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O snake tradicional apresentado anteriormente, possui infelizmente algumas limita¸c˜oes. Os dois principais problemas s˜ao os seguintes:
• os contornos devem ser inicializados perto das bordas buscadas sen˜ao a con- vergˆencia apresenta um resultado errado,
• os contornos tˆem dificuldades para convergir em concavidades de objetos. Na Figura 5.2 ´e ilustrado o campo de vetores gradiente obtido, presentes na ener- gia externa do snake e mais particularmente a ausˆencia de vetores na concavidade, explicando a impossibilidade de que contornos venham a convergir.
Para resolver estes problemas, algumas solu¸c˜oes s˜ao dadas. Para o caso da inicial- iza¸c˜ao, Cohen em [Cohen 1991] introduz for¸cas de press˜ao e for¸cas de potenciais, Leroy and al. [Leroy e Cohen 1996] prop˜oem uma aproxima a partir de um m´etodo baseado em multi-resolu¸c˜ao. Mas mesmo se o problema da inicializa¸c˜ao encontra muitas pro- postas de solu¸c˜oes, o problema de fraca convergˆencia nas concavidades ´e dificilmente resolvido. Uma das melhoras solu¸c˜oes encontrada at´e hoje, apresentado nesta sec¸c˜ao, ´e a de usar o campo de fluxo de vetores gradiente introduzido por Chenyang Xu e
Figura 5.2: a) convergˆencia do snake, b) campo de vetores gradiente, c) amplia¸c˜ao da concavidade [Xu e Prince 1997].
Jerry L. Prince [Xu e Prince 1997]. Neste m´etodo, ´e constru´ıdo um campo de vetores apontando as bordas que ajudam o snake a convergir at´e as bordas, resolvendo assim os problemas da inicializa¸c˜ao e da fraca convergˆencia nas concavidades.
O campo de fluxo de vetores gradiente (GVF para gradient vector flow ) ´e definido como uma nova for¸ca externa Fext
Fext = w(x, y),
com w(x, y) = (u(x, y), v(x, y)).
A equa¸c˜ao do snake ´e ent˜ao dada por
−(e1c′)′(s) + (e2c′′)′′(s) + w(s) = 0. (5.9)
A raz˜ao para a qual o snake tradicional n˜ao converge quando este ´e inicializado longe das bordas, ´e que a energia externa ´e simplesmente um gradiente da imagem. Ent˜ao longe das bordas, o gradiente sendo nulo, o snake n˜ao possui nenhuma indica¸c˜ao para onde se dirigir. Nas concavidades, o gradiente resulta em um valor nulo, pois, este ´e compensado para as duas bordas opostas da concavidade. E por causa da sua energia interna, o snake n˜ao pode se deformar. Ent˜ao, neste caso, tamb´em o snake n˜ao pode convergir.
Cap´ıtulo 5: O m´etodo dos contornos ativos 67 O campo de fluxo de vetores gradiente w(x, y) ´e definido para contornar estas di- ficuldades. Este ´e finalmente uma extens˜ao da mapa das bordas da imagem, realizada pelo gradiente. Na seguinte, ´e anotado f (x, y) = −Eext(x, y) a mapa das bordas.
Este campo minimiza a energia funcional ε definida por
ε = [µ(∂u ∂x 2 + ∂u ∂y 2 + ∂v ∂x 2 + ∂v ∂y 2 ) + |∇f|2|w − ∇f|2]dxdy. (5.10) ´
E observado que quando |∇f| ´e pequeno, i.e, quando se est´a longe das bordas, a energia obtida ´e dominada pelas derivadas parciais do campo de vetores, resultando assim em um campo com varia¸c˜oes fracas. De um outro lado, quando |∇f| ´e grande, a minimiza¸c˜ao resulta em w = ∇f. Assim, obt´em-se o efeito esperado para o campo que ´e de guardar o valor do gradiente nas bordas, e de ser pouco vari´avel nas regi˜oes homogˆeneas. O parˆametro µ permite ajustar o equil´ıbrio entre os dois termos da integral.
Pode ser mostrado [Morse e Feshbach 1953] que o campo GVF ´e encontrado ao resolver as equa¸c˜oes de Euler-Lagrange seguintes
µ∇2u − (u − ∂f∂x)(∂f ∂x 2 +∂u ∂y 2 ) = 0, (5.11) µ∇2v − (v − ∂f∂y)(∂f ∂x 2 +∂u ∂y 2 ) = 0. (5.12)
Estas equa¸c˜oes permitem entender a for¸ca do GVF. Quando o gradiente ´e nulo, recai- se na equa¸c˜ao de Laplace bem conhecida do eletromagnetismo. Um paralelo imediato com o c´alculo do potencial de um campo eletrost´atico, fazendo entender-se porquˆe os vetores (u, v) est˜ao na dire¸c˜ao perpendicular `as bordas.
