AFİNİTE KROMATOGRAFİSİ Hidrofobik EtkileĢim Kromatograf
3. Ġkincil çekirdeklenme ile oluĢan kopolimer partikülleri nedeniyle eĢ boyutluk kontrol
Pelo Teorema A de [MPP99], temos que cada singularidade do fluxo é de tipo Lorenz. Em particular DXt(σ) tem dois autovalores negativos e um autovalor positivo, para cada
σ ∈ Sing(X). Logo, cada singularidade σ tem índice 1.
Por outro lado, como X −⋔∂M e aponta para o interior M , podemos usar o teorema de Poincaré-Hopf para concluir que o número de singularidades de X é igual a −χ(M).
Afirmação 3.8.2. A folheação Ws induz uma folheação com singularidades de índice -1
sobre ∂M.
Com efeito, segue de [MPP99] que as folhas estáveis fortes Wss(σ) constituem arcos
propriamente mergulhados em M. A interseção destes arcos com ∂M é um conjunto finito P ⊂ ∂M . Fora deste conjunto P , devido a X ser Seccional-Anosov e a X(p) ∈ Ws por definição de Ws, obtemos a folheação Ws∩ ∂M em ∂M pela interseção das folhas de Ws
com ∂M. A folheação Ws∩ ∂M é unidimensional, com folhas singulares de dimensão zero
em P . Além disso, pela transitividade de X, cada singularidade σ é de tipo Lorenz. O com- portamento assintótico do fluxo Xt nas proximidades da singularidade σ nos fornece que os
pontos de P são de tipo sela com índice -1. Isto prova a afirmação.
Para cada componente conexa S de ∂M tem-se que χ(S) é igual a soma dos índices das singularidades, logo χ(S) ≤ 0. Portanto, existe uma singularidade se e somente se existe uma componente S de ∂M com χ(M) < 0. Isto prova o item (2) do teorema.
Observe que a existência da folheação Ws∩ ∂M não permite a existência de esferas S2
nem planos projetivos P em ∂M. Assim, a variedade obtida pela substituição de cada S2
de ∂M por uma bola B3 a partir de M é a própria variedade M. De outro lado, como ∂M
não contém planos projetivos P, podemos usar o Lema 7.3 de [Hem76], para concluir que o primeiro grupo de homologia, H1(M ), é infinito. Pela identidade de Hurewicz
H1(M ) =
π1(M )
[π1(M ), π1(M )]
concluimos que π1(M ) é infinito. Isto prova o item (3) e o teorema esta provado.
3.4
Clasificação
Existe alguma clasificação de 3-variedades M que suportam fluxos Seccional-Anosov tran- sitivos. O Teorema D permite dar uma resposta a esta questão para algumas 3-variedades compactas M com fronteira. Denotamos por:
S2 - Esfera bidimensional
B3 - A bola unitária de dimensão três
RP2 - O plano projetivo real T2 - O toro bidimensional
30 RESULTADOS TOPOLÓGICOS PARA 3-VARIEDADES 3.4 K2 - A garrafa de Klein
C8 - O complemento de uma vizinhança tubular do nó figura 8 in S3
Hn - O handlebody orientado de dimensão três ([Morb])
P Hn - O handlebody com remoção de B3 em seu interior e genero n ([Sod])
Teorema 3.9. A tabela a seguir estabelece a existência de fluxos Seccional-Anosov transiti- vos nas respectivas 3-variedades compactas:
3-variedade Sem singularidades Com singularidades
B3 Não Não RP2× [0, 1] Não Não S2× [0, 1] Não Não D2× S1 Não Não T2× [0, 1] Não Não K2× [0, 1] Não Não C8 Sim Não
Hn com n ≥ 2 Não Sim
P Hn com n ≥ 2 Não Não
Demonstração. Pelo Teorema D, a fronteira ∂M de cada variedade compacta M suportando fluxo Seccional-Anosov sem singularidades é a união de toros T2 ou garrafas de Klein. Segue
daqui que não existe fluxo Seccional-Anosov sem singularidades sobre as variedades B3,
RP2× [0, 1], S2 × [0, 1], Hn com n ≥ 2 e P Hn com n ≥ 2. Em [Morb] foi provado que Hn com n ≥ 2 suporta fluxo Seccional-Anosov transitivo com singularidades.
