Anahtarlamalı Denetim Kuralının Süreklilik Gösteren Denetim

bulunur. Böylece k ve u aşağıdaki gibi olur:

(

η

) (

β

)

2.1.2.3. Anahtarlamalı Denetim Kuralının Süreklilik Gösteren Denetim Kuralına Dönüştürülmesi

2.4 kayma şartını sağlayan anahtarlamalı denetim kuralları, model belirsizliğinin üstesinden gelmek için eklenmiş olan ksgn(s) yüzünden, sistem

çıkışında çıtırtıya sebep olur. Bu durum sistem modelinde ihmal edilmiş yüksek frekanslı dinamikleri (örneğin modellenmemiş yapısal kipleri ve ihmal edilmiş zaman gecikmelerini) canlandıracağı için ve aşırı denetim işlemleri (yüksek frekanslı anahtarlama) gerektirmesinden dolayı istenmez. Diğer taraftan giriş etkisinin yavaş veya gecikmeli gözlendiği sistemlerde kabul edilebilir bir denetim için anahtarlamalı denetim kuralı uygun değildir.

Çıtırtıyı yok etmek için anahtarlamalı denetim kurallarında değişiklik yapılması gerekmektedir. Çıtırtı tamamen yok edildiğinde yüksek frekanslı dinamiklere sahip sistemlerde güvenilir cevaplar elde edilebilmektedir. Bu noktada denetleyicinin izleme performansı ile parametre belirsizliğindeki güvenilirliği arasında bir tercih yapılması gerekir. Sistem yörüngeleri kayma yüzeyine yaklaştıklarında, anahtarlama sinyali yavaş değişen duruma getirilmelidir. Bu, anahtarlama yüzeyi komşuluğunda ince bir sınır katmanı tanımlanarak yapılabilir.

Sınır katmanı kullanılarak çıtırtı büyük ölçüde azaltılabilmektedir.

Sınır katmanı tanımından önce s ile izleme hata vektörü e arasındaki ilişkiyi incelemekte fayda vardır. Şekil 2.4’de gösterildiği gibi s’nin alabileceği sınır değer, izleme hata vektörü e’nin alabileceği sınır değere doğrudan çevrilebilmektedir.

Şekil 2.4. e sınırının s sınırından elde edilmesi y 1

λ 1 +

p λ

1 +

p λ

1 +

. . . p

s e

(n-1). blok

Şekil 2.4’de p = d/dt Laplace dönüşüm değişkenidir. Şekilden de görüldüğü gibi e izleme hatası, birinci mertebeden alçak geçiren filtreler dizisiyle s’den elde edilir. Bu durum matematiksel olarak ifade edilirse ve e(0)=0 kabul edilirse; birinci filtrenin

y1 çıkışı zaman ortamında şöyledir:

{ }

^{s T dT}

t h t s t

y( ) ( ) ( ) ^t t T ( )

1 ^{= ∗ =}

∫

0exp ^−λ( ⁻ )

s’nin alabileceği maksimum değerin şu şekilde sınırlı olduğu düşünülürse:

φ

≤ s

y1’in olabileceği sınır değer şudur:

{ } ( { } )

λ

≤φ λ −

= φ φ

≤

∫

−λ ^t−^{T dT} −λ^t

t

y ( ) ^texp ( ) 1 exp

1 0

Aynı şekilde ikinci filtre ve tüm filtre çıkışlarına uygulandığında anlaşılır ki (n−1). filtre çıkışı şöyle olur:

ε λ =

≤ φ_n−1

e 2.25

Hatanın türevleri için de genel bir ifade, Şekil 2.5’den faydalanılarak elde edilebilir.

Şekil 2.5. e sınırlarının ⁽ⁱ⁾ s sınırından elde edilmesi

Hata türevlerinin sınırlarını kolay bulabilmek için türevli bloklar şu şekilde ifade edilebilir:

. . .

m1

λ 1 +

p λ

1 +

p p+λ

s

p

e

⁽ⁱ⁾

n-i-1 blok . . .

