4. SOFT ÖRTÜ YAKLAŞIM UZAYINDA ROUGH KÜME ÜZERİNDE
4.3. Soft Örtü Yaklaşım Uzayında Rough Küme Üzerinde Kurulan Topolojide
Tanım 4.3.1: = ( ( ), ( )) ⊆ , = ( ( ), ( )) ⊆ , ( , ) ve ( , ) soft örtü yaklaşım uzayında rough topolojik uzaylar olsun. Varsayalım ki : ( ) ⟶
( ), : ( ) ⟶ ( ) ve = ( , ) ∈ olsun. fonksiyonunun,
noktasında sürekli olması için gerek ve yeter koşul ( )’ deki her ( ) komşuluğu için ( )’ de bir komşuluğu var olmasıdır öyle ki ( ) ⊆ ( ). Benzer şekilde, fonksiyonunun noktasında sürekli olması için gerek ve yeter koşul ( )’ deki her ( ) komşuluğu için ( )’ de bir komşuluğunun var olmasıdır öyle ki ( ) ⊆ ( ). , noktasında sürekli ve , noktasında sürekli ve ayrıca
⊆ ( ) ⊆ ⊆ ( ), ⊆ ( ) ⊆ ⊆ ( ) durumları sağlanıyorsa = ( , ), = ( , ) noktasında soft örtü yaklaşım uzayında rough süreklidir. ,
( )’ in her noktasında sürekli ise , ( ) üzerinde süreklidir. , ( )’ in her noktasında sürekli ise , ( ) üzerinde süreklidir. , ’ ten ’ ye soft örtü yaklaşım uzayında alttan rough süreklilik ve , ’ ten ’ ye soft örtü yaklaşım uzayında üstten rough süreklilik olarak adlandırılır. = ( , ), ’ ten ’ ye soft örtü yaklaşım uzayında rough sürekli fonksiyondur.
Teorem 4.3.1: = ( ( ), ( )), = ( ( ), ( )) ve = ( , ) olsun. : ( , ) ⟶ ( , ) fonksiyonu verilsin. Bu taktirde, aşağıdakiler eşdeğerdir:
i. , ∈ noktasında soft örtü yaklaşım uzayında rough süreklidir, ii. ∀ ∈ ( ) için ∃ ∈ ∋ ∈ ⟹ ( ) ∈ ,
iii. ∀ ∈ ( ) için ∃ ∈ ∋ ⊑ ( ), iv. ∀ ∈ ( ) için ( ) ∈ .
Burada = ( , ), = ( , ) ve = ( , ) olmak üzere ⊆ ( ) ⊆ ⊆ ( ) ve ⊆ ( ) ⊆ ⊆ ( ) durumları sağlansın.
İspat:
i ⟹ ii: = ( , ), = ( , ) noktasında soft örtü yaklaşım uzayında rough sürekli ise , noktasında ve , noktasında süreklidir. fonksiyonunun, noktasında sürekli olması için gerek ve yeter koşul her ∈ ( ) için ( ) ⊆ olacak şekilde bir ∈ var olmasıdır. Benzer şekilde, fonksiyonunun, noktasında sürekli olması için gerek ve yeter koşul her ∈ ( ) için ( ) ⊆ olacak şekilde bir ∃ ∈ var olmasıdır. ∈ ise ( ) ∈ ( ) ⊆ olur. Buradan ( ) ∈ elde edilir. Benzer şekilde ∈ ise ( ) ∈ ( ) ⊆ olur. Buradan da ( ) ∈
elde edilir. ( , ) ∈ ( , ) ise ( ), ( ) ∈ ( ), ( ) ⊆ ( , ) olur. Böylece, ∈ ise ( ) ∈ ( ) ⊑ , yani ( ) ∈ bulunur.
