Esta é uma maneira inteligente de definir “projeções” em espaços vetoriais que não pos- suem produto interno.
Seja W um subespaço vetorial de V. Dado v ∈ V, definimos o conjunto v + W = {v + w : w∈ W },
denominado de classe lateral de W em V. Observe que 0 + W = W.
Podemos definir duas operações no conjunto das classes laterais de modo a torná-lo um espaço vetorial.
Seja W um subespaço vetorial de V. Sejam u e v dois vetores em V e k um escalar pertencente ao corpo sobre o qual se define o espaço vetorial V. Definimos no conjunto das classes laterais de W as operações de adição de duas classes e multiplicação de uma classe por um escalar por
(u + W ) + (v + W ) = (u + v) + W, k(u + W ) = ku + W.
O conjunto das classes laterais, com estas duas operações, é um espaço vetorial sobre o mesmo corpo sobre o qual se define V. Este espaço vetorial é denominado espaço quociente de V por W e é denotado por V/W. Se a dimensão de V for finita então dim(V/W ) = dim(V )− dim(W ).
Teorema 12.15 Seja L : V → V linear e W um subespaço L invariante de V. Então L induz um operador linear ¯L em V/W definido por
¯
L(v + W ) = L(v) + W.
Se L for um zero de um polinômio, então ¯L também o é. Assim, o polinômio mínimo de ¯
Exemplo 12.16 Vamos apresentar um exemplo que mostra como se pode obter uma rep- resentação matricial triangular de uma transformação linear. Seja L : R3 → R3 definida
por L(x, y, z) = (4x + y − z, 2x + 5y − 2z, x + y + 2z). A matriz de L na base canônica do R3 é A = 4 12 5 −1−2 1 1 2
Os vetores v1 = (−1, 1, 0), v2 = (0, 1, 0), v3 = (0, 0, 1) formam uma base do R3.
Destacamos que v1 é autovetor de L correspondente ao autovetor 3. Como
L(v1) = 3v1 L(v2) = −v1+ 6v2+ v3 L(v3) = v1− 3v2+ 2v3 a matriz de L na base {v1, v2, v3} é B = 30 −16 −31 0 1 2 .
O espaço vetorial W gerado por v1 é invariante sob L. Observe que a matriz de L na
base {v1, v2, v3} já possui a primeira coluna na forma desejada para se chegar à forma
triangular.
Consideremos V = {v + W : v ∈ V } que é o espaço quociente V/W e a transformação linear induzida L : V → V definida por L(v) = L(v) + W. Para esta transformação,
L(v1) = 3v1+ W = W = 0
L(v2) = −v1 + 6v2 + v3+ W = 6v2+ v3
L(v3) = v1 − 3v2+ 2v3+ W =−3v2+ 2v3
de modo que a matriz de L em relação à base {v2, v3} de V é
C = µ 6 −3 1 2 ¶ .
Vamos omitir a barra e olhar para L no espaço gerado por v2 e v3. Sabemos que
L(v2) = 6v2+ v3
L(v3) = −3v2+ 2v3
cuja matriz na base {v1, v2} é C. Os autovalores de C são 5 e 3 e o autovetor relativo ao
autovalor 5 é 3v2+ v3. Vamos então passar da base {v1, v2, v3} para a base {w1, w2, w3}
onde
O w3 foi escolhido de modo arbitrário, exigimos apenas que {w1, w2, w3} seja uma base
de V. Podemos inverter as relações acima para obter
v1 = w1, v2 = (w2 − w3)/3, v3 = w3.
Daí segue
L(w1) = 3w1
L(w2) = −2w1+ 5w2
L(w3) = w1 − w2+ 3w3
e, nesta base, a matriz de L é
D = 30 −25 −11 0 0 3
que está na forma triangular. Esta transformação linear pode ser representada por uma matriz diagonal pois ela possui três autovetores linearmente independente.
Aplicações
Aproximação por polinômios Cadeias de Markov Circuitos elétricos Diferenças finitas Elementos finitos
Equação de Schröedinger
Sistemas de equações diferenciais Exponencial de matriz
Formas quadráticas Cônicas e quádricas Mínimos quadrados
Modelo econômico de Leontief
Método húngaro para alocação de tarefas Cifras de Hill
Programação linear Séries de Fourier
Sistemas de equações diferenciais Tensão nos meios contínuos Teoria dos grafos
Teoria dos jogos
Matrizes
Uma matriz é um arranjo retangular de números, denominados de elementos da matriz, dispostos em linhas e colunas. Quando uma matriz possuir m linhas e n colunas diremos que é uma matriz m × n ou matriz m por n ou matriz de ordem m por n. Matrizes reais são aquelas cujos elementos são números reais e matrizes complexas são aquelas cujos elementos são números complexos. Em nosso curso trabalharemos com matrizes reais ou complexas.
