ANLIK HIZ
ANALİTİK ÖĞRENENLER
Emin olmadõğõ durumda uzmandan yardõm istedi Düzenli
Öncelikleri ortaya koydu İfade etme yeteneği iyi Düzenli
4. Türev ile ilgili öğrenci gruplarõnõn gerçekleştirdiği aylõk ödevler.
Şekil 40 Türev ile İlgili Aylõk Ödevler
T
Tüürev Ne Zaman bulundu?rev Ne Zaman bulundu? Kim Buldu?
Kim Buldu?
Matematiğin en önemli buluşu olan türevin, Avrupalõlardan 500 yõl önce Azerbaycanlõ Şerafettin Ali Tusi tarafõndan bulunmuş olduğu bilinmektedir. Ş. Ali Tusi de Ömer Hayam gibi 3. dereceden polinomlarõn köklerini bulmak için uğraşmõştõr ve Harami gibi 3.dereceden denklemleri 25 sõnõfa ayõrarak cebirsel bir yaklaşõmla köklerini bulmaya çalõşmõştõr. x³- ax=b gibi bir denklemin belli bir aralõkta çözümün olabilmesi için b nin x³- ax in maksimumu ile minimumu arasõnda olmasõ gerektiğini anlayan Ş. Ali Tusi, bu ifadenin maksimumunun bu ifadenin tüevinin sõfõr olduğu yerde aramasõ gerektiğini anlamõştõr. Kimi yazarlara göre bu türevin keşfidir. Ne yazõk ki o zamanlar türevin keşfi anlaşõlamamõştõr, türevin farkõna varõlmamõştõr.
Ali Tusi
Ali Tusi’’den 5 asden 5 asõõr sonra 1636 yr sonra 1636 yõõllõõnda P.Fermatnda P.Fermat’’õõn n bir e
bir eğğrinin maksimumu, minimumu ve tanjantrinin maksimumu, minimumu ve tanjantõõnnõõ bulmak i
bulmak iççin verdiin verdiğği i ççabalar onu tabalar onu tüürevin kerevin keşşfine fine g
gööttüürmrmüüşşttüür. Tr. Tüürevin kerevin keşşfi matemetikte bir fi matemetikte bir devrime yol a
devrime yol aççmmõşõşttõõr. Matematir. Matematiğğin kullanin kullanõõm m alanlar
alanlarõõnnõõn n öönnüüaaççõõlmlmõşõşttõõr ve matematik r ve matematik evrenselle
evrenselleşşmimişştir. Bununla beraber fizik ve tir. Bununla beraber fizik ve m
müühendislik bilimleri de dohendislik bilimleri de doğğmumuşştur. Bir tur. Bir diferansiyel denklem, fiziki bir olay diferansiyel denklem, fiziki bir olayõõn n matematiksel ifadesidir. T
matematiksel ifadesidir. Tüürevden revden öönce nce diferansiyel denklemler dolay
diferansiyel denklemler dolayõõssõõyla bilimsel fizik yla bilimsel fizik yoktu. Bu
yoktu. Bu ççalalõşõşmalar matematimalar matematiğği yeni bir di yeni bir dööneme neme ta
taşõşõmmõşõşttõõr, artr, artõõk o her alan da yararlank o her alan da yararlanõõlan bir lan bir bilimdir.
bilimdir. Prof. Dr. Ali
Prof. Dr. Ali ÜÜlgen lgen Ko
KoççÜÜniversitesiniversitesi
T
TÜÜREV NEDREV NEDİİR?R?
En temel tan
En temel tanõõmmõõ:Bir :Bir
fonksiyonun serbest
fonksiyonun serbest
de
değğiişşkenine skenine sõõffõõra ra
yak
yakõõn bir artma n bir artma
miktar
miktarõõverildiverildiğğinde; inde;
fonksiyonun
fonksiyonun
g
göörrüüntntüüssüündeki artma ndeki artma
miktar
miktarõõnnõõn, artma n, artma
miktar
miktarõõna oranna oranõõddõõr.r.
y x a-h a a+h f(x) (a,f(x)) Az
Az öönce gnce göördrdüüğğüümmüüz grafiktekiz grafiktekiggiibbi i e
eğğriye herhangi bir noktasriye herhangi bir noktasõõndan ndan ççizilen izilen
te
teğğetin eetin eğğimi eimi eğğrinin o noktadaki trinin o noktadaki tüürevi revi
demektir.
demektir.