λ + p

p

i blok z1

λ +

− λ λ =

+ p

p

p 1

i

m₁ ≤φ λn⁻¹⁻ şeklinde sınırlı olduğundan z₁ sınırı şöyle hesaplanır:

{ }

_{n i}

t i n i

n dT

t

z _{−− −−} t T ₋₋

λ

≤ φ λ

+ λφ λ

≤ φ1 1

∫

0 ^{−λ − 1}

1

) 2

( exp ( )

Her türev için genelleştirilirse

( )

λ ε

≤ ⁱ

e⁽i⁾ 2

bulunur. Böylece şu genel ifade elde edilmiş olur:

≥0

∀t , s(t) ≤φ → ∀t≥0, e⁽ⁱ⁾(t) ≤(2λ)ⁱε i = 0,…,n-1 2.26 Bu noktadan hareketle çıtırtıyı yok etmek için sınır katmanı şöyle tanımlanır :

{

^{( ; )}

}

)

(^{t =}

|

^{s t ≤φ}

B x x , φ>0 2.27

Örneğin ikinci mertebeden bir sistem için sınır katmanı

{

^{( )-( )}

}

)

(t ⁼

|

x^+λx xd ^+λxd ^≤φ

B x & &

olup Şekil 2.6’da gösterildiği gibidir. 2.26 ifadesi yardımıyla ε ε λ) 2 ( )

(t = x−x_d ≤ ⁰ =

e 2.28

olur. 2.25 yardımıyla şu ilişki kurulur:

ε λ

=

φ 2.29

2.28 ve 2.29 ifadelerinden anlaşıldığı gibi φ sınır katman kalınlığı ve ε=φ/λⁿ⁻¹ de sınır katman genişliğidir. Sistem yörüngeleri B(t) sınır katmanı dışındayken, anahtarlamalı denetimde olduğu gibi 2.4 kayma şartını sağlayacak bir u denetim kuralı uygulanarak sistem yörüngeleri sınır katmanına doğru gitmeye zorlanır. Aynı zamanda bu denetim kuralı ile sistem yörüngeleri sınır katmanına girdiklerinde burada kalmaları sağlanacaktır. Sınır katmanı içindeyken, denetleyici çıkış sinyalini

yavaş değişen duruma getirmek için, denetim kuralında sgn(s) terimi yerine s/φ terimi kullanılır. Böylece yeni denetim kuralı şu duruma gelir:

) / ( sat

ˆ− . φ

=u k s

u 2.30

burada sat, doyum fonksiyonu olup şöyle tanımlanır:

⎩⎨

⎧ <

= y diğer durumlarda y

y

y

sat sgn( )

) 1 (

Şekil 2.6. İkinci mertebeden bir sistem için sınır katmanı

2.1.2.3.1. Farklı Referans Değerler için Sınır Katman Kalınlığının Belirlenmesi φ sınır katman kalınlığı zamanla-değişen bir fonksiyon olarak belirlenirse her referans değer için en uygun sınır katmanı seçilebilir. Sistem yörüngeleri sınır katmanı içindeyken, anahtarlamalı denetim kuralının yavaş değişim gösteren hale getirilme işlemi aslında s’nin dinamiklerine alçak geçiren filtre atamaktır⁽⁶⁾.

eğim : −λ

ε

ε φ

x &

x

Sınır Katmanı

s = 0

2.1.2.3.1.1. Giriş Katsayısının Belirli Olduğu Durum

Bu bölümde, giriş katsayı belirsizliği olmayan (b= bˆ=1) 2.1 sistemi için )

φ fonksiyonu belirlenecektir. φ zamanla değişeceğinden, sınır katmanının (t cazibesini garanti altına almak için 2.4 kayma şartı, sınır katmanına olan mesafenin sürekli azalmasını sağlayacak şekilde düzenlenir :

s ≥ φ durumda

[

^s−φ

]

^≤−η

dt d

s ≤ -φ durumda

[

s−(−φ)

]

≥η dt

d

Sınır katmanı dışındaki bu her iki durumu sağlayacak kayma şartı şöyle olur : φ

≥

s , ( -η)

