O valor do limiar, em geral, depende do n´ıvel do ru´ıdo e da quantidade de coefi- cientes necess´arios para se representar de maneira apropriada o sinal original. Por- tanto, o valor deste limiar ´e fun¸c˜ao tanto das caracter´ısticas do ru´ıdo quanto do sinal que se deseja aproximar.
Apresentamos a seguir alguns valores de limiar que foram propostos por Donoho e Johnstone para a fun¸c˜ao de limiar Soft.
VisuShrink
O valor de limiar VisuShrink n˜ao procura minimizar o erro m´edio quadr´atico, mas apenas considera a obten¸c˜ao de uma estimativa “suave”, que no caso da redu¸c˜ao de ru´ıdo em imagens, produz uma estimativa com uma boa aparˆencia visual, da´ı o nome VisuShrink.
Este valor de limiar, constitui um valor “universal” (v´alido para sinais gerais que possam ser bem representados com poucos coeficientes Wavelet) sugerido por Donoho
e Johnstone em [24] para o caso de AWGN, sendo dado por
t = σp2 log L, (2.39)
em que σ ´e o desvio padr˜ao do ru´ıdo e L ´e o n´umero de coeficientes que, nesta tese, corresponde ao comprimento de cada bloco.
O sinal estimado apresenta pouco ru´ıdo pois, com probabilidade tendendo a um, o valor universal remove todos os coeficientes correspondentes ao ru´ıdo. Por exemplo, para um bloco apenas com a presen¸ca do ru´ıdo
lim L→∞Pr n cmax(L)≤ p 2 log Lσo= 1, (2.40)
sendo cmax(L) = maxL−1i=0 {|Wi|} a m´axima magnitude dos coeficientes Wi, supostos
i.i.d. com distribui¸c˜ao N (0,σ). [2, Sec. 3.4.5]
Ou seja, se o sinal for nulo, com grande probabilidade, obt´em-se um sinal re- constru´ıdo nulo. Por este motivo, m´etodos que empregam este valor de limiar s˜ao, algumas vezes, chamados de elimina¸c˜ao de ru´ıdo, ao inv´es de redu¸c˜ao de ru´ıdo.
J´a nos blocos com a presen¸ca de sinal, pode-se dizer que, com probabilidade ten- dendo a um (se L→ ∞), o sinal reconstru´ıdo ´e, pelo menos, t˜ao suave quanto o sinal original [2, Sec. 3.4.4]. Esta garantia de suavidade n˜ao ocorre para valores de limiar mais baixos e que s˜ao obtidos com os m´etodos que procuram minimizar o MSEE, apresentados a seguir.
RiskShrink
O valor de limiar RiskShrink foi determinado por Donoho e Johnstone em [4] de maneira a minimizar o MSEE, E||s − ˆs||2, tamb´em chamado de risco da estimativa. O termo Shrink refere-se `a redu¸c˜ao dos coeficientes promovida pela fun¸c˜ao de limiar Soft.
Na Tabela 2.1, reproduzimos de [4, Tabela 1] os valores VisuShrink e RiskShrink calculados em um exemplo que sup˜oe conhecido o sinal original s e estima ˆs pela aplica¸c˜ao da fun¸c˜ao Soft aos coeficientes Wavelet ruidosos. Nestas condi¸c˜oes, o valor ´otimo RiskShrink t∗ ´e obtido por simula¸c˜ao computacional, na qual se determina
L 26 27 28 29 210 211 212 213 214 215 216
RiskShrink 1,474 1,669 1,86 2,048 2,232 2,414 2,584 2,773 2,952 3,13 3,31 VisuShrink 2,884 3,115 3,33 3,532 3,723 3,905 4,079 4,245 4,405 4,56 4,71
Tabela 2.1: Valores de limiar RiskShrink e VisuShrink em fun¸c˜ao de L, para σ2 = 1.
o valor de limiar que minimiza o MSEE. Como se pode observar na tabela, com o aumento de L, os valores dos limiares se tornam parecidos. Na realidade, quando L tende ao infinito, o limiar RiskShrink cresce com a mesma propor¸c˜ao que o valor VisuShrink [4], conforme se pode observar na Fig. 2.10, na qual representamos os valores da tabela.
Deve-se esclarecer que, no exemplo da tabela, o aumento de L foi obtido pelo aumento da taxa de amostragem, ou seja, tomando-se mais amostras dentro de um bloco correspondente a um intervalo de tempo fixo. Ainda, deve-se salientar que o threshold Soft foi aplicado apenas aos coeficientes de detalhe.
SUREShrink
O termo SURE se refere a Stein’s Unbiased Risk Estimate que ´e o m´etodo empre- gado em [23] para determina¸c˜ao do limiar da fun¸c˜ao Soft. O valor de limiar ´otimo ´e escolhido de maneira a minimizar o MSEE (risco da estimativa).
