Örgüt İklim Tipleri

A experiência didático-metodológica a que se propõe relatar este trabalho foi desenvolvida junto aos alunos do curso da Pós-Graduação Lato Sensu em Educação Matemática da Universidade Federal de Rondônia, Campus de Ji-Paraná, no dia 09 de junho de 2018 teve a duração de uma aula de duas horas e foi ofertado a vinte participantes divididos em cinco grupos.

A referida aula se deu através da exposição do jogo a Torre de Hanói, onde foi disponibilizado um aplicativo online10 _{para os alunos jogarem.}

Para o desenvolvimento das atividades foram adotadas as seguintes estratégias:

(i) Os alunos jogaram o jogo Torre de Hanói online várias vezes, sempre mudando a quantidade de discos;

Nesta etapa o professor disponibilizou o jogo para que os alunos pudessem familiarizar-se com o mesmo, sendo solicitado que todos participassem do jogo disponibilizado pelo site da Universidade Federal do Rio Grande do Sul. Neste site o jogo é

ofertado com opções de 3 a 7 discos, devendo o jogador escolher em qual pino será formada a nova torre.

Figura 1: Imagem do jogo online Torre de Hanói Fonte: https://www.ufrgs.br/psicoeduc/hanoi/.

Então, o professor solicitou que se iniciasse o jogo com três discos e que aumentasse o grau de dificuldade, gradativamente, inserindo mais um disco cada vez que se obtivesse êxito na transposição da torre para outro pino.

(ii) Os alunos fizeram anotações na tabela de quantidade de movimentos das peças de acordo com a quantidade de discos utilizados e o total de movimento por jogo;

Em um segundo momento, o professor solicitou que os alunos jogassem em grupo para fazer anotações de acordo com a Tabela 1, observando o número de peças, a quantidade de movimentos de cada peça e o total de movimentos do jogo.

Tabela 1 – Marcação dos Movimentos dos Discos da Torre de Hanói

Quantidade de Quantidade de movimentos de cada peça Total de

discos das torres Pç 1 Pç 2 Pç 3 Pç 4 Pç 5 Pç 6 Pç 7 Movimentos

3 4 5 6 7

Fonte: Oficina “A utilização e aplicação do jogo Torre de Hanói para o ensino de conceitos matemáticos mais atraente e eficaz”, ministrada no XII ENEM, em julho de 2016, na UNICSul, São Paulo.

Figura 2: Imagem de resposta à quantidade de movimentos da Torre de Hanói feita por um dos grupos Fonte: Foto de autoria dos autores deste artigo.

Verificou-se nesta etapa que ao se jogar com três e quatro discos as perguntas que surgiram foi: Qual é o número mínimo de movimentos para resolver o problema com n

discos? Com essa indagação, alguns grupos se dispuseram a encontrar a lógica do jogo, enquanto que outros se preocuparam em apenas transpor os discos de uma torre para outra. (iii) Os alunos responderam um questionário sobre o jogo Torre de Hanói, tendo por base as seguintes questões:

a. Qual o menor número de movimentos necessários para completar o jogo? b. Acrescentando um disco à torre, em quanto aumenta o número de movimentos?

c. O que você observa na tabela, em especial quanto às colunas Pç 1, Pç 2, Pç 3, Pç 4, Pç 6, Pç 7, e o que podemos notar nessas colunas e nas linhas?

d. Existe algum segredo para jogar bem, sem desperdiçar tempo e movimentos?

e. Você utiliza alguma ideia matemática para escolher suas jogadas? Em caso afirmativo, qual ou quais? Como você mobiliza essas ideias?

f. Será que há algum padrão ou fórmula, considerando a quantidade de discos, para descobrir a quantidade mínima de jogadas? Você consegue percebê-la?

Nesta etapa o professor entregou uma lista com as seis questões anteriormente elencadas para cada grupo discutir e responder. Em seguida, essas questões foram socializadas com toda a turma a fim de obter generalizações e considerações sobre a atividade desenvolvida. Dos resultados obtidos, selecionamos uma lista entregue por um dos cinco grupos, que vem a ser uma pequena amostra representativa desta aula e que reflete as discussões provenientes das questões respondidas pelos grupos.

