Çok Değişkenli Probit Model

Probit modelde her bir faydanın rastgele bileşeni olan hata teriminin normal dağılım sergilediği kabulü yapılır. Bu hata teriminin eklenik yoğunluk fonksiyonu ise ÇDND fonksiyonudur. ÇDND bilinen normal yoğunluk fonksiyonunun çok değişkenli olarak genişletilmiş halidir ve rastgele vektörün, (₁,...,_k), dağılımını tanımlar. Bu

dağılım, ortalama  ve kovaryans matris , ile tanımlanır ve   ÇDND (,) şeklinde ifade edilir. Bu ifade  vektörünün, ortalama vektör  ve kovaryans matris  ile çok değişkenli normal dağılım sergilediğini gösterir. Kovaryans matris rastgele vektörün bileşenlerinin varyanslarını içerir ve Denklem (2.23)’de verilmiştir.

()kkvar(k) k ()klcov(k,l) kl (2.23) ÇDND eğriliğini lineer dönüşüm altında koruyabilmektedir. Örneğin; 2 adet normal dağılımlı değişkenin toplamı normal dağılımlıdır. Verilen bir kovaryans matrisi ve alternatif özelliklerini belirleyen a vektörü için fayda vektörünün, U(a), dağılımı ÇDND olarak Denklem (2.24)’deki gibi modellenebilir.

U(a)  ÇDND [V(a),  ] (2.24)

Herhangi bir seçim modelinde alternatifin seçim olasılığı, o alternatifin faydasının seçim alternatifleri içindeki en yüksek faydaya sahip olma olasılığına göre hesaplanır. Probit modelde bu seçim olasılığı kümülatif normal dağılım fonksiyonu kapalı formda düzenlenemediğinden analitik olarak ifade edilemez. İki adet rota seçim alternatifi olma durumunda seçim olasılıkları olasılık dağılım tabloları vasıtasıyla hesaplanabilir. İkiden fazla alternatif olduğu zaman probit seçim olasılıklarının hesaplanması oldukça zordur. Bu durumda ya yaklaşık analitik çözüm ya da Monte Carlo simülasyon metodu kullanılır. Literatürde probit seçim olasılıkları hesabı için birçok yaklaşık analitik metot önerilmiştir. Bunlar sayısal integrasyon algoritmaları ve ardışık yaklaşık metotlardır. Sayısal integrasyon metodunda faydaların kümülatif dağılım fonksiyonlarının çoklu integrali durumu ortaya çıkar ve nümerik olarak çözülüp sonuca ulaşmak mümkündür. Ardışık yaklaşık metot ise iki normal dağılmış değişkenin diğer bir normal dağılmış değişkene göre maksimumunun dağılımının yaklaşık olarak hesaplanmasına dayanır.

Verilen normal dağılımlı faydalar için bu yaklaşım iteratif olarak uygulanabilir. İkili rota seçim durumunda herhangi bir k rotasının seçim olasılığı Denklem (2.25)’de verilmiştir.

 

Denklem (2.25) sadece iki rota alternatifinin olduğu durum için söz konusudur ve bu metot literatürde bilinen Clark (1961) metodudur. Rota sayısının çok olması durumunda analitik yaklaşım sergileyen hiçbir metot pratik ve kolay bir şekilde ulaşım ağına uygulanamaz (Sheffi 1985). Sayısal integrasyon metodunun rota sayısı 4 ya da 5 den fazla olduğu durumlarda işlem sıklığı ve zorluğu nedeniyle uygulanması oldukça güçtür (Kanafani 1983). Probit seçim olasılıklarının hesaplanabilmesi için önerilen diğer bir yöntem Monte Carlo simülasyon yöntemidir. Monte Carlo yöntemi, deneysel ve istatistiksel problemlerin çözümüne rastgele sayılarla yaklaşım sergileyen metotlara verilen genel bir isimdir. Bu yöntem, özellikle 1930’lardan sonra hızla gelişmeye başlamış bir tekniktir. Metodun bir probleme uygulanması, problemin rastgele sayıları kullanarak simüle edilip hesap edilmek istenen parametrenin simülasyonların sonuçlarına bakılarak yaklaşık hesaplanması fikrine dayanır. Sonuçları diğer yöntemlerle karşılaştırıldığında, riski daha iyi temsil etmesi nedeniyle mühendislik, eğitimde ölçme ve değerlendirme, askeri savunma teknolojisi, fen ve mühendislik alanında, nükleer teknolojisi ve uzay sisteminde, istatistiksel analiz ve sosyo ekonomi sahalarında sıkça başvurulan bir yöntemdir.

Monte Carlo metodu herhangi bir seçim modelinin seçim fonksiyonunun hesaplanması için uygulanabilir. Mevcut alternatiflere ait fayda fonksiyonları için simülasyon algoritması iteratif olarak şu şekilde gerçekleştirilir; n. iterasyondaki hata terimleri ile ölçülebilen faydaların toplanması ile her bir rota için algılanan faydalar bulunabilir. Bu aşamadan sonra her bir iterasyonda en yüksek faydayı veren rota kaydedilir. Bu süreç N kez tekrar edilir. Buradan k. rotanın seçim olasılığı, Pk, aşağıdaki gibi bulunur;

N N

Burada P_k; k rotasının seçim olasılığı, Nk ; k rotasının kaydedilme sayısı, N ise Monte Carlo simülasyon sayısıdır (Sheffi 1985).