ii ⟹ iii: Her ∈ ( ) için bir ∈ vardır öyle ki ∈ ise ( ) ∈ olsun. Her ∈ ( ) için bir ∈ vardır öyle ki ∈ ise ( ) ∈ . Benzer şekilde her ∈ ( ) için bir ∈ vardır öyle ki ∈ ise ( ) ∈ . Biliyoruz ki,
⊆ ( ) ⊆ ⊆ ( ) ve ⊆ ( ) ⊆ ⊆ ( ) durumları sağlanıyor. ∈ ise ( ) ∈ ( ) ⊆ ise ⊆ ( ) ve ∈ ise ( ) ∈ ( ) ⊆ ise ⊆ ( ) olur. Bu durumda ( ) ⊑ ise ⊑ ( ) elde edilir.
iii ⟹ iv: Her ∈ ( ) için bir ∈ vardır öyle ki ⊑ ( ) olsun. ⊑ ( ) ise ⊆ ( ) ve ⊆ ( )’ dir. Ayrıca, ⊆ ( ) ⊆ ⊆ ( ) ve
⊆ ( ) ⊆ ⊆ ( ) sağlanır. Teorem 4.1.2 - ] gereğince ( ) ∈ , ( ) ∈ ve ( ) ⊆ ( ) ⊆ ( ) ⊆ ( ) olduğundan ( ) ∈ elde edilir.
iv ⟹ i: Her ∈ ( ) için ( ) ∈ olsun. Bu durumda ( ) ∈ , ( ) ∈ ve ( ) ⊆ ( ) ⊆ ( ) ⊆ ( ) olur. Teorem 4.3.1 - iii. gereğince ⊆ ( ) ve ⊆ ( ) olacak şekilde bir ∈ ve bir ∈ vardır. Buradan ( ) ⊆ ve ( ) ⊆ olup = ( , ), = ( , ) noktasında soft örtü yaklaşım uzayında rough süreklidir.
Teorem 4.3.2: ( , ) ve ( , ) soft örtü yaklaşım uzayında rough topolojik uzaylar ve : ( , ) ⟶ ( , ) olsun. = ( , ) ⊆ olmak üzere ⊆ ( ) ⊆ ⊆ ( ) durumu sağlansın. Eğer fonksiyonu = ( , ) ∈ noktasında soft örtü yaklaşım uzayında rough sürekli ve ∈ ise ( ) ∈ ( ( )) .
İspat: ∈ ise ( , ) ∈ ( , ) olur. ∈ ve ( ) noktasının herhangi bir ⊆ ( ) komşuluğu verilsin. fonksiyonu noktasında sürekli olduğundan ve Teorem 4.3.1 - iv. gereğince ( ), noktasının komşuluğu olur. Kapanış noktası tanımından, ∩ ( ) ≠ ∅ olup ( ∩ ( )) ⊆ ( ) ∩ ( ( )) ⊆
( ) ∩ ≠ ∅ elde edilir. Dolayısıyla, ( ) ∈ ( ( )) olur. Benzer şekilde ( ) ∈ ( ( )) olduğundan ( ) ∈ ( ( )) bulunur.
Teorem 4.3.3: ( , ) ve ( , ) soft örtü yaklaşım uzayında rough topolojik uzaylar ve = ( , ) olsun. = ( , ) ve = ( , ) olmak üzere : ( , ) ⟶ ( , ) fonksiyonu için aşağıdakiler eşdeğerdir:
i. fonksiyonu soft örtü yaklaşım uzayında rough süreklidir, ii. Her = ( , ) ⊑ için ( ) ⊑ ( ( )) ,
iii. Her = ( , ) ⊑ kapalı alt kümesi için ( ) ⊑ alt kümesi ( , ) uzayında kapalıdır,
iv. Her = ( , ) ⊑ açık alt kümesi için ( ) ⊑ alt kümesi ( , ) uzayında açıktır.
İspat:
i ⟹ ii: Teorem 4.3.2 gereğince açıktır.
ii ⟹ iii: = ( , ), kümesinin kapalı alt kümesi olsun. Bu durumda ⊆ ( ) ve ⊆ ( ) kapalı alt kümelerdir ve ⊆ ( ) ⊆ ⊆ ( ) sağlanır. ⊆ ( ) ise ( ) ⊆ ( ) alt kümesi için Teorem 4.3.3 - ii. gereğince ( ( ) ) ⊆
( ( ) ) ⊆ ( ) = bulunur. Buradan
( ( )) ⊆ ( ( ) ) ⊆ ( ) olur. Yani, ( ( )) ⊆ ( ).