Uma matriz com uma única coluna é chamada de vetor coluna e uma matriz com uma única linha é chamada de vetor linha. Se o número de linhas for igual ao número de colunas se diz que a matriz é quadrada. Uma matriz quadrada com n linhas e n colunas é uma matriz n por n ou de ordem n. Neste caso, em lugar de dizermos que a ordem da matriz é m por m, diremos apenas que a matriz é de ordem m.
A menos que se especifique o contrário, Rn é o conjunto das matrizes coluna reais,
que possuem n linhas e uma coluna. Denotaremos por Cn ao conjunto de matrizes coluna
complexas, com n linhas e uma coluna. Designaremos o conjunto das matrizes reais m por n pelo símbolo Rm×n e das matrizes complexas de ordem m por n pelo símbolo Cm×n.
Também é usual escrever Am×n para indicar que A possui m linhas e n colunas. Um
número real ou complexo será denominado genericamente de escalar. Usaremos a notação abreviada A = (aij) para denotar uma matriz
A = a11 · · · a1n ... ... ... am1 · · · amn
onde aij é o elemento da linha i e coluna j. No conjunto das matrizes m por n, se define
a adição de duas matrizes e a multiplicação de uma matriz por um escalar através das fórmulas
(aij) + (bij) = (aij + bij)
k (aij) = (kaij)
onde k é um escalar, (aij) e (bij) são matrizes de ordem m por n. Quando for conveniente,
escreveremos (aij)k em lugar de k(aij).
A matriz em que todos os elementos são nulos é chamada de matriz nula e será denotada por 0.
Se A = (aij), então −A = (−aij) é chamada de matriz oposta de A. Definimos a
diferença entre as matrizes A e B de mesma ordem por A − B = A + (−B). Propriedades
Nas propriedades enumeradas abaixo, A, B e C são matrizes de mesma ordem, incluindo a matriz nula e k1, k2 são escalares. O 1 indica a unidade escalar.
1. Associatividade: A + (B + C) = (A + B) + C. 2. Comutatividade: A + B = B+ A.
3. Elemento neutro: A + 0 = 0 + A = A.
4. Elemento oposto: A + (−A) = (−A) + A = 0. 5. Associatividade: (k1k2)A = k1(k2A).
6. Distributividade: (k1+ k2)A = k1A + k2A.
7. Distributividade: k1(A + B) = k1A + k1B.
8. Unidade: 1A = A
Estas propriedades indicam que o conjunto das matrizes m × n com as operações de adição e multiplicação por um escalar é um espaço vetorial sobre o corpo dos escalares que, em nosso caso, será o corpo dos números reais ou dos números complexos.
A.1
Matrizes especiais
Seja A = (aij) uma matriz m por n e p = min{m, n}. Os elementos a11, a22, . . . , app
formam a diagonal principal da matriz A. Uma matriz é diagonal se todos os elementos fora da diagonal principal forem nulos.
A matriz identidade I de ordem m é a matriz diagonal cujos elementos da diagonal principal são todos iguais a 1. O delta de Kronecker, definido para todo i e j inteiros por
δij = 1 se i = j
δij = 0 se i 6= j
pode ser usado para representar os elementos da matriz identidade. Em termos deste símbolo, I = (δij) .
Se os elementos abaixo da diagonal principal da matriz A forem nulos, a matriz é triangular superior. Se os elementos à direita da diagonal principal de A forem nulos, a matriz é triangular inferior.
Uma matriz A é simétrica se AT = A, é anti-simétrica se AT = −A e ortogonal
se AT = A−1.
Seja A = (aij) uma matriz complexa de ordem m por n. Vamos indicar por ¯aij ao
complexo conjugado de aij. A matriz A∗ = (bij) de ordem n por m, onde
bij= ¯aji
é a adjunta de A. Se A for real, então A∗ = AT. Uma matriz complexa A é hermitiana
se A∗ = A, anti-hermitiana se A∗ = −A e unitária se A∗ = A−1. As matrizes reais
simétricas são hermitianas, as matrizes reais anti-simétricas são anti-hermitianas e as matrizes reais ortogonais são unitárias.
Definição A.1 Uma matriz m por n possui a forma escalonada se:
1. As linhas nulas, se existirem, se encontram na parte inferior da matriz.
2. Ao percorrer as linhas de cima para baixo, o primeiro elemento não nulo de cada linha vai se deslocando para a direita.
O primeiro elemento não nulo em cada linha, quando percorrida da esquerda para a direira, é chamado de pivô da linha.
Definição A.2 Uma matriz m por n possui a forma escalonada reduzida se: 1. As linhas nulas, se existirem, se encontram na parte inferior da matriz.
2. O primeiro elemento não nulo em cada linha, quando percorrida da esquerda para a direira, é igual a 1. Este é o pivô da linha.
3. São nulos todos os demais elementos da coluna que contém o pivô.
4. Ao percorrer as linhas de cima para baixo, o primeiro elemento não nulo de cada linha vai se deslocando para a direita.