Como χ(∂B3) ≥ 0, χ(∂(RP2× [0, 1])) ≥ 0 e χ(∂(S2× [0, 1])) ≥ 0, segue do Teorema D
que não existe fluxo Seccional-Anosov transitivo com singularidades sobre as variedades B3,
RP2× [0, 1] e S2 × [0, 1].
O toro sólido D2 × S1 não pode suportar fluxo Seccional-Anosov transitivo, uma vez
que χ(∂(D2× S1)) = 0 pelo Teorema D tal fluxo seria sem singularidades, no entanto, isto
contradiz o Lema 2.3 in [Mora].
Pelo Lema 3.8 não existe fluxo Seccional-Anosov sem singularidades sobre T2× [0, 1] ou
K2× [0, 1].
Para obter um fluxo Seccional-Anosov transitivo sem singularidades sobre C8 tome um
difeomorfismo Anosov A definido em T2, a seguir tome a suspensão de A, usando a ope-
ração DA ao longo da órbita que resulta do ponto fixo de A e remova uma vizinhança da órbita periódica repulsora resultante. Este procedimento esta bem explicado na construção clássica de do fluxo DA Anosov [FW]. Não existe fluxo Seccional-Anosov transitivo com singularidades em C8, pois χ(∂C8) = 0.
Finalmente, observe que qualquer 3-variedade compacta suportando fluxo Seccional- Anosov com todas as singularidades de tipo Lorenz não podem ter S2 como componente
de ∂M. Aplicando este fato a P Hn com n ≥ 2resulta que P Hn não pode suportar fluxo
Seccional-Anosov transitivo.
Observação 3.10. Sodero [Sod] usou os fluxos Seccional-Anosov transitivos de [Morb] para mostrar que P Hn com n ≥ 2 suporta fluxo Seccional-Anosov. Claramente, os fluxos que ela
3.4 CLASIFICAÇÃO 31 obteve em [Sod] não são transitivos (como explicado no interior da prova do Teorema 3.9). Deve-se notar que a transitividade do fluxo em [Morb] não é importante para a construção em [Sod]. De fato, isto é equivalente a se M é uma variedade compacta com fronteira suportando fluxo Seccional-Anosov, então cada variedade obtida pela remoção de bolas B3 também
suporta fluxo Seccional-Anosov. Porém, isto é parte de uma conjectura dada por Sodero em [Sod], que afirma que em dimensão maior do que 2, cada variedade compacta com fronteira suporta fluxo Seccional-Anosov.
Capítulo 4
Prova do Teorema A
Neste capítulo, nosso objetivo é provar o Teorema A, terceiro resultado deste trabalho, cujo enunciado é dado a seguir.
Teorema (A). Seja X fluxo Seccional-Anosov de codimensão um, definido sobre uma vari- edade Riemanniana M compacta, conexa e possivelmente com bordo não vazio. Então, existe uma curva fechada γ transversal à folheação (singular) estável fraca Ws de M.
Para provar este teorema, primeiro mostramos que existe um ponto regular p ∈ M, cujo conjunto omega limite, ω(p) não se reduz a uma singularidade. A seguir, construímos uma curva fechada transversal a Ws.
Consideramos, X um fluxo Seccional-Anosov de codimensão um, definido sobre uma va- riedade Riemanniana M de dimensão n ≥ 3, compacta conexa e com bordo, possivelmente não vazio, com número finito de singularidades.
