5. DİNAMİK MODELLERDE PARAMETRE BELİRLEME
5.3 Dinamik Optimizasyon
5.3.2 Çözüm yöntemleri
Dinamik optimizasyon problemlerinin çözümünde;
a. Maksimum ilkesi b. Dinamik programlama
c. Doğrusal olmayan programlama (NLP) haline dönüştürme i. Bütün değişkenleri diskretize etmek,
ii. Sadece karar değişkenlerini diskretize etmek – Kontrol vektör parametrelemesi – Newton tipi optimizasyon
d. Evrimsel algoritma yöntemleri kullanılmaktadır.
5.3.3 Pontryagin’in Maksimum İlkesi
Temeli 1834 yılında W.R. Hamilton tarafından geliştirilen, optik ve mekanikte optimum ilkesinin ifadesinde kullanılan bir dizi fonksiyona dayanmaktadır. Bu fonksiyonlar Hamiltonian fonksiyonları olarak tanınmaktadır. Daha sonraki yıllarda konu ile ilgili pek çok çalışma yapılmış, 1962 yılında ise Pontryagin optimum kontrol teorisinde problem çözmekte kullanılan maksimum ilkesini geliştirmiştir (Foulds 1981).
Maksimum ilkesinde temel, problemin iki noktalı sınır değer problemi haline dönüştürülmesidir. Problem sistem için yazılan Hamiltonian fonksiyonu ve sisteme ek olarak tanımlanan katma değişkenlerden yararlanılarak çözülmektedir.
Sürekli basit bir sistemde;
) (t
X : prosesin t anında durumunu gösteren s–boyutlu vektör fonksiyonu
)
θ(t : t zamanında karar gösteren r boyutlu vektör fonksiyonu
Prosesi tanımlayan denklemler:
)) ( ...
);
( )...
( (
/dt f X t X t () t
dXi = i i s θit θr t0≤t≤tf
(5.19)
i i t
X (0)=α i=1,2,....s.
Optimizasyon problemi böyle bir proseste aralıkta sürekli karar vektör fonksiyonu
) θ(t ’yi
[
1(t), 2(t).... r(t)≤0]
i θ θ θ
ψ i=1,2,...m (5.20)
sınırlamasına bağlı olarak, başlangıç değerleri
i i t
X ( 0)=α
verilmesi durumunda hal değişkenlerinin son değerlerinin bir fonksiyonu olan
∑
==
s
i
f i iX t C S
1
)
( Ci =sabit (5.21)
fonksiyonunu maksimize etmektir.
Bu sorunu çözmek için s–boyutlu katma (adjoint) λ(t) vektörü ve bir Hamiltonian fonksiyonu tanımlanmaktadır (Fan 1966).
( ) ∑ ( )
=
= s
i i
if X t t
t t X t H
1
) ( );
( )
( ), ( ),
( θ λ θ
λ (5.22)
∑
=∂
∂
−
=
∂
−∂
= s
i
i i i i
i dt H X f X
d
1
/ /
/ λ
λ (5.23)
) ( / ) ( )
( f f f
i t =∂S t ∂X t
λ λi(tf )=Ci (5.24)
Aynı şekilde; dXi /dt=∂H /∂λi yazılabilir.
Bu koşullarda; ∂H/∂θ =0 (5.25)
Bunun anlamı her t için Hamiltonian fonksiyonunu maksimum yapan karar vektör fonksiyonu θ(t), amaç fonksiyonu S’i maksimum yapan optimum fonksiyon θ(t)’dir.
Pontryagin’in maksimum ilkesinin uygulanması kesikli polimerizasyon reaktöründe optimum kontrol için gerçekleştirilmiştir (Secchi et al. 1990).
