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Uma lei constitutiva estabelece relações entre as forças internas de contato (ten- sões) e as mudanças de forma do corpo (deformações) (PASCON, 2012). Em materiais perfeitamente elásticos, o estado de tensões independe do histórico de deformações, logo, um campo tensorial de tensões σ pode ser expresso em função de um campo de defor- mações (F) através de uma função resposta tensorial g de valores tensoriais a valores tensoriais (σ = g(F)). A objetividade da função resposta g (invariância das propriedades do material com as mudanças de observador) é imposta através da seguinte igualdade g(F+) = Qg(F)QT = g(QF), a partir de onde se conclui utilizando o teorema da de- composição polar (F = RU), que σ = Rg(U)RT_{. Isso quer dizer que a função resposta}

independe da parcela rotacional de F.

Segundo (HOLZAPFEL,2000), Rivilin e Ericksen estabeleceram em 1955 que a resposta de qualquer material elástico e isotrópico pode ser representada através de uma função resposta g de 3 parâmetros (α0, α1, α2) escrita apenas em função do alongamento

à esquerda de Cauchy-Green b:

σ = α_{0I + α1b + α2b}2 (3.53)

Onde α0, α1 e α2 são escalares dados em função dos invariantes do tensor de

alongamento à esquerda de Cauchy-Green b (ex: α0 = α0(I1, I2, I3)).

Utilizando equações de equilíbrio em tensões combinadas com algumas equações obtidas através do princípio da mínima energia potencial total (trabalhos virtuais) e, embora utilizando outras medidas de deformação e tensão, Novozhilov (1953) também conclui que o estado de tensões de um material isotrópico com forças não conservativas desprezíveis com relação às forças conservativas está completamente definido a partir de

uma função que utiliza apenas 3 escalares escritos em função dos invariantes da deformação (assim como α0, α1, α2).

Da mesma forma que naEquação 3.53, Novozhilov (1953) também concluiu que essa função pode ser escrita em função de um tensor unitário (assim como I), um tensor com combinações lineares das deformações (assim como b) e um tensor com combinações quadráticas das deformações (assim como b2₎

A estratégia de caracterização do material através de uma função resposta é conhecida como elasticidade de Cauchy (OGDEN, 1997). Ao invés de utilizar uma função resposta, a hiperelasticidade ou elasticidade de Green admite a existência de uma energia de deformação ue por unidade de volume associada à energia interna do material, função

apenas do nível de deformações (F). É a partir dessa energia específica de deformação que se derivam as tensões.

Considerando agora que durante o processo de carregamento a estrutura se movi- menta, as cargas externas aplicadas devem então produzir um trabalho decorrente de seus respectivos deslocamentos igual ao produto de cada força pelo correspondente deslocamento de seu ponto de aplicação. Esse trabalho produzido pelas forças externas é transferido à estrutura e se acumula na forma de energia específica de deformação ou trabalho das “forças internas”.

Matematicamente e em sistemas conservativos, isto quer dizer que um incremento de trabalho das forças externas deve ser igual ao incremento de trabalho das forças internas. Esse trabalho das forças internas ou energia específica de deformação constitui um dos pontos chave nas formulações em elementos finitos tanto em análises não lineares como lineares, pois a energia específica de deformação é um termo presente na maioria das formulações em elementos finitos através de equações do tipo da Equação 3.102. A hiperelasticidade é uma área da elasticidade não linear que procura justamente identificar formas de calcular essa energia específica de deformação.

Assumindo que a energia de deformação armazenada seja totalmente recuperável (material perfeitamente elástico), a hiperelasticidade permite descrever um comportamento puramente elástico através de uma relação entre tensões e deformações por meio das chamadas leis constitutivas hiperelásticas. Os modelos hiperelásticos, além de permitirem considerar uma relação não linear entre tensão e deformação, podem também manifestar grandes deformações elásticas, uma vez que adotam medidas de tensão de deformação adequadas (S, P, F, C, E...). Aqui o prefixo “hiper-” reforça justamente a ideia de comportamento puramente elástico mesmo em regime de grandes deformações (>400 %).

