Bishop (1959) propôs uma equação que representa a tensão efetiva no solo com a seguinte forma:
�′ = � − + − (2.8)
Na Equação 2.8 é a pressão de ar nos poros e é um parâmetro relacionado com o grau de saturação do solo, a magnitude de é 1 para um solo saturado é zero para um solo seco. Bishop observou que a relação entre e a saturação era única e que dependia do tipo de solo, do seu estado e de sua trajetória de tensões.
No entanto, o principal problema com a aplicação da tensão efetiva em solos não saturados está no fato de que a expressão proposta por Bishop não consegue representar adequadamente nem o colapso nem a expansão de solos submetidos à absorção de água. Gens (1995) explica que a equação de Bishop não funciona devido ao fato de que as forças intergranulares que surgem por aplicação de tensão ou por sucção possuem efeitos diferentes na deformação da estrutura do solo.
Estudos realizados por Jennings e Burland (1962) já demostraram que tão logo o ar entra nos poros, a pressão de água passa a não atuar em toda a secção transversal e assim, o princípio de Terzaghi das tensões efetivas deixa de funcionar. Wheeler e Karube (1995) apresentam na Figura 2.19 os diferentes modos de ação da sucção e da tensão externa, onde se observa a idealização de um solo não saturado representado por duas partículas esféricas.
Na figura, a pressão de ar é a atmosférica e a pressão de água do menisco no contato é negativa. Se uma tensão externa σ é aplicada no contorno de um elemento de solo contendo diferentes partículas produzirá tensão normal e tangencial nos contatos das partículas, mesmo que o estado de tensão externo seja isotrópico. Deste modo, se a tensão externa é suficientemente incrementada, a força tangencial nos contatos produz deslizamento entre partículas e deformação plástica.
Por outro lado, o efeito da sucção (capilar) só produz um aumento da tensão normal nos contatos o que reduz a tendência de deslizamento entre partículas. Wheeler e Karube (1995) concluíram que o incremento de sucção é equivalente ao acréscimo da tensão efetiva no caso do solo saturado devido que isto causa um aumento nas forças normais interpartículas. No entanto, é como uma redução da tensão efetiva devido a que diminui a tendência de deslizamento entre partículas.
Bishop e Blight (1963) questionaram as conclusões de Jennings e Burland (1962), e provaram que a equação proposta por Bishop pode ser usada em termos de resistência ao cisalhamento, mas indicando que não é conveniente o seu uso em termos de variação de volume.
Figura 2.19 - Influência da tensão externa e da sucção nas forças interpartículas (Modificado de Wheller e Karube, 1995).
Assim, Bishop (1959) substitui a tensão efetiva no critério de Mohr-Coulomb para solos saturados pela Equação 2.8 gerando a expressão seguinte, que representa a resistência de solos não saturados:
� = ′+ [ � − + − ] ′ (2.9)
Se o solo se encontra saturado o valor de é 1, tornando a Equação 2.9 na equação proposta por Terzaghi (1936). Skempton (1960) interpretou o valor de como uma representação de uma parcela da área total do solo. Para um solo saturado considerou que a pressão de água nos poros atua sobre uma área por unidade de área do solo, e que a pressão de ar nos poros atua numa área (1- ). Quando o solo está saturado, os vazios estão preenchidos com água e o parâmetro está perto de 1, e quando o solo está seco o valor de é pequeno.
Bishop et al. (1960) examinaram solos argilosos compactados com fração menor de 2m de 22% (Clay Shale) e 4% (Bolder Clay). A Clay Shale foi compactada com teores de umidade de 18.6% e submetido a ensaios triaxiais não drenados. Ao longo do adensamento e cisalhamento, foram medidas as variações de ua e uw,
obtendo os resultados apresentados na Figura 2.20. Foram plotados de forma a evitar a sobreposição de círculos de Mohr e permitir a obtenção de diretamente do gráfico. Os ensaios saturados estão representados pelas linhas retas inclinadas cujas abscissas são dadas por � + � ⁄ − e as ordenadas por � − � ⁄ . Os ensaios não saturados são representados em termos de � + � ⁄ − e � + � ⁄ − na abscissa e � − � ⁄ na ordenada. A Figura 2.21 apresenta esquematicamente como se determina o valor de para este tipo de representação de resultados. A partir da Equação 2.8 tem-se que o valor de é dado por:
=
�′ �− ��− �
(2.10)
Para um determinado valor de resistência, o termo �′ representa a tensão efetiva obtida do ensaio saturado, correspondendo ao valor de da Figura 2.21. O termo � − é dado pelo comprimento e a sucção pela diferença entre os termos � + � ⁄ − e � + � ⁄ − , sendo representada por − . Desta forma o valor de é obtido pela seguinte expressão:
Figura 2.20 - Resultados de ensaios triaxiais não drenados realizados em amostras argilosas (Clay Shale) compactadas (Bishop et al. 1960).
Figura 2.21 - Determinação do valor de para ensaios triaxiais realizados com umidade constante e diferentes pressões confinantes (Bishop et al. 1960).
Bishop e Donald (1961) realizaram ensaios triaxiais drenados e com umidade constante e ensaios de adensamento sobre um solo siltoso (Breahead Silt). O solo foi
preparado com uma consistência de lama e drenada a uma sucção constante de 0.2 kPa (0.9 p.s.i.), para logo ser submetido a uma pressão confinante de 14 kPa (2 p.s.i.), a partir desta condição foram ensaiados os corpos de prova com diferentes níveis de sucção. Nos ensaios drenados, � , e variam ao longo do cisalhamento e os valores de � − e − são mantidos constantes.
Nos ensaios com umidade constante o valor de permanece inalterado sendo assim obtidas as variações de . A Figura 2.22 apresenta os resultados dos ensaios drenados e não drenados assim como a forma de obtenção do valor de para o solo Breahead Silt.
Figura 2.22 - Determinação do valor de para o solo Breahead Silt mediante ensaios triaxiais com sucção controlada realizados na condição drenada e na umidade constante (modificado de Bishop e Donald, 1961).
Mais recentemente, Khalili e Khabbaz (1998) concluíram que existe uma forma de obter o valor de associado ao valor da sucção da entrada de ar da curva de retenção. Mediante estudos experimentais obtiveram uma relação linear entre e a sucção matricial normalizada pela entrada de ar (razão da sucção) apresentado na Figura 2.23. O estudo foi ampliado por Khalili et al. (2004), onde obtiveram boa
concordância entre resultados de laboratório e previsão com o modelo, tanto de resistência ao cisalhamento quanto na variação de volume.
Figura 2.23 - Relação entre a o parâmetro de tensão efetiva e a razão da sucção ( −
� / − � , escala linear (Khalili e Khabbaz, 1998).