5.3.4 Dinamik programlama
Dinamik programlama yöntemi bir optimizasyon aracı olarak literatürde yer almış (Luus 1990) ve konuya ilişkin olarak Ankara Üniversitesinde yapılan bazı çalışmalar da
(Pertev et al. 1997) kullanılarak dinamik programlama yöntemi ile optimum besleme profili bulunmuştur (Berber et al. 1998, Pertev et al. 1999). Bu yöntemin başlıca avantaj ve dezavantajları şöyledir:
Avantajları:
– Konveks ve doğrusal olmayan problemlerin çözümü için elverişlidir.
– Amaç fonksiyonu az sayıda hesaplanır.
– Global optimumu verir.
Dezavantajları:
– Her kontrol değişkeni için alt ve üst sınırları da kapsayacak şekilde ızgara biçiminde bir aralık seçilmesi gerekmektedir.
– Zaman dilimlerinde hal değişkenlerinin çözümleri birbirleri ile denk gelmeyebilir.
– Geri döngü akımları dikkate alınmaz.
5.3.5 Doğrusal olmayan programlama (NLP) haline dönüştürme
Bu yöntemle ilgili olarak Ankara Üniversitesi Kimya Mühendisliği Bölümünde bir yüksek lisans çalışması yapılmıştır (Agun 2002). Teknik uygulanırken, esas olarak optimizasyon problemi kesikli zaman alanına dönüştürülerek (diskretizasyon) sonlu boyutta doğrusal olmayan program haline getirilir. Problemin çözümünde iki olasılık söz konusudur:
1. Bütün değişkenleri diskretize etmek:
Bu yöntemi gerçekleştirmek için, önce sonlu farklar yaklaşımı denenmiş, daha sonra ortogonal kollokasyon teknikleri kullanılmıştır. Yöntemin tek avantajı, optimizasyon probleminin içinde ayrıca bir integrasyon (DAE çözümü) işleminin yer almamasıdır.
Dezavantajları ise, değişken sayısının çok yüksek olması ve sınır koşullarının ancak çözüm sonunda sağlanabilmesidir. Böylece ortaya çıkan çok büyük boyutlu NLP problemlerini çözülebilir hale getirmek için parçalama teknikleri ortaya atılmıştır.
2. Sadece karar (optimizasyon) değişkenlerini diskretize etmek:
Yalnızca karar değişkenlerinin diskretize edilmesi sonucunda karar değişkenleri bir kontrol vektörü oluşturur. Bu vektörün elemanları, zaman dilimlerindeki aranan değerler olacaktır. Bu mümkündür, çünkü bir kere bunlar zaman alanına bölündükten sonra aynı zaman diliminde diğer değişkenleri farklı isimlerle atamaya gerek yoktur.
Bütün dilim içinde diğer değişkenlerin değerleri integrasyonla sürekli biçimde belirlenebilir. Bu yöntem ilk olasılığa göre aşağıdaki nedenlerle daha avantajlıdır:
a) Değişken sayısı daha az olur,
b) Diferansiyel–cebirsel denklem takımları zaman dilimlerinde sürekli formda çözüldüğü için zaman ufku boyunca değişik noktalarda, dilimlerin ara yüzeylerinde, eşitlik/eşitsizlik sınırlamaları veya katılım sınırlamaları tanımlanabilir.
c) Diskretizasyon hatası, her zaman dilimindeki integrasyon için integrasyon adım aralığını ve/veya hata toleransını değiştirmek mümkün olduğu için daha kolay kontrol edilebilir.
- Kontrol vektör parametrelemesi (Vassiliadis et al. 1994):
Kontrol vektör parametrelemesi yöntemi, zaman ufkunu aralıklara ayırmak, ondan sonra da her kademeyi kendi içinde daha küçük kontrol dilimlerine bölmektir. Bu yöntemde
aralığın sonunda elde edilen değerler, onu takip eden aralık için başlangıç değerleri olarak alınmakta ve bu şekilde ilerlenerek zaman ufkunun sonuna varılmaktadır.
