5.2. Öneriler
5.2.2. Öğrencilerin Eğitimin Geneline Bakış Açılarına Dair Öneriler
Discutiremos uma opera¸c˜ao entre os espa¸cos topol´ogicos com ponto base.
Defini¸c˜ao 1.2.14. Sejam (Y, y0) e (Z, z0) dois espa¸cos com ponto base. A adi¸c˜ao wedge
(Y0, yo)∨ (Z0, z0) ´e o espa¸co com ponto base (W, w0), sendo W = Y × {z0} ∪ {y0} × Z ⊂
Y × Z, w0 = (y0, z0).
Por uma quest˜ao de simplicidade, a adi¸c˜ao wedge ´e freq¨uentemente denotada por Y ∨ Z.
Observa¸c˜ao 1.2.15. Por resultados que n˜ao demonstraremos nesta disserta¸c˜ao mas que podem ser encontrados em [14], a adi¸c˜ao wedge depende somente dos tipos de homotopia dos pares (Y, y0) e (Z, z0).
Mostremos o seguinte resultado que ser´a relevante para demonstrar a Propriedade da Adi¸c˜ao do ´ındice de Conley.
Proposi¸c˜ao 1.2.16. Sejam Bi um espa¸co topol´ogico e Ai um conjunto fechado em Bi,
i = 1, 2. Escrevamos Y = (B1˙∪B2)/(A1˙∪A2), y0 = [A1˙∪A2], sendo que ˙∪ denota a
reuni˜ao disjunta munida da topologia da soma. Al´em disso, definamos Zi = Bi/Ai,
1.2 Topologia 17 Demonstra¸c˜ao. Vamos mostrar que (Y, y0) e (Z1, z1)∨ (Z2, z2) s˜ao homeomorfos por
um homeomorfismo que preserva ponto base. Sejam qi : Bi → Bi/Ai, i = 1, 2, e
q : B → B/A as aplica¸c˜oes quocientes, sendo B = B1 ∪ B2 e A = A1 ∪ A2. Sejam
tamb´em
F1 = (B1/A1)× {[A2]} e F2 ={[A1]} × B2/A2.
Para cada i = 1, 2, seja fi : Bi/Ai → B/A a aplica¸c˜ao induzida por inclus˜ao.
Recordemos que, para cada i = 1, 2,
fi(z) =
q(x) se z = qi(x), x ∈ Bi\ Ai
[A] caso contr´ario.
Al´em disso, ´e claro que Cl(Bi\ Ai)∩ Bi ⊂ B. Logo, segue da Proposi¸c˜ao 1.2.13 que fi
´e cont´ınua, i = 1, 2.
Como Ai ´e fechado em Bi para cada i = 1, 2, segue que Fi ´e fechado em (B1/A1)∨
(B2/A2) para cada i = 1, 2. Para cada i = 1, 2, seja pi a proje¸c˜ao de (B1/A1)∨ (B2/A2)
sobre (Bi, Ai). Definamos f : (B1/A1)∨ (B2/A2)→ B/A por f|Fi = fi◦ pi|Fi, i = 1, 2.
Segue que f ´e cont´ınua e preserva ponto base.
Finalmente, definamos G : B1˙∪B2 → (B1/A2)∨ (B2/A2) por
G(y1) = (q1(y1), [A2]), y1 ∈ B1,
G(y2) = ([A1]), q2(y2)), y2 ∈ B2.
Como G ´e cont´ınua nos fechados Bi, i = 1, 2, e B1∩ B2 = ∅, segue que G ´e cont´ınua.
Al´em disso, G leva A em {([A1], [A2])}. Nestas condi¸c˜oes, segue da Proposi¸c˜ao 1.2.8
que existe uma ´unica aplica¸c˜ao cont´ınua g : B/A → (B1/A1)∨ (B2/A2) que preserva
ponto base e satisfaz g◦ q = G.
Al´em disso, g ´e a inversa de f . De fato, como G ´e sobrejetora, g tamb´em o ´e. Portanto, basta mostrar que f ◦ g = IdB/A para mostrar que g ´e a inversa de f . Para
18 Cap´ıtulo 1 — Preliminares generalidade, suponhamos que x∈ B1. Ent˜ao
f (g(z)) = f ((g◦ q)(x)) = f(G(x)) = f(q1(x), [A2])
= (f1◦ p1|F1) (q1(x), [A2]) = f1(q1(x)) = q(z) = z.