2

1 2

s dts

d ≤ &φ 2.31

2.31 kayma şartında görünen φ&|s| ifadesi, sınır katmanının daralması (φ&<0) durumunda sınır katmanının cazibesini artıracak, sınır katmanının genişlemesi (φ&>0) durumunda da sınır katmanının cazibesini azaltacak etki sağlar. 2.31 koşulunu sağlayacak u denetim kuralı şöyle olur :

e x f

uˆ= ˆ− + &&_d −λ&

olmak üzere (2.12 denkleminde olduğu gibi)

) / ( )

ˆ− ( φ

=u k sat s

u x 2.32

Burada k(x)=F(x)+η olmak üzere

φ

−

= ( ) &

) (x k x

k 2.33

Şöyle ki;

η) -(

.s s

s&≤ &φ

φ sınır katmanı dışında ( s ≥φ) bulunulduğu için sat(s/φ) fonksiyonu sgn(s )

fonksiyonu gibi davranır.

Bundan sonra her referans değer için φ sınır katman kalınlığının hesaplanacağı denklem elde edilir. Sınır katmanı içinde ( s <φ) bulunulduğu durumda:

)

s& && &&_d & &&_d & x

Sınır katmanı içinde bulunulduğu için sat(s/φ) fonksiyonu s/φ olarak davranır: noktasında Taylor serisine açılabilir.

( ) ( )

...

bu seriler ve 2.26 yardımıyla 2.34 tekrar şöyle yazılabilir:

(

( ) (ε)

)

2.35 ifadesinden anlaşıldığı gibi S(t) yüzeyine mesafeyi belirten s değişkeninin dinamikleri yalnızca )x_d(t ’ye bağlıdır ve bozucu girişlere karşı (örneğin )∆f(x_d belirsizliğine) birinci mertebeden filtrenin (2.35) çıkışı olarak görülebilir. Böylece yüksek frekanslı modellenmemiş dinamikler canlanmayacağı için çıtırtı yok edilmiş

olur. Kapalı çevrim hata dinamiklerinin yapısı Şekil 2.7 ile özetlenebilir. Şekilden de görüldüğü gibi e, s’nin filtrelenmişi, s de bozucu girişlerin filtrelenmişidir.

Şekil 2.7. Kapalı çevrim hata dinamiklerinin yapısı

λ, 2.2 filtresinin köşe frekansı olduğundan yüksek freakanslı modellenmemiş dinamikler göz önünde bulundurularak, λ küçük olacak şekilde seçilmek zorundadır⁽⁶⁾. 2.35 filtresinin band genişliği λ’ya eşit seçilirse;

) λ

( =

φ k xd

2.36

φ sınır katman kalınlığı da ayar edilebilir. 2.36 denklemi, 2.33 denkleminde x=x_d için yerine konursa sınır katman kalınlığının hesaplanabileceği şu denklem bulunmuş olur:

) λφ=k(x_d +

φ& 2.37

2.37 denkleminin yardımıyla 2.33 denklemi şu şekilde tekrar yazılabilir:

φ +

−

= ( ) ( ) λ

)

(x k k _d

k x x 2.38

φ 'yi hesaplamak için gerekli olan φ(0) başlangıç değeri şöyle belirlenir:

λ )) 0 ( ) (

0

( = k x^d

φ 2.39

Böylece 2.32 denetim kuralı ve 2.37 sınır katman kalınlığının denklemiyle, 1. mertebeden

filtre (2.35) _{( λ)}^n-1 1 + p

s e

ε) ( )

( O

f _d +

∆

− x

φ ’nin belirlenmesi s ’nin tanımı

değişim gösteren kontrol sinyali elde edilir. ε, ne kadar küçültülürse parametre belirsizliğine karşı o kadar iyi sonuç alınabilir. Fakat bu durum sistem çıkışında çıtırtıya sebep olur. ε artırılırsa çıtırtı azalır fakat parametre belirsizliği olması halinde kalıcı durum hatalarına sebep olur. Diğer taraftan modellenmemiş yüksek frekanslı dinamikleri canlandırmamak için x_d yörüngesi zamana göre hızlı değişmeyecek şekilde yeterince pürüzsüz seçilmelidir.

