• Sonuç bulunamadı

Zaman Serisi Modeli Seçimi

2. KAYNAK TARAMASI

2.2. Tek Değişkenli Zaman Serileri

2.2.6. Zaman Serisi Modeli Seçimi

24

ifade edilmektedir. Geri kaydırma işlemcisi (𝐵𝑘 = 𝑦𝑡−𝑘) ile gösterimi,

(1 − Φ1𝐵𝑠− Φ2𝐵2𝑠− ⋯ − Φ𝑃𝐵𝑃)𝑦𝑡= (1 − Θ1𝐵𝑠 − Θ2𝐵2𝑠 − ⋯ − Θ𝑄𝐵𝑄𝑠)𝑎𝑡 𝑎𝑡~𝑁𝐷(0, 𝜎2)

veya kapalı formda,

Φ𝑃(𝐵𝑠)𝑦𝑡 = Θ𝑄(𝐵𝑠)𝑎𝑡 𝑎𝑡~𝑁𝐷(0, 𝜎2) şeklinde ifade edilir.

2.2.5.8. Mevsimsel Bütünlenen Otoregresif Hareketli Ortalama Modeli 𝐀𝐑𝐈𝐌𝐀(𝐏, 𝐃, 𝐐)𝐬

Durağan olmayan ancak D. mertebe mevsimsel farkı alınarak durağanlaştırılmış ARMA modeline mevsimsel bütünlenen otoregresif hareketli ortalama modelleri adı da verilmektedir. Model 𝐴𝑅𝐼𝑀𝐴(𝑃, 𝐷, 𝑄)𝑠 veya 𝑆𝐴𝑅𝐼𝑀𝐴(𝑃, 𝐷, 𝑄) olarak gösterimleri mevcuttur. 𝐴𝑅𝐼𝑀𝐴(𝑃, 𝐷, 𝑄)𝑠 modeli geri kaydırma işlemcisi (𝐵𝑘 = 𝑦𝑡−𝑘) ile;

Φ𝑃(𝐵𝑠𝑠𝐷𝑦𝑡 = Θ𝑄(𝐵𝑠)𝑎𝑡, 𝑎𝑡~𝑁𝐷(0, 𝜎2) ifade edilmektedir (Karaman, 2010).

25

 İncelenen değişken kesikli bir veri seti olmalıdır yani gözlemler eşit zaman aralıkları ile elde edilmiş olmalıdır.

 Seri durağan olmasa bile durağan hale getirilmiş olmalıdır.

 Stokastik bir yapıda olması gerekliliğinde ki felsefe verinin açıklanmasında kendi cari ve geçmiş değerlerinin kullanılmasına dayanmaktadır.

Bu varsayımlar nedeni ile Box-Jenkins modellerine doğrusal stokastik modeller adı da verilmektedir. Box-Jenkins karar verme stratejisi 5 basamak olarak özetlenmektedir. Bunlar sırası ile Belirlenme, Tahmin, Ayırt Edici Kontrol (Artık Analizi), Büyük Ayrım, Öngörüdür (Kaya, 2019).

2.2.6.1. Belirlenme

Belirlenme basamağını adımlar halinde gerçekleştirmek belirleme doğruluğu açısından önem arz etmektedir. Mert ve Çağlar (2019) çalışmasında bu 5 basamağın ilki olan Belirlenme basamağını üç adıma ayırmışlardır:

Adım 1: Seride deterministik yapıda mevsimsellik veya trend var ise önce bu bileşenden seri ayrıştırılmalı, daha sonra ayrıştırma işleminin toplamsal veya çarpımsal olmasına göre öngörü aşamasında mevsimsel bileşen modele eklenmeli veya çarpılmalıdır.

Adım 2: Birim kök (Durağanlık) testleri ile serinin durağanlığı araştırılmalıdır.

Durağanlık sınamaları serinin birim kök sürecinde durağan olmadığı sonucunu verdiği durumda seriye fark alma işlemi uygulanarak farkı alınmış seri için birim kök testi yapılır. 𝑑 değeri durağanlık mertebesi değeridir. Seriye kaç kez fark alındığını gösterir.

Seriye uygulanan durağanlık sınamaları sonucunda seri düzey halinde durağan bulunmuş ise 𝑑 değerinin sıfır olduğuna karar verilir.

Eğer seride stokastik mevsimsellikten kaynaklı durağan olmama problemi var ise mevsimsel fark alınır. Mevsimsel fark alma işlemi sayısı 𝐷 değerini, periyod değeri 𝑠 ile simgelenerek SARIMA modelleri ile çalışılır.

