Altlineer Fonksiyonel çeren E³itsizlikler

Bu ksmda, A-matrisi üzerinde belirli ³artlar altnda;

LA≤ ψθ, ψ_θA≤ ψθ ve ψθA≤ L e³itsizliklerini sa§lamaya çal³tk.

x∈ ℓ∞ olmak üzere ψθ(x) = q (x) oldu§undan ilk e³itsizlik sa§lanr. Fakat

³imdi bunun ba³ka bir ispatn verelim;

Teorem 4.4.1. [22] LA ≤ ψθ, yani K-çek(Ax) ⊂ B − K-çek(x) olmas için gerek ve yeter ³art A matrisinin kuvvetli regüler ve

(4.4.1) ∑ olur. Bu hipoteze dayanarak

−ψθ(−x) ≤ −L (−Ax) ≤ L (Ax) ≤ ψθ(x)

e³itsizli§ini elde ederiz. Böylece A matrisinin kuvvetli regüler oldu§unu gösteren lim Ax = f − lim x ifadesi elde edilir. Buradan da Ax ∈ c yazlr. A regüler oldu§undan Lemma 11 de B yerine A yazabiliriz. Böylece snrl bir y dizisi elde elde ederiz öyleki; yazlr. Bu ise (4.4.1) ifadesinin do§ru oldu§unu gösterir.

(⇐:) “art yeterdir. ε > 0 verilsin. x ∈ ℓ∞ ve her k ≥ 0 için (Burada ispat boyunca r sabit olarak dü³ünülecektir.)

Buradan da görebiliriz ki;

(4.4.3)

Burada; A kuvvetli regüler oldu§undan

B_n =◦ (1) ve

elde edilir ve bu ifade A matrisinin kuvvetli regülerli§inden dolay, n −→ ∞ için, sfra yaknsar.

oldu§u görülür. Hipotezden dolay

L (Ax)≤ (ψθ(x) + ε) elde edilir. ε key oldu§undan;

L (Ax)≤ ψθ(x)

e³itsizli§ini elde ederiz. 

Teorem 4.4.2. [22] ψθ(Ax)≤ ψθ(x) ,yani B − çek(Ax) ⊂ B − çek(x) olmas

için gerek ve yeter ³art A matrisinin F -regüler ve

(4.4.5) lim sup

spat. ψθ(Ax) ≤ ψθ(x) oldu§unu farzedelim. Bu ifadede x dizisinin yerine −x yazarak;

(4.4.6) −ψθ(−x) ≤ −ψθ(A (−x)) ≤ ψθ(Ax)≤ ψθ(x) e³itsizli§ini elde ederiz.

E§er x ∈ F ise o zaman −ψθ(−x) = ψθ(x)dr. Bu ifadeyi (4.4.6) e³itsizli§iyle birlikte de§erlendirirsek A matrisinin F −regüler oldu§unu görürüz. “imdi;

b_rk(i) = 1 h_r

∑

j=kr−1+i+1

a_jk

ifadesini yazalm. Lemma 11 den dolay öyle bir snrl y vardr ki ∥y∥ ≤ 1 ve lim sup

oldu§unu görebiliriz. Bu ise bize (4.4.5) ifadesinin varl§n gösterir.

Yeterlilik; bnk(i) = _h¹

yazabiliriz. “imdi (4.4.3) ifadesinde ank yerine bnk(i) yazalm. x ∈ ℓ_∞ ve A matrisi F−regüler oldu§undan (4.4.3) ifadesinde ank yerine bnk(i) yazlmasyla elde edilen 3. ve 1. terimler i‘ de düzgün olarak n −→ ∞ için sfra do§ru gider. Di§er bir yanda

|Fnr| ifadesinde; ank yerine bnk(i)yazarsak;

∥x∥

ifadesinden büyük de§ildir. Ayrca bu ifade A, F -regüler oldu§undan dolay n −→ ∞ 36

için i‘ de düzgün olarak sfra yaknsar. Böylece (4.4.2) den dolay;

elde ederiz. A matrisinin F-regülerli§i ve (4.4.5) ifadesini kullanarak;

ψ_θ(Ax)≤ ψθ(x) + ε

oldu§unu görebiliriz. ε−key oldu§undan dolay gerekli sonucu elde etmi³ oluruz.

