, e para nossos fins, definimos decidibilidade como a capacidade da lógica, ou linguagem lógica derivar algoritmos que tenham fim. Isto é, dizer que uma linguagem é decidível é dizer que um programa implementado com base nessa linguagem não levará a uma condição de loop infinito.

Numa formulação mais rigorosa:

“Uma frase ou fórmula bem-formada de uma teoria ou sistema formal é decidível se existe um algoritmo que permita determinar se a frase ou fórmula é um teorema do sistema; caso contrário, é indecidível. E uma teoria ou sistema formal é decidível se qualquer frase ou fórmula bem- formada do sistema for decidível.”

“O sistema da lógica proposicional clássica é decidível; mas, pelo Teorema da Indecidibilidade de Church, A lógica n-ádica de predicados é indecidível.” (BRANQUINHO et al., 2006, p. 228.)

Ainda em outras palavras, e em nosso contexto, o que a questão da decidibilidade nos impõe é o seguinte. Dado um conjunto de proposições envolvendo componentes conhecidos (classes, propriedades e instâncias) existirá algum algoritmo que permita saber, para qualquer proposição do conjunto e no fim de certo número finito de passos o valor de verdade atribuído à proposição?

Completude

A completude de uma lógica, ou linguagem lógica diz respeito à capacidade do sistema de derivar novas proposições, ou consequências válidas. Se um fato é consequência lógica de um conjunto de premissas, pode-se encontrar uma prova para este fato no sistema formal. O sentido desse termo fica mais bem esclarecido na seguinte definição:

Intuitivamente, um sistema lógico é completo se tudo o que queremos derivar é derivável nele. Assim, uma formalização lógica é completa se todas as formas válidas de argumento são deriváveis no sistema; um sistema concebido para codificar o raciocínio matemático é completo se todas as verdades matemáticas podem ser nele derivadas, e assim por diante. Apesar de, explicada nesses termos, a noção parecer completamente informal, é possível defini-la com mais precisão. Um sistema de lógica é completo no sentido introduzido por Gödel se e somente se todas as fórmulas válidas bem-formadas são teoremas do sistema. Num sentido mais nítido, um sistema é completo se, para qualquer fórmula bem- formada A, ou A é um teorema, ou o sistema se tornaria inconsistente se A lhe fosse acrescentado como axioma. (BLACKBURN, 1997, p. 64)

Consistência

Uma lógica, ou linguagem lógica é consistente se todas as proposições que ela permite são simultaneamente verdadeiras. Por exemplo, não é permitido que p e ¬p (não p) sejam simultaneamente verdadeiras. Além disso, todas suas fórmulas-bem- formadas são demonstráveis (BLACKBURN, 1997, p. 73). Ou seja, o resultado de uma prova é consequência lógica das premissas.

Expressividade

A expressividade de uma lógica, ou linguagem lógica é a sua capacidade de expressar, isto é, sua capacidade de construir formalizações com significação. Uma expressão é uma formalização constituída por signos onde os signos não

meramente indicam, mas possuem efetivamente uma função significativa (HUSSERL, Investigações Lógicas, Investigação Primeira, Cap. I, § 1, apud MORA, Tomo II, p. 978).

As linguagens terão que se haver com a capacidade de expressar conceitos aparentemente simples como uma classe, ou relação de parentesco como “tio”, expressar o significado de expressões facilmente compreensíveis para nós tais como “Sócrates é corajoso” ou, ainda, restrições de escalabilidade, etc.56

Entretanto, como indicaremos, tal tarefa não é tão simples do ponto de vista lógico e de sistemas formais. Também não é tão simples do ponto de vista ontológico. Um bom exemplo dessas dificuldades expressivas pode ser vislumbrada em detalhes no artigo recém-publicado A Better Uncle For OWL (KRÖTZSCH et al., 2011), onde os autores mostram como a relação parental “tio” que não podia ser expressa em OWL 1, passa a ser expressa em OWL 2.

Depois da publicação da Recomendação W3C de 2004 para a Web

Ontology Language OWL57, discussão do problema centrado sobre a “regra tio”

irmaoDe(x,y) _{∧ parenteDe(y,z) tioDe(x,y)}

que é fácil de estabelecer usando uma regra de linguagem simples como

Datalog, mas não pode ser modelada no todo na versão da OWL de 2004. A partir da perspectiva do critério de projeto da OWL, uma dificuldade central é a que leva a raciocínios indecidíveis no resultado de uma linguagem combinada.

Subsequentemente, um trabalho significativo foi desenvolvido, investigando a integração de lógicas descritivas (LDs), que formam a base para a OWL, e linguagens de regra (tipicamente Datalog). Conceitualmente, podem-se distinguir duas abordagens.

De um lado, lógicas descritivas têm sido estendidas com características expressivas adicionais ao estilo de lógica descritiva, que tem tornado possível expressar certos tipos de regras. OWL 2, a revisão da recomendação W3C da OWL, de fato pode expressar a “regra tio” mencionada acima. Pela combinação de novos dispositivos da OWL 2 muitas regras com um “corpo em formato de árvore” pode ser expressa indiretamente. Decidibilidade é, não obstante, preservada. Muitas regras, entretanto, tais como

temPais(x,y) _{∧ temPai(x,z) ∧ casado(y,z) C(x)}

56 _{Vide artigo de Ian Horrocks. OWL Rules, OK?. Disponível em: <http://www.w3.org/2004/12/rules-}

ws/paper/42/>. Acessado em 01-02-2012.

que define uma classe C de crianças cujos pais são casados, ainda não são expressáveis.(KRÖTZSCH et al., 2011)

No nosso escopo, veremos que as abordagens clássicas sejam em lógica, ou linguagens lógicas, não possuem a capacidade de expressar modalidade, incerteza, imprecisão, ambiguidade, indeterminação, inexatidão, vaguidade; escalabilidade, ou não monotonicidade.

Balanceamento entre critérios

Alguns critérios de conformidade apresentam-nos como se fossem autoexcludentes, exigindo um balanceamento entre eles de modo a preservar um nível de satisfação com o resultado pretendido.

A história da lógica e da matemática ao longo do século XIX, e primeira metade do século XX, mostrou-nos como as aspirações ambiciosas dessas áreas foram repetidamente solapadas pela demonstração da impossibilidade de se constituir a partir delas sistemas formais rigorosamente completos, decidíveis, ou consistentes. Primeiro, houve o naufrágio do projeto logicista de Whitehead e Russel, inspirados nos esforços de Frege de reduzir a lógica à aritmética, depois, o constrangimento gerado por Gödel ao demonstrar a insubstância de fundamentação no seio da própria matemática, mais precisamente da lógica-matemática. Por fim, a demonstração independente, por parte de Alonzo Church e Alan Turing de que, nem mesmo no cálculo quantificacional elementar, não se pode elaborar nenhum procedimento de decisão.

Assim, do ponto de vista estrito do rigor lógico-matemático, não podemos contar com lógicas e linguagens que consigam, ao mesmo tempo, serem rigorosamente completas, consistentes e decidíveis.

Deveremos contentar-nos em termos uma lógica e uma linguagem que atenda satisfatoriamente às nossas necessidades específicas, mas sabendo que a ênfase dada a um critério, frequentemente, será construída em detrimento de outro critério. Frequentemente, também teremos de abrir mão da capacidade de expressividade de uma linguagem em prol de sua decidibilidade, ou vice-versa. Veremos adiante,

por exemplo, como a extensão de ontologias formais com base em linguagens de marcação de regras afeta a decidibilidade lógica, impondo a adição de novas restrições para suplantar a possibilidade de um algoritmo levar a uma computação infinita.