Adım 3: 𝐴𝑅𝐼𝑀𝐴(𝑝, 𝑑, 𝑞) modelindeki 𝑝 ve 𝑞 gecikme uzunlukları belirlenmesi adımıdır. Bu değerlerin belirlenmesi adımında otokorelasyon ve kısmi otokorelasyon grafiklerinden yararlanılmaktadır (Akgül, 2003). Otokorelasyon fonksiyonunda ki anlamlı ilişki katsayıları gecikme arttıkça yavaşça azalıyor ise 𝑞 değerinin sıfırdan farklı olduğuna, aniden azalmış ise 𝑝 değerinin sıfıra eşit olduğuna karar verilir. Aynı şekilde kısmi otokorelasyon grafiğindeki anlamlı ilişki katsayıları gecikme arttıkça yavaşça azalıyor ise 𝑞 değeri sıfırdan farklıdır, aniden azalmış ise sıfıra eşittir. 1. ve 2. adımlar uygulanarak durağanlaştırılmış seriye ait 𝑝 ve 𝑞 değerinin belirlenme prosedürü Çizelge 2.1’de ki gibidir.

Otokorelasyon katsayıların anlamlılığının kontrolü için grafikler incelenirken katsayıların %95 güven sınırlarının grafik üzerinde yer alması katsayılara ilişkin istatistiksel anlamlılıklarının incelenmesi için gereklidir (Akgül, 2003).

26

Çizelge 2.1. ARIMA modellerinde gecikme uzunluklarının belirlenmesi (Sevüktekin ve Nargeleçekenler 2007; Akgül 2003;Karaman 2010).

Model OKF KOKF

𝑨𝑹(𝒑) Üstel olarak veya sinüs dalgaları şeklinde azalır

𝑝 gecikme sonrası keser

𝑴𝑨(𝒒) 𝑞 gecikme sonrası keser Üstel olarak veya sinüs dalgaları şeklinde azalır

𝑨𝑹𝑴𝑨(𝒑, 𝒒) Üstel olarak veya sinüs dalgaları şeklinde azalır, 𝑝 gecikme sonrası keser

Üstel olarak veya sinüs dalgaları şeklinde azalır, 𝑞 gecikme sonrası keser

Çizelge 2.1’de 𝑝 ve 𝑞 değerlerinin genel belirlenme prensibi ifade edilmiştir.

Örnek gecikme uzunluklarının belirlenme prensipleri Çizelge 2.2’deki gibidir.

Çizelge 2.2. ARIMA modellerinde gecikme uzunluğu belirlenmesinde örnek durumlar (Eğrioğlu, 2002)

Model OKF KOKF

𝑨𝑹(𝟏) Üstel ve sinüssel azalma Yalnızca 1. Gecikme farklı 𝑴𝑨(𝟏) Yalnızca 1. Gecikme farklı Üstel ve sinüssel azalma 𝑨𝑹𝑴𝑨(𝟏, 𝟏) Üstel azalma Üstel azalma

𝑨𝑹(𝟐) Üstel ve sinüssel azalma Yalnızca 1. Ve 2. Gecikme farklı

𝑴𝑨(𝟐) Yalnızca 1. Ve 2. Gecikme farklı

Üstel ve sinüssel azalma

Çizelge 2.2’de ki çerçeve neticesinde karar verilebildiği gibi olası durumların sınanması yöntemi de kullanılmaktadır. Mert ve Çağlar (2019) çalışmasında maksimum (genellikle maksimum 2) 𝑝 ve 𝑞 değeri ile başlanıp tüm kombinasyonların tahmin aşamasına taşınmasını önermişlerdir.

2.2.6.2. Tahmin

Deneme model parametrelerinin en iyi şekilde (sapmasız, tutarlı ve etkin) tahminlerin elde edildiği basamaktır. Akgül (2010) çalışmasında önerildiği gibi otokorelasyon grafikleri yardımı ile tek bir modele ait parametre tahmini gerçekleştirilebilir veya Mert ve Çağlar (2019) çalışmasında önerildiği gibi tüm olası gecikmeler için parametre tahmini gerçekleştirilebilir.

2.4. Zaman Serilerinin Parametre Tahmin Yöntemleri başlığında bu çalışmada kullanılan parametre tahmin yöntemi detaylı bir şekilde anlatılmıştır. Frekanscı ve Bayesian yaklaşımları çerçevesinde parametre tahmini gerçekleştirilebilir.

