Üyelik fonksiyonları

Göz önünde tutulan bir bulanık kelime veya ifadenin temsil ettiği sayısal aralık, o ifade hakkında bilgi sahibi olan kişiler tarafından belirlenir. Bu sayısal aralıklara göre bulanık kümelerin gösterimi Şekil 3.7.’deki gibi üçgenler olur.

Mesafe aralıkları 0 50 Çok yakın 50 100 Yakın 100 300 Normal 300 700 Uzak 700 1000 Çok uzak Ü(mesafe)

1 Ç. yakın Yakın Normal Uzak Ç. Uzak

0

50 100 300 700 1000 (metre) Şekil 3.7. Bitişik üçgen gösterimi

Şekil 3.7.’deki üçgenler mesafelerin alt kümelerini tam yansıtmamaktadır. Çünkü burada sınırlardaki mesafelerin üyelik dereceleri sıfır olmaktadır (50m’deki üyelik derecesi 0 gibi). Ayrıca bu sınır değerleri ne alttaki ne de üstteki mesafe alt kümelerine dahildir. Sınır değerler için tam anlamı ile bir belirsizlik vardır. Bu yukarıda anlatılan bağdaşmayan kümelerin durumudur. Diğer taraftan bu şekildeki alt aralıklar halen Aristo mantığı göre işlem görmektedir. Çünkü bir alt aralığa düşen mesafe değeri sadece o alt aralığa aittir.

Bu aralıkların arasındaki geçişlerin birbirinin devamı olmayacağı, günlük hayatta geçerli ve uzlaştırıcı çözüme ulaşmak ve insan zekasının kazandırılması için Şekil 3.8.’deki gibi örtüşmeli geçişler olmalıdır. Çünkü herkesin yakın sınırlarının 50 ile 100 m sıfır üyelik derecesine sahip olması beklenemez. Bu sebepten üçgenler birbirleri ile örtüştürülürse günlük hayata daha uygun geçerli ve uzlaştırıcı çözümler bulunabilir.

Ü(mesafe)

Ç. yakın Yakın Normal Uzak Ç. Uzak 1

0 (m)

50 100 300 700 1000 Şekil 3.8. Örtüşmeli üçgen gösterimi

İlk ve son alt aralıktaki sıcaklık durumlarının çok yakın veya çok uzak doğru giderken başka alt aralıklar olmadığından üyelik derecelerinin 1’e eşit kalmasının makul olacağı anlaşılır. Son üyelik ve ilk üyelik fonksiyonlarının üçgen değil de yamuk olacağı sonucuna varılır.

Diğer taraftan, sorun her alt aralığa örneğin “normal” aralığına düşen mesafe derecelerinin hepsinin aynı yönde olup olmadığıdır. Tabii olarak, normal aralığının alt ve üst uçlarına yaklaştıkça onun komşusu olan altta yakın, üstte ise uzak alt kümelerine doğru geçişler beklendiği için, o geçiş bölgelerine rastlayan kısımların tam anlamı ile normal vasfına sahip olacağı söylenemez (Şen 2004).

Üyelik fonksiyonları üçgenden başka, yamuk ve çan eğrisi şeklinde olabilir. Üyelik fonksiyonu oluşturulacak yapı ve veri dağılımına bakılarak, uzman görüşünün desteği ile belirlenir (Şen 2004, Elmas 2003, Baykal ve Beyan 2004).

3.2.5.1. Üyelik fonksiyonunun kısımları

Yamuk şeklindeki bir üyelik fonksiyonu aşağıdaki Şekil 3.9.’daki gibi değişik kısımlara ayrılabilir.

Ü(x) Öz

Sınır Sınır

Dayanak

Şekil 3.9. Üyelik fonksiyonunun kısımları

Bulanık alt kümede 1 değil 1’den fazla öğenin üyelik derecesi 1’e eşit alınabilir. 1 üyelik dereceli öğelerin tam anlamı ile, hiçbir şüpheye düşmeksizin sadece o alt kümeye ait olduğu sonucuna varılır. İşte üyelik dereceleri 1’e eşit olan elemanlara, o alt kümenin özü (cone) denir. Üçgende bir tane öğenin üyelik derecesi 1’e eşit olduğundan, üçgen üyelik fonksiyonlarında özü bir nokta olarak karşımıza çıkar. Bunun aksine bir alt kümenin tüm öğelerini içeren aralığa o alt kümenin dayanağı

(support) adı verilir. Dayanakta bulunan her öğenin az veya çok değerde (0 ile 1 arasında ) üyelik dereceleri vardır. Üyelik dereceleri 1 veya 0’a eşit olmayan öğelerin oluşturduğu kısımlara üyelik fonksiyonunun sınırları (boundary) veya geçiş

bölgeleri denir.

ü(x) = 1 → Öz ü(x)>0 → Dayanak 0<ü(x)<1 → Sınırlar

Genel olarak, tüm üyelik fonksiyonlarında biri sağda diğeri solda olmak üzere iki tane geçiş bölgesi vardır.

Bunların dışında iki özellik daha bulunmaktadır.

1) Bulanık kümenin normalliği: Bu özelliğe göre normal bulanık kümede en azından bir tane üyelik derecesi 1’e eşit olan öğe bulunmalıdır. Şekil 3.10’da bulanık kümenin normal ve normal olmaması örnek olarak gösterilmiştir.

