A maioria dos escoamentos estudados em nível científico ou tecnológico, de interesse da engenharia, são os que apresentam um comportamento caótico de grande complexidade, normalmente ditos turbulentos. Esse assunto tem sido objeto de estudo de matemáticos, físicos e engenheiros de forma bastante intensa, fazendo com que apareçam novas teorias e conceitos com o objetivo de tentar esclarecer esse fenômeno.
Exemplos de escoamentos turbulentos não é tarefa difícil, no entanto apresentar uma definição precisa da turbulência não é tarefa fácil. Compreender de forma qualitativa as características do fenômeno é de suma importância, embora a turbulência esteja longe de ser completamente entendida. Na engenharia existem muitos problemas que envolvem turbulência sem uma solução satisfatória. Isto se deve ao elevado ao nível de complexidade apresentada pela turbulência. A compreensão deste fenômeno, isto é, dos mecanismos físicos existentes no mesmo está relacionada com as flutuações temporais e da posição no espaço. Vale lembrar também, que a geometria e a viscosidade do fluido são elementos que estão intimamente ligados às multiplicidades de escalas existentes na turbulência.
Diante da dificuldade de se definir o que é turbulência, (Tennekes e Lumley, 1983) preferem citar algumas das características principais dos escoamentos turbulentos, como: irregularidade, difusividade, associação a números de Reynolds elevados, tridimensionalidade das flutuações de vorticidade, dissipação, validade da hipótese do
contínuo, e ser caracterizada pelas propriedades do escoamento, não pelas propriedades físicas do fluido.
Para Kundu (1983) as principais características dos escoamentos turbulentos são as seguintes: aleatoriedade, não-linearidade, difusividade, vorticidade e dissipação. Enquanto que Silveira Neto (2002) prefere apresentar a alta difusividade, rotacionalidade e tridimensionalidade, dissipação, validade da hipótese do contínuo, imprevisibilidade e associação a altos números de Reynolds, largo espectro de energia, como as características mais importantes da turbulência.
Os autores citadas acima mostram quanto é complexo o assunto. Para Silveira Neto (2002), esta é razão que pela qual a turbulência e a transição à turbulência, um tópico relacionado ao tema, tem sido um assunto dentre os mais intensamente estudados no último século.
Apesar do caos que governa um escoamento turbulento, muito das características básicas podem ser determinadas, quer por via teórica ou experimentalmente. Essas características são bastante usadas na formulação e na compreensão de modelos matemáticos.
No estudo da turbulência é normal considerá-la como sendo composta por uma superposição de vórtices (“eddies”). Muitos desses modelos, que apresentam resultados aceitáveis, fazem uso da analogia entre vórtices e moléculas, as quais vem de uma teoria bem estabelecida, a Teoria Cinética dos Gases. O fato das moléculas serem bem definidas e os vórtices não, faz com que essa analogia não seja completa, pois a dimensão dos vórtices varia no tempo e no espaço e estes trocam massa, momentum e energia entre si. No entanto, o conceito de vórtice é fundamental para o entendimento da turbulência.
Para um escoamento turbulento entre placas planas existe um espectro contínuo de tamanho de vórtices proporcional ao número de Reynolds. Tal espectro é limitado pelas duas placas. É impossível a existência de um vórtice que ultrapasse a distância entre as placas.
O comportamento de um fluido em um duto pode ser divido em três partes: região laminar, região de transição, e região completamente turbulenta. A transição à turbulência, identificada por Reynolds (1895), é caracterizada pelo aparecimento de instabilidades num escoamento originalmente estável, isto é laminar, as quais se multiplicam por um processo não linear e degeneram-se finalmente em um regime turbulento. Na região onde o escoamento é turbulento, as partículas não permanecem em camadas, porém se move de
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forma heterogênea através do escoamento em modo completamente caótico, o que produz em qualquer ponto do escoamento uma flutuação rápida e regular em torno de um valor médio bem definido. O aparecimento da turbulência está relacionado com o número de Reynolds, estabelecido pela relação entre as forças de inércia e forças viscosas, sendo normalmente elevado em tais regiões, o que significa que as forças de inércias são bem maiores que as forças viscosas.
Wang e Longwell (1964) apresentaram, aplicando diferenças finitas, uma solução numérica das equações de Navier-Stokes para um escoamento entre placas planas paralelas. Eles empregaram a formulação de função corrente e vorticidade, e assumiram que a entrada era descrita por um escoamento irrotacional.
