Existem inúmeros modelos de turbulência, fato que torna difícil falar sobre todos eles no presente. Sendo assim, serão comentados somente os modelos que foram usados na análise desse problema e em estudos futuros. Um conceito importante sobre turbulência é que ela é uma entidade que sofre transporte, ou seja, a turbulência pode ser produzida, dissipada, e também ser passível de advecção e difusão. Teoricamente, qualquer modelo que tenha pretensões de ser razoavelmente realista e geral deve ser capaz de considerar tais fatos. Entretanto, muitos modelos, até que bem sucedidos em alguns casos, não observam tais requisitos, de forma que não devem ser extrapolados para situações muito distintas daquelas para as quais foram obtidos.
Por outro lado, segundo Rodi (1980) e Markatos (1986), a questão do transporte de turbulência levou à criação de um critério de classificação dos modelos de turbulência em função do número de equações de transporte consideradas. Uma equação de transporte é uma equação diferencial que representa o balanço da entidade turbulenta sendo transportada. Isto é importante pois muitos modelos de turbulência são baseados em equações algébricas que relacionam grandezas turbulentas com variáveis do escoamento médio.
De acordo com Wilcox (1994), um modelo ideal deve introduzir o mínimo em complexidade, enquanto adquire a essência física relevante. Por outro lado, como a turbulência é caracterizada como sendo um fenômeno inerentemente tridimensional e variável no tempo, uma enorme quantidade de informações é necessária para uma completa descrição de um escoamento turbulento. Assim, é esperado que quanto mais complexo seja o problema a ser resolvido, mais sofisticado deverá ser o método de solução a ser adotado. Logo, o requisito de simplicidade do modelo de turbulência será relativo à complexidade do problema a ser solucionado.
Nesses modelos, a viscosidade turbulenta é expressa em termos de um comprimento de mistura, o qual é definido como a distância transversal ao escoamento percorrida por uma partícula antes de perder a identidade.
De acordo com Deschamps (2002), essa hipótese, idealizada por Prandtl (1925), possui diversas restrições, sendo a principal delas o fato de moléculas e estruturas turbulentas (vórtices) serem fundamentalmente diferentes (Wilcox, 2000). Portanto, a analogia na qual o modelo se baseia não possui consistência física. Outro problema é a necessidade de se empregar coeficientes e correções empíricas para cada tipo de escoamento que esteja sendo simulado, carecendo, portanto, de falta de generalidade na aplicação.
Sobre essas restrições, Niiler e Kraus (1977) comentam que, embora os modelos algébricos baseados na hipótese do comprimento de mistura sejam largamente utilizados, eles possuem fundamentação física precária. Tennekes e Lumley (1983) são mais incisivos em sua crítica a esses modelos e consideram que a teoria do comprimento de mistura é inútil porque não pode prever nada substancial; ela é freqüentemente causa confusão, pois não podem haver duas versões dela que concordem entre si. Wilcox (2000), por sua vez, considera que esses modelos podem ser utilizados apenas na simulação de escoamentos para os quais eles estejam bem calibrados, uma vez que dependem do emprego de coeficientes empíricos específicos para cada tipo de escoamento.
Uma deficiência notável nesse modelo é que as tensões de cisalhamento turbulentas desaparecem na ausência de gradientes de velocidade de modo análogo às tensões viscosas. Desta forma, não existiriam tensões turbulentas no centro de um conduto circular, o que não é verdade.
2.3.1.2 Modelos Algébricos sem Equação de Transporte
Modelos desse tipo usam basicamente o conceito de viscosidade turbulenta (“eddy viscosity”), proposto por Boussinesq em 1877. É fundamentado na analogia entre as tensões viscosas e as tensões de Reynolds. Sendo também conhecido como a primeira tentativa bem sucedida para se modelar a turbulência.
Considerando um escoamento unidirecional ao longo de uma placa plana infinita, o conceito é expresso matematicamente, a partir das flutuações de velocidades U´ e V´
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associadas às componentes de velocidades U* e V*, paralela e normal à superfície,
respectivamente, com y representando a direção normal à superfície da placa, como:
* ´ ´ * * T U U V y n ¶ - = ¶ (2.17) onde, * T
n é o coeficiente de viscosidade turbulenta que varia localmente e com o escoamento que está sendo analisado. Essa característica de *
T
n é fundamental para diferenciar a analogia entre as tensões viscosas e as tensões de Reynolds.