(4.3.2) ifadesinde de belirtti§imiz gibi B −çek(x) ⊂ K −çek(x) dir. Dolaysyla Teorem 4.4.2. yi dikkate alarak;

(4.4.7) B− çek(Ax) ⊂ K − çek(x)

ifadesini elde ederiz.

Teorem 4.4.2 de F −regülerlik ³artnn yerine hemen hemen regülerlik ³artn

koydu§umuzda da (4.4.7) ifadesini elde ederiz. (A³a§daki teoremde görebiliriz.) Bir F−regüler matris hemen hemen regülerdir fakat kar³t do§ru de§ildir.  Teorem 4.4.3. [22] ψθ(Ax) ≤ L (x) , yani B − çek(Ax) ⊂ K − çek(x) ol-mas için gerek ve yeter ³art A matrisinin hemen hemen regüler ve (4.4.5) ³artn

sa§lamasdr.

spat. (⇒:) “art gerektir. ψθ(Ax)≤ L (x) olsun.

−L (−x) ≤ −ψθ(−Ax) ≤ ψθ(Ax)≤ L (x) E§er x ∈ c ise o zaman L (x) = −L (−x) = lim x dir. Böylece

−ψθ(−Ax) = ψθ(Ax) = lim x

elde edilir ki bu da A matrisinin hemen hemen regüler oldu§unu gösterir. E§er;

(4.4.8) b_rk(i) = 1

h_r

∑

j∈Ir

a_j+i,k

yazarsak Lemma 11 in ³artlar sa§lanr. Dolaysyla burada öyle bir snrl y vardr ki ∥y∥ ≤ 1 ve

yazlr. A matrisinin hemen hemen regülerli§ini kullanarak, Teorem 4.4.2 de oldu§u gibi, (4.4.5) ifadesi sa§lanr.

(⇐:) “art yeterdir. (brk(i)) , (4.4.8) de oldu§u gibi tanmlansn. Buradan;

∑

k

b_rk(i) x_k ≤ ∥x∥∑

k<m

|brk(i)| + (

sup

k≥mx_k) ∑

k

|brk(i)| + ∥x∥∑

k

(|brk(i)| − brk(i))

ifadesini elde ederiz. A matrisi hemen hemen regüler ve (4.4.5) sa§land§ndan ψ_θ(Ax)≤ L (x)

e³itsizli§ini elde ederiz. Bu da teoremi ispatlar. 

4.5. statistiksel Çekirdek

Bu ksmda bir dizinin istatistiksel çekirde§i kavramn tantaca§z ve bir dizinin dönü³üm dizisinin çekirde§i, istatistiksel çekirde§in bir alt cümlesi olacak

³ekildeki matrisleri karakterize edece§iz.

Tanm 4.5.1. Herhangi bir kompleks x = (xn) dizisi için H (x), h.h.k için x^′k

y içeren tüm kapal yar düzlemlerin kolleksiyonu olsun, yani

H (x) ={H : H kapal yar-düzlem ve δ {k : xk∈ H} = 0}/ olsun. x dizisinin istatistiksel çekirde§i

st− çek(x) = ∩

H∈H(x)

H

ile verilir [25].

K−çek(x) cümlesinin tanmnda Cn(x)kapal konveks hull'u {xk}_k≥ndizisini içeren tüm kapal yar-düzlemlerin arakesitidir. st−çek(x) nin tanmnda, {xk}_k≥n dizisinin yerine 1 yo§unlu§a sahip key bir alt dizi alnd. Böylece x dizisi için st−çek(x) ⊆ K−çek(x) olur.

x dizisi reel de§erli ve istatistiksel snrl bir dizi ise x dizisinin istatistik-sel çekirde§i, [st − lim inf x, st − lim sup x] dir. E§er x dizisi istatistikistatistik-sel snrl

de-§il ise x dizisinin istatistiksel çekirde§i ya [st − lim inf x, ∞) , (−∞, +∞) , ya da (−∞, st − lim sup x] aral§dr [25].