Caso contr´ario, z = [A] e (f ◦ g)(z) = f([A1], [A2]) = [A]. Isto que encerra a demons-
tra¸c˜ao.
O pr´oximo resultado mostra que a adi¸c˜ao wedge ´e n˜ao negativa.
Proposi¸c˜ao 1.2.17. Se (Y, y0) e (Z, z0) s˜ao espa¸cos com ponto base e [(Y, y0)∨(Z, z0)] =
¯0, ent˜ao [(Y, y0)] = [(Z, z0)] = ¯0.
Demonstra¸c˜ao. Seja (W, w0) = (Y, y0)∨(Z, z0). Como [(W, w0)] = ¯0, segue que (W, w0)
´e contr´atil. Logo, existe uma contra¸c˜ao H : W × [0, 1] → W satisfazendo H(w, 0) = w, H(w, 1) = w0 e H(w0, s) = w0 para todo w ∈ W , s ∈ [0, 1]. Mostremos que
[(Y, y0)] = ¯0. Definamos a imers˜ao e : (Y, y0)→ (W, w0) por e(y) = (y, z0) e a proje¸c˜ao
p : (W, w0)→ (Y, y0), por p(y, z) = y. ´E claro que e e p s˜ao cont´ınuas.
Definamos a aplica¸c˜ao ˜H : Y × [0, 1] → Y por ˜H(y, s) = p (H(e(y), s)). Afirmamos que ˜H ´e uma contra¸c˜ao. De fato, ´e claro que ˜H ´e cont´ınua. Al´em disso, ˜H(y, 0) = p(H(e(y), 0)) = p(e(y)) = p((y, z0)) = y para todo y ∈ Y . Mais ainda, ˜H(y, 1) =
p(H(e(y), 1)) = p(y0, z0) = y0 para todo y ∈ Y . Por fim, ˜H(y0, s) = p(H(e(y0), s)) =
p(H((y0, z0), s)) = p(y0, z0) = y0 para todo s∈ [0, 1]. Isso prova nossa afirma¸c˜ao.
Portanto, [(Y, y0)] = ¯0. De maneira an´aloga, mostramos que [(Z, z0)] = ¯0.
Dado um objeto (A, a0) emT∗, denotemos o n-´esimo grupo de homotopia de (A, a0)
por πn(A, a0). De acordo com o Exerc´ıcio B.6 do Cap´ıtulo 7 de [14], temos o seguinte
resultado.
Proposi¸c˜ao 1.2.18. Dado X ∨ Y = X × {y0} ∪ {x0} × Y ⊂ X × Y , existe um
isomorfismo
πn(X ∨ Y, (x0, y0)) ∼= πn(X, x0)⊕ πn(Y, y0)⊕ πn+1(X × Y, X ∨ Y, (x0, y0)).
1.2 Topologia 19 Lema 1.2.19. Sejam (Y, y0) e (Z, z0) dois espa¸cos com ponto base e (W, w0) := (Y, y0)∨
(Z, z0). Se h(W, w0) = Σm para algum m≥ 0, ent˜ao
[(Y, y0)] = ¯0 ou [(Z, z0)] = ¯0.
Demonstra¸c˜ao. Consideremos o caso m≥ 1. Para cada n ∈ N, o Lema 1.2.18 implica que πn(Y, y0)⊕πn(Z, z0) pode ser mergulhado injetivamente em πn(W, w0) e π(Sm, s0) =
Z. Segue que
πm(Y, y0) = 0 ou πm(Z, z0) = 0.
Suponhamos que πm(Y, y0) = 0. Como (W, w0) e (Sm, s0) possuem o mesmo tipo
de homotopia, segue que existem aplica¸c˜oes
f : (W, w0)→ (Sm, s0) e g : (Sm, s0)→ (W, w0)
tais que g ◦ f ´e homot´opica a Id(W,w0). Logo, existe uma aplica¸c˜ao cont´ınua H :
W × [0, 1] → W tal que H(w, 0) = (f ◦ g)(w), H(w, 1) = w e H(w0, t) = w0 para todo
w∈ W e todo t ∈ [0, 1].
