Aklın Otoritesi ve Güvenirliğ

Santiago em [13] propˆos uma no¸c˜ao de igualdade local intervalar a partir dos resultados obtidos em [12]. A id´eia era fazer com que intervalos se comportassem como n´umeros reais que carregam a informa¸c˜ao do erro, e os mesmos pudessem ser usados em especifica¸c˜oes alg´ebrica de sistemas que necessitassem de n´umeros reais como dados. Como a aritm´etica

intervalar possui a seguinte propriedade:

[a,b] op [c,d] =_{{x op y|x ∈ [a, b] e y ∈ [c, d]},} (4.26)

´e suficiente que se fa¸ca com que os intervalos se comportem como os n´umeros reais para que sejam preservados tanto os n´umeros reais representados em [a,b] op [c,d] como o erro m´aximo cometido nessa opera¸c˜ao. A igualdade local a seguir baseia-se na id´eia de intervalos consistentes, i.e. se

[a, b]_{⊑ r e [c, d] ⊑ r (onde r ∈} )12 ent˜ao [a,b] ´e consistente com [c,d], e portanto

[a, b] ser´a equivalente a [c, d], ou segundo Santiago [12]

[a, b] ser´a localmente igual a [c, d]; em s´ımbolos,

[a, b]= [c, d].lc

A id´eia de definir uma rela¸c˜ao de equivalˆencia n˜ao usual sobre intervalos baseada em intervalos n˜ao disjuntos n˜ao ´e nova, ou seja no fundo se quer definir

A_{∼ B see A ∩ B = ∅}

Onde “_{∼” ´e uma certa no¸c˜ao de equivalˆencia entre A e B. Note que isso falha se definirmos} de maneira usual, pois para A = [1,3], B = [2,5], e C = [4,6] a rela¸c˜ao n˜ao ´e transitiva.

12

Uma das tentativas da comunidade intervalar foi definir uma fam´ılia de rela¸c˜oes de equivalˆencia atrav´es de uma estrutura chamada corpo dinˆamico _{ ( ), ⊑, ≡ onde tinha-} se a seguinte proposta A_≡x B see x∈ A ∩ B. Essa abordagem tinha a seguinte propriedade interessante:

A_≡xB∧ C ≡y D ⇒ A ∗ C ≡x∗y B∗ D (4.27)

onde _{∗ s˜ao opera¸c˜oes da aritm´etica intervalar [6]. Essa propriedade ´e uma esp´ecie de lei de} congruˆencia.

Entretanto, em vez de uma ´unica rela¸c˜ao teria-se uma fam´ılia n˜ao enumer´avel de rela¸c˜oes na estrutura _{ , ⊑, {≡}x}x∈  impossibilitando m´etodos de prova como indu¸c˜ao estruturada. A abordagem proposta por Santiago em [12] supera a anterior por propor apenas uma ´unica rela¸c˜ao, chamada igualdade local, capaz de resolver o problema acima, ou seja tem-se uma estrutura da forma



,_{⊑ ,} =lc onde lc

= ´e a rela¸c˜ao de igualdade local.

No que segue, apresenta-se os axiomas da igualdade local, os modelos, e uma forma padr˜ao de obter modelos para essa rela¸c˜ao a partir de Ω-conjuntos. Posteriormente prop˜oe-se uma interpreta¸c˜ao dessa igualdade poss´ıvel de ser expressa em CASL.

Defini¸c˜ao 4.4.1 (Teoria da igualdade local).

A teoria da igualdade local estende a teoria da igualdade de Scott, acrescentando um terceiro sentido a uma equa¸c˜ao “τ = σ”que ser´a chamada igualdade local e representado por “τ = σ”, para isso acrescenta-se os seguintes axiomas:lc

1. x=xlc ↔ def x (refl); 2. x=ylc _{→ y}=x (simetria); elc

3. def(x _{∨ z) → (x}=ylc _{∧ y}=zlc _{→ x} =z) (transitividade local).lc

onde ∨ ´e uma opera¸c˜ao bin´aria que satisfaz as seguintes equa¸c˜oes: 4. x _{∨ x ≡ x;}

5. x _{∨ y ≡ y ∨ x;}

6. x ∨ (y ∨ z) ≡ (x ∨ y) ∨ z. Defini¸c˜ao 4.4.2 (Conjuntos Locais).

