3. KANDİLLİ YAZMACILIK SANATININ PLASTİK VE TEKNİK AÇIDAN
3.2. Teknik Açıdan İnceleme
O Alexandre tem 16 anos e não manifesta no seu currículo qualquer retenção. Terminou o 9.º ano com nível 4 à disciplina de Matemática, obtendo igual classificação no Exame Nacional. No final do 1.º período teve 15 valores, embora não tenha conseguido manter a classificação em nenhuma das avaliações escritas do 2.º período, registando apenas 11 valores. É um aluno aplicado e quase sempre atento que regista o conteúdo das aulas no caderno diário e faz sempre os trabalhos de casa. É participativo, autónomo e expõe as dúvidas oralmente no seio da turma. Refere que gosta de matemática “às vezes” sendo Geometria o seu conteúdo preferido. De acordo com a observação efetuada ao longo do ano-letivo, entendemos que o Alexandre facilmente elabora um raciocínio matemático lógico e coerente.
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5.4.3.1 Conhecimento Empírico de Algumas Noções em Matemática
No preenchimento do questionário o Alexandre optou pela correspondência correta de definição matemática e de axioma, tal como observamos na figura 5.11.
Para o aluno a noção de teorema prende-se com o “processo pelo qual se prova determinada afirmação” e demonstração matemática é “algo que tem que ser demonstrado de uma forma lógica e coerente”, manifestando uma evidente confusão entre as duas noções.
Na entrevista (pré-sessão) o Alexandre exprimiu por palavras suas a noção de teorema. Em relação a demonstração matemática optou por “processo pelo qual se confirma determinada afirmação para uma quantidade razoável de casos e depois se generaliza”, embora não tenha definido quantos casos são necessários. De salientar que o Alexandre defendeu a necessidade de na demonstração em matemática se provar a proposição para alguns casos particulares, e depois generalizar.
Também para este aluno explicar por palavras suas as noções matemáticas apresentadas revelou-se mais fácil do que o preenchimento do questionário, deixando transparecer que tendo conhecimentos intuitivos sobre as noções apresentadas, manifesta dificuldade em estabelecer relações mais precisas.
Figura 5. 11 – Questionário do Alexandre
5.4.3.2 Tarefa 1
O Alexandre optou por iniciar a sessão de trabalho pela tarefa de cariz geométrico atribuindo o valor 4 ao comprimento, o valor 2 à largura e determinando o comprimento das diagonais do retângulo pelo Teorema de Pitágoras (figura 5.12), dando a entender que a tarefa estava concluída.
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Figura 5. 12 – Caso concreto desenvolvido pelo Alexandre na tarefa 1
Quando questionado sobre se a tarefa estava concluída, permaneceu em silêncio alguns momentos, hesitando na resposta e deixando antever não ter percebido a natureza da mesma. A investigadora indagou o aluno sobre a forma como poderia provar a mesma afirmação para todos os retângulos, e não apenas para aquele em concreto, ao que o Alexandre respondeu de imediato: “com letras…”, percebendo assim a natureza da tarefa que lhe era proposta.
A partir deste momento o aluno mostrou-se metódico e autónomo, como podemos observar na figura 5.13, resolvendo rápida e facilmente a tarefa sem necessitar de qualquer apoio.
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5.4.3.3 Tarefa 2
Após a leitura do enunciado da tarefa, o Alexandre manifestou oralmente o seu raciocínio, dizendo “tenho 𝑦 = 𝑎𝑥2+ 𝑏𝑥 e quero chegar a −𝑏
2𝑎… o eixo de simetria passa pela abcissa… temos que saber os zeros desta função… portanto tenho que igualar a zero”, e desenvolveu correta e facilmente o cálculo dos zeros da função para o caso genérico, hesitando em 𝑥(𝑎𝑥 + 𝑏) = 0 e em 𝑥 = 0 ∨ 𝑎𝑥 + 𝑏 = 0.
Ao encontrar a condição que define os zeros da função, o aluno ficou pensativo procurando uma forma de encontrar o 2 do denominador. Perante a sugestão de relacionar a abcissa do vértice com os zeros percebeu imediatamente o procedimento que tinha que efetuar.