Böylece problem sonlu boyutlu bir NLP haline dönüştürülmüş olur. NLP çözümü genelde gradient bilgisi gerektirir. Bu bilginin elde edilebilmesinde duyarlılık fonksiyonları kullanılabilir.
- Newton tipi optimizasyon (Li and Biegler 1989):
Newton tipi kontrol stratejileri doğrusal olmayan ve sınırlamalı proses kontrol sistemlerinin çözümü için geliştirilmiştir. Bu yöntemde problem doğrusallaştırılır ve Kuadratik Programlama problemi haline dönüştürülür. Hessian pozitif ve yarı–tanımlı olduğu için global optimumum bulunacağı garantidir. Algoritmada proses sınırlamalarını dikkate alabilmek için özel bir “Sequential Quadratic Programming”
(SQP) stratejisi kullanılmaktadır.
Bu yöntemler arasında en kolay uygulanabilir olanı sadece karar değişkenlerini
‘diskretize’ etmek olabilir, ancak onda da ‘duyarlılık’ fonksiyonlarını elde etmek ciddi güçlükler getirmekte ve uygulamayı zorlaştırmaktadır. Bu nedenle dinamik optimizasyon problemlerinin çözümü için kontrol vektör parametrelemesine dayalı, ancak duyarlılık fonksiyonları bilgisini gerektirmeyen pratik bir yaklaşım getirilmiştir (Agun ve Berber 2002). Araştırma grubunun daha önceki çalışmalarından alınan dinamik model (Pertev et al. 1997) fermentasyon süresince birer saatlik dilimlerle, kesikli zaman alanına dönüştürülmüştür. Böylece sadece karar değişkenleri ‘diskretize’
edilerek ‘kontrol vektörü’ oluşturulmuştur. Optimizasyon değişkenlerinin başlangıç değerlerinden başlayarak her aralıkta model integre edilmiş, bu arada bir aralığın sonunda elde edilen hal değişkeni değerleri, onu takip eden aralık için başlangıç değerleri olarak alınmıştır. Bu şekilde ilerlenerek zaman ufkunun sonuna ulaşıldığında amaç fonksiyonunun değeri elde edilebilmiştir. Böylece ortaya çıkan doğrusal olmayan program, MATLAB® optimizasyon paketi içinde, sınırlandırılmış çok değişkenli fonksiyonun minimumunu bulan hazır bir fonksiyon yardımıyla çözülmüştür.
Fonksiyon gradient hesaplamaları ‘sonlu farklar’ esasına, kuadratik veya kübik ‘yön arama’ Quasi–Newton yöntemine dayanmaktadır. MATLAB® optimizasyon paketinde fmincon adı ile yer alan bu algoritmada doğrusal olmayan programlama yöntemlerinden en gelişmişi olarak bilinen SQP yöntemi kullanılmaktadır. Bu yöntemde her iterasyonda bir quadratik programlama alt problemi çözülmektedir. BFGS (Broyden, Fletcher, Goldfarb and Shanno) formülü kullanılarak Lagrangian’ın Hessian’ının tahmini her iterasyonda yenilenmekte ve Merit fonksiyonu kullanılarak hat taraması (Line search) yapılmaktadır. QP alt problemi aktif takım stratejisi kullanılarak çözülür (The Mathworks, Inc. 2003). Önerilen yöntem pratik ve uygulanması kolaydır. Literatürden alınan çok sayıda örnek problem bu yöntemle test edilmiş ve sonuçların güvenilirliği görülmüştür (Agun 2002).
Bu yöntem, azot giderimli aktif çamur sisteminde enerji optimizasyonu için kullanılmıştır. Yapılan çalışmada, zaman ufku sabit süreli dilimlere değil, sabit sayıda değişken süreli dilimlere bölünerek, optimum havalandırma profili elde edilecek şekilde bu dilimlerin süresi optimizasyon sonucunda bulunmuştur (Balku and Berber 2004).