Figura 3.2:Discretização da associação parede e pórtico
Na Figura 3.2, encontram-se representados o carregamento e a distribuição nodal adotados para o problema de associação parede-pórtico. A solução exata do problema, obtida em STAMATO (1972), é: u(z) = 1 k4 rjw C1+ C2krz + C3ekrz+ C4e−krz− q k2 rz2 2 (3.9) onde: kr = q sf/jw; Kr = krH; C = 2 cosh Kr; S = 2 sinh Kr; C2 = Krq; C1 = − 1 C(2q + C2S); C3 = 1 C q − C2e −Kr; C 4 = 1 C q + C2e Kr
Para a realização da análise numérica através do MGLE e do Método das Nuvens, adotam-se sf = 1, H = 1 e q = 1, todos valores adimensionais, considerando-se ainda:
ordem da base polinomial : como em (3.7) aparecem derivadas de segunda ordem
das funções de forma, a aproximação deve representar de modo exato, no mí- nimo, polinômios completos do segundo grau para que a convergência monotô- nica da solução seja garantida (completidade). Desse modo, adotou-se para o MGLE bases de monômios Pk=2 =
n
1 z z2 oe para o Método das Nuvens hp famílias de funções ℑk=0,p=2
N , em que a base empregada para a construção das funções de forma φj foi Pk=0 =
n
1 o(funções de Shepard) enriquecidas pelas bases Pp=2 =
n
1 z z2 o;
aproximação do domínio : uma vez que a solução a ser aproximada é suave, os nós
foram distribuídos uniformemente ao longo de z, Figura 3.2. Foi utilizada uma seqüência de malhas com N = 6, 11, 21 e 41 nós, representando os diferentes níveis de refinamento h da solução;
função de ponderação : para a construção das funções de aproximação do MMQM,
foi empregada uma função do tipo spline cúbica, já utilizada em DOLBOW; BELYTSCHKO (1998): Wj(z − zj) ≡ f(r) = 2 3− 4r 2+ 4r3 para r ≤ 1 2 4 3 − 4r + 4r 2 − 43r3 12 < r ≤ 1 (3.10) onde r = |z − zj| Rj
. Estas funções são C2
0(ωj), o que faz com que as funções de forma também o sejam, satisfazendo, portanto, as exigências relativas à regula- ridade da aproximação para um problema que é de classe C1. Para o Método das Nuvens adotou-se Rj = h, ∀j, garantindo-se que nenhum ponto de integração pertença a apenas uma nuvem. Alías, essa condição é necessária, segundo MEN- DONÇA; BARCELLOS; DUARTE (2000), para que a taxa de convergência do método não seja comprometida. Já para o MGLE, que exige um mínimo de 3 nuvens cobrindo cada ponto de integração para contrabalançar o número de monômios da base Pk, deve-se ter Rj ≥ 2h. Após alguns testes com diferentes valores para ao raio, adotou-se Rj = 10h;
integração numérica : a integração numérica dos termos de cK foi realizada através da quadratura de Gauss-Legendre. Como células de integração, foram defini- das as regiões localizados entre cada nó, nas quais os pontos da quadratura são distribuídos. Como a aproximação é obtida pela sobreposição de diversos po- linômios, um grande número de pontos de Gauss é necessário. A partir de 20 pontos (NG = 20) observou-se que o erro na integração numérica não compro- mete mais a solução.
análise quanto à convergência : para a análise da convergência utilizou-se a norma
L2 do erro da aproximação, ||u − ˜u||L2 = {
RH
0 [u − ˜u]2}1/2dz. A função u é calculada pela expressão (3.9). Já ˜u é definida pelas aproximações (2.6) ou (2.16) conforme a solução tenha sido obtida pelo MGLE ou pelo Método das Nuvens hp respectivamente. A taxa de convergência para o refinamento h1corresponde à inclinação do trecho assintótico da curva que relaciona log(||u − ˜u||L2) com
log(h).
Os gráficos das Figuras 3.3(a) e 3.3(b) mostram as taxas de convergência h para o MGLE e o Método das Nuvens quando se varia a relação de rigidez medida por Kr. Segundo OLIVEIRA (1982), caso Kr < 5, o comportamento da estrutura está mais próximo ao de uma viga engastada, cuja solução exata é um polinômio do quarto grau. Já para Kr ≥ 5 a rigidez ao cisalhamento do pórtico torna-se preponderante e a solução perde o caráter polinomial. Por essa razão, um erro maior é introduzido na aproximação numérica, como se observa em ambos os gráficos para os maiores valores de Kr. As taxas de convergência, entretanto, não são perturbadas, mantendo- se equivalentes às encontradas para o MEF, ou seja, em torno de 32.
Na tabela 3.1 são apresentados os tempos do processamento para as análises com Kr = 20 realizadas pelo MGLE e o Método das Nuvens. Como neste trabalho não houve a preocupação em se utilizar um algoritmo otimizado, estes tempos fornecem apenas informações quanto à ordem de grandeza da duração de tais análises. Além disso, podem também ser utilizados com o intuito de se comparar as análises por esses dois métodos sem malha. Os tempos obtidos permitem concluir por um maior esforço 1A convergência h refere-se à introdução de novos pontos nodais, de forma análoga ao MEF, em que
novos elementos são acrescentados no refinamento do tipo h.