Çekirdek kavramna ili³kin baz içerirlik teoremleri verebilmek için istatis-tiksel çekirde§e ili³kin a³a§daki lemmaya ihtiyacmz vardr.

38

Lemma 12. x istatistiksel snrl bir dizi ve her bir z ∈ C için

x istatistiksel snrl bir dizi de§ilse yukardaki lemma do§ru de§ildir. Bunu görmek için ∀k ∈ N için xk = k ³eklinde tanmlanan x = (xk) dizisini göz önüne alalm. x dizisi bir istatistiksel de§me noktasna sahip de§ildir ve st−çek(x) = ∅.

Herhangi bir z /∈ C için, h.h.k için xky içeren sonlu yarçapl bir disk yoktur, böylece st− lim sup

k |xk− z| = ∞ ve Bx(z)kompleks düzlemin tamam olup ∩

z∈C

B_x(z) = C dir.

A³a§daki teorem K−çek(Ax) ⊆ st−çek(x) olacak ³ekildeki matrisleri karak-terize edecektir. için K−çek(Ax) ⊆ st−çek(x) olmas için gerek ve yeter ³art

i) A ∈ τ^∗;yani A regüler ve δ (E) = 0 özellikli her E ⊆ N için lim

Herhangi bir x dizisinin istatistiksel çekirde§i, Knopp çekirde§inin bir alt cümlesi oldu§undan yukardaki teoremden a³a§daki sonucu elde ederiz.

Sonuç 13. A = (ank)matrisi için sup

“imdi yukardaki sonucun kar³tnn do§ru olmad§n gösterece§iz.

Örnek 4.5.1. A matrisi h.h.k için (Ax)_n = x_n olacak biçimde tanmlayalm.

Yukardaki teoremden Ax ve x dizilerinin istatistiksel de§me noktalarnn cümlesi

ayn olup st−çek(Ax) ⊆ st−çek(x) dir. 1 , di§er durumlarda

³eklinde tanmlanan A = (ank)matrisini gözönüne alalm. Bu durumda

(Ax)_n =

olacaktr. A matrisi için sup

n

Bu bölümde bir dizinin çekirde§i ile ilgili sonuçlar detaylaryla göstermek için sadece reel diziler gözönüne alnm³tr. x = (xk) dizisinin rough çekirde§inin;

ÇEK^rx = LIM IN F^rx∪ LIMSUP^rx ; LIM^rx̸= ∅ iken oldu§u gösterilmi³tir.

Sonuçta `bir dizi bilinen anlamda yaknsaktr gerek ve yeter ³art rough çekir-de§i ayn roughluk derecesinde rough limit kümesine e³itse` oldu§u görülmü³tür.

Tanm 4.6.1. [19] (Rough Çekirdek) R, R nin bir aral§ olsun.

R^r=

konveks altkümesi olmak üzere;

ÇEK^rx =

ki dizi limit noktalar farkl iken ayn rough çekirde§e sahip olabilirler. Örne§in x = (xk) = (−1)^k ve y = (yk) = (−1, 0, 1, −1, 0, 1, ...) alalm. O zaman;

Her r ≥ 0; Lx ={−1, 1} ve Ly ={−1, 0, 1} iken ÇEK^rx =ÇEK^ry E§er iki snrl dizi ayn limit noktalarna sahipse ayn rough çekirde§e sahip olduklar açktr. Örne§in;

L_x= L_y ise ÇEK^rx =ÇEK^ry , ∀r ≥ 0 için.

Teorem 4.6.1. [19] E§er LIM^rx̸= ∅ ise o zaman ÇEK^rx = LIM IN F^rx∪ LIMSUP^rx dir.

spat. LIM^rx ̸= ∅ oldu§undan x = (xk) dizisi snrldr. “imdi y_∗ = lim inf x_k ve z∗ = lim sup x_k tanmlayalm. Bir önceki bölümdeki Önerme 3. gere§i;

LIM IN F^rx =B⁻_r(y_∗) ve

LIM SU P^rx =B⁻_r(z_∗) elde edilir.

