Bayesci istatistikte örneklemden elde edilen bilginin yanı sıra önsel bilgi dağılımının da kullanılması klasik yöntemlere göre bazı farklılıklara ve problemlere sebep olmuĢtur. Bunlardan en önemlisi parametre fonksiyonunun önsel bilgi dağılımının seçimini etkilediğidir. Bayesci istatistikte kullanılan önsel bilgi, araĢtırmayı yapan kiĢinin sahip olduğu bilgi miktarına göre üç farklı gruba ayrılmıĢtır. Bunlar, eĢlenik (conjugated) önsel dağılım, bilgi vermeyen (noninformative) önsel dağılım ve sübjektif (bilgi içeren) önsel dağılımlardır. Bilgi vermeyen önsel dağılımı kullanılması durumunda yapılan analizler klasik yaklaĢım ile yapılan analizlere göre benzer sonuçlar vermektedir. Fakat sübjektif ve eĢlenik önsel dağılımın kullanılması halinde ortaya çıkan sonuçlar klasik yaklaĢımdan farklılık göstermektedir (Akar ve Gündoğdu 2014).
Bayesci yaklaĢımda önsel dağılım yardımı ile sonsal dağılım fonksiyonu belirlendiğinden, önsel dağılımın belirlenmesi ve kullanılması önemli konudur. Önsel dağılımın olmadığı bir durumda Bayesci çıkarım ve istatistiksel modelleme yapılamaz. Önsel dağılımın sınıflandırılmasında diğer bir kısıt ise, kesikli veya sürekli dağılımlarda integral veya toplam olasılık değerinin “1” değerine eĢit olup olmamasıdır. Ġntegral veya toplam olasılık değerinin “1” değerine ulaĢması halinde bu tür önsel olasılıklar tam (proper) önsel olasılık, ulaĢılmaması halinde tam olmayan (improper) önsel olasılık olarak adlandırılırlar (Karadağ 2011).
Bayesci çıkarsamanın en önemli özelliklerinden birisi de örneklem hacmi arttıkça önsel dağılımın sonsal dağılım üzerindeki etkisinin azalmasıdır. Kısaca özetlenecek olursa, örneklem hacminin değiĢmesi olabilirlik fonksiyonunun basıklık veya sivrilik özelliğini değiĢtirebilmektedir. Örneğin; olabilirlik fonksiyonu sivri ve önsel dağılım fonksiyonu basık ise sonsal dağılım fonksiyonu da sivri olmaktadır. Sonuç olarak önsel dağılımın
22
sonsal dağılıma etkisi olmamakla birlikte Klasik yaklaĢıma benzer sonuçlar vermektedir (Box and Tiao 1973).
2.1.5.1 Bilgi Vermeyen Önsel Dağılım
Bilgi vermeyen önsel dağılım parametre hakkında çok az bilgiyi açıklamaktadır (Saçaklı 2011). Bilgi içermeyen önsel dağılım, yapılan analiz çalıĢmalarında en çok kullanılan yöntemlerden biridir. Bu yöntem, kullanılan parametrenin tanımlı olduğu aralık dıĢında baĢka hiçbir bilginin olmaması ve bu parametre için elde edilen önsel bilginin sonsal dağılımı üzerinde en az etkiye sahip olması durumunda kullanılmaktadır (Avcı 2012, Zerey 2018). Bilgi içermeyen önsel dağılımlara örnek olarak:
Düzgün (üniform) önsel dağılımlar
Belirsiz (diffuse/vague) önsel dağılımlar
Jeffrey‟ in önsel dağılımı
verilebilir (Murat 2012).
Bilgi içermeyen önsel dağılımların hemen hemen hepsi tanım bölgesindeki integralin “1” e eĢit olması koĢulunu sağlamaz. Yapılan uygulamalarda önsel dağılım tam olmasa bile sonsal dağılımlar her zaman tam olarak elde edilir. Genel olarak bilgi içermeyen önsel dağılım EĢitlik 2.36‟da belirtildiği üzere orantısal formül ile tanımlanabilir.
(2.36)
Parametreye ait önsel bilginin tanımlanmasında kullanılan EĢitlik 2.36‟nın, elde edilecek olan sonsal bilginin olabilirlik (likelihood) fonksiyonuna orantılı olacağı anlamına gelir. Daha önce belirtilen ∣∣ ∣ eĢitliği Bayes formülünden yola çıkılarak EĢitlik 2.37‟da belirtildiği Ģekilde yeniden yazılabilir.
∣ ∣ (2.37)
Burada,
23
Ģeklinde tanımlandığında, bilgi içermeyen önsel dağılımlar parametrenin tanımlı olduğu
A aralığı bilgisi dıĢında hiçbir bilgiye sahip olunmadığı durumda kullanılan önsel
dağılımlardır. Bu tür bir önsel dağılım kullanıldığında sonsal dağılım ile orantısal olarak olabilirlik fonksiyonunun a katına eĢit olmaktadır ve EĢitlik 2.39‟da belirtilmiĢtir:
∣ ∣ (2.39)
Bu durumda θ parametresinin tanım aralığı belirtilen A aralığının dıĢına çıkmamaktadır. Böylece bilgi içermeyen önsel dağılımların kullanılması halinde elde edilen sonuçlar klasik yaklaĢıma göre benzer sonuçlar vermektedir. Ayrıca bu tür önsel dağılımlarda eğer A aralığının sınırlarından en az bir tanesi sonsuza gidiyorsa normalleĢtirme katsayısı EĢitlik 2.40‟da verilen integrale eĢit olur ve hesaplanması mümkün olmaz.
∫ (2.40)
Bu durumda elde edilen bilgi içermeyen önsel dağılımda tam olmayan (improper) dağılım olmaktadır.