Salientamos que o Alexandre não necessitou de um exemplo prático para desenvolver o caso genérico, conseguindo desenvolver sem dificuldade o raciocínio abstrato necessário à realização da tarefa, e a forma metódica com que apresentou os cálculos que efetuou sem necessitar de uma explicação por extenso, tal como podemos observar na figura 5.14.
Figura 5. 14 – Registo escrito do raciocínio dedutivo desenvolvido pelo Alexandre na tarefa 2
5.4.3.4 Tarefa 3
Ao ler o enunciado desta tarefa o Alexandre identificou que para provar que a figura era um paralelogramo tinha de demonstrar que [FE] = [GH] e [FG = EH] mas, pela primeira vez desde o início da sessão de trabalho, sentiu dificuldade em desenvolver o raciocínio abstrato necessário à realização da tarefa. A investigadora optou por permanecer em silêncio, considerando a prestação que o aluno teve na realização das duas tarefas anteriores e o facto de não ter solicitado ajuda.
A primeira estratégia do Alexandre foi relacionar os pontos médios dos quatro lados do paralelogramo, tal como podemos observar na figura 5.15. Ao perceber que não era a estratégia adequada, permaneceu pensativo por um ou dois minutos tentando encontrar uma nova estratégia.
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Figura 5. 15 – Raciocínio desenvolvido pelo Alexandre na tarefa 3
A investigadora sugeriu que se provasse que o triângulo FBG é congruente com o triângulo EDH, provaria que [FG] = [EH], mas o aluno não tendo presente o conteúdo de congruência de triângulos, lecionado em anos anteriores, mostrou-se reticente em aceitar a sugestão.
Após alguns minutos, o Alexandre optou por desenvolver a sugestão do enunciado, com a ajuda da investigadora, expondo oralmente a resolução correta da tarefa, mencionando que 𝐴𝐶̂𝐷 = 𝐸𝐻̂𝐷 e que 𝐴𝐶̂𝐵 = 𝐹𝐺̂𝐵 e portanto 𝐸𝐻̂𝐷 = 𝐹𝐺̂𝐵, errando, no entanto, os ângulos quando procedeu ao seu registo, escrevendo 𝐶𝐻̂𝐺 = 𝐶𝐺̂𝐻. De seguida desenvolveu, também oralmente, o processo analítico necessário, utilizando a diagonal [BD], mas registando apenas parte da justificação oral, tal como podemos observar na figura 5.16, e enganando-se no registo escrito em que mencionou 𝐺𝐶̂𝐻 em vez de 𝐺𝐻̂𝐶.
Figura 5. 16 – Registo escrito do raciocínio dedutivo desenvolvido pelo Alexandre na tarefa 3
5.4.3.5 Tarefa 4
Inicialmente o Alexandre não percebeu a definição de função par, apresentando dificuldade em interpretar a tarefa devido ao enunciado referir 𝑦 = 𝑎𝑥2+ 𝑏𝑥 + 𝑐 e não 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2+ 𝑏𝑥 + 𝑐. Uma vez esclarecido, o aluno percebeu o que era necessário demonstrar, realizando rapidamente a tarefa e concluindo que tinha provado que “um não pode ser igual ao outro” (figura 5.17).
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Figura 5. 17 – Registo escrito do raciocínio dedutivo desenvolvido pelo Alexandre na tarefa 4
5.4.3.6 Comentário Final
O Alexandre realizou as tarefas algébricas e geométricas com a mesma facilidade, apesar de manifestar o seu desagrado pelo conteúdo de funções. O aluno desenvolveu a resolução das duas primeiras tarefas em apenas vinte minutos e precisou de menos de trinta minutos para terminar as restantes.
O Alexandre manifestou oralmente que quando percebeu a natureza das tarefas que lhe eram apresentadas, sentiu-se “um pouco assustado devido a tantas letras”, mas depois percebeu que eram de fácil resolução.
I - Em relação às duas primeiras tarefas, qual te pareceu mais fácil? A - A primeira. Eu gosto mais de geometria.
I - Qual foi a primeira coisa que pensaste?