Definamos as aplica¸c˜oes eY : (Y, y0)→ (W, w0) por eY(y) = (y, z0) para todo y ∈ Y
e pY : (W, w0)→ (Y, y0) por pY(y, z) = y para todo (y, z)∈ W . ´E claro que eY e pY s˜ao
cont´ınuas. Consideremos as aplica¸c˜oes cont´ınuas ˜f := f ◦ eY e ˜g := py ◦ g. Definamos
˜
H : Y × [0, 1] → Y por ˜
H(y, t) = pY(H(eY(y), t)) para todo (y, t)∈ Y × [0, 1].
Temos que ˜H ´e cont´ınua, ˜H(y, 0) = ( ˜f ◦ ˜g)(y), H(y, 1) = y e H(y0, t) = y0 para todo
y ∈ Y e todo t ∈ [0, 1]. Portanto, ˜g ◦ ˜f ´e homot´opica a Id(Y,y0). Como πm(Y, y0) = 0,
temos que ˜g ´e homot´opica `a aplica¸c˜ao constante. Portanto, ˜g◦ ˜f ´e homotopicamente nula, ou seja, (Y, y0) ´e contr´atil e o lema est´a demonstrado para o caso m = 1.
Consideremos o caso m = 0. Definamos
20 Cap´ıtulo 1 — Preliminares tais que as composi¸c˜oes f ◦ g e g ◦ f s˜ao homot´opicas `as correspondentes aplica¸c˜oes identidade. Afirmamos que f ◦ g = Id(S0,s
0). De fato, ´e claro que (f ◦ g)(−1) =
f (g(−1)) = f(w0) =−1. Por outro lado, h´a duas possibilidades para (f ◦ g)(1): 1 ou
−1.
Se (f ◦ g)(1) = −1, temos que f ◦ g ´e constante. Segue que Id(S0,s
0) ´e homot´opica
a uma fun¸c˜ao constante e, portanto, [(S0, s
0)] = ¯0, o que ´e uma contradi¸c˜ao. Logo,
(f ◦ g)(1) = 1 e a afirmativa est´a demonstrada.
Em particular, g ´e uma aplica¸c˜ao injetiva. Como g(−1) = (y0, z0), temos que
g(1)6= (y0, z0). Recordemos que W = Y ×{z0}∪{y0}×Z. Logo, se g(1) = (y′, z′) para
algum y′ ∈ Y e z′ ∈ Z, temos y′ = y
0 ou z′ = z0. Suponhamos que z′ = z0. Portanto,
g(1) = (y′, z
0) para algum y′ ∈ Y com y′ 6= y0. Afirmamos que (Z, z0) ´e contr´atil. De
fato, consideremos as aplica¸c˜oes
eZ : (Z, z0)→ (W, w0) e pZ : (W, w0)→ (Z, z0)
dadas por eZ(z) = (y0, z) para todo z ∈ (Z, z0) e pZ(y, z) = z para todo (y, z) ∈
(W, w0). Definamos ˜H : Z×[0, 1] → Z por ˜H(z, s) = pZ(H(eZ(z), s)), (z, s)∈ Z×[0, 1],
sendo H uma homotopia entre g◦ f e Id(W,w0).
Afirmamos que ˜H ´e uma contra¸c˜ao de (Z, z0). De fato, a aplica¸c˜ao ˜H ´e cont´ınua e
˜
H(z, 0) = pZ(H(eZ(z), 0)) = pZ(e(z)) = pZ((y0, z)) = z para todo z ∈ Z. Al´em disso,
˜
H(z, 1) = pZ(H(eZ(z), 1)) = pZ(H((g ◦ f)(eZ(z)))). Temos dois casos a condiderar:
se f ((y0, z)) = 1, ent˜ao ˜H(z, 1) = pZ(H(g(1))) = pZ((y′, z0)) = z0 para todo z ∈ Z;
se f ((y0, z)) = −1, ent˜ao ˜H(z, 1) = pZ(g(−1)) = pZ((y0, z0)) = z0 para todo z ∈ Z.