2.1.2.3.1.2. Giriş Katsayısının Belirsiz Olduğu Durum

Bu bölümde giriş katsayı belirsizliği (β ≠ 1) olan 2.1 sistemi için φ sınır katman kalınlığının nasıl belirlendiği açıklanacaktır. 2.31 koşulunu sağlayacak u denetim kuralı, 2.32’nin sağ tarafını bˆu seçerek şöyle olur :

[

^{ˆ ( ) ( / )}

]

ˆ ¹ − φ

=b⁻ u k s

u x sat 2.40

Burada da

e x f

uˆ= ˆ− + &&_d −λ&

2.31 şartını sağlayacak k(x) fonksiyonu şöyle elde edilir:

η) -2 (

1 2

s dt s

d ≤ &φ

Sınır katmanı dışında ( s ≥φ) bulunulduğunda )sat(s/φ fonksiyonu sgn(s ) fonksiyonu gibi davranır.

η -).

sgn(s &s≤ &φ

(

λ

)

-η

)

sgn(s f +bu−x&&_d + e& ≤φ&

( )

(

^{ˆ ˆ ˆ λ ˆ ( )sat( / ) λ}

)

^-η

)

sgn(s f −bb⁻¹f +bb⁻¹ x&&_d − e& −bb⁻¹k x s φ −x&&_d + e& ≤φ&

( ) ^{( )}

Belirsizlik f − ˆf ≤F olarak kabul edildiğinden, 2.31 şartının sağlanması için

( )

^{bb f x e}

ve 2.21 eşitsizliği yardımıyla

(

+

) (

+ −

)

φ

≥β η β 1 ˆ - ˆ ⁻¹&

)

( F u bb

k x

seçilmelidir. Elde edilen bu eşitsizliğe, sınır katmanı bulunmayan denetim kuralındaki )k(x , 2.23 ifadesinden yerine konursa ;

φ

olur. Bu şartı sağlayacak k(x), 2.21 eşitsizliği yardımıyla bulunur:

>0

Sınır katmanı içinde ( s <φ) bulunulduğu durum, s değişkeni cinsinden şöyle ifade edilebilir:

(

^{1 ˆ}

)(

^{ˆ( ) λ}

)

^(ε)

2.36 denklemine karşılık burada

λ

yazılabilir. Giriş katsayı belirsizliğinin maksimum değeri kullanılarak, denetleyicinin

çalışması esnasında ⎟⎟

bulunur. Bu ilişkinin x=x_d için 2.41 ve 2.42 denklemlerine uygulanmasıyla

>0 ve dolayısıyla

)

bulunur. Bu denklemler 2.41 ve 2.42’de yerine konursa her iki durum için

)

Özetle giriş katsayısının belirsiz olduğu ikinci mertebeden sistemler için denetim

φ sınır katmanı ise şu denklemlerden elde edilmektedir: (t

) olduğunu ifade eder⁽⁶⁾. 2.44 ve 2.25’den dolayı denge şartlarının şu şekilde bir yorumu yapılabilir⁽⁶⁾:

n d d k

λ

ε≈β(x ) (x )

= izleme hassasiyeti

≈ (istenen yörünge boyunca parametrik belirsizliğin ölçüsü)/(band genişliği)ⁿ

Yani, istenen kontrol band-genişliği ve parametrik belirsizliğin boyutları verilerek elde edilebilir en iyi izleme performansı alınabilir.

Model sınırları yeterince iyi bilinmiyorsa ve bu yüzden F büyük bir sabit katsayı olarak seçilmişse, sistem yörüngeleri sınır katmanı içindeyken 2.47

β ) λ sat(s/ s

k φ =

olur. Bu yüzden φ fonksiyonu bir oransal-türev (PD) denetleyici gibi rol oynar. (t)

Belgede Asenkron motorların kayma kipli hız denetimi (sayfa 36-48)