Çoklu parçacık etkisi ve çok parçacıklı sistemin enine demet

  (3.31) şeklinde yazılabilir.

3.1.2. Çoklu parçacık etkisi ve çok parçacıklı sistemin enine demet dinamiği

Linakların kullanıldığı çoğu uygulamalarda, parçacık yoğunluğunun ve kalitesinin yüksek olduğu demet kullanılmaktadır. Bu şekilde kalitesi yüksek demetlerin faz uzayındaki hacmi, yani, emitansı da küçüktür. Ancak, demet kalitesinin yüksek olması için aşılması gereken bazı engeller vardır. Bunlardan en önemlisi, özellikle düşük enerjilerde kendini gösteren, uzay-yük etkileridir. Uzay-yük etkileri, demet içerisindeki aynı elektrik yüklü parçacıkların birbirlerine uyguladıkları itici elektriksel kuvvetler olup, emitansın istenmeyen büyümesine neden olmaktadır. Bu kuvvetlerin düşük enerjilerde daha çok görülebilir olmasının başlıca nedenleri; parçacık yoğunluğunun bu kısımda fazla olması ve düşük enerjili kısımda, genelde, kullanılan manyetik odaklamanın zayıf olmasıdır [11]. Demet içerisindeki bu itici kuvvetlerin diğer bir sonucu ise, demet merkezini saran ve daha düşük yoğunluğa sahip, halo parçacıklar dır. Halo parçacıklar, demet içerisinde, büyük genliklerde salınım yaparlar ve kaybedilmesi en olası parçacıklardır. Bu parçacıklar, demet kalitesini azaltırlar ve yaptıkları büyük genlikli salınımdan dolayı linak duvarlarına çarparlar. Bu çarpmalar, linak içerisinde radyoaktiviteye neden olur ve bu da linakın üzerinde yapılması gereken mekanik işleri zorlaştırır, dolayısıyla, linakın işleyişi düzenli olmaz. Sonuç olarak, yüksek kaliteli demet gerektiren uygulamalarda kullanılan bir linak tasarlarken, emitans büyümesini, halo oluşumunu, parçacık kaybını kontrol altında tutmak oldukça önemlidir.

Demet kalitesi, faz uzayı ve emitans

Bir linak içerisindeki demet, kullanılan RF dalgasından dolayı, demet ekseni üzerinde birçok paketçiklerden oluşmaktadır. İdeal bir boyuna paketçik içerisindeki parçacıklar, senkronize parçacıkla, yaklaşık, aynı faza ve aynı enerjiye sahiplerdir. Demetin yüksek

kaliteye sahip olması, her bir paketçik içerisindeki parçacıkların enerji dağılımlarının küçük olması ve konumlarının sabit olması anlamına gelmektedir. Bu şekilde tanımlanan demet bir ideal demet olup gerçekte böyle bir demet yoktur. Bu nedenle demetin kalitesi, ölçülebilir bir nicelik olan, emitans ile belirlenebilir.

Demet içerisindeki her bir parçacık, her biri 2-boyutlu, toplamda 6-boyutlu faz uzayında, konum ve momentum ile temsil edilir. Bunlar ( , ')x x , ( , ')y y , (E, ) faz uzaylarıdır. Yani, her bir parçacığın, 3-boyutta, konum ve momentum ile temsil edildiğini söyleyebiliriz. Bu konum ve momentum değerleri, senkronize parçacığa göre değerlerdir. Ancak demet dinamiğinde 2-boyutlu faz uzayını kullanmak adet olmuştur. Bu faz uzaylarından, örneğin, ( , ')x x enine faz uzayında x konum; x normalize olmamış ' momentumu temsil etmektedir. Aynı faz uzayında 'x yerine px/mc kullanılabilir. Bu durumda, faz uzayı normalize olmuştur. Benzer şeyleri ( , ')y y enine faz uzayı için de söyleyebiliriz.

Bir linak içerisindeki demet parçacıklarının konum ve momentum değerleri, ilgili faz uzayında eliptik bir alan oluşturur (Bkz. Şekil 3.6). Konum ve momentum değerlerinin bu şekilde bir elips oluşturmasının nedeni, linak boyunca demetin maruz kaldığı lineer, odaklayıcı kuvvetlerdir. Dolayısıyla linak içerisinde parçacıklar, faz uzayında daima eliptik bir alan oluşturma eğilimindedir. Bu nedenle, ilgili faz uzayında demeti temsil eden bir elips tanımlanır ve bu elipse demetin emitansı denir ve

2 2

2 ' '

x xx x

     (3.32)

eşitliği ile verilir [12]. Ayrıca bu elips, kapladığı alan ile orantılıdır.

