Após as construções de formas geométricas básicas, os alunos agora estarão traba- lhando com a esfera, explorando associações com o formato do nosso planeta, permitindo que temas como latitude, longitude e fusos horários, estudados geralmente na disciplina de Geografia, agora torna-se conceitos motivadores e significativos a nossa vida. Ao estudar a esfera podemos também fazer um paralelo entre a geometria euclidiana e a não euclidiana (esférica).
Como nas Situações de Aprendizagem anteriores é recomendado ao professor levar aos alunos objetos em forma de esfera para serem explorados em sala de aula. O Caderno do Professor pede que o professor instigue os alunos a criar uma definição para a esfera. Será possível fazê-la como o processo de sobreposição? E com o de revolução?
Desta forma o professor pode confeccionar um círculo de papelão e fixar, com fita adesiva, um barbante, passando por um diâmetro. Fazendo a figura girar em torno do barbante e desta forma estimular os alunos a observar o movimento de rotação do círculo em torno de um eixo gerando uma figura espacial, neste caso a esfera. O Caderno traz que uma esfera é o resultado da revolução de um circulo ou semicírculo em torno de um eixo que passa pelo seu diâmetro. A superfície esférica pode ser interpretada do mesmo modo que entendemos a circunferência: ela é o conjunto de todos os pontos do espaço equidistantes de um ponto fixo, chamado centro da esfera.
O Caderno (SÃO PAULO, 2010b) traz uma abordagem do trabalho com fusos horários e cunhas esféricas onde um fuso esférico é a superfície que se obtém quando giramos uma semicircunferência em torno do eixo que contém seu diâmetro em um ângulo de 0o
a 360o
. Cunha esférica é uma parte da esfera que se obtém ao girar um semicírculo em torno do eixo que contém o seu diâmetro de um ângulo de 0o a 360o.
Atividade 1: Uma semicircunferência faz uma rotação de 30o
em torno do eixo que passa sobre seu diâmetro. Qual fração o fuso representa em relação à superfície da esfera gerada pela rotação completa dessa semicircunferência?
Resolução: São Paulo (2010b, p. 45).
Atividade 2: Hemisfério (hemi significa ”meio”) ou semi esfera é cada uma das partes
de uma esfera dividida por um plano que passa pelo seu centro.
(a) Qual é a porcentagem do volume do hemisfério em relação ao volume da esfera? (b) Qual é a porcentagem de um quarto da superfície do hemisfério terrestre em relação à superfície do hemisfério terrestre em relação à superfície total da Terra?
Resolução: São Paulo (2010b, p. 45).
Atividade 3: Em 1884, 25 países estabeleceram uma divisão da superfície terrestre em 24
fusos de mesmo tamanho. A divisão tomou por base o movimento de rotação da Terra em torno de seu próprio eixo, isto é, um giro de 360o
, que dura, aproximadamente, 24 horas.
(a) Encontre a medida do ângulo correspondente a cada fuso.
(b) Se cada fuso correspondente à uma hora, qual é a porcentagem da superfície terrestre correspondente a 6 horas?
Resolução: São Paulo (2010b, p. 45).
Atividade 4: Localize em um globo ou em um mapa a latitude e a longitude da sua
Resolução: São Paulo (2010b, p. 46).
1.4.6 VOLUME DA ESFERA E ÁREA DA SUPERFÍCIE ESFÉRICA
O Caderno do Professor traz a demonstração da expressão do volume da esfera, enfatizando que tal demonstração é rica por permitir a articulação de idéias como esti- mativas, inscrição e circunscrição de sólidos, seção de sólidos, comparação de volumes e a aplicação do Princípio de Cavalieri. Salienta também que a expressão é conseguida pela comparação entre o volume de três sólidos: um hemisfério de raio R, um cone e um cilindro de raio e altura R. A demonstração apresentada não é de fácil compreensão, cabendo ao professor tomar cuidado na apresentação aos alunos, pois o envolvimento visual e algébrico é de essencial para essa demonstração. Com dedicação chegamos à equação: Vesfera = 4πR3
/3 (a demonstração está em São Paulo (2010b, p. 47 - 48)). A equação área da superfície esférica é encontrada decompondo a esfera em pirâmides com vértices no seu centro. As bases das pirâmides compõem a superfície esférica. Mais uma vez, o par composição e decomposição são aplicadas e novas expressões são aprendidas das anteriores. A demonstração apresentada no Caderno do Professor é de fácil compreensão e logo chegamos à equação S = 4πR2.
O Caderno segue com exemplos de atividades sobre o tema, salientando que o professor neste momento deve estar atento, verificando se os alunos entendem os enunciados, identificam os dados e o que se pede. Os alunos fazem uma ilustração para o apoio da compreensão do problema? Utilizam a unidade de medidas corretamente?
Atividade 5: Considerando a Terra uma esfera com raio de 6370 Km, encontre o que se
pede:
Figura 17 – São Paulo(2010b, p. 51).
(a) O comprimento do Equador.
(b) O comprimento de um paralelo que passa pelos pontos P1 e P2, sendo sua latitude = 60o
Neste momento do processo de aprendizagem espacial métrica, a expectativa é que os problemas propostos tenham permitido um bom nível de discussão, em que os argumentos, as análises de situações, os levantamentos de hipóteses e as comparações das soluções tenham fortificado o grupo de alunos como um coletivo gerador de conhecimento.
