Açık Devre Koruması

As técnicas de pesquisa operacional (PO) foram aplicadas preliminarmente nos estágios de desenvolvimento e de extração, onde as principais decisões incluem a definição de quando e como lavrar a jazida mineral. O processo de extração consiste em determinar como lavrar os diversos materiais e posteriormente a destinação de tais materiais, além dos tipos e quantidades de equipamentos que são também decisões necessárias ao processo de extração.

No que diz respeito a operações de lavra a céu aberto, os principais problemas são definir a cava final e o sequenciamento da lavra. Para tanto, tradicionalmente, são necessárias análises preliminares que determinem:

a) Um modelo da mineralização no qual o depósito é discretizado em um conjunto de blocos, em que cada bloco contém as informações de volume, materiais e suas propriedades correspondentes como densidade, teores e demais atributos, obtidos através de furos de sondagem.

b) O valor econômico de cada bloco, resultante da comparação entre o preço do metal a ser lavrado e os custos de lavra e beneficiamento do mesmo. c) Um modelo geométrico/geotécnico que garanta a estabilidade dos taludes

da cava e o acesso dos equipamentos.

Dois métodos clássicos principais são aplicados para determinação da cava final: O método dos cones flutuantes (Laurich, 1990) e o método de Lerchs e Grossmann (1965).

Segundo Hochbaum e Chen (2000) a determinação da cava ótima pode ser modelado como um problema de programação linear, como descrito a seguir:

max

Sujeito a

< ∀ ( , ) ∈ , (2.4.7) 0 ≤ ≤ 1.

Onde ( , ) ∈ representa o conjunto de precedências entre os blocos, é o valor econômico obtido pela extração do bloco e é uma variável binária que assume o valor 1 se o bloco é extraído e faz parte da cava final e 0 no caso contrário.

Lerchs e Grossmann (1965), especificamente, usaram um algoritmo de fechamento máximo que explora a malha de ligação entre os blocos para atingir uma solução ótima.

2.5.1.

Modelos de Sequenciamento de Lavra

Os problemas de sequenciamento de lavra além de determinar quais blocos remover, isto é, quais blocos são economicamente viáveis, procura otimizar a sequência de extração dos blocos ao longo do tempo. Ao introduzirmos o fator tempo nos modelos de otimização torna-se possível a aplicação de restrições nos recursos alocados, como capacidade de lavra e capacidade de beneficiamento, bem como a aplicação de desconto do valor econômico dos blocos ao longo do tempo.

Segundo Osanloo et al (2007), muitas pesquisas vêm sendo desenvolvidas para solução de problemas de sequenciamento de lavra, sendo que desde 1965 muitos tipos de formulações matemáticas foram considerados, incluindo programação

linear (PL), programação inteira mista (MIP), programação inteira pura e programação dinâmica (DP). Os métodos desenvolvidos podem ser classificados em três categorias:

 Métodos exatos (Dagdelen e Johnson, 1986; Caccetta e Hill, 2003; Ramazan, 2007; Boland et al., 2009);

 Métodos heurísticos e meta-heurísticos (Gershon, 1987; Denby e Schoeld, 1994; Ferland et al., 2007; Chatterjee et al., 2010);

 Métodos híbridos (Tolwinski e Underwood, 1996; Sevim e Lei, 1998; Moreno et al., 2010).

Segundo Johnson (1969), o problema de otimização do sequenciamento de lavra pode ser modelado da seguinte maneira:

max (2.4.8) Sujeito a ≤ ∑_∑ ≤ ∀ = 1, … , ; = 2, … , (2.4.9) ≤ ≤ ∀ = 1, … , ; = 2, … , (2.4.10) ≤ ≤ ∀ = 1, … , (2.4.11) = 1 ∀ = 1, … , (2.4.12) − ≤ 0 ∀ = 1, … , ; = 1, … , ; ∀ ∈ Γ (2.4.13)

0 ≤ ≤ 1 (2.4.14) Onde:

= número máximo de períodos a sequenciar = número máximo de blocos a sequenciar = índice dos blocos

= índice dos blocos lavrados no período

Γ = conjunto dos índices definidos pra o bloco , consiste nos índices de todos os blocos que devem ser removidos para a extração do bloco segundo um ângulo máximo de talude.