27

Bu basamakta dikkat edilmesi gereken husus tüm parametre değerlerinin istatistiksel olarak anlamlılıklarının incelenmesidir. Anlamlı olmayan parametreler modelden çıkartılır (Akgül, 2000).

2.2.6.3. Ayırt Edici Kontrol (Artık Analizi)

Parametre tahminlerinin ardından model artıkları elde edilir ve kalıntı serisi için bazı testler gerçekleştirilerek temiz dizi (White Noise) özellikte olup olmadığı sınanır.

Kalıntı serisinin sıfır ortalamalı sabit varyansa sahip olması gerekir. Ayrıca kalıntılarda otokorelasyon kontrolü gerçekleştirilir.

Modelden elde edilen kalıntılarda herhangi bir serisel korelasyon belirtisinin olmaması varsayımı kalıntılara ait otokorelasyon ve kısmi otokorelasyon grafikleri incelenerek de gerçekleştirilebilir. Gecikme uzunluğu (𝑘) artıkça kalıntılara ait otokorelasyon değerlerinin sıfıra yaklaşarak sönüp gitmesi beklenir.

Akgül (2010) çalışması için kalıntı serisi varsayımları sağlamıyorsa belirleme basamağına geri dönülerek başka olası gecikme uzunlukları ile basamaklar tekrar edilir.

Mert ve Çağlar (2019) çalışması için gerekli varsayımları sağlamayan olası modeller elenerek sağlayan modeller ile Büyük Ayrım basamağına geçilir.

Bayesian yaklaşım ile parametre tahmini gerçekleştirildiği durumlarda hata terimi varsayımlarının sınanmasından önce sonsal dağılımının hesaplanmasında kullanılan simülasyon çalışmasının başarısı incelenmelidir. 2.3.1.3. Tanı Testleri başlığında simülasyona ait kontrollerde kullanılan tanı testleri sıralanmış ve açıklanmıştır.

2.2.6.4. Büyük Ayrım

Mert ve Çağlar (2019) çalışmasına göre Ayırt Edici Kontrol basamağından geçen modeller arasında en iyi modele karar verildiği aşamadır. En iyi modele karar verilmesi için birçok kriterlerden yararlanılmaktadır. Ancak başlıca iki bilgi kriteri olan Akaike bilgi kriteri ve Schwarz Bilgi Kriteri hakkında bilgi verilebilir.

Sıklıkla kullanılan ilk kriter Akaike bilgi kriteri (𝐴𝐼𝐶) için; 𝑘 modeldeki parametre değeri, 𝑛 örnek genişliği ve 𝐴𝐾𝑇 artık kareler toplamı olsun. Bu durumda,

𝐴𝐼𝐶(𝑘) = 𝑛 ∙ ln (𝐴𝐾𝑇

𝑛 ) + 2𝑘

olarak hesaplanır (Karaman, 2010). Bir diğer kriter Schwarz (1978)’in geliştirdiği kritere dayanan Schwarz Bilgi Kriteri (𝐵𝐼𝐶 veya 𝑆𝐵𝐶 veya 𝑆𝐵𝐼𝐶)’dir. 𝑛 gözlem sayısı olduğu durum için,

𝐵𝐼𝐶(𝑘) = 𝑛 ∙ ln (𝐴𝐾𝑇

𝑛 ) + k ∙ ln(𝑛)

işlemine eşittir. 𝐴𝐼𝐶 ve 𝐵𝐼𝐶 değerlerinden en küçüğüne sahip olan model için veri seti ile daha uyumlu olduğu söylenebilir ve o model seçilir.

28 2.2.6.5. Öngörü

Model ile öngörülerin yapıldığı aşamadır. 2.2.6.4. Büyük Ayrım başlığında seçilen model kullanılarak kısa dönemli tahmin işlemi gerçekleştirilir. Zamanın bir fonksiyonu olan zaman serilerinin kullanıldığı çalışmalarda gelecek dönemlerin tahmin edilmesi anlamlı olacaktır ancak bu çalışmada olduğu gibi zamanın bir fonksiyonu olmayan veri seti için gelecek tahmini yapmak faydalı olmayacaktır.

Ancak zamanın bir fonksiyonu olmayan veri setleri için Macciotta vd. (2002) ve Karaman (2010) çalışmalarında tercih edilen, Çizelge 3.2’de özetlenen öngörü algoritması ile öngörü değerleri elde edilerek kontrol grubuna ait değerler ile kıyaslanmaları faydalı olacaktır.