ĠĢbirlikli Oyunlar

Bölüm 2.4.1 ve 2.4.2'de iĢbirlikçi olmayan oyunlarla ilgili olarak incelenen modeller, oyuncuların birbirleriyle iĢbirliği yapmadığını varsaymaktadır. Bu bölümde normal biçimli oyun çerçevesinden iki oyunculu pazarlık problemi incelenmektedir.

2.3.2.1 Pazarlık Problemi

Pazarlık teorisi, sadece alıcı ve satıcının birbirlerine tekliflerde bulunduğu durumları açıklamak için kullanılan bir teori olmasının yanı sıra, aynı zamanda iktisadi oyuncuların paylaĢım, kontrat ve/veya birlikte karar vermesi gereken durumları açıklayan bir teoridir. Ġki oyunculu pazarlık oyunları genelde iĢbirlikli ve iĢbirlikli olmayan Ģeklinde kendi içinde ikiye ayrılmaktadır. ĠĢbirlikli pazarlık oyunları belirli aksiyomlara ve koĢullara dayalıdır. Dolayısı ile aksiyomlara dayalı pazarlık modelleri diye de adlandırılırlar. Nash pazarlık çözümü iĢbirlikli pazarlık teorisi içerisinde yer alan önemli bir pazarlık çözümüdür. Bir diğeri ise Kalai-Smorodinsky pazarlık çözümüdür. Bu çalıĢmada Nash pazarlık çözümünü referans alarak politika yapıcıları arasında iĢbirlikli politika kuralları türetilecektir.

2.3.2.2 Nash Pazarlık Çözümü

Herhangi bir pazarlık durumunda pazarlığa dahil olanların üzerinde anlaĢabilecekleri çok sayıda olası durum ve dolayısıyla alternatif sonuçlar kümesi( )S ve her i oyuncusunun bu küme üzerinde tanımlanan fayda fonksiyonu u olsun. Ġki _i

oyuncu da bu kümenin unsurları üzerinde anlaĢmak istemektedir. AnlaĢmaya vardıktan sonra pazarlık sona erer ve iki oyuncunun fayda düzeyi belirlenir. Her iki oyuncunun pazarlığa girmesi, bu pazarlığın S kümesindeki sonuçlarının, iki oyuncunun anlaĢamamaları durumundan daha fazla fayda vermesi anlamına gelmektedir. Eğer oyuncular anlaĢamazlar ise mevcut durumları yani pazarlık öncesi durumları devam etmektedir. Mevcut durum veya anlaĢmazlık durum faydaları d ile gösterilir.

Bu durumda iki oyuncu arasındaki pazarlık problemi ( , )S d ikilisi ile _i

tanımlanabilir;

ġekil 5: Oyuncuların Fayda Dağılım Kümesi

Burada S simetrik, kompakt ve konveks bir küme olduğu SR2, 2

1 2

( , )

i

d  d d R ve S



( ,x x_{1 2}) :x₁d x₁, ₂ d₂



boĢ olmayan bir küme olduğu

varsayılmaktadır. Oyuncular, stratejilerini rastlantısal yapmayı kabul ederlerse konvekslik sağlanır. Böylece, eğer u ve ₁ u vektörleri ve 0₂   1 ise beklenen fayda

1 2

( ) u  (1 )u Ģeklinde olur. Bir pazarlık oyunu konveks ise bu oyunun tek bir çözümü olduğunu garanti altına alınır. Dolayısıyla Ģu tanım yapılabilir:

Tanım 5: Ġki oyunculu pazarlık oyununda olası sonuçlar kümesi S ve her i

oyuncusunun bu küme üzerinden tanımlanan fayda fonksiyonu u_iolsun. Böylece;

a) her sSiçin u s₁( )d₁ve u s₂( )d₂

b) koĢulu her iki oyuncuyu da anlaĢmazlık durumundan daha iyi bir duruma getirmeyi garanti altına almayı amaçlar. O halde pazarlık problemi(oyunu) aĢağıdaki gibi gösterilebilir:



