ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DOKTORA TEZİ MELEZ ( HİBRİD ) YÖNTEMLE ELASTİK DALGA DENKLEMİNİN İKİ-BOYUTTA MODELLENMESİ

154  Download (0)

Tam metin

(1)

ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

DOKTORA TEZİ

MELEZ ( HİBRİD ) YÖNTEMLE ELASTİK DALGA DENKLEMİNİN İKİ-BOYUTTA MODELLENMESİ

İsmail AKKAYA

JEOFİZİK MÜHENDİSLİĞİ ANABİLİM DALI

ANKARA 2011

Her Hakkı Saklıdır

(2)

TEZ ONAYI

İsmail AKKAYA tarafından hazırlanan “Melez (Hibrid) Yöntemle Elastik Dalga Denkleminin İki-Boyutta Modellenmesi” adlı tez çalışması 16.11.2011 tarihinde aşağıdaki jüri tarafından oy birliği ile Ankara Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Jeofizik Mühendisliği Anabilim Dalı’nda DOKTORA TEZİ olarak kabul edilmiştir.

Danışman : Yrd. Doç. Dr. Ünal DİKMEN

Jüri Üyeleri :

Başkan: Prof. Dr. Hüseyin BEREKETOĞLU

Ankara Üniversitesi, Matematik Anabilim Dalı

Üye : Prof. Dr. Abdullah ATEŞ

Ankara Üniversitesi, Jeofizik Mühendisliği Anabilim Dalı

Üye : Doç. Dr. Selma KADIOĞLU

Ankara Üniversitesi, Jeofizik Mühendisliği Anabilim Dalı

Üye : Yrd. Doç. Dr. Ertan PEKŞEN

Kocaeli Üniversitesi, Jeofizik Mühendisliği Anabilim Dalı

Üye : Yrd. Doç. Dr. Ünal DİKMEN

Ankara Üniversitesi, Jeofizik Mühendisliği Anabilim Dalı

Yukarıdaki sonucu onaylarım

Prof. Dr. Özer KOLSARICI Enstitü Müdürü

(3)

i ÖZET

Doktora Tezi

MELEZ ( HİBRİD ) YÖNTEMLE ELASTİK DALGA DENKLEMİNİN İKİ-BOYUTTA MODELLENMESİ

İsmail AKKAYA Ankara Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Jeofizik Mühendisliği Anabilim Dalı Danışman: Yrd. Doç. Dr. Ünal DİKMEN

Sismik modelleme çalışmalarında sonlu farklar en yaygın kullanılan sayısal yöntemlerin başında gelmektedir. Bunun nedeni, kısa hesaplama süresi ve hesaplayıcılardaki kolay kodlanabilmesidir. Bununla birlikte, sonlu farklar yönteminde kullanılan ağın düzenli geometride oluşturulması ve hesaplamaların düğüm noktalarında yapılma zorunluluğu vardır. Bu zorunluluk, model ağı içerisindeki tüm alt bölgelerden eşit bilgi edinilmesini sağlar. Dolayısıyla, sonlu farklar yönteminin kullanıldığı bir modelleme işleminde düzensiz arayüzeylerin ve özellikle ilgilenmek istenen alt bölgelerin ayrıntılı incelenme olanağı sınırlıdır. Hesaplayıcılardaki hızlı gelişmeler, sismik dalga modellemesinde sonlu elemanlar yönteminin kullanılmasına imkan sağlasa da, sonlu farklar yöntemi kadar yaygınlaşamamıştır. Bunun temel nedeni, sonlu model ağın oluşturulmasında ve yöntemin hesaplayıcılarda kodlanmasındaki zorluklardır. Özellikle son on yılda hesaplayıcılardaki performans gelişimi, birden fazla sayısal yöntemin bir arada kullanılmasına imkan vermiştir. Melez yöntem olarak adlandırılan bu çözüm yönteminin gelişme göstermesine karşın, sismik modelleme çalışmalarındaki uygulama sayısı günümüz için son derece sınırlıdır. Mevcut çalışmalarda ise, birden fazla yöntem ayrı ayrı kullanılarak çözüm güçleri karşılaştırılmakta veya çeşitli kısıtlar altında irdelenebilmektedir.

Bu tez çalışmasında, sonlu farklar yönteminin hızlı hesaplama yeteneği ve sonlu eleman yönteminin model geometrisini tanımlamadaki üstünlüğü kullanılarak oluşturulan Melez yöntem elastik dalga yayılımı modellenmesinde kullanılmıştır. Sismik dalga alanının sonlu farklar yöntemi, sonlu eleman yöntemi ve Melez yöntem ile hesaplanabilmesi amacıyla MATLAB programlama dilinde kullanıcı ara yüzeyi (GUI) olan ve “HibSis” adı verilen bir yazılım geliştirilmiştir. Geliştirilen yazılım ile, farklı geometrik ve fiziksel özellikteki modellerin sismik dalga alanı kesitleri sonlu farklar yöntemi, sonlu elemanlar yöntemi ve Melez yöntem ile ayrı ayrı hesaplanmış, her bir yöntemin üstün ve zayıf yönleri gösterilmiştir.