5.3.1
Aplica¸c˜ao num´erica
As precedentes equa¸c˜oes podem ser resolvidas ao tratar u e v como fun¸c˜oes do tempo
∂u
∂t(x, y, t) = µ∇
2
u(x, y, t) − (u(x, y, t) − ∂f∂x(x, y))(∂f ∂x 2 (x, y) + ∂f ∂y 2 (x, y))(5.13) ∂v ∂t(x, y, t) = µ∇ 2 v(x, y, t) − (v(x, y, t) − ∂f ∂y(x, y))( ∂f ∂x 2 (x, y) + ∂f ∂y 2 (x, y))(5.14) A id´eia ´e a mesma usada para encontrar a posi¸c˜ao de equil´ıbrio do snake. A solu¸c˜ao est´avel desta equa¸c˜ao, i.e., quando a derivada no tempo ´e nula, fornece a solu¸c˜ao das equa¸c˜oes de Euler 5.11 e 5.12.
Ap´os discretizar as equa¸c˜oes, utilizando-se ∂u ∂t = 1 ∆t(u n+1 i,j − u n i,j) ∂v ∂t = 1 ∆t(v n+1 i,j − v n i,j),
em que i e j s˜ao as vari´aveis resultante da discretiza¸c˜ao das vari´aveis x e y, respecti- vamente. Assim, s˜ao obtidos,
un+1i,j = un i,j+ ∆tµ∇ 2un − (un − ∂f ∂x)( ∂f ∂x 2 +∂f ∂y 2 ) (5.15) vi,jn+1 = v n i,j + ∆tµ∇2v n − (vn− ∂f∂x)(∂f ∂x 2 +∂f ∂y 2 ). (5.16)
Aplicando-se a f´ormula do laplaciano, tem-se
∇2u = 1
∆x∆y(ui+1,j+ ui,j+1+ ui−1,j + ui,j−1− 4ui,j)
∇2v = 1
∆x∆y(vi+1,j + vi,j+1+ vi−1,j+ vi,j−1− 4vi,j).
Na Equa¸c˜ao 5.15 ´e encontrado a raz˜ao r = µ∆t
Cap´ıtulo 5: O m´etodo dos contornos ativos 69 ´
E demonstrado por Ames [Ames 1992] que a convergˆencia acontece quando r ≤ 1/4. O que significa que quanto mais pontos no snake s˜ao utilizados, ent˜ao menor s˜ao os valores de ∆x e ∆y e conseq¨uentemente mais lenta ´e a convergˆencia, pois, ∆t ´e pequeno segundo a condi¸c˜ao 5.17.
Para ilustrar, ´e apresentada a Figura 5.3 que representa o campo de fluxo de vetores gradiente. Al´em da influˆencia dos vetores gradiente longe das bordas que diminui o problema da inicializa¸c˜ao, pode ser comentado que o campo n˜ao ´e nulo na concavidade, o que favorece a convergˆencia nesta parte tamb´em.
Figura 5.3: a) campo de vetores gradiente, b) Zoom da concavidade [Xu e Prince 1997].
Segmenta¸c˜ao do ventr´ıculo
esquerdo
6.1
Detec¸c˜ao das cavidades
Para encontrar as cavidades do cora¸c˜ao nas imagens de ultra-som, ´e desenvolvido um algoritmo de detec¸c˜ao. As cavidades apresentam a particularidade de se encon- trarem muito escuras. Os dois ventr´ıculos se desmarcam do resto dos tecidos presentes na imagem. Ent˜ao, a partir desta observa¸c˜ao, uma simples limiariza¸c˜ao permite de- tectar as regi˜oes candidatas:
• ventr´ıculo esquerdo; • ventr´ıculo direito; • ´atrio esquerdo; • ´atrio direito.
A Figura 6.1 mostra diferentes regi˜oes detectadas pelo limiar.
Cap´ıtulo 6: Segmenta¸c˜ao do ventr´ıculo esquerdo 71 20 40 60 80 100 120 20 40 60 80 100 120
Figura 6.1: detec¸c˜ao das diferentes regi˜oes escuras em um ecocardiograma Uma id´eia ´obvia seria considerar a regi˜ao detectada como sendo o ventr´ıculo. Assim de uma maneira evidente, o volume ´e medido a partir dos n´umeros de pixels presentes na regi˜ao delimitada pela limiariza¸c˜ao.
Mas disso resulta unicamente uma estima¸c˜ao vaga, pois a limiariza¸c˜ao n˜ao se preocupa pela detec¸c˜ao das bordas presentes na imagem e perde, assim, uma parte importante da informa¸c˜ao. Al´em disso o limiar pode ser mal adaptado. Algumas partes detectadas como sendo escuras, podem n˜ao pertencer ao ventr´ıculo, e outras mais claras, com um n´ıvel de cinza maior do que o limiar, podem ser uma parte da mesma regi˜ao alvo. Entretanto o lugar na imagem onde se situa o ventr´ıculo est´a determinado. Mesmo se a regi˜ao detectada n˜ao reflete exatamente o ventr´ıculo, ela o localiza. Ent˜ao, aplicar os contornos ativos a partir desta detec¸c˜ao preliminar pode permitir uma segmenta¸c˜ao eficiente afim de medir o volume do ventr´ıculo.