LIM^rx̸= ∅ oldu§undan bir önceki bölümdeki Sonuç.6 gere§i ; B−_r(y_∗)∩B⁻_r(z_∗)

bo³tan farkldr. “imdi ÇEK^rx = [a, b] yi tanmlayalm. Teoremin ispatn tamam-lamak için;

[a, b] = [y_∗− r, z∗+ r]

oldu§unu göstermek yeterlidir.

a ̸= y_∗− r oldu§unu farzedelim. a < y_∗− r ise o zaman

−ε = y_∗− (a + r) 2 tanmlanr. Limit inferiyor tanm gere§i {

k ∈ N : xk < y_∗−⁻ε

} kümesi sonlu sa-yda elemana sahiptir.

k₀ = max {

k ∈ N : xk< y_∗−⁻ε }

tanmlayalm. O zaman a + r /∈ Rk; yani a /∈ R^rk , ∀k > k0 , olmaldr. Bu ise a -saysnn ÇEK^rx− kümesinin soldaki son nokta olmasyla çeli³ir.

E§er a > y∗− r ise o zaman

−ε = (a + r)− y∗

2 tanmlanr. Limit inferiyor tanmndan {

k∈ N : xk < y_∗+⁻ε

} kümesi sonsuz çok-lukta elemana sahiptir.

R_n = [a_n, b_n] ve [c, d] = ∩^∞

n=1

R_n tanmlayalm. O zaman ∀n ∈ N için a_n < y_k+⁻ε < a + r olur. Böylece c < a + r olur. Bu ise K − çek(x) ve ÇEK^rx in tanmyla çeli³ir. Sonunda a = y∗− r elde edilir.

Benzer olarak b = z∗+ r oldu§u da gösterilebilir.  Yukardaki teoremde e§er LIM^rx =∅ alrsak o zaman e³itlik korunmayabilir.

Örne§in LIMINF^rx =B⁻r(−1) ve LIMSUP^rx =B⁻r(1), r < 1 için LIM^rx =∅ olur.

Teorem 4.6.2. Bir x = (xk) dizisinin yaknsak olmas için gerek ve yeter

³art bir r > 0 vardr öyleki

ÇEK^rx = LIM^rx̸= ∅ dir.

spat. Gereklilik: x_∗ = lim x = lim inf x = lim sup x dir. Önerme 1.1. den LIM^rx = LIM SU P^rx = LIM IN F^rx =B⁻r(x_∗)̸= ∅ dir.

Teorem 4.6.1 den;

ÇEK^rx = LIM^rx elde ederiz.

Yeterlilik: LIM^rx̸= ∅ olup;

ÇEK^rx = [lim inf x− r, lim sup x + r]

ve

LIM^rx = [lim sup x− r, lim inf x + r]

dir. Üstelik ÇEK^rx = LIM^rx kabulümüzden hemen lim inf x = lim sup x

yani x = (xk) dizisinin yaknsak oldu§u görülür. 

Yukardaki teoremde e§er LIM^rx =∅ alnrsa o zaman e³itlik korunmaya-bilir. Örne§in x = (xk) = (k) dizisi tanmlansn. O zaman x = (xk) dizisi raksak iken;

ÇEK^rx = LIM^rx =∅ olur.

42

KAYNAKLAR

[1] G. G. Lorentz, A Contribution to the Theory of Divergent Sequences, Acta Math. 80(1948), 167-190.

[2] R. Raimi, Invariant Means and Invariant Matrix Methods of Summability, Duke Math. J. 30(1963), 81-94.

[3] H. Fast, Sur la Convergence Statistique, Colloq. Math. 2(1951), 241-244.

[4] I. J. Schoenberg, The Integrability of Certain Functions and Related Summabi-lity Methods, Amer. Math. Montly 66(1959), 361-375.

[5] J.A. Fridy and C. Orhan, Lacunary Statistical Convergence, Pacic J.

Math.160(1993), 43-51

[6] J.A. Fridy, On Statistical Convergence, Analysis 5(1985), 301-313.

[7] D. Rath, B. C. Tripaty, On Statistically Convergence and Statistically Cauchy Sequences, Indian J. Pure Appl. Math. 25(4)(1994), 381-386.

[8] H. X. Phu, Rough Convergence in Normed Linear Spaces, Numer. Funct. Anal.

Optim. 22(2001), 201-224.