Kasım 2011, 143 sayfa

Anahtar Kelimeler: Elastik Dalga Denklemi, Sonlu Fark Yöntemi, Sonlu Eleman Yöntemi, Melez Yöntem, Ortak Bölge, Sınır Koşulları.

(4)

ii ABSTRACT

Ph.D. Thesis

TWO-DIMENSIONAL MODELING OF ELASTIC WAVE EQUATION BY HYBRID METHOD

İsmail AKKAYA Ankara University

Graduate School of Natural and Applied Sciences Department of Geophysical Engineering Supervisor: Assist. Prof. Dr. Ünal DİKMEN

Finite difference method is one of the most common numerical technique have been used in seismic modeling studies. This is because; the technique offers short calculation run time and easy coding in computers. However, it requires a regularly formed finite mesh geometry and calculations made on nodes. This constrains result obtaining equal information in all sub-regions within the model in consideration. Therefore, in modelling process, detailed investigation of particular sub-regions with finite difference method has limited opportunity. Finite element method is not a prevalent method like as finite difference method despite the rapid developments in computer technology, which enable to use finite element method in seismic wave simulation studies. The main reason for this is that the difficulty in building a finite mesh and coding in computers.

Especially in the last decade, despite of the advance in computer technology that has enabled to use a combination of more than one numerical method, which is so called as Hybrid method, the number of seismic modelling study with Hybrid technique is extremely limited. In the existing studies, the efficiently of the methods applying separately are compared with the same type element or is scrutinized under various constrains.

In this dissertation, seismic wave propagation is stimulated by using Hybrid method, which is constituted by combining the fast calculation capability of finite difference method and the superiority of finite element method in better geometry characterization.

To calculate seismic wave field by mentioned methods, MATLAB based software with GUI named “HibSis” have been developed. The model responses, having different geometry and characteristics is calculated by finite difference method, finite element method and hybrid method separately. Advantages and disadvantages of the methods is demonstrated.

Novenber 2011, 143 pages

Key Words: Elastic Wave Equation, Finite Difference Method, Finite Element Method, Hybrid Method, Transition Zone, Boundary Conditions.

(5)

iii TEŞEKKÜR

Doktora çalışmam boyunca katkı ve eleştirileriyle beni yönlendiren, araştırmalarımın tüm aşamalarında bilgi, öneri ve yardımlarını esirgemeyen danışman hocam sayın Yrd.

Doç. Dr. Ünal DİKMEN’e (Ankara Üniversitesi Jeofizik Mühendisliği Bölümü) sonsuz teşekkürlerimi sunarım. Tez izleme komitemde yer alan bilgi ve önerilerinden faydalandığım sayın Doç. Dr. Selma KADIOĞLU’na (Ankara Üniversitesi Jeofizik Mühendisliği Bölümü), tezimin son dönemine kadar tez izleme komitemde yer alan fakat yurtdışı çalışmaları nedeniyle jürimde bulunamayan sayın Prof. Dr. Gürol SEYİTOĞLU’na (Ankara Üniversitesi Jeoloji Mühendisliği Bölümü) katkılarından dolayı teşekkürlerimi sunarım. Tez jürimin değerli üyeleri Prof. Dr. Hüseyin BEREKETOĞLU’na (Ankara Üniversitesi Matematik Bölümü), Prof. Dr. Abdullah ATEŞ’e (Ankara Üniversitesi Jeofizik Mühendisliği Bölümü), Yrd. Doç. Dr. Ertan PEKŞEN’e (Kocaeli Üniversitesi Jeofizik Mühendisliği Bölümü) öneri, eleştiri ve katkılarından dolayı teşekkürlerimi sunarım. Doktora süresinde bilgi ve deneyimleriyle bana yardımcı olan sayın Prof. Dr. Ahmet TUĞRUL BAŞOKUR’a (Ankara Üniversitesi Jeofizik Mühendisliği Bölümü) ve sayın Doç. Dr. M. Emin CANDANSAYAR’a (Ankara Üniversitesi Jeofizik Mühendisliği Bölümü) ve bölümümüzün değerli araştırma görevlilerine sonsuz teşekkürlerimi sunarım.

Doktora çalışmam boyunca her zaman sevgi ve desteklerini yanımda hissettiğim, benim yaşam kaynağım aileme, sıkıntılarımı yok eden sevinçlerimi arttıran canım oğlum Barış Can’ıma ve diğer tüm dost ve arkadaşlarıma sonsuz teşekkür ederim.