Tabela 2 – Número de jogadas mínimas necessários para completar o jogo

Número de Discos Número de Jogadas Mínimas

3 7

4 15

5 31

6 63

7 127

(i) Qual o menor número de movimentos necessários para completar o jogo?

R: Para cada quantidade de disco tem números de jogadas mínimas, conforme a Tabela 2; É conveniente frisar que alguns alunos movimentaram um número de vezes maior do que a quantidade mínima de jogadas, o que provavelmente inviabilizou a obtenção de uma regra matemática geral neste momento.

(ii) Acrescentando um disco à torre, em quanto aumenta o número de movimentos?

R: Analisando a quantidade mínima de jogadas concluímos que, seja o número mínimo de

movimentos para transferir n discos de um pino para o outro, veja que, cada vez que aumentamos um disco, movimentamos o dobro do valor anterior mais 1 movimento. Temos,

então, que .

(iii) O que você observa na tabela (no caso a Tabela 1 anteriormente apresenta aqui), em especial quanto às colunas Pç 1, Pç 2, Pç 3, Pç4, Pç 6, Pç 7, e o que podemos notar nessas colunas e nas linhas?

R: Os valores dobram em relação ao valor anterior, formando uma sequência cujos termos são potências de base 2 com valores decrescente nas linhas e crescente nas colunas.

(iv) Existe algum segredo para jogar bem, sem desperdiçar tempo e movimentos?

R: Sim, em relação a esse jogo disponibilizado pela Universidade Federal do Rio Grande do

Sul podemos observar que os discos são enumerados, assim, podemos verificar que sempre que estamos movimentando os discos, devemos colocar disco de número par sobre disco de número ímpar e vice e versa, para possibilitar a conclusão do jogo com o mínimo de jogadas.

(v) Você utiliza alguma ideia matemática para escolher suas jogadas? Em caso afirmativo, qual ou quais? Como você mobiliza essas ideias?

R: Sim. Relação de números pares e ímpares, pois os utilizamos para movimentar a torre do pino A para o pino C, em que usamos a seguinte estratégia: se tiver número par de discos começamos movendo o disco 1 para o pino B, e quando houver um número ímpar é mais rápido transferir o disco 1 para o pino C. Utilizamos também conceitos de círculos de maior diâmetro e menor diâmetro para colocar os discos um em cima do outro.

(vi) Será que há algum padrão ou fórmula, considerando a quantidade de discos, para descobrir a quantidade mínima de jogadas? Você consegue percebê-la?

Tabela 3 – Números Mínimos de n Discos da Torre de Hanói Número de Discos Número Mínimo de _Movimentos

3 7 4 15 5 31 6 63 7 127 n 2n _-1

Fonte: Próprios autores do presente artigo.

R: Para descobrir o mínimo de jogadas possíveis podemos utilizar a fórmula F(n) = 2n _{– 1,}

sendo n a quantidade de discos.

(iv) E no final, os alunos, juntamente com o professor, fizeram uma roda de conversa expondo as contribuições e aprendizagens diagnosticadas do jogo Torre de Hanói.

Neste último momento aconteceu a socialização da experiência didático-metodológica, com a exposição dos conhecimentos utilizados para desenvolver a atividade, como pode ser utilizado esse jogo para a introdução de conteúdos matemáticos em sala de aula e a importância da utilização de jogos nas aulas de Matemática para se obter o interesse dos alunos e conseguir um resultado satisfatório de aprendizagem.

Em todos os momentos de aplicação do jogo o professor circulava pela sala para orientações e motivar os alunos, havendo muita empolgação entre a maioria desses alunos em jogar utilizando até sete discos, ao que alguns com cuidados para obter o mínimo de jogadas por discos e outros apenas queriam mudar a torre de pino.