( ) ⊆ ( ( )) olduğundan ( ) kümesi ( ( ), ) uzayında kapalıdır. Benzer şekilde ( ) kümesi ( ( ), ) uzayında kapalıdır. Sonuç olarak,
iii ⟹ iv: = ( , ), kümesinin açık bir alt kümesi olsun. , ( )’ nin ve , ( )’ nin açık alt kümeleridir ve de ⊆ ( ) ⊆ ⊆ ( ) sağlanır. O halde, ( )\ ve ( )\ kapalı kümelerdir. Teorem 4.3.3 - iii. gereğince ( ( )\ ) kapalı kümedir. Ayrıca, ( ( )\ ) = ( )\ ( ) olduğundan ( ), ( ( ), ) uzayında açıktır. Benzer şekilde ( ), ( ( ), ) uzayında açıktır. Sonuç olarak ( ), ( , ) soft örtü yaklaşım uzayında rough topolojik uzayda açıktır. iv ⟹ v: Herhangi bir = ( , ) ∈ noktasını ve ( ) = ( ( ), ( )) noktasının herhangi bir = ( , ) ⊆ komşuluğunu alalım. Komşuluk tanımı gereğince
( ) ∈ ⊆ (4.3)
olacak şekilde bir ⊆ ( ) açık kümesi vardır. Teorem 4.3.3 - iv. gereğince ( ), ( ( ), ) uzayında açıktır. (4.3) ifadesinin ters görüntüsü alınırsa, ∈ ( ) ⊆
( ) bulunur. Komşuluk tanımı gereğince ( ), noktasının komşuluğudur. O halde, fonksiyonu süreklidir. Benzer şekilde, fonksiyonu da süreklidir. Sonuç olarak, Tanım 4.3.1 gereğince fonksiyonu soft örtü yaklaşım uzayında rough süreklidir.
Tanım 4.3.2: ( , ) ve ( , ) soft örtü yaklaşım uzayında rough topolojik uzaylar olsun. Varsayalım ki : ( ) ⟶ ( ) ve : ( ) ⟶ ( ) birebir ve örten fonksiyonlar olsun. Ayrıca, ve sürekli ve tersleri de sürekli olsun. Bu durumda ;
( )’ ten ( )’ ye ve ; ( )’ ten ( )’ ye birer homeomorfizm olarak adlandırılırlar. Ayrıca, ; ’ ten ’ ye soft örtü yaklaşım uzayında alttan rough homeomorfizm ve ; ’ ten ’ ye soft örtü yaklaşım uzayında üstten rough
homeomorfizm olarak adlandırılır. Burada = ( , ), ’ ten ’ ye soft örtü yaklaşım uzayında rough homeomorfizm olarak adlandırılır ve : ⟶ ile gösterilir.
Eğer : ( , ) ⟶ ( , ) fonksiyonu, soft örtü yaklaşım uzayında rough homeomorfizm ise ile soft örtü yaklaşım uzayında rough homeomorftur (eş
yapılıdır) denir ve ≅ ile gösterilir. ( , ) ve ( , ) uzaylarına da soft örtü yaklaşım uzayında rough homeomorf (topolojik eş yapılı) uzaylar denir.
Tanım 4.3.3: ( , ) ve ( , ) soft örtü yaklaşım uzayında rough topolojik uzaylar olsun. : ( ( ), ) ⟶ ( ( ), ) ve : ( ( ), ) ⟶ ( ( ), ) olsun.
( ( ), ) uzayının her açık alt kümesinin görüntüsü ( ), ( ( ), ) uzayında açık ve ( ( ), ) uzayının her açık alt kümesinin görüntüsü ( ), ( ( ), ) uzayında açık ise ve de ⊆ ( ) ⊆ ⊆ ( ), ( ) ⊆ ( ) ⊆ ( ) ⊆
( ) durumları sağlanıyor ise = ( , ) fonksiyonuna soft örtü yaklaşım uzayında rough açık fonksiyon denir.