Os modelos resultantes dessa extens˜ao s˜ao Ω-conjuntos acrescidos das seguintes fun¸c˜oes .= . : Alc × A → Ω e ⊔ : A × A → A, onde ⊔ tem as seguintes propriedades:

1. a⊔ a ≡ a = ⊤ ∈ Ω

2. a_{⊔ b ≡ b ⊔ a = ⊤ ∈ Ω}

3. a_{⊔ (b ⊔ c) ≡ (a ⊔ b) ⊔ c = ⊤ ∈ Ω}

A rela¸c˜ao .= . pode definida da seguinte maneira:lc

x= y = def (xlc ⊔ y) (4.28)

Entretanto essa n˜ao ´e a ´unica forma de defin´ı-la sobre um Ω-conjunto A. Um Ω-conjunto munido dessa rela¸c˜ao ser´a chamado conjunto local.

Proposi¸c˜ao 4.4.1.

Prova Os axiomas (4) - (6) s˜ao diretos13_. 1. x= x = def(xlc _{⊔ x) = def(x);}

2. x= y = def(xlc ⊔ y) = def(y ⊔ x) = y = x ;lc

3. Como def(x _{⊔z) = x}= z , ent˜ao o axioma (3) ´e uma tautologia da forma αlc _{⇒ (β ⇒}

α). QED

Em [13] p.3 ´e constru´ıdo um modelo intuicionista para a igualdade local. Entretanto a l´ogica subjacente de CASL, apesar de parcial, ´e cl´assica, e isso faz com que seja necess´ario definir um modelo booleano para que se possa utilizar o sentido (iii) em CASL.

Os Ω-conjuntos s˜ao estruturas da forma _{A, . = . : A × A → Ω, def : A → Ω. Ou} seja o predicado de definibilidade ´e interpretado como uma rela¸c˜ao de primeira ordem na estrutura. Isso significa que cada Ω-conjunto A deve possuir um elemento estranho  _∈ A que denote todos termos indefinidos da linguagem. Assim, se um termo τ n˜ao estiver definido, por exemplo 1/0, ent˜ao τ e f (τ ) ser˜ao interpretados por  _{∈ A. Al´em disso, todas} as opera¸c˜oes puramente parciais s˜ao estendidas para totais onde o valor da opera¸c˜ao nos pontos de indefinibilidade ser´a . Dessa forma, ´e necess´ario que se estenda os intervalos da seguinte maneira:

Defini¸c˜ao 4.4.3 (Conjunto local intervalar booleano).

Seja Ω={0,1} a ´algebra booleana canˆonica.Estende-se I para I = I ∪{}. Tomando-se X,Y ∈ I , define-se:

13

Observe que a igualdade nas provas acima — por exemplo: x= x = def(xlc ⊔ x) = def(x) — interpreta a equivalˆencia dos axiomas da teoria na ´algebra de Heyting completa Ω. Analogamente o ≤ interpreta a implica¸c˜ao, dessa forma o item (2) poderia ser reescrito como x= ylc ≤ y= x .lc

def X =  1, se X_{= ; e} 0, se X = . X = Y =  1, se X = [a,b], Y = [c,d], a = c e b = d; e 0, se caso contr´ario. Proposi¸c˜ao 4.4.2.

A igualdade intervalar ´e uma igualdade simples.

Prova: E suficiente mostrar que a igualdade intervalar satisfaz o axioma (refl) j´a que ´e´ sabido que ela ´e sim´etrica e transitiva. Assim

[a, b] = [a, b] = 1 = def ([a, b]).

Portanto os intervalos munidos da igualdade usual ´e um Ω-conjunto. QED

Defini¸c˜ao 4.4.4.

Dados X, Y _{∈ I} , estende-se as seguintes opera¸c˜oes: Intersec¸c˜ao:

X_{∩Y =}



[max(a, c), min(b, d)], caso X = [a,b] e Y = [c,d], a _{≤ c ≤ b ou c ≤ a ≤ d; e}

, caso contr´ario.

Pseudo Inverso Multiplicativo:

1

x =



[1_b, 1_{a], se x = [a,b] e 0 /∈ [a,b]}

, caso contr´ario.

A_{∗ B =} 

A_{∗ B em ( ), se A,B ∈ ( )}

, caso contr´ario.

onde _{∗ ∈ {+, −, ·, /}.}

Proposi¸c˜ao 4.4.3.  ( ), def , = ,∩ ´e um conjunto local.