A - Fiquei um bocado assustado porque são muitas letras. Mas depois consegui perceber. Ao ser questionado sobre o que sentiu ao trabalhar tarefas genéricas, o Alexandre respondeu que “já estava habituado”, mas sem especificar em que situação concreta o tinha feito.
Apesar de ter iniciado a primeira tarefa recorrendo a um exemplo prático, conseguiu realizar as restantes sem necessidade de cálculo numérico, manifestando capacidade de abstração e a preferência pelo cálculo algébrico em detrimento do cálculo numérico.
I - Na primeira tarefa a tua tendência foi atribuir valores… A - Sim, para perceber…
I - Mas depois já não fizeste isso… conseguiste logo com letras. Foi fácil ultrapassar a barreira dos números?
A - Sim, para mim não é difícil. Eu normalmente acerto as coisas, só que erro nas contas. Portanto sem números é mais fácil.
Perante o enunciado da terceira tarefa, o Alexandre vacilou pela primeira vez, manifestando alguma dificuldade no desenvolvimento da resolução.
I – A tarefa 3 foi mais difícil?
A - É só tentar perceber como chegar lá… como comecei no caminho errado foi mais difícil. I - Achaste essa tarefa consideravelmente mais difícil que as outras?
A - Sim… trabalhosa, não necessariamente mais difícil. I - Das 4 tarefas qual a que gostaste mais?
A - Da terceira! Deu mais para pensar…
I - Como te sentes em relação a esta vertente mais abstrata da matemática? A - Prefiro esta parte ao cálculo.
O Alexandre realizou todas as tarefas com um elevado grau de autonomia e capacidade de produzir sequências de raciocínio lógico, procurando novas estratégias quando a anterior revelava-se improdutiva.
Outro aspeto importante na prestação deste aluno foi a preocupação em escrever em linguagem matemática em detrimento das explicações por extenso.
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5.4.4 Paula
A Paula tem 15 anos, é uma aluna sossegada mas nem sempre atenta, muito influenciável, distraindo- se diversas vezes durante a aula. Em ambiente de sala de aula é pouco participativa não colocando dúvidas oralmente, mas registando os conteúdos lecionados no caderno diário. Enquadra-se na categoria de alunos difíceis de qualificar devido ao grau de timidez. A Paula não apresenta qualquer retenção no seu percurso escolar e terminou o 9.º ano com nível 3 à disciplina, conseguindo melhor classificação no Exame Nacional onde obteve nível 4. Gosta de alguns conteúdos lecionados na disciplina, destacando-se uma tendência para a Geometria. No 1.º período do corrente ano-letivo conseguiu a classificação de 15 valores tendo registado uma diminuição para 8 e 12 respetivamente na ficha e no teste de avaliação do 2.º período.
5.4.4.1 Conhecimento Empírico de Algumas Noções em Matemática
No preenchimento do questionário a Paula acertou na correspondência correta de definição (figura 5.18). Em relação a demonstração matemática, a aluna entendeu que é “algo que tem que ser demonstrado de uma forma lógica e coerente” e que teorema é o “processo pelo qual se prova determinada afirmação”, manifestando uma confusão óbvia entre as duas noções. Para axioma a Paula optou pela correspondência com “sequência de assuntos sobre a matemática”.
Na entrevista (pré – sessão) a aluna conseguiu explicar por palavras suas o que era uma demonstração matemática e um teorema, mas continuou a não conseguir encontrar a correspondência correta no questionário, manifestando dificuldade em interpretar as frases do questionário.
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5.4.4.2 Tarefa 1
A Paula optou por iniciar a sessão de trabalho com a tarefa de geometria aceitando a sugestão do enunciado. Após alguns segundos pensativa perguntou: “É suposto demonstrar isto como?… Não tenho dados… Posso medir…”.
Ao ser questionada sobre o objetivo da tarefa, respondeu que se pretende demonstrar que as diagonais do retângulo são iguais e mediu os respetivos segmentos de reta com a régua graduada. Confrontada com a hipotética inexistência de um instrumento de medição, optou por relacionar os ângulos e os lados da figura geométrica, concluindo que sendo os ângulos iguais, os lados também são iguais.
I – E se não tivesses uma régua?
