Cumhuriyet University, Sivas, Turkey, aadiloglu@cumhuriyet.edu.tr Ozet¨
This work studies the scattering problem on the real axis for the one dimensional Scroedinger equation with the potential linearly dependent on the spectral parameter and with the discon-tinuity conditions at some point. The new integral representations for the Jost solutions of the equation
−y00+ q(x)y + 2λp(x)y = λ2y , − ∞ < x < +∞, x 6= a with discontinuity conditions at any point a ∈ (−∞, +∞)
y(a − 0) = αy(a + 0), y0(a − 0) = α−1y0(a + 0),
are constructed. Here 1 6= α > 0, λ is a complex parameter, q(x) and p(x) are real-valued functions, p(x) is absolutely continuous on each segment of the real line and the following conditions are satisfied:
Using the new integral representations it is investigated the properties of the scattering data, obtained the main integral equations of the inverse scattering problem, also given necessary conditions characterizing the scattering data.
Kaynaklar:
[1] I. M. Gelfand and B. M. Levitan, On the determination of a differential equation from its spectral function, Izv. Dokl. Akad. Nauk USSR Ser. Mat., 15, (1955), 309-360.
[2] B. M. Levitan and M. G. Gasymov , Determination of a differential equation by two spectra, Uspehi Mat. Nauk, 19 (116), (1964), 3-63.
[3] L. D. Faddeev, On a connection the S-matrix with the potential for the one dimensional Schr¨odinger operator, Dokl. Akad. Nauk USSR, 121, (1958), 63-66.
[4] L. D. Faddeev, Properties of the S-matrix of the one dimensional Schr¨odinger equation, Amer. Math. Soc. Transl. (Ser.2), 65, (1967), 139-166.
[5] V. A. Marchenko , Sturm-Liouville Operators and Applications Birkhauser Verlag, (1986).
[6] M. Jaulent and C. Jean, The inverse problem for the one dimensional Schr¨odinger equation with an energy dependent potential, I,II. Ann. Inst. Henri Poincare, 25, (1976), 105-118, 119-137.
[7] F. G. Maksudov and G. Sh. Guseinov, On the solution of the inverse scattering problem for the quadratic pencil of the Schr¨odinger equation on the full-line, Dokl. Akad. Nauk USSR, 289 (1), (1986), 42-46.
Birinci ve ˙Ikinci Mertebeden Fark Denklemlerinin Yakla¸ sık C ¸ ¨ oz¨ um¨ u ˙I¸ cin ¨ Uretilen C ¸ ekirdek
Fonksiyonlarının Elde Edilmesi
Ali Akg¨ul
Dicle ¨Universitesi, Diyarbakır, T¨urkiye, aliakgul00727@gmail.com Ozet¨
C¸ ekirdek ¨ureten uzay ¨ozel bir Hilbert uzayıdır. C¸ ekirdek ¨ureten uzayın teorisinin olu¸sturul-ması 1908’lere dayanmaktadır. Yakın zamanlarda bir¸cok diferansiyel denklem, kısmi diferansiyel denklemler, integral denklemler ve sınır de˘ger problemleri ¸cekirdek ¨ureten uzay metoduyla in-celenmi¸stir. Diferansiyel denklemin ¸c¨oz¨um ¸sartlarının ¸ce¸sitli tanımlamalarına g¨ore buna kar¸sılık gelen ¸cekirdek ¨ureten uzaylar mantıklı bir ¸sekilde in¸sa edilebilir. Bu uzaylar tanımlan-dıktan sonra bu uzaylarda ¨uretilen ¸cekirdek fonksiyonları bulunabilir [1]. Yakın tarihte lineer olmayan problemlerin bu metodla ¸c¨oz¨um¨u ile ilgili pek ¸cok ¸calı¸sma yapıldı [3]. C¸ ekirdek ¨ureten uzay metodu ¸simdiye kadar fark denklemlerine uygulanmamı¸stır. Son zamanlarda lineer olmayan fark denklemlerine b¨uy¨uk bir ilgi olu¸smu¸stur [2, 4]. Bu ¸calı¸smada bu metodun fark denklem-lerine uygulanabilmesi i¸cin gerekli olan ¨uretilen ¸cekirdek fonksiyonları elde edildi. Bu ¸cekirdek fonksiyonlarının ¨uretilen ¸cekirdek fonksiyonlar oldukları ispatlandı.
Anahtar Kelimeler: C¸ ekirdek ¨ureten uzay, fark denklemleri, C¸ ekirdek ¨ureten uzay metodu.
Kaynaklar:
[1] M. Inc and A. Akg¨ul, The reproducing kernel Hilbert space method for solving Troesch’s problem, Journal of the Association of Arab Universities for Basic and Applied Sciences, 14, (2013), 19–27.
[2] M. Cui and Y. Lin, Nonlinear numerical analysis in the reproducing kernel space, Nova Science Publishers Inc., New York, (2009).
[3] R. P. Agarwal, Difference equations and inequalities volume 228 of Monographs and Text-books in Pure and Applied Mathematics, Marcel Dekker Inc., New York, second edition.
Theory, methods, and applications, (2000).
[4] S. N. Elaydi, An introduction to difference equations. Undergraduate Texts in Mathemat-ics, Springer-Verlag, New York, second edition, (1999).
