ÖNERİLER

5.5

Ajuste dos MTFA l.g.g. padr˜ao com fra¸c˜ao de

cura

As Figuras 5.5 e 5.6 mostram o contorno da verossimilhan¸ca maximizada para os diferentes valores estimados de Lmax(q) para o MTFA l.g.g. padr˜ao com modelo de

mistura padr˜ao e com modelo de tempo de promo¸c˜ao respectivamente. A estimativas de m´axima verossimilhan¸ca dos coeficientes ˆβ, ˆγ e ˆσ obtidas pelo software estat´ıstico R para os dois modelos s˜ao apresentados na Tabela (5.8).

Figura 5.5: Contorno da verossimi- lhan¸ca maximizada Lmax(q) para o

MTFA l.g.g. padr˜ao com modelo mis- tura padr˜ao, dados de pacientes com cˆancer de mama. Natal/RN 1991 `a 1995

Figura 5.6: Contorno da verossimi- lhan¸ca maximizada Lmax(q) para o

MTFA l.g.g. padr˜ao com modelo tempo de promo¸c˜ao, dados de pacientes com cˆancer de mama. Natal/RN 1991 `a 1995

Pelos resultados apresentados na Tabela 5.8 para o MTFA l.g.g. padr˜ao com mo- delo de mistura padr˜ao vemos que os parˆametros do vetor β associados `a acelera- ¸c˜ao/desacelera¸c˜ao do tempo at´e a ocorrˆencia do evento de interesse do MTFA l.g.g. padr˜ao com modelo de mistura padr˜ao apresentados na Tabela 5.8 apresentam resulta- dos semelhantes ao apresentados na se¸c˜ao 5.4. Para os parˆametros γ apenas a vari´avel PLC.2 ´e significante, ou seja, existe diferen¸ca significativa para a fra¸c˜ao de curadas nas pacientes com uma propor¸c˜ao de linfonodos comprometidos acima de 50% em com-

5.5 Ajuste dos MTFA l.g.g. padr˜ao com fra¸c˜ao de cura 38

para¸c˜ao com as pacientes que apresentam 0%. O fato de γP LC.2 ser negativo indica que

a propor¸c˜ao de curadas ´e menor em compara¸c˜ao com as pacientes que apresentam 0%. N˜ao existe diferen¸ca significativa na fra¸c˜ao de curadas entre as pacientes com 0% e as pacientes com PLC entre 0% e 50%.

Tabela 5.8: Resultados do ajuste para MTFA l.g.g. padr˜ao com modelo de mistura padr˜ao e modelo de tempo de promo¸c˜ao - Dados de pacientes com cˆancer de mama. Natal/RN 1991 `a 1995

Modelo de Mistura Padr˜ao Modelo de Tempo de Promo¸c˜ao Coeficiente Estimativa E.P. p.valor Coeficientes Estimativa E.P. p.valor

β0 4,494 0,495 <0,001 β0 5,593 1,372 <0,001 βP LC.1 0,411 0,504 0,415 βP LC.1 0,543 0,816 0,506 βP LC.2 -0,895 0,474 0,059 βP LC.2 -0,170 0,787 0,829 βT N C.1 -0,765 0,372 0,039 βT N C.1 -0,321 0,795 0,687 σ 1,030 0,134 <0,001 σ 1,592 0,404 <0,001 γ0 0,785 0,560 0,161 γ0 -0,184 0,935 0,844 γP LC.1 -1,773 1,598 0,267 γP LC.1 0,983 0,793 0,215 γP LC.2 -2,744 1,181 0,020 γP LC.2 1,754 0,758 0,021 γT N C.1 -2,061 1,550 0,184 γT N C.1 0,918 0,848 0,279

Os demais resultados parecem ser conflitantes com os resultados das se¸c˜oes ante- riores. A vari´avel PLC n˜ao apresenta significˆancia na fra¸c˜ao de curados em nenhum dos 2 modelos, o que parece contrariar a Figura 5.2. O MTFA l.g.g. padr˜ao com modelo tempo de promo¸c˜ao n˜ao apresenta significˆancia em nenhuma das covari´aveis no vetor β o que tamb´em contraria os resultados anteriores. Acreditamos que estas incoerˆencias podem ser devidas `a inclus˜ao do parˆametro γ0 nos modelos e n˜ao devido

`a algum erro no algoritmo apresentado, pois reproduzimos de forma muito similar os resultados de Yamaguchi (1992) e Ortega et al. (2009) com seus respectivos bancos de dados (apresentado na Se¸c˜ao 5.1).