Tanım 4.3.4: ( , ) ve ( , ) soft örtü yaklaşım uzayında rough topolojik uzaylar olsun. : ( ( ), ) ⟶ ( ( ), ) ve : ( ( ), ) ⟶ ( ( ), ) olsun. ( ( ), ) uzayının her kapalı alt kümesinin görüntüsü ( ), ( ( ), )
uzayında kapalı ve ( ( ), ) uzayının her kapalı alt kümesinin görüntüsü ( ), ( ( ), ) uzayında kapalı ise ve de ⊆ ( ) ⊆ ⊆ ( ), ( ) ⊆ ( ) ⊆
( ) ⊆ ( ) durumları sağlanıyor ise = ( , ) fonksiyonuna soft örtü yaklaşım uzayında rough kapalı fonksiyon denir.
Teorem 4.3.4: ( , ) ve ( , ) soft örtü yaklaşım uzayında rough topolojik uzaylar ve : ( , ) ⟶ ( , ) fonksiyonu birebir ve örten olsun. Bu taktirde, fonksiyonunun soft örtü yaklaşım uzayında rough homeomorfizm olması için gerek ve yeter koşul
fonksiyonunun soft örtü yaklaşım uzayında rough sürekli ve soft örtü yaklaşım uzayında rough açık (kapalı) olmasıdır.
İspat:
⟹: Varsayalım ki = ( , ), ’ ten ’ ye soft örtü yaklaşım uzayında rough
homeomorfizm olsun. Bu durumda = ( , ) birebir ve örten fonksiyon ve ; ( )’ ten ( )’ ye, ; ( )’ ten ( )’ ye birer homeomorfizmdir. ve , sürekli ve açık (kapalı) fonksiyonlardır. Böylece = ( , ) birebir, örten, soft örtü yaklaşım uzayında rough sürekli ve soft örtü yaklaşım uzayında rough açık (kapalı) fonksiyondur. ⟸: = ( , ); birebir, örten, soft örtü yaklaşım uzayında rough açık (kapalı) ve soft örtü yaklaşım uzayında rough sürekli fonksiyon ise , ( )’ ten ( )’ ye ve ,
( )’ ten ( )’ ye birebir, örten, sürekli ve açık (kapalı) fonksiyonlardır. , ( )’ ten ( )’ ye ve , ( )’ ten ( )’ ye homeomorfizmdir. Bu durumda Tanım 4.3.2 gereğince = ( , ), ’ ten ’ ye soft örtü yaklaşım uzayında rough
4.4. Soft Örtü Yaklaşım Uzayında Rough Küme Üzerinde Kurulan Topolojide Kompaktlık
Tanım 4.4.1: ( , ) soft örtü yaklaşım uzayında rough topolojik uzay olsun. ( ) kümesinin her açık örtüsü için sonlu bir ∗ alt örtüsü varsa ( ( ), ) uzayına kompakt uzay denir ve ayrıca, kümesinin kompakt soft örtü alt yaklaşımı olarak adlandırılır. Benzer şekilde ( ) kümesinin her açık örtüsü için sonlu bir ∗ alt örtüsü varsa ( ( ), ) uzayına kompakt uzay denir ve ayrıca, kümesinin kompakt soft örtü üst yaklaşımı olarak adlandırılır. Bu durumda ( , ) soft örtü yaklaşım uzayında kompakt rough uzay olarak adlandırılır. ( , ) sıralı ikilisi, kümesinin herhangi bir açık örtüsüdür ve ( ∗, ∗) şeklinde bir alt örtüsü vardır.