= contador de ∈ Γ

= destinação dos materiais (ex.: estéril=1, minério=2, ...)

= VPL resultante da lavra e beneficiamento do bloco a ser lavrado no período como material

= proporção do bloco a ser lavrado no período como material = teor médio do bloco

= massa total do bloco

= teor médio mínimo admitido na usina, considerando o material no período

= teor médio máximo admitido na usina, considerando o material no período

= Capacidade mínima de beneficiamento do material no período = Capacidade máxima de beneficiamento do material no período = Capacidade mínima de lavra no período

Este modelo considera o valor do dinheiro no tempo, múltiplos materiais e rotas de processo e uma estratégia dinâmica de teor de corte (por período e material). Na solução deste modelo de PL o problema de programação da produção multiperíodos é decomposto em um problema principal e um conjunto de subproblemas, usando o princípio de decomposição de Dantzig-Wolfe1_{. Cada}

subproblema é solucionado como um problema de único período que tem as mesmas características do problema de cava ótima, para tanto pode ser utilizado um algoritmo de fluxo máximo em redes, posteriormente, com os subproblemas solucionados, é possível obter a solução do problema principal. Apesar do método de Johson (1969) gerar resultados ótimos para cada período individualmente, uma solução ótima para o problema completo não é garantida, esta metodologia também tornou claro que modelos de PL apresentam limitações quanto à lavra parcial dos blocos.

Naturalmente que o método ilustrado é um exemplo simples de modelagem, sendo que para cenários mais complexos é possível incluir pilhas de estoque como em Caccetta e Hill (2003) e blendagem (Whittle, 2007; Ramazan e Dimitrakopoulos, 2007), porém, tais modelos dificultam o uso de modelos de programação linear. Gershon (1983) apresenta uma abordagem combinando modelos de PL e MIP para otimização do sequenciamento. Dagdelen e Johnson (1986) formularam o problema de sequenciamento de longo prazo da produção sob um modelo MIP e

1 _{O princípio da decomposição de Dantzig-Wolfe, originalmente desenvolvida pelos matemáticos}

norte-amercianos George Dantzig e Phil Wolfe, foi publicado em 1960, dando início a um intenso trabalho de pesquisa na área de programação matemática em larga escala. Este procedimento é mais adequado quando aplicado à problemas lineares cuja matriz de coeficientes tem uma estrutura angular, isto é, um ou mais blocos independentes ligados por equações acopladas. Ele opera formando um “problema mestre” equivalente, com poucas linhas, mas com número muito maior de colunas. Este problema é então resolvido sem tabular todas as colunas, gerando-as sempre que o método simplex precisa, usando uma técnica conhecida com geração de coluna. O algoritmo envolve iterações entre um conjunto de subproblemas cuja função objetivo contém parâmetros variáveis e um problema mestre. O subproblema recebe um conjunto de parâmetros do problema mestre e então envia suas soluções para o problema mestre, que combina esta solução com a solução anterior e computa novos parâmetros.

aplicou métodos de sub-gradiente e de Relaxação Lagrangeana para solução do problema.

Uma das maiores limitações dos primeiros modelos MIP para sequenciamento de lavra estava em resolver problemas de grande escala, já que estes precisam de uma quantidade grande de variáveis binárias. Os modelos baseados em PL quase sempre utilizam metodologias de lavra fracionada dos blocos, que resultam em sequências de lavra operacionalmente inviáveis e sub-ótimas. Ramazan (2007) propôs um novo método baseado no conceito de “árvore fundamental”, um método de agregação, reduzindo substancialmente o número de variáveis binárias nos modelos MIP para sequenciamento de longo prazo. Ramazan e Dimitrakopoulos (2004) também apresentaram uma metodologia alternativa para redução do número de variáveis binárias. A agregação, que combina os blocos em conjuntos de propriedades similares, tem tido um papel importante na redução do tamanho dos modelos de otimização do sequenciamento de lavra.

Nasab et al. (2010) apresentaram a aplicação prática de um modelo MIP para o problema de sequenciamento da produção em cava a céu aberto, para reduzir a quantidade de variáveis binárias na formulação agregaram os blocos em unidades maiores que representam polígonos de lavra.