2De ODEN; REDDY (1976), para um PVC homogêneo de ordem 2m, aproximado por Galerkin e
sob certas condições, deve-se esperar que ||u − ˜u||Hα
(Ω) ≤ Chυ||f||Hλ(Ω), onde C é uma constante
independente de h, λ é função do grau de regularidade de f, p é a ordem polinomial máxima capaz de ser aproximada por ˜u e υ = min(p+1−α, 2(p+1−m), 2m+λ−α). Para a análise, como o problema é regular υ = p + 1 − α = 3 para norma L2(α = 0).
computational exigido com o MGLE. Esse fato já era esperado pelas necessidades de se inverter a matriz A, (2.4), e de envolver um maior número de pontos para a construção da aproximação no MGLE. Em análises bi e tri-dimensionais espera-se que tal observação seja potencializada em favor do Método das Nuvens.
NN MGLE Nuvens 6 0,513 s 0,313 s 11 0,750 s 0,607 s 21 1,207 s 0,823 s 31 2,763 s 1,923 s
Tabela 3.1:Tempo de processamento para as várias distribuições nodais (NN) com os métodos
sem malha – Kr= 20, p = 2
Já nas Tabelas (3.2), (3.3), (3.4), (3.5), os resultados obtidos para Kr = 20, com diferentes distribuições nodais, são confrontados com as análise feitas através do MEF em OLIVEIRA (1982), no qual adotou-se uma aproximação do terceiro grau. Para isso, foram utilizadas aproximações cúbicas tanto no MGLE (Pk=2) quanto para o Método das Nuvens (ℑk=0,p=3
N ). Optou-se por comparar as soluções dos esforços cortante no pórtico e momento fletor na parede. Tais esforços estão relacionados às derivadas de ordens primeira e segunda dos deslocamentos respectivamente e, por isso, devem apresentar um erro de aproximação maior do que aquele que seria observado para ˜u(z).
O método que mais se afastou dos resultados analíticos foi o MGLE, particular- mente para 6 pontos nodais. Com a introdução de novos pontos, essa diferença se reduz rapidamente comprovando a boa taxa de convergência observada no gráfico da Figura 3.3(a). No Método das Nuvens hp, os resultados mostram-se, em geral, mais próximos da solução analítica, mesmo para os 6 pontos nodais.
Posição 6 nós 11 nós 21 nós Solução
z MGLE MEF MGLE MEF MGLE MEF analítica 0,0 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,2 0,8312 0,7549 0,8262 0,7806 0,7809 0,7816 0,7817 0,4 0,6414 0,5979 0,5884 0,5996 0,6008 0,5996 0,5997 0,6 0,3340 0,4000 0,3851 0,4000 0,3990 0,4000 0,4000 0,8 0,2260 0,2021 0,2280 0,2009 0,2001 0,2009 0,2009 1,0 0,0063 0,0469 0,0731 0,0496 0,0501 0,0499 0,0500
-7.0 -6.0 -5.0 -4.0 -3.0 -2.0 -1.0 0.0 -2.0 -1.6 -1.2 -0.8 -0.4 0.0 Log(h) Log da norma L2 K = 5 taxa de 3,06 K = 10 taxa de 2,62 K = 20 taxa de 3,58 r r r (a)MGLE-Pk=2 -7.0 -6.0 -5.0 -4.0 -3.0 -2.0 -1.0 0.0 -2.0 -1.6 -1.2 -0.8 -0.4 0.0 Log(h) Log da norma L2 K = 5 taxa de 2,98 K = 10 taxa de 2,93 K = 20 taxa de 2,77 r r r
(b)Método das Nuvens hp-ℑk=0,p=2N Figura 3.3: Influência da rigidez relativa Kr
Posição 6 nós 11 nós 21 nós Solução
z MGLE MEF MGLE MEF MGLE MEF analítica 0,0 0,0194 0,0295 0,0309 0,0393 0,0465 0,0446 0,0475 0,2 0,0029 -0,0010 -0,0036 -0,0016 -0,0016 -0,0016 -0,0016 0,4 -0,0055 -0,0024 -0,0030 -0,0024 -0,0025 -0,0024 -0,0025 0,6 -0,0015 -0,0025 -0,0022 -0,0024 -0,0025 -0,0024 -0,0025 0,8 -0,0020 -0,0028 -0,0042 -0,0024 -0,0026 -0,0024 -0,0025 1,0 -0,0037 -0,0009 0,0030 -0,0004 0,0002 -0,0001 0,0000
Tabela 3.3:Esforço momento fletor na parede- Kr= 20, base Pk=2
Posição 6 nós 11 nós 21 nós Solução
z Nuvens MEF Nuvens MEF Nuvens MEF analítica 0,0 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,2 0,7705 0,7549 0,7808 0,7806 0,7816 0,7816 0,7817 0,4 0,5971 0,5979 0,5996 0,5996 0,5997 0,5996 0,5997 0,6 0,3997 0,4000 0,4000 0,4000 0,4000 0,4000 0,4000 0,8 0,2015 0,2021 0,2010 0,2009 0,2009 0,2009 0,2009 1,0 0,0499 0,0469 0,0500 0,0496 0,0500 0,0499 0,0500
Posição 6 nós 11 nós 21 nós Solução
z Nuvens MEF Nuvens MEF Nuvens MEF analítica 0,0 0,0425 0,0295 0,0464 0,0393 0,0474 0,0446 0,0475 0,2 0,0000 -0,0010 -0,0013 -0,0016 -0,0015 -0,0016 -0,0016 0,4 -0,0021 -0,0024 -0,0025 -0,0024 -0,0025 -0,0024 -0,0025 0,6 -0,0024 -0,0025 -0,0025 -0,0024 -0,0025 -0,0024 -0,0025 0,8 -0,0024 -0,0028 -0,0024 -0,0024 -0,0025 -0,0024 -0,0025 1,0 -0,0003 -0,0009 -0,0001 -0,0004 0,0000 -0,0001 0,0000
Tabela 3.5:Esforço momento fletor na parede - Kr= 20, família ℑk=0,p=2N