S u d, ( ,1 1), ( ,u d2 2)



 

Burada S , u ve a) ve b) koĢulunu sağlamalıdır. Burada s₁ Sher bir alternatif sonuç, U 



u s u s1( ), 2( ) :



sS



fayda dağılım kümesi içerisinde u s ve 1( ) u s fayda 2( ) çiftlerine karĢılık gelmektedir.13

Her  pazarlık oyununun tüm karĢılıklı anlaĢma kümesi yani çözüm kümesi ( )s  olarak tanımlanır ve  pazarlık oyunundaki tüm tatmin edici karĢılıklı anlaĢmaların kümesidir. Pazarlık sürecinin bir anlaĢmaya varabilmesi yani çözüme ulaĢması için sonuçların her iki oyuncu için de yeterince iyi olması gerekir. Dolayısıyla bunun için bazı koĢullar ya da aksiyomlar gerekmektedir. Bu aksiyomlar Ģu Ģekilde sıralanmaktadır:

Aksiyom 1: Çözüm pareto etkindir: a) u s₁( )u s₁( )* ve * 2( ) 2( ) u s u s ve b) En az bir i oyuncusu için * ( ) ( ) i i u s u s .

Aksiyom 2: Çözüm simetriktir: Eğer S kümesi simetrik ise oyunun çözümü konusunda

elde edilen faydalar * * * *

1 2 2 1

(u u, )(u u, ) Ģeklindedir.

Aksiyom 3 : Çözüm ilgisiz alternatif sonuçlardan bağımsızdır: Eğer her



S u d, ( ,1 1), ( ,u d2 2)



  pazarlık problemi, s( ) T ve ( ,d d_{1 2})U_T durumunu sağlayan S 'in her altkümesi için (s   _T) s( ) durumuna sahipse o halde çözüm ilgisiz alternatiflerden bağımsızdır.

Aksiyom 4: Çözüm fayda fonksiyonlarının ölçeğindeki değişimlerden bağımsızdır:



S u d, ( ,1 1), ( ,u d2 2)



  pazarlık problemi ve j_i  a_i b u_{i i} gibi herhangi bir doğrusal fayda fonksiyonu için eğer  *



S, ( ,j a1 1b d1 1), ( ,j a2 2b d2 2)



pazarlık oyunu

*

( ) ( )

s   s sağlıyorsa çözüm ilgisiz alternatiflerden bağımsızdır.

Yukarıda verilen bütün bu dört aksiyomu sağlayan bir çözüm kuralı tanımlanabilir. Bu çözüm kuralı pazarlık probleminin Nash çözümü ya da Nash pazarlık çözümü olarak adlandırılmaktadır. O halde;

13

U fayda dağılım kümesi sınırlı ve kapalı yani kompakt bir küme ise Ukümesi üzerinde tanımlanan

Teorem 1: 1, 2, 3 ve 4 no'lu aksiyomlarını sağlayan f_  S R tek bir çözüm vardır ve bu iki oyunculu ( ,S d pazarlık probleminin çözümü aşağıdaki gibidir: _i)



1( ) 1



2( ) 2



f_  u s d u s d

Bu fonksiyonu maksimize eden değerlerin kümesi ( ) ile gösterilirse;





( ) : ( ) max ( )

x

s S f s f x

    _  _

 pazarlık oyunu için ( ) kümesine ait elemanları eğer varsa  pazarlık oyunun Nash dengeleri olarak tanımlanmaktadır.14

AĢağıdaki Ģekilde Nash pazarlık çözümü gösterilmektedir.

ġekil 6: Nash Pazarlık Çözümü

Teorem 2: Kompakt fayda dağılım kümeleri üzerinde tanımlanan pazarlık oyunlarındaki Nash kuralı, (.) pareto etkin, ilgisiz alternatiflerden bağımsız ve doğrusal dönüşümlerden bağımsızdır.