4.1
Existência de
p ∈ M com ω(p) 6= {σ}
Nesta seção será mostrado que é possível encontrar um ponto p ∈ M para o qual seu conjunto omega limite ω(p) não é uma singularidade σ ∈ Sing(X). O propósito, é assegurar certa recorrência, semelhante à usada por Novikov ([Nov65], Lema 1.2 ou [CL85], Proposi- ção 4, p. 140) para folheações regulares, para posteriormente construir uma curva fechada transversal à folheação singular Ws.
É importante mencionar que o resultado a seguir é válido para qualquer singularidade hiperbólica σ do fluxo Seccional-Anosov X.
Proposição 4.1. Seja X fluxo Seccional-Anosov de codimensão um definido sobre uma variedade Riemanniana compacta, conexa M, possivelmente com bordo não vazio. Então, existe p ∈ M cujo ω-limite não se reduz a uma singularidade.
Demonstração. Observamos em primeiro lugar que este ponto p não pode ser uma singula- ridade e nem fazer parte da variedade estável forte Wss(σ) da singularidade.
34 PROVA DO TEOREMA A 4.1 Suponha que a conclusão do enunciado não é válida, assim para todo p ∈ M, ω(p) = {σ}, para algum σ ∈ Sing(X).
Afirmação 4.1.1. Se ω(p) = {σ} para alguma singularidade σ ∈ Sing(X), então O(p) ⊂ Ws(σ).
De fato, suponha por absurdo que O(p) 6⊂ Ws(σ). Como ω(p) = {σ} para alguma
singularidade σ ∈ Sing(X), temos uma sequencia de pontos pn= Xtn(p) que converge para
σ, quando n −→ +∞, tal que pn∈ W/ s(σ).
Seja Bǫ(σ) a bola fechada de raio ǫ > 0 centrada na singularidade σ. Podemos supor
sem perda de generalidade que todos os pn ∈ Bǫ(σ). Agora, como σ é uma singularidade
hiperbólica, a órbita O(p) intersecta ∂Bǫ(σ) em um número infinito de pontos qn formando
uma sequencia infinita. Como ∂Bǫ(σ) é compacto, qn possui uma subsequencia qnj ∈ O(p)
convergindo, digamos, para q ∈ ∂Bǫ(σ), logo lim
j→∞qnj = q. Daqui, q 6= σ e q ∈ ω(p). Contra-
dição. Isto prova a afirmação.
Como estamos assumindo que X tem um número finito de singularidade, podemos es- crever Sing(X) = {σ1, . . . , σk}.
Afirmação 4.1.2. Se para todo p ∈ M tem-se ω(p) = {σ} para alguma singularidade σ ∈ Sing(X), então M =
k
[
i=1
Ws(σi).
De fato, basta mostrar que M ⊂
k
[
i=1
Ws(σi). Para isto, seja q ∈ M , então pela afirmação
4.1.1. O(q) ⊂ Ws(σ
i) para algum i ∈ {1, 2, . . . , k}, logo X0(q) = q ∈ Ws(σi) para algum
i ∈ {1, 2, . . . , k}. Como desejávamos mostrar.
Afirmação 4.1.3. Se para todo p ∈ M tem-se ω(p) = {σ} para alguma singularidae σ ∈ Sing(X), então M (X) = Sing(X).
De fato, M (X) = \ t≥0 Xt(M ) = \ t≥0 Xt[ k [ i=1 Ws(σi)] (Afirmação 4.1.2.) = k [ i=1 \ t≥0 Xt(Ws(σi)) = k [ i=1 {σi} = Sing(X)
Para concluir a demonstração do teorema, recordemos que X é de codimensão um, logo dim(Ec(σ
4.1 EXISTÊNCIA DE P ∈ M COM ω(P ) 6= {σ} 35 1. Se σi é de tipo Lorenz, temos Ec(σi) = Eu(σi) ⊕ Esj(σi). De onde dim(Wu(σi)) = 1.