Teorem 4.4.1: = ( ( ), ( )) ⊆ ve = ( ( ), ( )) ⊆ verilsin. ( , ) soft örtü yaklaşım uzayında rough topolojik uzay olsun. Bu takdirde, = ( , ) olmak üzere
= { ∩ : ∈ }
ailesi, A üzerinde bir soft örtü yaklaşım uzayında rough topolojidir. Burada ( ) ⊆ ( ) ⊆ ( ) ⊆ ( ) durumu sağlanmalıdır. İspat: ] ∅ = (∅, ∅) ∈ ’ dur. (∅, ∅) ∩ ( ( ), ( )) = (∅, ∅) ∈ olur. ( ( ), ( )) ∈ ’ dur. ( ), ( ) ∩ ( ( ), ( )) = ( ( ), ( )) ∈ olur. ] Herhangi ( ) = ( ( ( )), ( ( ))), ( )= ( ( ( )), ( ( ))) ∈ olsun. ( ) = ( ( ), ( )), ( ) = ( ( ), ( )) ∈ vardır öyle ki ( ) = ∩ ( ) = ( ( ), ( )) ∩ ( ( ), ( )) ve ( )= ∩ ( ) = ( ( ), ( )) ∩ ( ( ), ( )) olup ] aksiyomundan, ( )∩ ( ) = ( ), ( ) ∩ ( ), ( ) = ( ( )∩ ( ) , ( )∩ ( )) ∈ olur. ( )∩ ( ) = ∩ ( ( )∩ ( )) ∈ olur.
] Her ∈ için ( ) = ( ( ( )), ( ( ))) ∈ olacak şekilde bir ( ( )) ∈ olsun. Her ∈ için ( ) = ( ( ), ( )) ∈ olmak üzere ( )= ( ( )), ( ( )) = ∩
( )= ( ( ), ( )) ∩ ( ( ), ( )). Buradan birleşim işlemi gereği, ⋃ ( )
⋃∈[( ( ), ( )) ∩ ( ), ( ) ]= ( ( ), ( )) ∩ [⋃ (∈ ( ), ( ))] elde edilir. Teorem 4.1.3 - ] gereğince ⋃ (∈ ( ), ( )) ∈ olur. O halde, ⋃∈ ( )=
⋃∈( ( ( )), ( ( ))) ∈ bulunur.
Tanım 4.4.2: ( , ) soft örtü yaklaşım uzayında rough topolojik uzay olsun ve ( ) ⊆ ( ) ⊆ ( ) ⊆ ( ) durumunu sağlayan = ( ( ), ( )) ⊆ kümesi
verilsin. = ( , ), = ( , ) olmak üzere
= { ∩ : ∈ }
topolojisine kümesi üzerine indirgenen soft örtü yaklaşım uzayında rough alt uzay topolojisi, ( , ) uzayına da ( , ) uzayının soft örtü yaklaşım uzayında rough alt uzayı denir.
Tanım 4.4.3: = ( ( ), ( )) ⊆ olsun. Eğer ( ) kümesinin her =
öyle ki ∈ {1,2, … } açık örtüsü için ( ) kümesinin ∗ = { , … , } sonlu bir alt örtüsü varsa ( )’ in bir alt uzayı olarak ( ) kompakttır. Aynı zamanda, ( )’ in bir alt uzayı olarak ( ) kompakt ve de ( ) ⊆ ( ) ⊆ ( ) ⊆ ( ) durumu sağlanıyor ise , kümesinin soft örtü yaklaşım uzayında kompakt rough alt kümesi olarak adlandırılır.
Teorem 4.4.2: = ( ( ), ( )) ⊆ olsun. kümesinin kümesinin soft örtü yaklaşım uzayında kompakt rough alt kümesi olması için gerek ve yeter koşul kümesinde kümesinin her açık örtüsü için sonlu bir alt örtüsünün olmasıdır. Burada,
( ) ⊆ ( ) ⊆ ( ) ⊆ ( ) durumu sağlanmalıdır.