A (3.33)

Eş. 3.32 de α, β, γ Twiss parametreleridir ve aralarındaki bağıntı Eş. 3.12 ile verilir. Son verilen eşitlikteki A ise elipsin kapladığı alandır.

Demeti temsil eden faz uzayındaki elipsin alanının kesin bir sınırı varsa emitans, Eş. 3.32 ve Eş. 3.33 ile belirlenebilir. Ancak bazı demet dağılımları için elipsin kapladığı alanın

sınırları kesin değildir. Bu durumda toplam elipsin %50 si, %90 ı veya %95 gibi sınırları belli olan alanlar emitans olarak kullanılabilir. Bu durum her bir 2-boyutlu faz uzay için geçerlidir. Emitans temsilinde bir diğer önemli gösterim yöntemi RMS emitans (RMS= Root Mean Square) tır.

RMS emitans

Demet içerisindeki lineer olmayan kuvvetlerden dolayı, 2-boyutlu faz uzayında elipsin belli bir sınırı yoktur. Elipsin sınırını belirsiz yapan, diğer bir değişle, elipsin yük yoğunluğunu azaltan bu parçacıklar halo parçacıklardır. Halo parçacıkların oluşumunun başlıca nedeni, demet içerisindeki bu lineer olmayan kuvvetlerdir. Faz uzayında elipsin sınırının belli olmadığı durumlarda, efektif emitans tanımlamak oldukça kullanışlıdır. Çünkü demet içerisindeki emitans büyümesinin tek nedeni parçacıklar arasındaki etkileşmeler olmayıp, eksenler arasındaki bağlaşımlı kuvvetler de emitans büyümesine katkıda bulunmaktadır. Örneğin, demet ekseni boyunca yapılan boyuna salınımlar enine düzlemde emitans büyümesine neden olmaktadır. Bu durumda, ( , ', , ',x x y y E, ) 6- boyutlu faz uzayında emitans sabit olmasına rağmen, ( , ', , ')x x y y faz uzayında sabit değildir. Bu nedenle, tercih edilen efektif emitans tanımında emitans büyümesi de efektif olacaktır. Efektif emitans için kullanılan bir gösterim yöntemi de RMS emitans tır. RMS emitans, çoğu zaman, daha kullanışlıdır, çünkü demet dağılımının istatiksel özelliğine bağlıdır [11].

Şekil 3.8 de ( , ')x x faz uzayında RMS emitansı tanımlayan elips görülmektedir. RMS emitans, normal uzaydaki emitans tanımı ile uyumlu olacak şekilde seçilir. Yani, Şekil 3.8 daki gibi bir RMS elipsi için, normal uzaydaki elips denklemine benzer şekilde;

2 2

2 ' '

rx rxx rx r

     (3.34)

olarak tanımlanır. Burada   _r, _r, _r ve _r RMS değerlerdir. Ayrıca, Şekil 3.8 de görüldüğü gibi normal uzaydan farklı olarak, eksenlerde x ve 'x nün RMS değerleri yer almaktadır.

Bu durumda x ve x için dağılganlıklar ya da ikinci moment değerleri; '

2 2 ' r r r r x x       (3.35)

şeklinde tanımlanır. _r ise;

' 1 2 ' 2 2 r r r r dx xx ds           _{ }    ^(3.36)

normal uzaydakine benzer şekilde tanımlanır. Burada _r sabit kabul edilmiştir (herhangi bir parçacık oluşumu veya yok olumu yoktur). _r RMS emitans ifadesi ise;

 

2 2

' '

r x x xx

   ^(3.37)

şeklinde verilir. Eş. 3.37, dikkat edilirse, fiziksel bir niceliğin standart sapma ifadesidir. Bu sonuç ise RMS emitansın, emitans tanımına uygun olarak, kullanışlı bir tanımlama olduğunu gösterir. Çünkü, demet içerisindeki parçacıklar gibi istatiksel bir sistem için emitans, ideal veya beklenen değerden ne kadar saptığını gösterir.

RMS emitansın bir diğer önemli özelliği ise demetin içerisindeki kuvvetlerin lineer veya lineer olmadığına bağlı olmasıdır. Örneğin, demet içerisindeki bir parçacığın x değeri, x ' konumuna;

' ⁿ

x C x (3.38)

şeklinde bağlı olsun. Burada n pozitif bir tam sayı; C bir sabittir. Bunu göre Eş. 3.37 ile verilen RMS emitans;

 

    (3.39)

haline dönüşür. Eğer n=1 ise, yani demet lineer kuvvetlerin etkisinde ise, _r 0 olur. n≠1 ise demet içerisinde lineer olmayan etkileşmeler vardır ve _r 0 olur. Buna göre; RMS emitans, sadece faz uzayında elipsin alanına bağlı olmayıp, demet içerisindeki etkileşmelerin lineer olup olmadığına da bağlıdır.