T
Tüürev alabilmenin rev alabilmenin şşartlarartlarõõ:: Fonksiyonun o aral
Fonksiyonun o aralõõkta tankta tanõõmlmlõõolmasolmasõõ
Fonksiyonun o aral
Fonksiyonun o aralõõkta skta süürekli olmasrekli olmasõõ
Lim f(xo
Lim f(xo--h) h) ––f(xo) limit def(xo) limit değğerinin olmaserinin olmasõõ
h
h→→0 h0 h
Biyoloji
Biyoloji öörnerneğğii
T
Tüürev biyolojik rev biyolojik ççalalõşõşmalarda da malarda da
kullan
kullanõõllõõr. Bir gr. Bir gööl l
pop
popüülasyonunda mavi yelasyonunda mavi yeşşil il alglerin say
alglerin sayõõssõõnnõõn n ççevre kirlilievre kirliliğği i
sebebiyle azald
sebebiyle azaldõğõõğõ
g
göözlemlenmizlemlenmişştir. Ditir. Diğğer canler canlõõlar lar
i
iççin oksijen kaynain oksijen kaynağõğõolan mavi olan mavi ye
yeşşil alglerin ortama il alglerin ortama
b
bõõrakrakõõlacak bir k maddesine lacak bir k maddesine
ba
bağğllõõolarak olarak üüreme hreme hõõzlarzlarõõ
incelenmek isteniyor. t dakika
incelenmek isteniyor. t dakika
sonra mavi ye
sonra mavi yeşşil alg sayil alg sayõõssõõ
yakla
yaklaşõşõk k
A(t)= 1000+30t
A(t)= 1000+30t--tt³³, ,
0
0≤≤tt≤≤20 olarak veriliyor.20 olarak veriliyor.
K maddesinin ortama
K maddesinin ortama
b
bõõrakrakõõldldõğõõğõandan itibaren mavi andan itibaren mavi
ye
yeşşil alglerin maksimum il alglerin maksimum üüreme reme
h
hõõzzõõnnõõbulalbulalõõm.m.
*
* TTüürev ; bir fonksiyonun trev ; bir fonksiyonun tüürevini hangi derevini hangi değğere ere
g
gööre alre alõõyorsak fonksiyonun o deyorsak fonksiyonun o değğere gere gööre re de
değğiişşimini verir. imini verir. ÖÖrnerneğğin, yolun zamana gin, yolun zamana gööre re
t
tüürevi yolun zamana grevi yolun zamana gööre dere değğiişşimini verir. Himini verir. Hõõz z da birim zamanda al
da birim zamanda alõõnan yol olunan yol oluğğu iu iççin, yolun in, yolun zamana g
zamana gööre tre tüürevi hrevi hõõzzõõverir. verir. *Bir fonksiyonun t
*Bir fonksiyonun tüürevinden o fonksiyonun revinden o fonksiyonun
maksimum ve minimum noktalar
maksimum ve minimum noktalarõõnnõõbulabiliriz. bulabiliriz.
Bu noktalar t
Bu noktalar tüürevi 0 oldurevi 0 olduğğu ve iu ve işşaret dearet değğiişştirditirdiğği i
noktalard
noktalardõõr. Bunlara gr. Bunlara gööre hre hõõzzõõveren Averen A′′(t) nin de (t) nin de
t
tüürevini alarak hrevini alarak hõõzzõõn maksimum oldun maksimum olduğğu noktayu noktayõõ
bulabiliriz.
bulabiliriz.
Yararlan
Yararlanõõlan bu lan bu öön n ööğğrenmelere grenmelere gööre mavi re mavi
ye
yeşşil alg sayil alg sayõõssõõnnõõn zamana gn zamana gööre dere değğiişşimini alg imini alg
say
sayõõssõõnnõõn tn tüürevinden bulabiliriz. revinden bulabiliriz.
B
Büüyyüüme hme hõõzzõõAA′′(t) nin artt(t) nin arttõğõõğõve azaldve azaldõğõõğõ
aral
aralõõklarklarõõbulalbulalõõm.m.
1. ve 2. t
1. ve 2. tüürev testlerini uygulayalrev testlerini uygulayalõõm.m.
A A′′(t)= 60t(t)= 60t--3t3t²² A A″″(t)=60(t)=60--6t6t t 5 10 20 t 5 10 20 A(t) 1625 3000 40100 A(t) 1625 3000 40100 A A′′(t) 225 300 0 (t) 225 300 0 A A″″(t) 30 0 (t) 30 0 --6060 Tablodan da g
Tablodan da göörrüüldldüüğğüügibi gibi üüreme hreme hõõzzõõnnõõn maksimum n maksimum oldu
olduğğu nokta Au nokta A””(t) nin + dan (t) nin + dan ––ye geye geççtitiğği yani si yani sõõffõõr r
oldu
olduğğu noktadu noktadõõr.r.