2. Se σi não é de tipo Lorenz, temos Ec(σi) = Eu(σi), de onde dim(Wu(σi)) = 2
Em ambos os casos temos que Wu(σ
i) 6⊂ M (X), pois de acordo à afirmação 4.1.3. resulta
dim(M (X)) = dim(Sing(X)) = 0. Isto contradiz o fato bem conhecido que Wu(σ
i) ⊂ M (X)
para cada i ∈ {1, 2, . . . , k}, uma vez que M(X) é um sumidouro, [Rob95].
Assim, supor que para todo p ∈ M, ω(p) é alguma singularidade σ ∈ Sing(X) nos leva a uma contradição. Portanto, a proposição esta demonstrada.
Como consequencias imediatas, temos,
Corolário 4.2. Nas condições da Proposição4.1existem dois pontos não singulares p, q ∈ M tais que q ∈ ω(p).
Demonstração. Da Proposição 4.1 existe p ∈ M tal que ω(p) não se reduz a uma singulari- dade, logo contem pelo menos um ponto q 6= σ.
Corolário 4.3. Nas condições da Proposição 4.1, existe um ponto regular q ∈ ω(p) tal que q /∈ Wss(σ) para toda singularidade σ ∈ Sing(X).
Demonstração. Suponha que a conclusão do enunciado não é válida, isto é, q ∈ Wss(σ) para
alguma singularidade σ ∈ Sing(X). Como q ∈ ω(p) ⊂ M(X) então Wss(σ) ∩ M (X) 6= {σ}.
Isto contradiz ao segundo item da Proposição 1.20. Logo o corolário esta demonstrado.
Observação 4.4. Convem observar o seguinte:
1. Nada impede de termos p = q, pois pela prova da Proposição 4.1, este ponto faz parte de uma folha regular. Nesse caso, a órbita O(p) se autoacumula sobre ela mesma. E portanto, isto dá origem a uma folha que se acumula sobre ela mesma.
2. As folhas Lp e Lq que contem p e q respectivamente são folhas não singulares, de tal
forma que a folha Lp acumula sobre a folha Lq.
A seguir, enunciamos dois lemas da teoria geral de folheações, cujas demonstrações po- dem ser encontradas em [CL85] ou [Nov65]. Para o primeiro lema, é entendido que F é uma folheação de classe Cr, r ≥ 1, e codimensão n sobre uma variedade M de dimensão m. E
para o segundo lema, é assumido que a codimensão de F é um.
Como tratam-se de resultados locais, estes permanecem válidos para a folheação singular que estamos considerando.
Lema 4.5 (Lema de trivialização global). Seja γ : [0, 1] −→ Mm um caminho sim-
ples, contínuo, tal que γ([0, 1]) ⊂ F ∈ F. Existe uma vizinhança V ⊃ γ([0, 1]) e um Cr-
difeomorfismo h : Dm−n× (−ρ, ρ) −→ V tal que h∗F é uma folheação cujas folhas são as
36 PROVA DO TEOREMA A 4.2 Este lema nos indica que a folheação F|V é difeomorfa à folheação produto Dm−n ×
(−ρ, ρ), cujas folhas são da forma Dm−n× {t}.
Quando a folheação é de codimensão um temos a seguinte versão melhorada.
Lema 4.6. Seja F uma folha de uma folheação transversalmente orientada sobre M de co- dimensão um, e f0 : K −→ F uma aplicação contínua homotópica a uma constante, onde K
é compacto e conexo por caminhos. Existe uma família continua de aplicações ft : K → M ,
t ∈ [0, 1], tal que ft(K) esta contido na folha Ft. Para cada x ∈ K fixado, a curva t −→ ft(x)
é normal a F
Agora estamos em condições de construir uma curva fechada transversal à folheação Ws
associada a um fluxo Seccional-Anosov de codimensão um. O Teorema (A) vale também independente de qual seja o tipo de singularidade hiperbólica do fluxo Seccional-Anosov X.