Pazarlık oyununun pareto etkinlik aksiyomuna değinecek olursak, eğer oyunun çözümü pareto etkinse diğer oyuncuların refah düzeyi aynı kalırken oyunculardan en az birinin faydasının kesin bir Ģekilde iyileĢtirmenin imkanının olmaması anlamına gelmektedir. Çözümün simetriklik aksiyomu ise oyuncuların aynı düzeyde anlaĢmazlık faydaları alması durumunda herhangi bir anlaĢma noktasında da eĢit faydalar alması anlamına gelmektedir.15

Çözümün ilgisiz alternatif sonuçlardan bağımsız olma

14

Ufayda dağılım kümesi kompakt bir küme ise  ( )bir boĢ küme değildir.

15 _{Bir pazarlık oyunun çözümü simetrik olması için fayda dağılım kümesinin konveks ve simetrik olması}

gerekir. Yani, fayda dağılım kümesi içinde seçilen herhangi iki noktayı birleĢtiren doğru üzerindeki her nokta kümesi içerisinde kalıyorsa bu küme konvekstir. Eğer fayda dağılım kümesinde ( , )u u1 2U durumu

aksiyomu ise herhangi bir kabul edilebilir çözüm kuralının oyuncuların daha az tercih ettikleri alternatiflerin atılması durumunda bile bu çözümün kabul edilebilir kalmaya devam etmesi anlamına gelmektedir. Son olarak, çözümün fayda fonksiyonlarının ölçeğindeki değiĢimlerden bağımsız olması aksiyomu ise bu çözüm kuralının faydayı ölçerken kullanılan birim ya da ölçekten etkilenmediğini garanti altına alması anlamına gelmektedir.

2.3.2.2.1 Üçüncü Senaryo: Para ve Maliye Politikası Arasındaki ĠĢbirlikli Oyun Uygulaması

Sosyal refah kriteri ise yukarıda bahsedilen para ve maliye politika yapıcıların kayıp fonksiyonlarına bağlı olan S M F

L L L Ģeklinde yani, her bir politika yapıcının kayıp fonksiyonlarının toplamı olarak tanımlanmıĢtır. ĠĢbirlikli çözümünü analiz etmek için bu ölçüyü kullanmamız gerekmektedir. ĠĢbirliği, her iki politika yapıcının da politika araç değiĢkenlerine pozitif bir ağırlık verdikleri bir dolaylı durum olarak gerçekleĢmektedir. Bu mekanizma, diğer politika yapıcısı tarafından yapılan hamlelere doğrudan uyum sağlanmasını sağlar. Temel olarak, iĢbirliği problemi bir sosyal refahın en üst düzeye çıkarılması ya da sosyal kayıp fonksiyonu olan S

L 'yi en aza indirgemek

üzerine kuruludur.

Para ve maliye politika yapıcılarının fayda fonksiyonunu aĢağıdaki gibi tanımlanmıĢtır:



,



M M u g r  L



,



F F u r g  L

Bu çerçevede, pareto etkin, simetrik, ilgisiz alternatiflerden bağımsız ve doğrusal dönüĢümlerden bağımsız olma aksiyomlarını sağlayan tek bir çözüm var ise bu durumda para ve maliye politika yapıcıları arasında iĢbirlikçi bir çözümün var olduğu söylenebilir. Bu durumda para ve maliye politika yapıcıları arasında ( , )S d pazarlık _i

probleminin çözümü aĢağıdaki gibidir:

 

, 1 F



,



2

M

u g r r

f_ _ d  _{ }u g d _

Bu fonksiyonu maksimize eden değerlerin kümesi ise



 









,



( ) , : ( , ) max , , F , r g M r g S f r g f u g r u r g     _  _

Ģeklindedir. Bu pazarlık çözümüne rağmen, iĢbirliğini sosyal refah açısından yorumlayabiliriz. Böylece, politika amaç fonksiyonu, sosyal kayıp fonksiyonunu yani

S M F

L L L 'yi en aza indirgemek üzerine kurulacaktır.

Belgede Yeni keynesyen model çerçevesinde para ve maliye politikaları arasındaki etkileşime oyun teorisi yaklaşımı: Türkiye örneği (sayfa 56-61)