3.1 Mecânica do Contínuo e Elasticidade Não Linear
A fundamentação teórica sobreMecânica do Contínuo e Elasticidade Não Linear foi retirada principalmente das aulas de SET5876 - Fundamentos da Mecânica dos Materiais e das Estruturas e SET 5884 - Introdução à Dinâmica Não-Linear de Estruturas Reticuladas ministradas pelo professor Humberto Breves Coda no departamento de Engenharia de Estruturas da EESC - USP, bem como das referências Holzapfel (2000), Novozhilov (1953) e Coda (2003). Em se tratando de Mecânica do Contínuo e elasticidade não linear, a referência Gurtin, Fried e Anand (2010) é também uma valiosa fonte de informação. A notação adotada neste trabalho é explicada no Apêndice A.
A Mecânica do Contínuo utiliza leis e conceitos físicos e termodinâmicos para equacionar o comportamento dos meios contínuos de forma geral através de uma linguagem matemática densa e de modo que as equações resultantes sirvam tanto para sólidos quanto para fluídos. Na Mecânica do Contínuo, a lei constitutiva é o único parâmetro que diferencia os sólidos dos fluidos. Geralmente, descrições Lagrangianas são utilizadas na mecânica dos sólidos, enquanto que descrições Eulerianas são utilizadas na mecânica dos fluidos. A descrição Lagrangiana utiliza referenciais fixos para caracterizar o movimento com relação à configuração inicial indeformada. Na descrição Lagrangiana do movimento, a análise é direcionada a uma partícula enquanto ela se move no espaço. Já a descrição Euleriana utiliza referenciais móveis para caracterizar o movimento com relação à configuração atual deformada. Na descrição Euleriana do movimento, a análise é direcionada a um ponto do espaço e observam-se as partículas que passam por esse ponto. (HOLZAPFEL, 2000)
Assim como geralmente acontece em mecânica dos sólidos, adota – se neste trabalho a forma Lagrangiana das equações da Mecânica do Contínuo ao invés da forma Euleriana. A referênciaNovozhilov (1953) é particularmente interessante pela forma com que
conduz a dedução das equações da elasticidade não linear. Ao contrário da maioria das abordagens tradicionais (modernas) que utilizam a Mecânica do Contínuo carregada de uma Álgebra Tensorial - inclusive com redefinições das medidas de tensões e deformações usuais -, Novozhilov (1953) aborda o problema utilizando a Teoria da Elasticidade em uma forma “pura” e praticamente sem utilizar qualquer notação tensorial.
Partindo exatamente das mesmas ideias fundamentais que norteiam a Teoria da Elasticidade Linear e seguindo inclusive a mesma sequência de raciocínio, Novozhilov
(1953) mostra como seriam as equações da elasticidade se estas fossem deduzidas sem que as hipóteses de pequenas deformações (tanto normal quanto angular) e pequenas rotações fossem utilizadas. Assim, é possível compreender de forma bastante clara como os pilares da Teoria da Elasticidade (relações entre deslocamentos e deformações, equações de equilíbrio e lei constitutiva) ficam quase que intratáveis pela complexidade de suas equações, fazendo- se perceber a necessidade da utilização de uma nova teoria, a Mecânica do Contínuo, e um ferramental matemático poderoso, a Álgebra Tensorial, para o tratamento de problemas envolvendo grandes rotações e grandes deformações (este último com mais força ainda).
3.1.1
Deformação
SegundoNovozhilov(1953), o estudo das deformações consiste em, dadas as posições dos pontos de um corpo em suas configurações iniciais (antes da deformação) e finais (depois da deformação), determinar as alterações nas projeções da distância entre dois pontos arbitrários e infinitamente próximos do corpo causada pela transição da configuração inicial para a final.1. Essa é uma questão puramente geométrica, sendo que nem as causas
da deformação (condições de contorno) e nem a lei de acordo com a qual o corpo resiste ou os efeitos resultantes (tensões) são importantes nesse estudo. A cinemática, por sua vez, é o estudo geral do movimento que contempla tanto as alterações de forma e volume (deformações) quanto os movimentos de corpo rígido.
Uma medida de deformação também pode ser matematicamente entendida como uma definição útil na formulação de problemas em elasticidade, enquanto que, fisicamente, as medidas de deformação representam as mudanças de forma do corpo. As principais medidas de deformação são: medida de deformação não linear de engenharia, medida de deformação linear de engenharia e medida de deformação de Green-Lagrange. As medidas de engenharia são de interesse prático, pois possuem significado físico (CODA, 2014a).
Neste trabalho optou-se por utilizar a deformação de Green-Lagrange para os elementos de chapa porque, além de ser uma medida de deformação tensorial (simétrica) livre de hipóteses de pequenos deslocamentos ou rotações, também não contém parcelas de movimento de corpo rígido (objetiva). Assim, a deformação de Green-Lagrange é adequada para análises não lineares. Além disso, a deformação de Green-Lagrange é definida a partir
da função mudança de configuração, a qual é função das posições nodais utilizadas para aproximar a solução na formulação posicional do método dos elementos finitos.
Para os elementos de barra simples adota-se uma medida de deformação chamada de deformação não linear de engenharia. Embora a utilização dessa medida de deformação resulte em uma formulação do método dos elementos finitos posicional com equações de tratamento matemático mais complicado, foi a utilização dessa medida de deformação para o elemento de barra simples que permitiu considerar tanto o comportamento ativo quanto o viscoelástico das fibras imersas nos elementos de chapa de uma forma simples e consistente. Essa medida de deformação de engenharia definida no Apêndice B também é adequada para análises não lineares envolvendo grandes deslocamentos e grandes deformações.
As deformações podem ser tanto reversíveis quanto irreversíveis, e ainda, dependen- tes ou não do tempo. As deformações reversíveis ou elásticas dependem apenas do estado final de deformações. Já as deformações irreversíveis ou plásticas dependem do histórico de deformações. Quando a deformação depende do tempo ela é denominada viscoelástica. Nesse trabalho todas as deformações são reversíveis.
Uma função mudança de configuração f(X, t) é um campo vetorial que mapeia todas as posições finais (condição atual deformada) x de todas as partículas de um corpo a partir das posições iniciais (condição inicial indeformada) X dessas partículas em um dado instante de tempo t, isto é, x = f(X, t). A função mudança de configuração pode ou não assumir valores diversos no transcorrer do processo (CODA, 2003). Essa função mudança de configuração f(X, t), no entanto, não é conhecida e será aproximada através das posições nodais na formulação posicional do método dos elementos finitos.
Seja o conjunto formado pelos vetores diretores e1, e2, e3 uma base do espaço
tridimensional. Seja ainda X o vetor contendo a posição inicial de uma determinada partícula no espaço tridimensional e U(X, t) o campo de deslocamentos dessa partícula no instante t dado em função de sua própria posição inicial X, pode–se então escrever que a posição final x para qualquer partícula é:
x(X, t) = X + U(X, t) (3.1)
Na Equação 3.1, U(X, t) é função das posições (fixas) na configuração inicial indeformada, caracterizando, dessa forma, uma descrição Lagrangiana do movimento. Em análises dependentes do tempo, a série de Taylor permite conhecer o posicionamento de uma partícula em um dado instante t + ∆t a partir do conhecimento de onde ela estava no instante t. Similarmente, nas análises não lineares, a série de Taylor permite conhecer a posição de uma partícula em relação a outra partícula infinitamente próxima a partir do conhecimento da posição relativa entre essas duas partículas antes da deformação. (HOLZAPFEL, 2000)