˙Ikinci Mertebeden Lineer Olmayan Bir Fark Denklemi ¨ Uzerine
Aycan Aksoy(1), Mehmet Turan(2)
(1) Atılım ¨Universitesi, Ankara, T¨urkiye, aycanaksoyy@gmail.com
(2) Atılım ¨Universitesi, Ankara, T¨urkiye, mehmet.turan@atilim.edu.tr Ozet¨
Bu konu¸smada iki keyfi parametre i¸ceren ikinci mertebeden lineer olmayan ¨ozel bir fark denk-lemi ele alınacaktır. Bu denklem bazı dinamik yapılarıyla incelenecektir: pozitif ¸c¨oz¨umlerinin sınırlılık karakteri ve yarı d¨ong¨u analizi, periyodik ¸c¨oz¨umlerinin varlı˘gı, denge noktasının yerel ve global kararlılık analizleri yapılacaktır.
Anahtar Kelimeler: Fark denklemleri, sınırlılık, periyodik ¸c¨oz¨umler, salınımlılık, kararlılık
Kaynaklar:
[1] A.M. Amleh, E.A. Grove, G. Ladas, and D.A. Georgiou, On the recursive sequence xn+1= α + xn−1/xn, J. Math. Anal. Appl. 233 (1999), 790–798.
[2] S. Elaydi, An Introduction to Difference Equations, Springer-Verlag, New York, 1999.
[3] A.E. Hamza, On the difference equation xn+1= α + xn−1/xn, J. Math. Anal. Appl., 322 (2006), 668–674.
[4] V.L. Kocic, G. Ladas, Global Behavior of Nonlinear Difference Equations of Higher Order with Applications, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 1993.
[5] M.R.S. Kulenovi´c, G. Ladas, Dynamics of second order rational difference equations with open problems and conjectures, Chapman & Hall/CRC, New York, 2002.
Yerel olmayan integral operat¨ orleri i¸ cin kesirli Sobolev uzaylarında kondisyon analizi
Burak Aksoylu(1),(2), Zuhal Unlu(2)
(1) TOBB Ekonomi ve Teknoloji ¨Universitesi, Ankara, T¨urkiye
(2) Louisiana State University, Baton Rouge, ABD, zyeter1@math.lsu.edu
Ozet¨
Yaptı˘gımız ¸calı¸sma, kesirli Sobolev uzaylarında, tekil ve integrallenebilir ¸cekirdek fonksiyon-ları kullanarak yerel olmayan (YO) integral operat¨orlerinin kondisyonunu analizi ¨uzerinedir. Bu tip operat¨orler, ¨orne˘gin, peridinamik ve YO dif¨uzyon form¨ulasyonlarında kullanılmaktadır. 1 boyutta, ekstrem ¨ozde˘gerler i¸cin keskin sınırlar ispatlıyoruz. Sınırlar operat¨or¨un¨un tanımındaki 3 parametreyi de i¸cermektedir: yerel olmama ¨ol¸c¨us¨u, a˘g adım ¨ol¸c¨us¨u ve kesirli Sobolev uzayının mertebesi. Keskinli˘gin hem matematiksel hem de sayısal olarak ispatını veriyoruz.
En k¨u¸c¨uk ¨ozde˘ger i¸cin sınırın keskinli˘gini Sobolev uzaylarının YO karakterizasyonu sayesinde elde ediyoruz. Buldu˘gumuz ifadeyi direngenlik matrisinin Toeplitz ¨ozelli˘gini kullanarak do˘ gru-luyoruz.
En b¨uy¨uk ¨ozde˘ger i¸cin kullanılan analitik y¨ontemler keskin bir sınır vermemektedir. Bu se-beple, direngenlik matrisinin bile¸senlerini do˘grudan cebirsel yoldan hesaplayarak 3 parametrenin de a¸cık¸ca ifade edildi˘gi bir sınıra ula¸sıyoruz. Matris bile¸senlerinin karma¸sık ifadelerini sistematik bir ¸sekilde Mathematica ve uygun cebir kullanarak sadele¸stiriyoruz. Direngenlik matrisinin satır toplamının sıfır oldu˘gunu ve k¨o¸segende olmayan matris bile¸senlerinin hepsinin negatif oldu˘gunu g¨osteriyoruz. Sonunda en b¨uy¨uk ¨ozde˘ger i¸cin keskin sınıra Gerschgorin ¸cember teoremini kulla-narak ula¸sıyoruz. Bu ¸calı¸sma [3] olarak yayınlamı¸s ve di˘ger ilgili yayınlar ise [1-2]’dir.
Anahtar Kelimeler: Kondisyon sayısı, yerel olmayan operat¨or, peridinamik, yerel olmayan dif¨uzyon, Toeplitz matrisi.
Kaynaklar:
[1] B. Aksoylu and T. Mengesha, Results on nonlocal boundary value problems, Numerical Functional Analysis and Optimization, 31 (12), (2010), 1301–1317.
[2] B. Aksoylu and M. L. Parks, Variational theory and domain decomposition for nonlocal problems, Applied Mathematics and Computation, 217, (2011), 6498–6515.
[3] B. Aksoylu and Z. Unlu, Conditioning analysis of nonlocal integral operators in fractional Sobolev spaces, SIAM Journal on Numerical Analysis, 52 (2), (2014), 653–677.