• Sonuç bulunamadı

Özellikle, hiperbolik hibrit sayıların idempotent tabanı yardımıyla bir matrisin karekökünün nasıl bulunaca˘gı literatürde bulunmayan bir yön- temdir

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2024

Share "Özellikle, hiperbolik hibrit sayıların idempotent tabanı yardımıyla bir matrisin karekökünün nasıl bulunaca˘gı literatürde bulunmayan bir yön- temdir"

Copied!
67
0
0

Yükleniyor.... (view fulltext now)

Tam metin

Özellikle, hiperbolik hibrit sayıların idempotent tabanı yardımıyla bir matrisin karekökünün nasıl bulunaca˘gı literatürde bulunmayan bir yön- temdir. ANAHTAR KEL˙IMELER: Hibrit Sayılar, Schur Yöntemi, Matrisin Kökleri, De Moivre Formülü, Cayley Hamilton Teoremi JÜR˙I: Prof. KEYWORDS : Hibrit Sayılar, Schur Yöntemi, Matrisin Kökleri, De Moivre Formülü, Cayley Hamilton Teoremi COMMUTEE : Prof.

Bu tezde,2 2türünden matrislerin karekökleri ile ilgili temel çalı¸smalar derlenerek verilmi¸stir, bazı özel matrislerin köklerinin de kompleks sayılar, dual sayılar ve hiperbolik sayılar yardımıyla da bulunabilece˘gi gösterilmi¸stir. Ayrıca, henüz literatürde yeni çalı¸sıl- maya ba¸slanan hibrit sayılar yardımıyla bir matrisin köklerinin nasıl bulunaca˘gı detaylı incelenmi¸stir. Tez konumun belirlenmesinde ve hazırlanmasında, her türlü yardım ve fedakarlı˘gı esirgemeyen, bilgisi, tecrübesi ve destekleri ile çalı¸smalarımda bana yol gösteren de˘gerli danı¸sman hocam Sayın Prof.

C : Kompleks sayılar kümesi K : Hibrit sayılar kümesi argZ :Zhibrit sayısının argümenti argA :Amatrisinin argümenti izA :Amatrisinin izi.

G˙IR˙I ¸S

Buna göre, e˘ger,Amatrisi2 2tipinde skaler bir matris ise,Bn=Adenkleminin sonsuz sayıda çözümü vardır, e˘gerAskaler olmayan 2 2tipinde matris ise,Bn=Adenkleminin sonlu sayıda çözümü vardır ve bu çözümler Choudhry’nin makalesinde incelenmi¸stir (Choudry, 2004). Bunun yanında, Lucas ve Fibonacci dizilerinin yineleme ba˘gıntıları yardımıyla da, bir matrisin köklerinin bulun- ması (Bicknel, 1965), (Arslan, 2016), (Arslan, 2017) ve (Köken, 2019) çalı¸smalarında bulunabilir. Daha sonra, hibrit sayıların bazı özellikleri kullanılarak iki farklı yöntemle matrislerin köklerinin elde edilebilece˘gi gösterilecektir.

Bu yöntemlerin bir kısmı (Özdemir, 2018) ve (Özdemir, 2019) makalelerinde bulunabilir:Hibrit sayıların yardımıyla, herhangi bir gerçek matrisin kutupsal bir formu tanımlanıp, De Moivre for- mülü verilerek, 2 2 bir matrisin kökü elde edilebilir. Ikinci bölümde, hibrit sayıların tanımını ve bazı önemli teoremleri verilmi¸s, hibrit sayılar kullanılarak2 2matrisler sınıflandırılmı¸s ve bu matrisler yardımıyla köklerin bu- lunması ele alınmı¸stır.

KAYNAK TARAMASI

  • Temel Cebirsel Yöntem
  • Kö¸segenle¸stirme
  • Cayley-Hamilton Yöntemi
  • Schur Ayrı¸stırma Yöntemi
  • Abel-Mobius Yöntemi
  • Newton Yakla¸sım Yöntemi
  • Dual, Hiperbolik ve Kompleks Sayılarla Kök Bulma

Görüldü˘gü gibi, üst üçgensel matrisler için, karekök hesaplama oldukça kolaydır ve net olarak formülüze edilmi¸stir. Reel bir matrisin kö¸segenle¸stirilmesi için,P 1AP = Dbiçiminde kö¸segen bir P matrisi bulunması gerekir. D özde˘gerlerle, P ise bu özde˘gerlere kar¸sılık gelen özvektörlerin sütun olarak yazılmasıyla olu¸sturulan matris olmak üzere P 1AP = D e¸sitli˘gi sa˘glanır.

2 2 türünden bir A matrisinin kö¸segenle¸stirilebilmesi için gerek ve yeter ko¸sul Amatrisinin lineer ba˘gımsız 2özvektörünün olmasıdır. Yani, e˘ger bir matrisin 2 farklı özde˘geri olmasa bile, 2 lineer ba˘gımsız özvektörü olabilir ve yine kö¸segenle¸stirilebilir olabilir. Skaler olmayan bir A matrisinin karekökünün olması için gerek ve yeter ko¸sul izA ve detAsayılarından en az birinin sıfırdan farklı olmasıdır.