Maksimum b
Maksimum büüyyüüme hme hõõzzõõt=10sn de olur.t=10sn de olur.
+ + + + + + 0 - - - -
Eyfel Kulesi
Eyfel Kulesi’’nin nin
yerden ikinci kata
yerden ikinci kata
kadar olan y
kadar olan yüüksekliksekliğği i ve 2.kat
ve 2.katõõile en ile en
y
yüüksek noktasksek noktasõõ
aras
arasõõndaki yndaki yüüksekliksekliğği i
150
150şşer metredir. Bir er metredir. Bir foto
fotoğğraf makinesi, raf makinesi,
objektifi yerden 5m
objektifi yerden 5m
yukar
yukarõõda olacak da olacak
bi
biççimde, kuleden x imde, kuleden x
m uza
m uzağğa a
yerle
yerleşştiriliyor.tiriliyor. T
TÜÜREV VE UYGULAMA REV VE UYGULAMA
ALANLARI ALANLARI B BİİYOLOJYOLOJİİ K KİİMYAMYA F FİİZZİİKK M MİİMARLIKMARLIK B BİİGGİİSAYAR SAYAR TEKNOLOJ
TEKNOLOJİİLERLERİİ İ
İSTATSTATİİSTSTİİKK
M
Objektifin kulenin 2. kat
Objektifin kulenin 2. katõõile en yile en yüüksek ksek
noktas
noktasõõarasarasõõndaki kndaki kõõsmsmõõggöörebilecerebileceğği i
ş
şekilde yerleekilde yerleşştirilmesi durumda;minimum tirilmesi durumda;minimum x uzakl
x uzaklõğõõğõiiççin maksimum b ain maksimum b aççõõssõõnnõõ
bulmaya bulmaya ççalalõşõşalalõõm.m. tanb tanb(x)= 150x(x)= 150x x x²²+42775+42775 tanb(x)=tan(a
tanb(x)=tan(a--c)= tanac)= tana--tanctanc
1+tana.tanc 1+tana.tanc = 150x =f(x) = 150x =f(x) x x²²+42775+42775 f
f′′(x) ifadesinin i(x) ifadesinin işşaret tablosunu aret tablosunu d
düüzenleyerek f fonksiyonun artan ve zenleyerek f fonksiyonun artan ve azalan aral
azalan aralõõklarklarõõnnõõbelirleyerek belirleyerek
(0,
(0,∞∞)aral)aralõğõõğõnda b nin maksimum nda b nin maksimum de
değğerlerini bulalerlerini bulalõõm.m.
f f′′(x)= 150.(x(x)= 150.(x²²+42775)+42775)--150x.2x150x.2x (x (x²²+42775)+42775)²² = 150.(42775 = 150.(42775--x x ²²)) (x (x²²+42775)+42775)²² f f′′(x)= 0 =(x)= 0 =››4277542775--xx²²==››0 =0 =››X=X=±√±√4277542775 = =››xx≈≈206,82206,82 =
=››tanb tanb ≈≈0,36263 bulunur.0,36263 bulunur.
=
=››b b ≈≈19,93219,932ûû olur.olur.
Ü
ÜNLNLÜÜFFİİZZİİKKÇÇİİVE MATEMATVE MATEMATİİKKÇÇİİ ALBERT E
ALBERT EİİNSTENSTEİİNN
T
Tüürev; Einsteinrev; Einstein’’õõn n ÖÖzel zel
G
Göörelilik(rrelilik(röölativite) kuramlativite) kuramõõnda, Lorentz nda, Lorentz
d
döönnüüşşüümleri admleri adõõverilen matematik verilen matematik
denklemlerinde kullan
denklemlerinde kullanõõllõõr. r. ÖÖrnerneğğin x in x
ekseni boyunca
ekseni boyunca ööllçüçülen balen bağõğõl l
hareketinin h
hareketinin hõõzzõõv ise,v ise,ööteki referans teki referans sisteminde;
sisteminde;
x
x′′=(1=(1--vv²²/c/c²²))--½½(x(x--vt), yvt), y′′=y, z=y, z’’=z=z
t
t’’=(1=(1--vv²²/c/c²²))--½½(t(t--vx/c vx/c ²²)de)değğerleri erleri bulunur.
bulunur.