Cap´ıtulo 6

Considera¸c˜oes finais

Nesta disserta¸c˜ao estudamos os modelos de sobrevivˆencia com fra¸c˜ao de cura, dando ˆenfase a uma abordagem unificada destes modelos. Al´em disso, discutimos os modelos de tempo de falha acelerados com fra¸c˜ao de cura, que permitem a observa¸c˜ao do efeito de covari´aveis tanto na acelera¸c˜ao/desacelera¸c˜ao do tempo at´e a ocorrˆencia do evento de interesse como tamb´em na fra¸c˜ao de cura, e sugerimos uma ´otica unificada sobre esses modelos.

Particularizamos este modelo, que chamamos de Modelo de Tempo Falha Acelerado com Fra¸c˜ao Cura Unificado, para os casos em que ele corresponde ao MTFA log-gama generalizada padr˜ao com modelo de mistura padr˜ao e MTFA log-gama generalizada padr˜ao com modelo de tempo de promo¸c˜ao, e aplicamos `a um conjunto de dados reais de pacientes com cˆancer de mama.

Os resultados foram obtidos atrav´es de um algor´ıtimo no software estat´ıstico R. Que se mostrou eficaz para reproduzir resultados j´a existentes na literatura, mas que por´em apresentou resultados pouco coerentes quando aplicados ao nosso conjunto de dados. Acreditamos que essas incoerˆencias s˜ao devido `a algum problema de convergˆencia ou devido `a inclus˜ao do parˆametro γ0 no modelo.

40

Para trabalhos futuros propomos um estudo sobre os res´ıduos do Modelo de Tempo Falha Acelerado com Fra¸c˜ao Cura Unificado, a constru¸c˜ao de um algor´ıtimo no software R mais flex´ıvel a respeito da inclus˜ao ou retirada de covari´aveis e tamb´em que seja apresentado de forma mais amig´avel para um novo usu´ario.

Apˆendice A

Comandos no R

O m´etodo aqui utilizado faz uso da fun¸c˜ao “optim” do pacote base do software R para maximizar a fun¸c˜ao de verossimilhan¸ca. Podemos utilizar o mesmo m´etodo para encontrar outros estimadores de m´axima verossimilhan¸ca. Primeiro definiremos as principais fun¸c˜oes para compor a fun¸c˜ao de verossimilhan¸ca que ser´a maximizada. Usamos tamb´em a fun¸c˜ao “Rgamma” do pacote “zipfR” (Evert e Baroni (2008)) que corresponde `a fun¸c˜ao integral gama incompleta (equa¸c˜ao 4.4).

A.1

Regress˜ao Log-gama Generalizada com cova-

ri´aveis

#Fun¸c~ao densidade da log-gama generalizada f=function(z,q) if (q!=0)

(((abs(q)/gamma(q^-2)*(q^-2)^q^-2*exp((z/q)-(q^-2)*exp(q*z))))) else if (q==0)

dnorm(z)

#Fun¸c~ao de sobreviv^encia

S= function(z,q) if (q>0) Rgamma(q^-2*exp(q*z),q^-2) else if (q<0) 1-Rgamma(q^-2*exp(q*z),q^-2) else if (q==0) (1-pnorm(z))

Devemos agora gerar a fun¸c˜ao de verossimilhan¸ca que deve ser maximizada. Sendo os argumentos de entrada