A finalização com o estudo da esfera permite um apanhado geral sobre muitos fatos construídos durante o curso. Além disso, esta Situação de Aprendizagem é uma oportunidade de dar significados à forma de nosso planeta e de muitos conceitos a ele associados. Particularmente, o trabalho com as coordenadas geográficas abre a possibilidade de atividades transdisciplinares com a Geografia. O tratamento feito para o cálculo do volume e da área da superfície da esfera também merece destaque no curso.
2 CONTEÚDO MATEMÁTICO - ÁREAS E VOLUME
O Ensino Médio, de acordo com a Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional (Lei no 9.394/1996), não visa apenas dar continuidade e aprofundamento ao Ensino Fun-
damental e sim, formar cidadãos críticos; possibilitar a entrada no mercado de trabalho; autonomia; entre outros. A Matemática tem papel importante neste processo, pois desen- volve o pensar, o raciocínio, a visualização e representação e está presente no cotidiano. A Geometria é um dos tópicos da Matemática que é considerada essencial, básica para o conhecimento dessa área de ensino. Neste sentido,
O estudo da Geometria deve possibilitar aos alunos o desenvolvimento da capacidade de resolver problemas práticos do quotidiano, como, por exemplo, orientar-se no espaço, ler mapas, estimar e comparar distâncias percorridas, reconhecer propriedades de formas geométricas básicas, saber usar diferentes unidades de medida. Também é um estudo em que os alunos podem ter uma oportunidade especial, com certeza não a única, de apreciar a faceta da Matemática que trata de teoremas e argumentações dedutivas. (BRASIL, 2006, p.75).
Ainda de acordo com a referência, “as geometrias planas e espaciais devem ser estudadas com mais detalhes, com sistematizações, pois o aluno já tem maturidade matemática para compreender certos tipos de demonstrações."(BRASIL,2006, p.76).
Dessa forma, é possível que o estudante do Ensino Médio reconheça e entenda as fórmulas de cálculos de volumes de sólidos, por exemplo, utilizando como ferramentas planificações, cortes planos, projeções e o Princípio de Cavalieri. Além disso, softwares de geometria dinâmica, como o Geogebra c , são indicados, pois auxiliam em um aspecto que às vezes não é tão explorado nas aulas de Matemática, a visualização.
O PCN+ também traz a Geometria como um dos temas estruturadores da Ma- temática, e que deve seguir alguns critérios como fazer com que os alunos entendam a geometria não só como um tópico de uma disciplina escolar, mas que tenha importância em suas vidas, na maneira de conhecer o mundo e fazer relações para que possam ser discutidas entre eles e o professor. Dentro deste tópico, existem quatro unidades que o professor pode trabalhar no Ensino Médio: a geometria plana, espacial, métrica e analítica.
Sobre a geometria plana e espacial, as Orientações Curriculares Educacionais Complementares aos Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN+) ressalta a importância da utilização de formas geométricas para representar o mundo real através da visualização, para fazer relações entre figuras tanto planas quanto espaciais, fazer planificações, entre outros. Neste nível de aprendizagem, torna-se importante que o aluno desenvolva mais o lado dedutivo e passe a reconhecer qual a importância de axiomas e postulados na Geometria, mesmo não utilizando os diretamente, já que este requer um nível mais abstrato
e avançado de conhecimento.
Os trabalhos com as geometrias plana e espacial são sugeridos para o 1o e 2o
ano respectivamente. A geometria plana, através de semelhança, congruência e representações de figuras e a espacial com o estudo de poliedros, sólidos redondos, propriedades relativas à posição, inscrição e circunscrição de sólidos, áreas e volumes e estimativas. De acordo com os PCN+, fica claro que para ensinar Geometria, o professor deve conhecer os conceitos matemáticos, os passos que devem serem dados na apresentação do conteúdo e também na resolução de atividades. Por outro lado, o aluno deve compreender, fazer relações e aplicações do que aprendeu, tornando mais concreto o seu entendimento ao invés de decorar fórmulas e aplicá-las.
Outro fator importante no ensino da Geometria é a escolha da bibliografia a ser utilizada. O Programa Nacional do Livro Didático (PNLD), a partir do ano de 2004, começou a analisar e avaliar livros didáticos do Ensino Médio de todas as áreas, contando com a participação de docentes de todos os níveis de ensino. O PNLD 2012 é um guia que traz resenhas de 7 livros que foram selecionados para análise, apresentando uma pequena descrição da obra com relação aos capítulos, analisando a metodologia predominante, a análise das ilustrações presentes, entre outros fatores. Este material apresenta importantes aspectos de como a Geometria vem sendo apresentada. O tópico de Geometria presente em alguns livros didáticos apresenta o método axiomático estabelecendo de forma isolada, não o utilizando na resolução de exercícios; não estabelecendo assim uma relação entre os axiomas e teoremas com os exercícios propostos.
A quantidade e o modo de apresentação de figuras são comentados, tendo que em alguns livros a parte de visualização não é bem explorada, sem planificações, projeções, etc. Esse problema acontece com as situações de geometria espacial, que continuam a objetivar a resolução de exercícios apenas com aplicação de fórmulas, valorizando mais a parte algébrica, e deixando de lado as conexões com outras partes da Matemática, como exemplo, o estudo de funções.
A apresentação de recursos para ensinar geometria é escassa, tanto em materiais manipulativos para exploração do visual, quanto o uso de instrumentos como régua, com- passo e esquadros, pois são utilizados de forma superficial ou nem mesmo são considerados nas propostas de alguns livros.
De acordo comBaldin (2009), o ensino da Geometria torna-se completo quando segue o seguinte princípio:
Figura 18 – Ensino da Geometria.