A – Hmm … não sei … sabemos que todos os ângulos são iguais e portanto os comprimentos tem que ser iguais.
A aluna defendeu que como as diagonais dividem o retângulo em dois triângulos, então têm de ser iguais. Questionada sobre se essa afirmação se aplica a todos os retângulos ou apenas ao retângulo que desenhou de medidas 6,5 por 3,5, respondeu que se aplica a todos os retângulos. Perante a dificuldade da aluna em prosseguir na realização da tarefa, a investigadora propôs que escrevesse por extenso o seu raciocínio (figura 5.19).
Figura 5. 19 – Raciocínio desenvolvido pela Paula na tarefa 1
A Paula manifestou muita dificuldade na realização da tarefa não conseguindo compreender a natureza da mesma. Não desenvolveu o raciocínio abstrato necessário à sua realização, apresentando também dificuldade na explicação por extenso. Para esta aluna trabalhar “com letras foi muito confuso”.
5.4.4.3 Tarefa 2
A aluna começou por desenhar uma parábola no eixo ortonormado correspondente à função 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2+ 𝑏, 𝑎 < 0, justificando que assim teria mais facilidade na resolução da tarefa, pois sabia que o x
50 era zero. Ao ser confrontada com a função do enunciado percebeu que o gráfico que desenhou não era o adequado, mas errou na justificação alegando que os coeficientes “a” e “b” eram diferentes de zero. No seguimento da análise concluiu que a concavidade da parábola era necessariamente voltada para cima e que a variável x tinha que ser diferente de zero pois caso contrário a variável y também seria zero. A Paula tinha a ‘sensação’ de que o enunciado estava incompleto, sendo óbvio que faltavam elementos. Como forma de ultrapassar essa situação, tentou encontrar novos dados que complementassem o enunciado.
I – Porque desenhaste a parábola dessa forma?
A – Porque assim já sei que o x é zero, o que torna as coisas um pouco mais fáceis. I – O x é zero?
A – Sim. Como o vértice está sobre o eixo dos yy, eu sei que o x é zero… portanto já tenho um dado.
I – E esse dado está de acordo com o enunciado? A – Não.
I – Porquê?
A – Porque o enunciado diz que é diferente de zero… não … mas … não vai dar… I – O que estás a pensar?
A – Agora estou a ver que o enunciado dá a expressão.
Perante o bloqueio que a aluna manifestou, a investigadora propôs a resolução de um exemplo. A Paula aceitou iniciar a tarefa desenvolvendo 𝑓(𝑥) = 𝑥2+ 4𝑥, manifestando dificuldade em calcular os zeros da função, mesmo para o caso concreto.
Depois de determinar os zeros identificou que o objetivo era calcular o vértice da parábola utilizando a informação dos zeros da função. Quando questionada sobre a relação entre o ponto de interseção do eixo de simetria da parábola com o eixo dos xx e os zeros, respondeu que “o ponto de interseção está no meio dos zeros, pelo que temos que determinar o ponto médio”, concluindo o exercício. A aluna calculou os zeros da expressão geral da parábola (figura 5.20), por analogia com o caso concreto, manifestando muita hesitação e dificuldade.
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5.4.4.4 Comentário Final
A Paula mostrou-se muito insegura e nervosa durante a sessão de trabalho. Exprimiu-se oralmente de forma reticente, embora percetível e manifestou muita dificuldade na justificação escrita. Não mostrou capacidade de abstração, iniciando a primeira tarefa pela medição das duas diagonais do paralelogramo com uma régua e concluindo que são iguais porque medem o mesmo valor.
Na segunda tarefa manifestou, ainda com mais evidência, a necessidade de encontrar valores concretos, identificando o eixo das ordenadas como o eixo de simetria da parábola.
A aluna mostrou igualmente falta de consolidação de conceitos básicos para a realização das tarefas nomeadamente a tarefa de natureza algébrica, mesmo no caso concreto.
A Paula tinha realizado em momento prévio tarefas desta natureza, manifestando preferência pela tarefa 2, mas mostrando-se insegura quando questionada sobre a possibilidade de realizar novamente as tarefas sozinha. Mesmo após a conclusão continuou a achar que estas tarefas “baralham mais do que com números”.