İ
İskoskoççyalyalõõfizikfizikççi James Clerk Maxwelli James Clerk Maxwell
T
Tüürevin Maxwell denklemlerinde revin Maxwell denklemlerinde
kullan
kullanõõldldõğõõğõnnõõbiliyor muydunuz?biliyor muydunuz? Maxwell denklemlerinden yararlanarak Maxwell denklemlerinden yararlanarak zamanla de
zamanla değğiişşen elektirik ve manyetik en elektirik ve manyetik alanlar
alanlarõõn birbirleri ile ilin birbirleri ile ilişşkili oldukili olduğğunu, unu, yani zamanla de
yani zamanla değğiişşen elektirk alanen elektirk alanõõn n hemen yan
hemen yanõõnda bir manyetik alan nda bir manyetik alan olu
oluşştutuğğunu belirlemiunu belirlemişştir. Maxwell tir. Maxwell manyetik alan kuram
manyetik alan kuramõõoluoluşştururken tururken deneysel bulgular
deneysel bulgularõõkesin ve nicel kesin ve nicel matematiksel yap
matematiksel yapõõya kavuya kavuşştururken tururken t
tüürevi kullanmrevi kullanmõşõşttõõr.r.
Ü
ÜNLNLÜÜFFİİZZİİKKÇÇİİISAAC NEWTONISAAC NEWTON
Newton
Newton’’un Hareket Denklemlerinde un Hareket Denklemlerinde
T
Tüürevin Kullanrevin Kullanõõmmõõ
Kinematikte, temel
Kinematikte, temel ççalalõşõşmalar Isaac malar Isaac
Newton taraf
Newton tarafõõndan yapndan yapõõldldõõ. . Newton
Newton’’un 3 devinim kanunu adun 3 devinim kanunu adõõnnõõ verdi
verdiğğimiz buluimiz buluşşlarlarõõyaptyaptõõ. 2. . 2.
kanundan yola
kanundan yola ççõõkarak kurulan karak kurulan
devinim denkleminde t
devinim denkleminde tüürev kullanrev kullanõõllõõr.r.
F=m.a=m. dv=m. d F=m.a=m. dv=m. d²²xx dt dt dt dt²² Ham petrol Ham petrolüün n t tüürevlerinin revlerinin benzen, mazot vb. benzen, mazot vb. oldu
olduğğunu unu s
sööylediylediğğimiz gibi imiz gibi
hidroksibenzen,me
hidroksibenzen,me
tilbenzen(tol
tilbenzen(tolüüen), en),
etil benzen de
etil benzen de
aromatik
aromatik
bile
bileşşiklerden olan iklerden olan benzenin benzenin t tüürevleridir revleridir diyebiliriz. diyebiliriz.
T
Tüürevin Uygulamasrevin Uygulamasõõnda Yararlannda Yararlanõõlan Konular lan Konular
Limit,s
Limit,süüreklilikreklilik Fonksiyonlar
Fonksiyonlar
T
Tüürevin Uygulama Alanlarrevin Uygulama AlanlarõõProjesinde Projesinde Yararlan
Yararlanõõlan Kaynaklarlan Kaynaklar
http://www.matematikciler.com http://www.matematikciler.com home.ku.edu.tr/
home.ku.edu.tr/~~ouler/historyofmatematics.htlouler/historyofmatematics.htl m/
m/--79k79k Orta
Orta ÖÖğğretim Matematik Dersi retim Matematik Dersi ÖÖğğretim Programretim Programõõ
Ö
Özel zel İİhtisas Komisyonu htisas Komisyonu ÜÜyeleriyeleri
Dr.Muammer Y
Dr.Muammer Yõõldldõõz, Prof.Dr.z, Prof.Dr.ŞŞeref Mirasyedioeref Mirasyedioğğlu, lu,
Prof.Dr.Ayd
Prof.Dr.Aydõõn Tiryaki, n Tiryaki, ÖÖğğr.Gr.Göör.Dr. Devrim r.Dr. Devrim Ç
Çakmak, Arakmak, Arşş.G.Göör. Yr. Yõõlmaz Aksoy lmaz Aksoy
End
Endüüstriyel Matematik 2 Yasuhiro ISHIDA, striyel Matematik 2 Yasuhiro ISHIDA,
Yoichi MASUDA, Y
Yoichi MASUDA, Yüüksel ksel ÇÇINARINAR Ana Britanicca 8. ve 15. cilt
Ana Britanicca 8. ve 15. cilt
Temel Organik Kimya, Lale ZOR
Temel Organik Kimya, Lale ZOR
Genel K
Genel Küültltüür Ansiklopedisir Ansiklopedisi
Yeni T
Yeni Tüürk Ansiklopedisi 4. ciltrk Ansiklopedisi 4. cilt
Calculus Thomas FINNEY
Calculus Thomas FINNEY
www.persembahanku.wordpress.com www.persembahanku.wordpress.com www.chemieseite.de www.chemieseite.de wikipedia.org/wiki/Maxwell_denklemleri wikipedia.org/wiki/Maxwell_denklemleri www3.itu.edu.tr/%7Eyukselen/Uck351/UC www3.itu.edu.tr/%7Eyukselen/Uck351/UC K351_Index.htm K351_Index.htm