Em 1942 Kolmogorov escreveu uma forma generalizada da hipótese de Boussinesq, cuja aplicação ao longo dos anos tem sido intensamente usada na previsão de escoamentos turbulentos. De acordo com Kolmogorov a generalização de (2.17) é escrita como: * * ´ ´ * * * * 2 3 j i i j T ij j i U U U V k x x n æç¶ ¶ ö÷÷ d - = çç + ÷÷- ÷ ç ¶ ¶ è ø (2.18)
A presença da energia cinética das flutuações turbulentas, k*, é tornar a equação
(2.18), apresentada por Kolmogorov (1942), aplicável às tensões normais para i = j e garantir a conservação da massa do escoamento médio. A ausência deste termo no resultado de Kolmogorov provoca uma contradição, isto é, a soma das tensões normais seria nula, ou seja,
* * * 1 2 3 ' 2 ' 2 ' 2 * 1 2 3 * * * 1 2 3 2 T U U U 0 U U U x x x n æç¶ ¶ ¶ ö÷÷ + + = - çççè + + ÷÷= ø ¶ ¶ ¶ (2.19)
o que não pode acontecer, uma vez que as tensões normais são quantidades positivas. O resultado deve ser igual a 2k*
ij
d
e garante que as tensões de cisalhamento não sejam afetadas com a generalização de Kolmogorov.
2.3.1.3 Modelos de Uma Equação de Transporte
Nessa classe de modelos de turbulência, resolve-se uma equação diferencial parcial para uma quantidade turbulenta. Essa quantidade pode ser usada para determinar
uma escala de comprimento, L*, ou uma escala de velocidade, V
L*, empregada na
avaliação da viscosidade turbulenta. Isto é:
* * *
T V LL
m : r (2.20)
A energia cinética turbulenta é uma das quantidades turbulentas mais utilizadas neste tipo de modelagem, pois a velocidade característica é proporcional a raiz quadrada da energia cinética turbulenta (Kolmogorov, 1942 e Prandtl, 1945). Assim:
1 *
* 2 *
T C km L
m = r (2.21)
Sob essa forma, a viscosidade turbulenta não mais se torna nula quando o gradiente de velocidade se anula. Outra característica importante é que a energia cinética turbulenta é mensurável de fácil interpretação física. Novamente, L*
Uma equação diferencial parcial de transporte para a energia cinética turbulenta pode ser obtida, a partir de sua definição, das equações de Navier-Stokes. Na forma modelada final, é escrita como:
é uma escala de comprimento representativa dos grandes turbilhões, avaliada algebricamente.
* * * * * * * * T * j k k j j j k k U P x x x n n e s éæ öù ¶ = ¶ êçç + ¶ ÷÷ú+ - ÷ ç êç ÷÷ú ¶ ¶ êëè ¶ øúû (2.22) onde, * * * *i k ij j U P x t ¶ =
¶ É um termo de produção de energia cinética turbulenta
*3/ 2 * * dk C L
e = É um termo de dissipação de energia cinética turbulenta
Entre os modelos de turbulência de uma equação que utilizam a energia cinética turbulenta como a variável de transporte e o comprimento característico como a segunda variável de modelamento, e cuja descrição é realizada algebricamente, destacam-se os
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modelos de Emmons (19540), Glushko (1965), Wolfshtein (1969), Hassid e Poreh (1975) e Goldberg (1991).
Pela inclusão dos mecanismos de convecção e difusão, estes modelos se mostram mais gerais que os modelos algébricos. No entanto, como a escala de comprimento continua sendo fornecida, algebricamente, em função do escoamento analisado, eles apresentam algumas deficiências que os assemelham aos modelos algébricos.
Em função do exposto, outros modelos de uma equação de transporte que evitam a descrição de uma escala de comprimento foram desenvolvidos. Tais modelos utilizam como variável de transporte a própria viscosidade turbulenta, ou outra variável correlata. Citam-se como exemplos os modelos desenvolvidos por Nee e Kovasznay (1968), Sekundov (1971), Baldwin e Barth (1990), Spalart e Allmaras (1992), Gulyaev et al. (1993), Menter (1997) e Vasiliev et al. (1997) e Nagano et al. (1997).
As vantagens presentes nos modelos de uma equação, quando se compara com outros modelos ditos mais completos, é o fato de ser mais fácil a sua implementação e terem estabilidade computacionalmente compatível com a dos modelos algébricos.
2.3.1.4 Modelos de Duas Equações de Transporte
Conforme comentado anteriormente, os modelos de viscosidade turbulenta têm a necessidade de especificar algebricamente uma escala de comprimento, cuja determinação é feita através de uma equação diferencial parcial que envolve uma combinação de variáveis nas quais esta escala está incluída.
Os modelos de turbulência de duas equações geralmente utilizam a equação de transporte para k* e outra equação de transporte para outra variável auxiliar. As variáveis
k*, L*, ω∗ e ε∗
A dedução das equações do modelo k-ε, com base na equação diferencial que rege o transporte de ε, é encontrada em Harlow e Nakayama(1968).
foram experimentada por Launder e Spalding (1974) e os mesmos citam referências com aplicações de modelos k-kL, kL-ω e kL-ε, e provaram, pelas definições destas variáveis, que os três modelos são conceitualmente equivalentes, pois dados os resultados de um deles, as outras variáveis são encontradas.
Uma das características mais interessante do modelo k-ε está relacionada às constantes presentes neste modelo. Experimentalmente, estão em melhor acordo, o que levou até a se pensar no início que era um modelo universal. Posteriormente, foi verificado
que, para alguns tipos de escoamentos, o modelo k-ε não fornece resultados satisfatórios com as constantes inicialmente propostas (Rodi, 1980).