Ü(x) Ü(x)

1 1

0 x 0 x

Normal Normal olmayan

Şekil 3.10. Normal ve normal olmayan kümeler

2) Bulanık kümenin dış bükeyliği (konveks): Dış bükey olan bulanık kümelerde üyelik fonksiyonu kümenin dayanağı üzerinde ya sürekli artar veya sürekli azalır veya üçgen üyelik fonksiyonunda olduğu gibi önce bir üyelik derecesi 1 oluncaya kadar artar ondan sonraki dayanağa düşen öğeler için sürekli azalır. Bunu aksi durumlarda söz konusudur ancak onlar bulanık kümelere üyelik fonksiyonu olamaz. Şekil 3.11.’de dış bükeylik örnekle açıklanılmaktadır.

Ü(x)

1

1

0 x 0

x y z x y z

Dış bükey Dış bükey olmayan Şekil 3.11. Dışbükey ve Dışbükey olmayan kümeler

Dış bükeyliği matematiksel olarak tanımlamada aynı bulanık alt kümeye düşen x, y, ve z gibi üç öğe düşünülürse ve bunlar arasında değerce büyüklük olarak x<y<z gibi bir sıralama bulunuyorsa bunların ortadakinin üyelik fonksiyonu önceki ve sonrakine göre

Ü(y)≥EK[ü(x),ü(z)] (3.5)

şeklindedir ve daima geçerli olmalıdır. Burada EK en küçükleme (minimizasyon) işlemi denmektedir. Yani y’nin üyelik derecesi x ve z’nin üyelik derecelerinin en küçüğünden daha büyüktür. Bu durumda o kümeye dış bükey bulanık küme adı verilir (Baykal ve Beyan 2004, Şen 2001).

3.2.5.2. Bulanıklaştırma

Klasik küme şeklinde beliren değişim aralıklarının bulanıklaştırılması; bulanık küme, mantık ve sistem işlemleri için gereklidir. Bunun için, bulanıklaştırmada bir aralıkta bulunabilecek öğelerin hepsinin, klasik mantıktaki gibi 1’e eşit üyelik derecesine sahip olacak yerde, bulanık mantıkta 0 ila 1 arasında değişik değerlere sahip olması düşünülür. Bu işlemlerde öğelerin belirsizlik içerdikleri kabul edilir. Bu belirsizliğin sayısal olmayan durumlardan kaynaklanması halinde bulanıklıktan söz edilir (Şen 2004).

Bulanıklaştırma işlemi sayısal giriş ve çıkış değişkenleri sembolik değerlere dönüştürülmesidir (Elmas 2003). Uzman görüşü gerektiren bulanıklaştırmada belirsizlik içeren kavramlara değer ataması yapılır. Bu değer aralıkları 0 ile 1 arasında üyelik derecesine sahip olacak şekilde üyelik fonksiyonları tespit edilir. Önceki bölümlerde de bahsedilen ve en sık kullanılan üçgen, trapez veya çan eğrilerinden faydalanılarak bulanıklaştırma işlemi yapılmaktadır.

3.2.5.3. Üyelik derecesinin belirlenmesi

Üyelik fonksiyonlarında bulanık mantığın temeli olan linguistik (sözel) değişkenlerden faydalanılmaktadır. Bu üyelik fonksiyonlarının tespitinde kullanılan yöntemler aşağıda sıralanmıştır:

Sezgi Çıkarım

Mertebeleme Açılı bulanık kümeler Yapay sinir ağları

Genetik algoritmalar Çıkarımcı muhakemeler

Buradan “sezgi” fazla bir yöntembilim (metodoloji) bilgisi gerektirmez. Burada her kişinin kendi anlayış, görüş ve olaya bakışları önemli rol oynar. Buna en basit örnek herkesin her gün karşı karşıya kalarak, görüş ileriye sürdüğü sıcaklık kelimesinin belirttiği belirsiz alt kümeleri düşünebiliriz. En azından soğuk, serin, ılık, sıcak gibi dört tane alt küme belirlenebilir. Bu alt kümelerin her biri belirli bir geometrik şekil ile aşağıdaki Şekil 3.12.’deki gibi gösterilebilir.

Ü(sıcaklık)

Ç. Soğuk Soğuk Ilık Sıcak Ç. Sıcak 1

0 0 10 20 30 35 (0C) Şekil 3.12. Sıcaklık bulanık alt kümeleri

Bu geometrik şekillerin konumları, doğal olarak, o yörede yaşayan kişilere göre değişir. Örneğin, kutuplarda yaşayan insanların soğuk kavramı ile tropikal bölgelerde yaşayanlarınki birbirinden oldukça farklıdır.

Çıkarım ile bulanık küme üyelik fonksiyonlarının bulunması için mutlaka incelenen olay hakkında bazı temel bilgilere sahip olunması gerekmektedir. Örneğin üçgenin iç açılarının toplamının 180o olduğu bilinirse üçgen iç açıları toplamından yola çıkılarak üçgen türü belirlenebilir.

Mertebeleme yöntemi ile üyelik fonksiyonu tayini yapılırken bir bulanık değişken hakkında anketler, soruşturmalar veya seçimler yapılarak üyelik dereceleri belirlenmeye çalışılır. Her zaman, verilen iki seçenek arasındaki tercihler sayılır veya bu tercihlere verilen puanlandırmalarla işlemler yapılır (Şen 2004).