Prova:

A opera¸c˜ao de intersec¸c˜ao∩ ´e idempotente, comutativa e associativa, e portanto satisfaz as propriedades 1, 2 e 3 da defini¸c˜ao 4.4.2. Al´em disso, define-se a rela¸c˜ao de igualdade local da seguinte maneira:

x= ylc ⇔ def (X ∩ Y ).

QED Corol´ario 4.4.1. Pode-se, agora, definir diretamente na linguagem CASL a igualdade local sobre intervalos, como segue:

x lc y <=> def x cap y. (4.29)

Assim, obt´em-se a vers˜ao booleana do conceito de igualdade local intervalar proposto em [13], e a sua defini¸c˜ao na linguagem CASL. Na pr´oxima se¸c˜ao mostra-se que a partir dessa rela¸c˜ao pode fazer com que os intervalos comportem-se como os n´umeros reais, tor- nando poss´ıvel que eles possam ser utilizados para especificar algebricamente sistemas que contenham n´umeros reais como dados.

Como CASL implementa os sentidos (i) e (ii) de Scott e os Ω-conjuntos s˜ao modelos de sorts em CASL, ent˜ao ´e natural construir a rela¸c˜ao de igualdade local em CASL. Com isso ´e poss´ıvel utilizar a ferramenta HOL-CASL para realizar a verifica¸c˜ao de sistemas cujos

os dados s˜ao n´umeros reais e que se utilize intervalos para o um controle dos erros de aproxima¸c˜ao.

No que segue prova-se que os axiomas de corpo s˜ao preservados pela igualdade local intervalar abrindo caminho para a resolu¸c˜ao de equa¸c˜oes em provadores que processem a linguagem CASL.

Proposi¸c˜ao 4.4.4. X + (Y + Z) = (X + Y) + Zlc

Como (X + Y) + Z = X + (Y + Z), ent˜ao_{∃K ∈ ( ) tal que (X + Y) + Z ∩ X + (Y +} Z) = K _{⇔ def ((X + Y) + Z ∩ X + (Y + Z)) ⇔ (X + Y) + Z}= X + (Y + Z).lc

Proposi¸c˜ao 4.4.5. X_{· (Y · Z)} = (Xlc _{· Y) · Z} Demonstra¸c˜ao anal´oga a a proposi¸c˜ao 4.4.4. Proposi¸c˜ao 4.4.6. X + Y = Y + Xlc

Como Y + X = X + Y, ent˜ao∃K ∈ ( ) tal que Y + X ∩ X + Y = K ⇔ def ((Y + X)

∩ (X + Y)) ⇔ Y + X = X + Y.lc Proposi¸c˜ao 4.4.7. X· Y = Ylc · X

Demonstra¸c˜ao an´aloga a proposi¸c˜ao 4.4.6. Proposi¸c˜ao 4.4.8. X - X = 0lc

Como 0_{∈ X - X, ent˜ao X - X ∩ [0,0] = [0,0], e portanto ∃K ∈ ( ) tal que X - X ∩ [0,0]} = K _{⇔ def ((X - X) ∩ [0,0]) ⇔ X - X} = 0.lc

Proposi¸c˜ao 4.4.9. X_{· 1X} = 1lc

Demonstra¸c˜ao an´aloga a proposi¸c˜ao 4.4.8. Proposi¸c˜ao 4.4.10. X + 0 = Xlc

Como X + 0 = X, ent˜ao trivialmente X + 0= Xlc Proposi¸c˜ao 4.4.11. X _{· 1} = Xlc

Demonstra¸c˜ao an´aloga a proposi¸c˜ao 4.4.10.

Proposi¸c˜ao 4.4.12. (Distributividade) (X . Y) + (X . Z) = X . (Y + Z)lc

Como X _{· (Y + Z) ⊆ (X + Y) + (X + Z), ent˜ao X · (Y + Z) ∩ (X + Y) + (X + Z) =} X _{· (Y + Z). Assim ∃K ∈ ( ) tal que X · (Y + Z) ∩ (X + Y) + (X + Z) = K ⇔ def (X ·} (Y + Z) _{∩ (X + Y) + (X + Z)) ⇔ X · (Y + Z)} = (X + Y) + (X + Z).lc