A partir dessa energia de deformação e utilizando a hipótese de material perfeita- mente elástico, estabelece-se a partir da 2a _{lei da termodinâmica uma relação entre uma}

deformação ue associada à energia interna do material:

P = ∂ue

∂F e S =

∂ue

∂E (3.54)

Na Equação 3.54, tem-se que o 1o _{tensor de tensões de Piola-Kirchhoff P é o}

conjugado energético do gradiente da função mudança de configuração F. Por sua vez, o 2o _{tensor de tensões de Piola-Kirchhoff S é o conjugado energético da deformação de}

Green-Lagrange E. Assim, estando a deformação de Green-Lagrange e o 2o _{tensor de}

Piola-Kirchhoff combinados dentro de uma mesma grandeza denominada energia específica de deformação, é possível derivar uma função escalar energia específica de deformação qualquer em relação ao campo tensorial de deformações ou de tensões e obter uma relação explícita entre a tensão e a deformação. A essa relação é dado o nome de lei constitutiva (CODA,2003). Essa função energia específica de deformação, no entanto, deve obedecer a

alguns critérios, sendo eles:

• Normalização:7 _{A energia na condição de referência deve ser zero (F = I), isto é,}

não deve haver tensão residual.

ue(I) = 0 (3.55)

• Deve ser sempre positiva: Deformações introduzem sempre uma quantidade positiva de energia.

ue(F) ≥ 0 (3.56)

Assim, o mínimo da função energia específica de deformação deve ser zero na condição de referência (Equação 3.55), não existindo também nenhum outro mínimo local. • Policonvexidade: garante a existência de mínimos globais, hipótese essa utilizada

na teoria das soluções. Segundo Chagnon, Rebouah e Favier(2015) a policonvexidade está garantida se:

∂ue ∂Ii >0 e  ∂ue ∂Ii∂Ij 

positivo definido para i,j = 1,2 (3.57) • Condição de crescimento: Deve ser necessária uma quantidade infinita de energia tanto para expandir o material ao infinito (det(F) → +∞) quanto para reduzi-lo a um ponto sem volume (degeneração det(F) → 0+_{). Esse critério é especialmente}

interessante em análises envolvendo grandes deformações.    ue(F) → +∞ quando det(F) → +∞ ue(F) → +∞ quando det(F) → 0+ (3.58)

• Objetividade: a energia de deformação deve ser independente de mudanças de observador, ou seja, vários observadores diferentes devem ser capazes de medir a mesma energia de deformação. Impondo a objetividade da energia específica de deformação ue da mesma forma que anteriormente para a função resposta g, tem-

se que ue(F+) = ue(QF), a partir de onde se conclui, utilizando o teorema da

decomposição polar (F = RU), que ue(F) = ue(U). Isso quer dizer que a energia

específica de deformação independe da parcela rotacional de F, e que, portanto, a energia de deformação pode ser também escrita tanto em função do tensor de alongamento à direita de Cauchy-Green C quanto em função da deformação de Green-Lagrange E. Por fim, conclui-se então que se a energia específica ue estiver

escrita em função de E ou C (que são objetivos), a função energia de deformação ue

é objetiva.

• Isotropia: Enquanto que objetividade da função energia específica de deformação é uma condição nescessária e obrigatória que deve ser obedecida pela função energia de deformação ue, a isotropia é uma condição adicional que pode ser imposta à

energia específica de deformação. Um material isotrópico é um material cuja resposta final independe de movimentos de corpo rígido da configuração inicial indeformada de referência Ω0. Assim, a resposta de um movimento f da configuração inicial A

indeformada Ω0 deve ser a mesma resposta de um movimento f∗ 8 de uma outra nova

configuração indeformada B de referência Ω∗ que sofreu movimentos de translação

c e rotação Q puros de corpo rígido com relação a configuração indeformada de referência original Ω0, ou seja, X

∗

= c + QX, onde Q é um tensor ortogonal qualquer.

Ω0 Ω∗ Y∗ X∗ y x Ω Q , c f f∗ X Y e1 e2 e3 Figura 2 – Isotropia

fonte: adaptado de Holzapfel (2000)

Calculando o gradiente da função mudança de configuração F e utilizando a regra da cadeia: F = ∂x ∂X = ∂x ∂X∗ ∂X∗ ∂X = F ∗ Q (3.59)

Impondo a condição adicional de isotropia da energia específica de deformação ue(F∗) = ue(FQT), conclui-se que ue(C) = ue(QCQT). Isso significa que a função energia

específica de deformação ue independe de rotações do tensor de alongamento à direita

de Cauchy-Green C, podendo então ser expressa em função dos invariantes desse tensor de alongamento (I1(C), I2(C), I3(C)). Essa importante constatação é conhecida como

teorema dos invariantes. As equações da energia de deformação para materiais hiperelásticos podem ser expressas de 3 formas diferentes:

1. Forma Padrão: através de uma energia de deformação na forma acoplada escrita