Maher ve Hughes (1997) yaptıkları çalışmada logit modelden kaynaklanan dezavantajların bulunmadığı ve rota numaralandırılmasının gerek olmadığı Probit Stokastik Model (PSM) önermişlerdir. PSM modeli farklı bir rota bulma metodolojisine sahip olmasına rağmen Burrell’in (1968) modeli ile benzer akımları üretebilmektedir. Stokastik modelde kapasite kısıtlarının birleştirilmesi ile yeni bir SKD modeli geliştirilmiştir. SKD problemi matematiksel programlama modeli olarak ifade edilmiştir. SKD probleminin çözümü için genellikle DKD problemlerinde kullanılan Frank-Wolfe algoritmasına benzer iteratif bir çözüm algoritması kullanılmıştır. Bolduc (1999) çalışmasında Geweke-Hajivassiliou-Keane (GHK) seçim olasılığı simülatörü ile kombine edilmiş maksimum simüle edilmiş olasılık kavramı ve bu pratik tahmin yönteminin hesaplama detayları hakkında bilgi vermiştir. Çalışmada probit formülasyonun büyük çaplı ulaşım ağlarında kullanılabileceği gösterilmiştir.

Sheffi (1982) yapmış olduğu çalışmada çok değişkenli probit modelin fayda maksimizasyonuna dayanan ve beklentilere en çok karşılık veren seçim modeli olduğunu vurgulamıştır. Ayrıca probit modelin fazla hesaplama süresi gerektirmesine rağmen ortak kullanılan linklerin var olduğu durumlarda açık bir avantajı olduğu belirtilmiştir. Çalışmada probit modelin çözümü için alternatif çözümlerin karşılaştırılması ve model parametrelerinin tahmini konusunda çözümler yapılmıştır. Seçim fonksiyonunun hesaplanması için 4 farklı tekniğin sonuçları karşılaştırmalı olarak verilmiş ve hesaplama zorlukları ve uygulanabilirlikleri değerlendirilmiştir. Sonuç olarak kullanılan metotlar iki grupta sınıflandırılmıştır. Bunlardan biri az sayıda rota alternatifi olan problemlere uygulanabilen metotlar diğeri ise büyük ulaşım ağlarına uygulanabilen metotlardır. İlk grup oldukça hassas olan sayısal integrasyon, Clark (1961) ve çizelgeleme metotlarıdır. İkinci grup ise simülasyon yaklaşımıdır. Simülasyon yaklaşımındaki uzun hesaplama süresinin bu yöntemin en büyük dezavantajı olduğu vurgulanmıştır.

Horowitz (1991) yapmış olduğu çalışmada gelişen hesaplama metotları ile çok değişkenli probit modellerin uygulanmasındaki zorlukların azaldığını vurgulamıştır.

Çalışmada talep modellenmesinde probit modelin kullanımından doğan faydalar ve oluşan maliyetler incelemiştir. Yai vd (1997) rota alternatifleri arasındaki ortak linklerin varlığını dikkate alan çok değişkenli probit modelin çözümü için farklı bir yöntem önermişlerdir. Yöntemde öne sürülen varsayımların sıkışıklık etkisi altındaki ulaşım ağları için ÇDL modele göre daha gerçekçi olduğu belirtilmiştir. Çalışmada çok değişkenli probit modelin rota seçim modelleri içindeki uygulanabilirliğinin artırılabilmesi için üst üste çakışan rotalar arasındaki ilişkiyi temsil eden bir fonksiyon ve bu fonksiyonu kullanan kovaryans matris temsil edilmiştir. Geliştirilen modelin uygulanabilirliğini göstermek için Tokyo şehrine ait rota seçim verileri kullanılmış ancak önerilen modelin alternatif sayısı fazla olan ulaşım ağları için tüm parametrelerinin belirlenmesi sonraki çalışmalara bırakılmıştır.

Connors ve Sumalee (2009) ulaşım ağındaki rota seyahat sürelerinin rastgele değişkenler olduğu kabulünü yapmışlardır. Yapılan kabule göre sürücüler alternatif rotalardan birini kesin olmayan seyahat sürelerine göre seçmektedirler. Alternatif rotaların seçilebilirliği olası seyahat sürelerine ve algılanan olasılıklarına bağlı olarak değişmektedir. Çalışmada algılanan maliyet ve olasılıklar gerçek maliyet ve olasılıklarından doğrusal olmayan dönüşüm ile elde edilmiştir. Çalışmada kümülatif olasılık teorisi link seyahat sürelerinin rastgele değişkenler olduğu bir ulaşım ağında rota seçim davranışlarının modellenmesi için önerilmiştir.