5. Açõk uçlu problemlerden oluşan “ara” ve “dönem sonu” sõnavlarõ.
Tüm ölçme araçlarõnõn hazõrlanmasõnda, matematik öğretiminin genel amaçlarõnõn yanõnda, geliştirilen kazanõmlardan da yararlanõlmõştõr. Bu amaçla önce türev ile ilgili kazanõmlarõ geliştirmek için, yurt içi ve yurt dõşõ kaynaklardan yararlanõlmõştõr(Mirasyedioğlu,2005;http://math.ichb.ro/modules.php?name=NukeW
rap&page=Crclm_11M1). Çalõşma sonunda Şekil 40’ daki kazanõmlarõn varlõğõnda
karar kõlõnmõştõr.
Şekil 41
Belirlenen Türev Kazanõmlarõ
! Fonksiyonun türevini tanõmlama ! Bir noktadaki türevi tanõmlama ! Bir aralõkta türevi tanõmlama
! Türev ve süreklilik arasõndaki ilişkiyi tanõmlayabilme ! Türevin geometrik yorumunu yapabilme
! Fonksiyonun türevini alma ! Sağdan ve soldan türev alabilme ! Türev ile işlemler yapabilme
! Bileşke ve ters fonksiyonlarõn türevini alma ! Yüksek basamaktan türev alma
! Ekstremum noktalarõnõ bulabilme
! Rolle, Fermat ve Cauchy Teoremlerini uygulayabilme ! Belirsiz durumlar için L’Hospital Kuralõnõ uygulayabilme ! Birinci türevin önemini açõklayabilme
! İkinci türevin önemini açõklayabilme ! Asimptotlarõ bulabilme
! Fonksiyonun grafiğini çizebilme
Buna ek olarak ve özellikle öğrencilerin akademik başarõlarõnõ ölçme amaçlõ, problem ya da ölçme amaçlõ başka etkinlikleri geliştirirken 4MAT ve ölçme yaklaşõmõndan yararlanõlmaya çalõşõlmõştõr(bkz.Şekil 41)(www.aboutlearning.com ).
Şekil 42
4MAT ve Ölçme Yaklaşõmõ
Birçok kaynaktan esinlenerek oluşturulan açõk uçlu problemlerde, öğrencinin problem ile ilgili veri toplamadan başlayarak, modelleme yapmasõ, modelin çözülebilirliğini tartõşmasõ ve en sonunda problemi geliştirmesi basamaklarõ öne çõkarõlmaya çalõşõlmõştõr(bkz. Örnek Şekil 42).
Uzman görüşü GERÇEĞE DAYALI BİLGİ B İ r e y s e l t e p k i G Ö Z L E M D i y a l o g B e n i m d e d i ğ i m P E R F O R M A N S Ö L Ç M E B e n i m g ö r ü ş ü m R R L R L L R L
Şekil 43
Geliştirilen Problem Örneği
Yarõçapõ 6 br olan bir küre içinde, korunmak amacõyla koni şeklinde altõn külçeler yerleştirilmek isteniyor. a)Kürenin içine yerleştirilebilecek koninin hacmini veren fonksiyonu yazõnõz.
b)Hacminin maksimum olma koşullarõnõ bulunuz.
Veri Çözümleme Teknikleri
Araştõrmada derlenen nicel veriler, İstatistik Paket Programõ SPSS 10,0 kullanõlarak çözümlenmiştir. Derlenen nicel verilerin çözümünde, türüne ve amaca göre;
1. ortalama 2. standart sapma
3. frekans ve yüzde dağõlõmlarõ 4. Kolmogorov – Smirnov testi 5. t-testi
6. tek yönlü varyans analizi 7. Pearson korelasyon analizi
gibi istatistiksel tekniklerden yararlanõlmõştõr. Tekniklerin kullanõmõ bulgular bölümünde ayrõntõlõ ele alõnacaktõr.