• par → Parˆametros a serem estimados 41

A.1 Regress˜ao Log-gama Generalizada com covari´aveis 42

• D → Tabela n × (p + 2) do conjunto de dados. Os dados devem ser agrupados em forma de “data.frame”. Tempo e censura devem ter os nomes ”t”e ”c”e serem as duas primeiras colunas respectivamente.

loglinkGG= function (par,D) {

#Criar matriz de dados A sem os valores de tempo de falha e censura if (length(D) > 2) {

A=as.matrix(D[,3:length(D)]) A=cbind(rep(1,nrow(A)),A) } else A=cbind(rep(1,nrow(D)))

#Obseve que se n~ao existir covari´aveis ser´a criado apenas uma coluna de uns

#Betas a serem estimados B=par[1:(length(D)-1)]

#Par^ametro Sigma a ser estimado sig=par[length(D)]

#Par^ametro q a ser estimado q=par[length(D)+1]

#Calculo de z

z=(log(D$t)-A%*%B)/sig

#Fun¸c~ao de verossimilhan¸ca

L= if (sig>0) (D$c)*log(1/sig*f(z,q))+(1-D$c)*log(S(z,q)) else NA

#Veja que se o valor de sigma n~ao for positivo, a fun¸c~ao retorna um valor nulo.

#soma da fun¸c~ao de verossimilhan¸ca a ser retornado sum(L)

}

Devemos ent˜ao dar um “chute” inicial para nossa estima¸c˜ao. Uma boa estimativa inicial s˜ao os valores para regress˜ao Weibull da fun¸c˜ao “survreg” do pacote “survival” ($survival). O argumento formula deve ser substitu´ıdo pela soma das covari´aveis en- volvidas na ordem quem que foram postas em D.

library(survival)

ajust=survreg(Surv(t,c)~formula,dist="weibull") pars=c(ajust$coefficients,1/ajust$scale,1)

A.1 Regress˜ao Log-gama Generalizada com covari´aveis 43

Por fim executamos a fun¸c˜ao optim. Os principais argumentos da fun¸c˜ao optim s˜ao: • par → Valores iniciais;

• fn → Fun¸c˜ao que deve ser maximizada;

• method → M´etodo de maximiza¸c˜ao, neste caso usamos “BFGS”;

• hessian → Se vocˆe deseja obter a matriz Hessiana, necess´aria para obter o E.P.; • control → Lista de op¸c˜oes do optim. Como o optim minimiza a fun¸c˜ao objetivo

por padr˜ao, devemos usar a op¸c˜ao fnscale=-1 para maximizar a fun¸c˜ao.

Para a fun¸c˜ao optim precisamos ainda definir o data.frame de dados D que deve conter o tempo de vida e o indicador de falha nas duas primeira colunas com os nomes

t e c. As covari´aveis que ser˜ao utilizadas s˜ao postas nas demais colunas (obs.: apenas

as covari´aveis utilizadas). Definimos tamb´em o valor de q.

fim=optim(par=pars,fn=loglinkGG,D=dados,q=0,method="BFGS",hessian=T,control = list(fnscale=-1))

O valor de ”value” corresponde ao valor maximizado do logaritmo da fun¸c˜ao de verossimilhan¸ca.

Os comandos a seguir correspondem ao m´etodo descrito na se¸c˜ao 4.4. #Primeiro criamos alguns objetos com valores nulos para serem usados adiante fim=valores=j=NULL

#Definimos uma vari´avel para armazenar o maior valor de \textit{"value"}, #com um valor inicial de menos infinito

valor=-Inf

#Criamos um la¸co de repeti¸c~ao para diferentes valores de q entre -3 e 3 for (i in (seq(-3,3,0.1))) {

#Em cada repeti¸c~ao tenta-se executar o optim para os diferentes valores de q #Caso algum erro de converg^encia ocorra o la¸co n~ao ´e quebrado devido `a fun¸c~ao try

out=try(optim(par=inicial,q=i,fn=loglinkLGG,D=dados,method=’BFGS’ ,hessian=T,control = list(fnscale=-1)),T)