İspat:
⟹: ( ) kompakt olsun. ( ( ), ( )) alt uzayı kompakttır. Yani, her ∈ için ∈ ( ) olmak üzere ( ) kümesinin her ( )∈ açık örtüsünün sonlu bir alt örtüsü vardır. Teorem 4.4.1 gereğince her ∈ için ( ) ∈ açık kümesi vardır öyle ki ∩ ( ) = olur. Buradan
olur. Böylece ( ) ⊆ ⋃ ( ) elde edilir. Benzer şekilde ( ) ⊆ ⋃ ( ) olur. Ayrıca, ( ) ⊆ ( ) ⊆ ( ) ⊆ ( ) durumu sağlandığından kümesinde
= ( ( ), ( )) kümesinin her açık örtüsü için sonlu bir alt örtü vardır. ⟸: ( ) kümesinin her ( ( ))∈ açık örtüsü için ( ) ⊆ ⋃ ( ) olsun. Bu durumda ( ) kümesi ile kesişim işlemi yapılırsa
( ) = ∪ ( ) ∩ ( ) =∪ ( ) ∩ ( ) =∪
elde edilir. O halde, her ∈ için ∈ ( ) olduğundan ( ( ), ( )) alt uzayı kompakttır. ( ) kümesi kompakttır. Benzer şekilde ( ) kümesi kompakttır. Ayrıca, ( ) ⊆ ( ) ⊆ ( ) ⊆ ( ) durumu sağlandığından , kümesinin soft örtü yaklaşım uzayında kompakt rough alt kümesidir.
Teorem 4.4.3: = ( ( ), ( )) ⊆ olsun. Eğer = ( ( ), ( )), kümesinin kapalı bir alt kümesi ise kompakttır.
İspat: = ( ( ), ( )), kümesinin kapalı bir alt kümesi ise ( ) ve ( ) sırasıyla ( ) ve ( )’ in kapalı kümeleridir ve ( ) ⊆ ( ) ⊆ ( ) ⊆ ( ) durumunu sağlarlar. soft örtü yaklaşım uzayında kompakt rough küme olduğundan
( ) ve ( ) kompakt kümelerdir. = { }∈ ailesi, ( ) kümesinin açık alt kümelerinden oluşan ( ) kümesinin açık bir örtüsü olsun. ( ) kapalı küme olduğundan ( )\ ( ) kümesi açıktır ve ( ) = ( ) ∪ ( ( )\ ( )) olur.
( ) = ⋃∈ olduğundan
{ ( )\ ( ), : ∈ }
ailesi, ( ) kümesinin açık örtüsüdür. ( ) kompakt küme olduğundan bu açık örtünün ( ) kümesini örten sonlu bir alt örtüsü vardır. Yani,
{ ( )\ ( ), : = 1,2, … , }
ailesi, ( ) kümesinin sonlu bir örtüsüdür. Böylece, { , , … , } ailesi de ( ) kümesinin sonlu bir örtüsüdür. O halde, ( ) kümesi kompakttır. Benzer şekilde ( ) kümesi kompakttır ve de ( ) ⊆ ( ) ⊆ ( ) ⊆ ( ) durumu sağlandığından, soft örtü yaklaşım uzayında rough kümesi kompakttır.
5. SONUÇLAR VE ÖNERİLER
5.1. Sonuçlar
Soft örtü yaklaşım uzayında rough kümeler tanımlandı ve bu uzayda topoloji kurma yöntemleri incelendi. Soft örtü eşitlik ve kapsama tanımları verildi. Soft örtü alt ve üst yaklaşım operatörleri ile iç ve kapanış operatörleri arasındaki ilişkiler gösterildi. Ayrıca, soft örtü yaklaşım uzayında rough küme üzerinde kurduğumuz topolojide temel özellikler incelendi.
5.2. Öneriler
İncelemiş olduğumuz rough küme çeşidinden yola çıkılarak farklı alt ve üst yaklaşımlar ile yeni rough küme çeşitleri tanımlanabilir ve bu tezde yapılanlar uygulanabilir.
KAYNAKLAR
Aktaş, H. and Çağman, N., 2007, Soft sets and soft groups, Information Sciences, 177, 2726-2735.
Bryniarski, E., 1989, A calculus of rough sets of the first order, Bulletin of the Polish
Academy of Sciences Mathematics, 36, 71-77.
Chen, D., Tsang, E. C. C., Yeung, D. C. and Wang, X., 2005, The parametrization reduction of soft sets and it’s applications, Comp. Math. Appl., 49, 757-763. Feng, F., Changxing, L., Davvaz, B. and Ali, M. İ., 2010, Soft sets combined with fuzzy
sets and rough sets: a tentative approach, Soft Comput., 14, 899-911.