Schur Teoremi, e˘ger A bir kare matris ise, A matrisi, kö¸segenlerdeki elemanları A matrisinin özde˘gerleri olan bir üst üçgensel matrise uniter benzer oldu˘gunu ifade eder (Zhang, 2010). Ayrıca, her birim karma¸sık sayı da, Öklid düzlemindeki bir dönme matrisine kar¸sılık gelir. Yukarıdaki matris gösterimleri kullanılarak, karma¸sık, dual veya hiperbolik bir sayıya kar¸sılık gelen bir2 2matrisin kökü bulunabilir.

Görüldü˘gü gibi, bu yöntem sadece karma¸sık, dual veya hiperbolik sayılara kar¸sılık gelen matrislerin bazıları için kullanılabilir.

BULGULAR VE TARTI ¸SMA

Hibrit Sayılarla Matrisin Karekökünün Hesaplanması

Hibrit sayıların hibrityen çarpımını kullanarak, C(Z1Z2) = C(Z1)C(Z2) e¸sitli˘gini gösterebiliriz: Böylece, timelike hibrit sayılar çarpma i¸slemine göre bir grup olu¸sturur.

Hibrit Sayıları Kullanarak 2 2 Matrislerin Sınıflandırılması

A matrisi, 2 2 türünden bir reel matris olsun, bu durumda, A matrisi, determinantın i¸saretine göre a¸sa˘gıdaki gibi adlandırılır. 2 2 türünden bir reel girdili matrisin normu, A spacelike veya timelike matris ise, a¸sa˘gıdaki gibi tanımlanır.Aspacelike matris ise,. jdetAj biçiminde,Alightlike matris ise,.

Tip ve Karakterine Göre 2 2 Bir Matrisin Karekökü

Ispat Btimelike ise ,detB >0olur:O zaman,B2 =Ae¸sitli˘gine göre;detB =p detA olur:Teorem 3.33-ii, kullanılarak. E˘ger A bir hiperbolik matris ise, A matrisinin karekökünün olması için gerek ve yeter ko¸sulAmatrisinin timelike veya lightlike olması veizA >0olması gerekir. Abir timelike parabolik matris olsun, a 6= dise, Amatrisinin reel karekökünün olması için gerek ve yeter ko¸sulizA >0olmasıdır:Bu durumda,Amatrisinin karekökü.

Di˘ger yandan,Abir lightlike hiperbolik matris ise,detA= 0ve(izA)2 >4 detA= 0olur:BöyleceX2 =Ae¸sitli˘ginden;detX = 0veizX = p. X2 =Ae¸sitli˘gine göre;detX = 0veizX = 0; veya e¸sde˘ger olaraktx = yz vex+t = 0 olur: Bu, her bir lightlike parabolik matrisin, sıfır matrisin bir kökü oldu˘gu anlamına gelir.

Idempotent Taban Kullanarak Hiperbolik Matrisin Kareköklerini Bulma . 35

Bu formdaki her bir hibrit sayıda V=e2 e1 olmak üzere, Z= z++z. z ; z+) ikilisine, Z hiperbolik hibrit sayısının idempotent koordinatları denilir. Z = x+ yV formundaki bir hiperbolik hibrit sayının reel karekökünün olması için gerek ve yeter ko¸sul x y > 0 ve x > 0 olmasıdır. Bu bölümde, bir matrisin türüne ve karakterine uygun olarak kutupsal formları verilip, her bir durum için de Moivre formülleri kanıtlanarak, bu formüller yardımıyla,2 2matris- lerin kökleri incelenecektir.

Bu teoremler ve hibrit sayılarla 2 2 matrisler arasında tanımlanan izomorfizma yardımıyla,2 2matrislerin türüne ve karakterine göre kutupsal formları a¸sa˘gıdaki gibi olacaktır.

Hibrit Sayının Karekökü

Son olarak, E bir parabolik matristir ve kutupsal formu = a d ja+dj = 3. Özdemir 2018)Wbir hibrit sayı ve = kWkolsun:Z2 =We¸sitli˘gini sa˘glayanZhibrit sayısı a¸sa˘gıdaki gibi bulunur. E˘ger, A bir timelike hiperbolik matris ise, A matrisinin karekökünün olması için gerek ve yeter ko¸sul izA > 0 olmasıdır. E˘ger,Abir timelike parabolik reel matris ise,a =dolması ko¸suluyla,Amatrisinin reel karekökü, sırasıylab= 0; c= 0veyab =c= 0olmasına göre,.

SONUÇLAR

KAYNAKLAR

Jadhav, B.P., 2017, Methods of finding square roots of 2 2 Matrices, Imperial Journal of Interdisciplinary Research (IJIR), Vol-3, Issue-4. Kisil Vladimir V., 2012, Geometry of Mobius Transformations: Elliptic, Parabolic and Hyperbolic Actions of SL2(R), Imperial College Press, 208 pages. Köken, F., 2019, On The Properties of The Complex Fibonacci and Lucas Numbers with Rational Subscript via Roots of the Fibonacci Matrix, Erzincan University, Fen Bilimleri Enstitüsü Dergisi Journal of Science and Technology.

Olsen, John, 2010, The Geometry of Möbius Transformations, Lecture notes of Univer- sity of Rochester, http://www.johno.dk/mathematics/moebius.pdf. Rooney J., 1978, On the three types of complex number and planar transformations, Environment and Planning B, Volume 5, pages 89-99. Sadeghi A., Izani A., and Ahmad A., 2011, Computing the pth Roots of a Matrix with Repeated Eigenvalues, Applied Mathematical Sciences, Vol.

Referanslar

Benzer Belgeler