Felliss et al. (1977) mostraram, com base na velocidade média e na distância entre as placas, que a transição da região laminar para a região de turbulência ocorre para um número de Reynolds de aproximadamente 7500.
Por outro lado Klein (1981) afirma que a relaminarização da camada limite está intimamente ligada à contração da boca na entrada para escoamentos em tubos.
Byrne et al. (1969) realizaram pesquisas experimentais sobre o escoamento turbulento entre placas planas e paralelas. Eles colocaram fitas de rugosidade artificial logo na entrada do canal de planas para garantir que o escoamento fosse turbulento logo na entrada. Em seguida realizaram medições dos parâmetros médios do escoamento e obtiveram resultados sobre o perfil de velocidade no centro do duto, confirmando citações que a velocidade no centro assume um valor máximo antes de alcançar o valor do escoamento completamente desenvolvido
À mesma conclusão chegaram Dean e Bradshaw (1976) quando, segundo eles, próximo à linha do centro, depois que as camadas limites se encontram, a velocidade no centro do canal ainda cresce. Afirmam que isto é devido a variação da tensão cisalhante na direção transversal do escoamento (y) ser menor que o gradiente de pressão. Isto é,
* * * * P y y t ¶ < ¶ ¶ ¶ (2.1)
Como o processo de interação se estende ao longo do duto, a velocidade na linha de centro decai, de forma que:
* * * * P y y t ¶ ¶ > ¶ ¶ (2.2)
com o perfil da tensão cisalhante alcançando a forma linear, indicando assim a região completamente desenvolvida.
Johnston (1978) afirmou que os escoamentos entre placas planas em que a turbulência é considerada logo na entrada, provocada por rugosidades artificiais colocadas nas paredes, está dividido em quatro partes conforme mostra a Figura 2.1.
A região I possui uma extensão x, medida a partir da entrada, que é muito menor que a distancia 2b que separa as placas. As camadas limites são finas e não interagem entre si. Na região II, chamada de zona de interação de deslocamento existe um bloqueio no crescimento das camadas limites que afeta a velocidade do escoamento no núcleo invíscido.
Figura 2.1 - Regiões de desenvolvimento das camadas limites turbulentas (Johnston, 1978).
Na região III, denominada de Zona Cisalhante, as camadas limites começam a interagir entre si, tornando difícil um estudo mais preciso sobre o escoamento nessa região, pois o mesmo é completamente turbulento. É também nesta região que o escoamento apresenta, para o desenvolvimento hidrodinâmico, um comportamento não assintótico e um valor máximo para o perfil de velocidade na linha de centro antes de atingir o escoamento completamente desenvolvido. Na quarta região, o escoamento já está completamente desenvolvido. A região completamente desenvolvida deve estar a uma
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distância acima de 140 diâmetros hidráulicos medidos a partir da entrada do duto segundo Klein (1981).
Realizando mudanças no modelo de turbulência de uma equação de Bradshaw et al. (1967), Bradshaw et al. (1973) estudaram o desenvolvimento das camadas limites entre placas planas paralelas, a partir da região onde as camadas limites se encontram. Para eles, antes dessa região o modo de proceder nos cálculos fica restrito aos métodos tradicionais. Os resultados numéricos obtidos para a velocidade no centro estão de acordo com os valores experimentais até o ponto de máximo, depois deste ponto são superestimados. O mesmo comportamento encontraram para o coeficiente de atrito.
Usando uma metodologia distinta da aplicada por Bradshaw et al. (1973), Emery e Gessner (1976) encontraram resultados para a velocidade no centro do canal que estavam em melhor concordância com os resultados experimentais, sem que esta assumisse valores muito grandes após a região de encontro das camadas limites. No entanto, os resultados teóricos para o número de Stanton e para o coeficiente de atrito foram subestimados quando comparados com os valores experimentais já existentes.
Para chegar a estes resultados, os autores fizeram uso de um modelo de turbulência que consistia de um modelo algébrico de comprimento de mistura bidimensional, cuja escala de comprimento foi desenvolvida para modelos de tensões de Reynolds, formulado para escoamentos tridimensionais com córneres.