Feng, F., Xiaoyan, L., Violeta, L. and Young, J. B., 2011, Soft sets and soft rough sets,
Information Sciences, 181, 1125-1137.
Kondo, M., 2006, On the structure of generalized rough sets, Information Sciences, 176, 589-600.
Lashin, E. F., Kozae, A. M., Abo Khadra A. A. and Medhat, T., 2005, Rough set theory for topological spaces, International Journal of Approximate reasoning, 40, 35- 43.
Mahanta, J. and Das, P. K., 2011, Topological properties of Yao’s rough set, World
Academy of Science, Engineering and Technology,76.
Medhat, T., 2011, Topological spaces and covering rough sets, Adv. in Inform. Sci. and
Service Sci., 3 (8).
Molodtsov, D., 1999, Soft set theory-first results, Comp. Math. Appl., 37, 19-31. Molodtsov, D., 2004, The theory of soft sets, URSS Publishers, Moscow.
Pawlak, Z., 1982, Rough sets, Int. J. Com. Sci., 11, 341-356.
Pawlak, Z., 1991, Rough sets-theoretical aspects of reasoning about data, Kluwer, Dordrecht.
Pawlak, Z., Skowron A., 2007, Rudiments of rough sets, Inform. Sci., 177, 3-27.
Pomykala, J. A., 1987, Approximation operations in approximation space, Bulletin of
the Polish Academy of Sci. Math., 35 (9-10), 653-662.
QingE, W., Tuo, W., YongXuan, H. and JiSheng, L., 2008, Topology Theory on Rough sets, IEEE Transactions on Systems, Man. And Cybernetics-Part B:Cybernetics, 38 (1).
Zadeh, L.A., 1965, Fuzzy Sets, Inform. Control, 8, 338-353.
Zhu, W. and Wang, F., 2003, Reduction and axiomization of covering generalized rough sets, Inform. Sci., 152 (1), 217-230.
Zhu, W., 2007, Topological Approaches to covering rough sets, Inform. Sci., 177, 1499- 1508.
Zhu, W., 2009, Relationship among basic concepts in covering-based rough sets, Inf.
Sci., 179, 2478-2486.
Zou, Y. and Xiao, Z., 2008, Data analysis approaches of soft sets under incomplete information, Knowl. Based Syst., 21, 941-945.
ÖZGEÇMİŞ
KİŞİSEL BİLGİLER
Adı Soyadı : Naime Tozlu
Uyruğu : TC
Doğum Yeri ve Tarihi : Ödemiş, 20.05.1986
Telefon : 0552 7661615
e-mail : naimetozlu@hotmail.com
EĞİTİM
Derece Adı, İlçe, İl Bitirme Yılı
Lise : 60. Yıl Anadolu Lisesi, Güzelbahçe, İzmir 2004 Üniversite : Selçuk Üniversitesi, Selçuklu, Konya 2010 Yüksek Lisans : Selçuk Üniversitesi, Selçuklu, Konya
UZMANLIK ALANI
Topoloji
YABANCI DİLLER
İngilizce
ULUSAL BİLİMSEL TOPLANTILARDA SUNULAN BİLDİRİLER
Tozlu, N., Yüksel, Ş., Şimşekler, T., Strongly -presürekli Çoğul Değerli Fonksiyonlar Üzerine, 6. Ankara Matematik Günleri, Ankara, Haziran 2011.
Tozlu, N., Yüksel, Ş., Şimşekler, T., Örtü Tabanlı Soft Rough Kümeler, 7. Ankara Matematik Günleri, Ankara, Haziran 2012.
Tozlu, N., Yüksel, Ş., Şimşekler, T., Örtü Tabanlı Soft Rough Kümeler, XXV. Ulusal Matematik Sempozyumu, Niğde, Eylül 2012.
ULUSLARARASI BİLİMSEL TOPLANTILARDA SUNULAN BİLDİRİLER
Tozlu, N., Yüksel, Ş., Şimşekler, T., On Strongly -precontinuous Multifunctions, The 24th Congress of the Jangjeon Mathematical Society, Konya, Temmuz 2011.