[9] S. Aytar, Rough Statistical Convergence, Numer. Funct. Anal. Optim., 29(3)(2008), 291-303.

[10] I. J. Maddox, Elements of Functional Analysis, Cambridge University Press, Cambridge, 1988.

[11] E. Kreyzig, Introductory Functional Analysis with Applications, John Wiley and Sons, New York, 1978.

[12] S. Banach, Theorie des Operations Linearies, Warszawa, 1932.

[13] B. Choudary, S. Nanda, Functional Analysis with Applications, John Wiley

Sons Inc., New Delhi, 1989.

[14] P. Schaefer, Innite Matrices and Invariant Means, Proc. Amer. Math. Soc.

36(1972), 104-110.

[15] I. Niven and H.S. Zuckerman, An Introduction to the Theory of Numbers Fourth Ed.,John Wiley, New York, 1980.

[16] H. Steinhaus, Quality Control by Sampling, Colloq. Math. 2(1951), 98-108.

[17] J.A. Fridy and H.I. Miller, A Matrix Characterization of Statistical Conver-gence, Analysis 11(1991), 59-66.

[18] E. Kolk, Matrix Maps into the Space of Statistically Convergent Bounded Se-quences, Proc. Est. Acad. Sci. 2/3 45(1996), 187-192.

[19] S. Aytar, The Rough Limit Set and the Core of a Real Sequence, Numer. Funct.

Anal. Optim., 29(3)(2008), 283-290.

[20] M. H. Protter and C. M. Morrey, A First Course in Real Analysis, Berlin, (1977).

[21] R. G. Cooke, Innite Matrices and Sequence Spaces, Macmillan, New York, 1950.

[22] C. Orhan, Some Inequalities Involving Sublinear Functionals,(1991)

[23] G. Das and S.K. Mishra, Banach Limits and Lacunary Strong Almost Conver-gence, J. Orissa Math. Society, 2(1983), 61-70.

[24] S. Simons, Banach Limits, Innite Matrices and Sublinear Functionals, J.

Math. Anal. and Appl. 26(1969), 640-655.

[25] J.A. Fridy and C. Orhan, Statistical Limit Superior and Inferior, Proc. Amer.

Math. Soc. 125(1997) n.12, 3625-3631.

[26] P. N. Natarajan, On the Core of a Sequence Over Valued Fields, J. Indian Math.

Soc. , 55(1990), 189-198.

[27] ,Sublinear Functionals and a class of Conservative Matrices, Bull. Inst. Math.

Acad. Sin. 15(1987), 89-106.

[28] J. Boos, Classical and Modern Methods in Summability, Oxford Univ. Press, 2000.

[29] J. Connor, On Strong Summability with respect to A Modulus and Statistical Convergence, Canad. Math. Bull. 32(1989), 194-198.

[30] J. P. King, Almost Summable Sequences, Proc. Amer. Math. Soc. 26(1972), 75-83.

[31] J. E. Duran, Innite Matrices and almost Convergence, Math. Z. 128(1972), 75-83.

[32] G. M. Petersen, Regular Matrix Transformation, Mc. Graw-Hill, (1996).

[33] H. Steinhaus, Sur la Convergence Ordinaire et la Convergence Asymptotique, Colloq. Math.2(1951), 73-74.

44

[34] J.A. Fridy and C. Orhan, Statistical Core Theorems, J. Math Anal. Appl.

208(1997), 520-527.

[35] J.A. Fridy and C. Orhan, Statistical Limit Points, Poc. Amer. Math. Soc.

118(1993), 1187-1192.

[36] R.C. Book, Generalized Asymptotic Density. Amer. J. Math. 75(1953), 335-346.

ÖZGEÇM“

15 Haziran 1987 tarihinde Malatya'da do§du. lk ve orta ö§renimini Malatya'da tamamlad. 2005 ylnda nönü Üniversitesi Fen-Edebiyat Fakültesi Matematik Bö-lümü lisans programna kayt yaptrd ve 2009'da bu bölümden mezun oldu. Ayn

yl nönü Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dal'nda yüksek lisans e§itimine ba³lad. “u anda ise özel bir ³irkette çal³maktadr.

Belgede ONUR SÖZÜ (sayfa 43-55)