Em qualquer dos casos, temos ˜H(z, 1) = z0 para todo z ∈ Z. Por fim, ˜H(z0, s) =
pZ(H(eZ(z0), s)) = pZ(H((y0, z0), s)) = pZ((y0, z0)) = z0 para todo s ∈ [0, 1]. Isso
Cap´ıtulo
2
O ´ındice de Conley
Neste cap´ıtulo, apresentamos a defini¸c˜ao do ´ındice de Conley homot´opico. Iniciare- mos com as defini¸c˜oes b´asicas (Se¸c˜oes 1 e 2) e demonstraremos diversos resultados. O conceito de bloco isolante ´e apresentado na Se¸c˜ao 3 e o de admissibilidade, na Se¸c˜ao 4. Na Se¸c˜ao 5, apresentamos o conceito de par ´ındice e enunciamos o resultado que nos permite definir o ´ındice de Conley (ver Se¸c˜ao 6). Ilustramos os conceitos com exemplos provenientes de equa¸c˜oes diferenciais ordin´arias e calculamos o ´ındice de um ponto de equil´ıbrio hiperb´olico na Se¸c˜ao 7. Finalizaremos o cap´ıtulo com a defini¸c˜ao do ´ındice de Conley homol´ogico.
A exposi¸c˜ao a seguir ´e baseada em [10] e [9].
2.1
Semifluxos
Defini¸c˜ao 2.1.1. Sejam X um espa¸co m´etrico, D um conjunto aberto de [0,∞) × X e π : D→ X uma aplica¸c˜ao. Denotaremos os pontos π(t, x) por xπt. A aplica¸c˜ao π ´e chamada um semifluxo local em X, se as seguintes propriedades forem satisfeitas:
(1) π ´e cont´ınua em D;
22 Cap´ıtulo 2 — O ´ındice de Conley (2) para cada x ∈ X, existe um ωx ∈ (0, ∞] tal que (t, x) ∈ D se, e somente se,
0≤ t < ωx;
(3) xπ0 = x para todo x∈ X;
(4) se (t, x)∈ D e (s, xπt) ∈ D, ent˜ao (t + s, x) ∈ D e vale xπ(t + s) = (xπt)πs.
Observa¸c˜ao 2.1.2. Se ωx = ∞ para todo x ∈ X, ent˜ao π ´e chamado um semifluxo
global em X.
O pr´oximo exemplo coloca as equa¸c˜oes diferencias autˆonomas descritas na Subse¸c˜ao 1.1.3 no contexto de semifluxos.
Exemplo 2.1.3. Sejam Ω um subconjunto aberto de Rn e f : Ω → Rn uma apli-
ca¸c˜ao cont´ınua e localmente lipschitziana. Para cada x0 ∈ Ω, consideremos a equa¸c˜ao
diferencial ordin´aria
˙x(t) = f (x(t)), x(0) = x0. (2.1)
Utilizando os fatos descritos na Subse¸c˜ao 1.1.3, para cada x ∈ Ω, existe uma ´
unica solu¸c˜ao maximal t 7→ x(t, x0) de (2.1) definida em algum intervalo maximal
(ω−(x0), ω+(x0)).
Definindo, x0πft := x(t, x0) para x0 ∈ Ω e t ∈ (ω−(x0), ω+(x0)), os fatos descritos
na Subse¸c˜ao 1.1.3 e a Proposi¸c˜ao 1.1.7 implicam que πf ´e um semifluxo local em
X := Ω.
Observa¸c˜ao 2.1.4. Nas condi¸c˜oes do Exemplo 2.1.3, πf ´e, na verdade, um fluxo local
em Ω.
Sejam X um espa¸co m´etrico e π um semifluxo local em X. Denotemos por d a m´etrica em X.
Sejam π e πn, n ∈ N, semifluxos locais em X. Dizemos que a seq¨uˆencia (πn)n
converge para π (e escrevemos πn → π quando n → ∞) se, para quaisquer que sejam
x∈ X, t ∈ R+e seq¨uˆencias (x
n)nem X e (tn)nem [0,∞) com xn→ x e tn → t quando
n → ∞ e xπt estiver definido, ent˜ao existe um n0 ∈ N tal que xnπntn est´a definido
2.2 Conjuntos limites 23