Bilgi içermeyen önsel dağılımlarda A aralığının sınırlarının herhangi birinin sonsuza gitmemesi durumunda ise oluĢacak sonsal dağılım EĢitlik 2.41‟de belirtilmiĢtir (Karadağ 2011, Sunar 2009, Box and Tiao 1973).
∣∣ (2.41)
Düzgün (üniform) önsel dağılımlar: Yapılan bir araĢtırmada parametresine ait az veya hiçbir önsel bilgi bulunmuyorsa Laplace-Bayes önermesi kullanılır. Bu önerme EĢitlik 2.42‟de verildiği gibidir (Murat 2012):
∣ ve olmak üzere:
24
Düzgün önsel dağılımlarda belirlenen aralıkta parametresine aynı olasılık değerleri atanır (Gündoğdu 2016).
Jeffrey ‘in Önsel Dağılımı: Bilgi vermeyen önsel dağılım oluĢturulabilmesi amacı ile H. Jeffrey tarafından 1961 yılında elde edilen bu teorem, Fisher‟in bilgi matrisinin determinantının karekökü alınarak elde edilmektedir. Bu teoreme göre EĢitlik 2.43 yazılabilir.
⁄ (2.43)
Bir tahmin edicinin, en çok olabilirlik tahmin edicisinin duyarlılığını ölçen Fisher bilgi matrisi ise EĢitlik 2.44‟de verildiği gibi tanımlanabilir.
∫ 0 ∣
1 ∣ (2.44)
Elde edilen EĢitlik 2.44 yardımı ile herhangi bir bilgi vermeyen önsel dağılım elde edilebilir (Gill 2008; Karadağ 2011). Farklı dağılımlar için elde edilen bazı Jeffrey önsel dağılımları Çizelge 2.2‟de verilmiĢtir.
Çizelge 2.2 Farklı Dağılımlar Ġçin Jeffrey Önsel Dağılımları (Gill 2008; Karadağ 2011).
Olabilirlik Fonksiyonu Parametre(ler) Önsel Dağılım
Bernoulli ⁄ Binom ⁄ Poisson ⁄ Normal (2 biliniyor) 1 Normal ( biliniyor) Normal
25
Belirsiz önsel dağılım: Parametrelerin sahip olduğu dağılım çeĢidine göre bu parametrenin ölçüsünün Ģeklini veren parametre değiĢmektedir. Kısacası parametre Ģekil parametresine sahipse Gamma dağılımı, konum parametresine sahipse Normal dağılım alınabilir. Büyük varyansın belirsiz durumla eĢ olması fikrine dayanarak Ģekil parametrelerine uygun değerler atanır ve düzgün önsel dağılıma uyan ve geniĢ bir aralıkta yer alan bilgi içermeyen bir önsel dağılım oluĢturulur.
olması durumunda (varyans) değerine oldukça büyük değerler atanır.
olması durumunda parametresine oldukça küçük değerler atanır.
Bu Ģekilde oluĢturulan belirsiz önsel dağılımın en önemli özelliği uygun (proper) dağılım olmasıdır (Öztürk 2014).
2.1.5.2 EĢlenik Önsel Dağılımlar
Bayesci çıkarsamada zorluk yaĢanan konulardan biri de bilinmeyen parametrenin sonsal olasılık dağılımının analitik olarak çözülebilmesidir. Çıkarsama yapılırken matematiksel iĢlem zorlukları nedeni ile istatistikçiler “EĢlenik Önsel Dağılım” kavramını geliĢtirmiĢlerdir. Önsel olasılık dağılımı ile olabilirlik fonksiyonunun eĢlenik olması halinde sonsal olasılık dağılımı da kolaylıkla elde edilebilir. Bu dağılım önsel olasılık dağılımı ile ilk olasılık dağılımının aynı dağılım ailesine sahip olmasını sağlamakta ve araĢtırmacılara uygulama kolaylığı sağlamaktadır (Gill 2008; Saçaklı 2011). Karadağ (2011) tarafından oluĢturulan aynı aileden olan eĢlenik dağılımlara ait bilgiler Çizelge 2.3‟de verilmiĢtir.
Çizelge 2.3 EĢlenik Önsel ve Sonsal Dağılımlar
Olabilirlik
Fonksiyonu Parametre(ler) Önsel Dağılım Sonsal Dağılım
Bernoulli p Beta Beta
26
Çizelge 2.3 (Devam) EĢlenik Önsel ve Sonsal Dağılımlar
Poisson Gamma Gamma
Üstel Gamma Gamma
Normal (2 biliniyor) Normal Normal
Normal ( biliniyor) 2
Ters Gamma Ters Gamma
Normal , 2 Normal-Gamma Normal-Gamma
Tek Biçimli a,b Pareto Pareto
Gamma , Gamma Gamma
2.1.5.3 Sübjektif Önsel Dağılım
Sübjektif (bilgi veren) önsel dağılım olabilirlik fonksiyonuna etkisi olmayan fakat sonsal dağılımı etkileyen bir dağılımdır. AraĢtırmacının önceki çalıĢmalardan edinmiĢ olduğu bilgi, önceki deneyimler Bayesci çıkarsamanın kanıtlanabilirliğini ve gücünü artırır (Öztürk 2014). Bilgi veren önsel dağılımın oluĢturulmasında kullanılan bilgiler, önceden elde edilmiĢ verilerden, araĢtırmacının araĢtırmaya dair önceki bilgilerinden ve uzman bir görüĢün yapacağı değerlendirmelerle elde edilen bilgiler ile oluĢturup elde bulunan mevcut veriler ile birleĢtirilerek güncellenir (Zerey 2018).