A contribui¸c˜ao de cada coeficiente do sinal estimado para o MSEE ´e dada, apro- ximadamente, por Θ (|Yi| ,t) = E Si− ˆSi 2 = E [S2 i]≈ |Yi|2− σ2, |Yi| < t E(Wi− t)2 = t2+ σ2, |Y i| ≥ t (2.41) onde Wi ´e o coeficiente Wavelet do ru´ıdo com distribui¸c˜aoN (0,σ), Si ´e o coeficiente
Wavelet do sinal e Yi = Si + Wi, para i = 0, 1, . . ., L− 1.
Ou seja, quando a magnitude do coeficiente observado |Yi| est´a abaixo do limiar
t, o coeficiente estimado ˆSi = 0 e, portanto, o erro cometido ´e igual ao coeficiente
Si. Caso contr´ario, o coeficiente de entrada ´e encolhido de t, fazendo ˆSi = Yi − t e
introduzindo um erro Si− ˆSi = Si− (Yi− t) = Si− (Si+ Wi− t) = Wi− t.
Na Fig. 2.11, podemos observar a curva exata do risco Θ (|Yi| ,t) × |Yi| para limiar
t = 3 e ru´ıdo Gaussiano com σ = 1. Indicamos, no mesmo gr´afico, em tracejado, os valores previstos pela f´ormula (2.41). Podemos constatar que, em geral, obt´em-se uma boa aproxima¸c˜ao, exceto para coeficientes pr´oximos do limiar.
Uma vez estimado o risco de cada coeficiente, pode-se estimar o risco total por ˆ R (Y , t) = L−1 X i=0 Θ (|Yi| , t) . (2.42)
Um algoritmo para determinar o limiar ˜t que minimiza ˆR (Y , t) ´e o seguinte: 1. Forme o vetor {ak}Lk=1 contendo os valores |Yi| em ordem crescente.
2. Seja l o ´ındice tal que al ≤ t < al+1. Para 1≤ l ≤ L, calcule
ˆ R (Y , t) = L−1 X i=0 Θ (|Yi| , t) (2.43) = l σ2 + t2+ L X k=l+1 a2k− σ2 = L X k=l a2k− (N − l) σ2 + l σ2+ t2
Figura 2.11: Curva do risco para fun¸c˜ao Soft com limiar t = 3 e ru´ıdo Gaussiano com σ = 1. Em tracejado, os valores previstos pela f´ormula (2.41).
3. Escolha ˜t = al, sendo l o ´ındice que fornece o menor risco.
O m´etodo SUREShrink foi desenvolvido para transformada Wavelet, podendo ser empregado com outras transformadas ortogonais. Particularmente, no caso das Wavelets, pode-se calcular um valor de limiar para cada escala, de maneira que o sinal estimado se adapta de maneira quase ´otima `a suavidade do sinal original, conforme demonstrado em [23]. O valor ˜tj na escala j ´e calculado formando um vetor com os
coeficientes de cada n´ıvel e aplicando o algoritmo anterior, separadamente, a cada um destes vetores.
Deve-se atentar que trechos n˜ao voc´alicos do sinal de voz n˜ao podem ser consi- derados “suaves”, i.e., pertencentes a um espa¸co com suavidade de Besov discutido em [23] e, al´em do mais, o estimador SURE aproxima-se do risco minimax apenas de maneira assint´otica, i.e., quando L→ ∞. [23]
Acrescente-se `a discuss˜ao que, no caso de AWGN e transformadas ortogonais, a energia do ru´ıdo se distribui de maneira uniforme por todos os coeficientes. Conse-
q¨uentemente, nesta situa¸c˜ao, n˜ao existe vantagem, do ponto de vista da elimina¸c˜ao do ru´ıdo, em se empregar diferentes valores de limiar em cada n´ıvel da decomposi¸c˜ao.
HybridShrink
Em aplica¸c˜oes pr´aticas, quando a energia do sinal original ´e muito pequena, o limiar SUREShrink possui um valor muito baixo. Para corrigir este problema, Donoho e Johnstone [23] propuseram o limiar HybridShrink
t = σ√2 log L, ||Y ||2− σ2 ≤ ǫ L
min˜t, σ√2 log L , caso contr´ario. (2.44) Ou seja, se a estimativa da energia do sinal, ||Y ||2− σ2, for menor do que um certo
limiar ǫL = σ2(log2L) 3/2
/√L (fun¸c˜ao da potˆencia do ru´ıdo, σ2, e do n´umero consi-
derado de coeficientes, L), emprega-se o limiar universal. Caso contr´ario, emprega-se o m´ınimo entre o limiar obtido pelo algoritmo SureShrink e o valor universal.