Kobata et al. (1983) analisaram experimentalmente e concluíram que perturbações inseridas no escoamento entre placas planas paralelas tendem a desaparecer mais rapidamente nas variáveis médias do que nas variáveis flutuantes. Concluíram também que o desenvolvimento das tensões de Reynolds na região da parede ao longo do canal é extremament lento, necessitando-se de aproximadamente 70 vezes a distância entre as placas para alcançar as condições de escoamento completamente desenvolvido.
Vetterle e Fernandes (1981) usaram a técnica de sublimação de naftaleno em um duto formado por duas placas planas, uma isolada e a outra à temperatura constante e encontraram uma correlação entre os números de Nusselt, Prandtl, Reynolds e a distância à entrada do canal para 1,09×104 Re £ £ 9,17×104
Deve-se a Stephenson (1976), a implementação inicial do modelo diferencial de duas equações de transporte k-ε para simular o processo de desenvolvimento do escoamento turbulento em dutos com placas paralelas e divergentes. Com esse objetivo, Stephenson (1976) aplicou o método de diferenças finitas (Patankar e Spalding, 1970)
para resolver as equações de transporte do modelo k-ε para altos números de Reynolds. Os resultados obtidos estão em concordância com os dados teóricos e experimentais para o desenvolvimento do perfil de velocidade, coeficiente de atrito, espessura de deslocamento e número de Stanton, apresentando divergência somente depois do encontro das camadas limites.
A experiência feita por Vetterle e Fernandes (1981) usando placas paralelas foi reproduzida por Pinheiro e Neto (1984). Os resultados encontrados por eles somente vieram a concordar com os da experiência original para níveis elevados de turbulência na entrada, de 27% a 29%. Nessa reprodução foi usado o modelo turbulência de duas equação de transporte de Jones e Launder (1972) para baixo número de Reynolds e as equações que representavam o modelo foram resolvidas usando diferenças finitas.
Aplicando a técnica de volumes finitos, Zaparoli (1989) encontrou uma solução numérica das equações que simulam o escoamento com e sem transição para a turbulência no interior de dutos, empregando doi modelos k-ε para baixos números de Reynolds.
Segundo Zaparoli (1989), os resultados obtidos com a utilização dos modelos k-ε de Launder e Sharma (1974) e Lam e Bremhorst (1981) estão em consonância com os dados experimentais, com o modelo de Launder e Sharma (1974) apresentando um melhor desempenho que o modelo de Lam e Bremhorst (1981).
Pimentel (1993), Lima (1995) foram os primeiros a estudarem o desenvolvimento hidrodinâmico em canais de placas planas e paralelas aplicando modelos algébricos de turbulência e a técnica da transformada integral generalizada.
Através da técnica da transformada integral, Pimentel (1993) resolveu as equações do escoamento na formulação de camada limite, usando o modelo algébrico de turbulência modificado de Cebeci e Smith (1974) para vários números de Reynolds e constatou o comportamento não assintótico da velocidade no centro. No entanto, a simulação não produziu o valor e a localização corretos do pico da velocidade no centro conforme esperado experimentalmente. Quanto ao coeficiente de atrito os resultados foram coerentes, porém não apresentaram o valor mínimo verificado experimentalmente.
Logo em seguida, Lima (1995) realizou uma simulação do escoamento entre placas planas e paralelas sob as mesmas condições de contorno e entrada do realizado por Pimentel (1993). Agora, como uma extensão da aplicação da GITT, as equações completas de Navier-Stokes foram resolvidas na formulação de função corrente. As
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características não-assintóticas do escoamento não foram reproduzidas pelo modelo algébrico empregado, o modelo de Richman e Azad (1973).
Finalmente, Lima (2000), empregando dois modelos algébricos de turbulência (modelo de Richman e Azad, 1973; modelo de Emery e Gessner, 1976) e duas versões do modelo de uma equação de transporte (k-L) de Wolfshtein (1969), estudou as caracteríticas térmicas e hidrodinâmicas aplicando a técnica da transformada integral generalizada nas equações parabólicas de camada limite e simulou o desenvolvimento simultâneo dos campos de velocidade e temperatura, nas formulações variáveis primitivas e função corrente. Na situação de modelos de 1 equação de transporte, apenas o campo hidrodinâmico foi analisado. Esse trabalho foi a primeira tentativa de se empregar modelos diferenciais de turbulência para a simulação de escoamentos turbulentos em canais através da Técnica da Tranformada Integral Generalizada (GITT).