İsmail AKKAYA Ankara, Kasım 2011

(6)

iv

İÇİNDEKİLER

ÖZET..………...……….…... i

ABSTRACT.………...….... ii

TEŞEKKÜR..………..…… iii

SİMGELER VE KISALTMALAR DİZİNİ……….………... v

ŞEKİLLER DİZİNİ....………..…... vii

ÇİZELGELER DİZİNİ………..………... ix

1. GİRİŞ..………...……….. 1

2. ÖNCEL ÇALIŞMALAR………….……….. 5

3. SONLU FARK YÖNTEMİ….……….………. 9

3.1 2B Elastik Dalga Denkleminin Sonlu Fark İfadesi... 13

3.2 Sayısal Çözüm Koşulları……...………... 14

3.2.1 Başlangıç ve sınır koşulları………... 15

3.2.1.1 Saydam sınır koşulları………... 17

3.2.2 Kararlılık koşulu……...……….... 20

3.2.3 Ağ dispersiyonu………... 21

3.2.4 Kaynak fonksiyonları..………... 22

3.3 SFY İçin Dizey Denklemin Elde Edilmesi.…...……….. 23

4. SONLU ELEMAN YÖNTEMİ………...……….. 26

4.1 Diferansiyel Denklemin İntegral Denklemine Dönüştürülmesi….……….. 28

4.2 Çözüm Bölgesinin Sonlu Elemanlara Ayrılması.……….. 31

4.3 Şekil Fonksiyonları...……… 33

4.4 Elastik Dalga Denkleminin Sonlu Eleman Yapısı.……… 37

4.5 Genel Dizey Denkleminin Elde Edilmesi.………... 41

4.6 Genel Dizey Denkleminin Çözümü…..………... 46

4.7 Sınır Koşullarının Uygulanması…...………... 48

5. MELEZ YÖNTEM……… 50

6. UYGULAMALAR……...………... 59

6.1 Model-1………...………. 60

6.2 Model-2……….. 68

6.3 Model-3……….. 73

6.4 Model-4……….. 78

6.5 Model-5……….. 84

7. TARTIŞMA VE SONUÇLAR………….………. 90

KAYNAKLAR……… 95

EKLER……… 107

EK 1 ELASTİSİTE KURAMI VE ELASTİK DALGA DENKLEMİ……….. 108

EK 2 2B ELASTİK DALGA DENKLEMİNİN SÖNÜM DİZEYİ KULLANILARAK ÇÖZÜMÜ……… 120

EK 3 GLOBAL-LOKAL KOORDİNAT DÖNÜŞÜMÜ………. 122

EK 4 HibSis BİLGİSAYAR YAZILIMI……….. 124

ÖZGEÇMİŞ……….... 143

(7)

v

SİMGELER VE KISALTMALAR DİZİNİ

A Alan

B Kinematik dizey (Şekil fonksiyonlarının türevlerini içeren dizey) , ijkl

C C Elastisite tensörü D Katsayı dizeyi

E Elastisite Modülü

F Kuvvet f m Sismik kaynak frekansı

k Eleman sıkılık dizeyi

K Sistem sıkılık dizeyi

M Sistem kütle dizeyi

U Yatay yerdeğiştirme

V p P dalga hızı

Vs S dalga hızı

W Düşey yerdeğiştirme

σ Gerilme (stress) , normal gerilme

τ Kayma gerilmesi

ε Yamulma (Deformasyon, strain)

λ μ, Lame parametreleri

δij Kronecker deltası

θ Kübik Dilatasyon

ν Poisson Oranı

α ,β Newmark katsayıları

ρ Yoğunluk

, , d d d dx dy dz

x, y ve z koordinatlarına göre türev ifadeleri d

dt

Zamana göre birinci türev

x y z

∂ ∂ ∂

∇ = + +

∂ ∂ ∂

Nabla operatörü

2 2 2

2 2 2

x y z

∂ ∂ ∂

Δ = + +

∂ ∂ ∂

Laplace operatörü

Δx x yönündeki ağ (grid) mesafesi Δ z z yönündeki ağ (grid) mesafesi

Δt Zaman örnekleme aralığı

( , , )

S i j t Kaynak fonksiyonu

/

V f V T

λ= = Dalga boyu

Γ Model sınırı

Ω Model çözüm alanı

φ Şekil fonksiyonu

(8)

vi U dU

= dx

 Hız

2 2

U d U

= dx

 İvme

SFY Sonlu Fark Yöntemi

SEY Sonlu Eleman Yöntemi

2B İki-boyut

(9)

vii

ŞEKİLLER DİZİNİ

Şekil 3.1 Sonlu farklar türev yaklaşımı... 10 Şekil 3.2 Sonlu farklar ağı... 11 Şekil 3.3 Sonlu model ağ'da sınır koşulları: a. Model kenarlarındaki sınır

koşulları, b. Dirichlet ve Neumann sınır koşulu, c. Saydam sınır koşulu... 17 Şekil 3.4 Model köşe ve kenarlarında sınır koşullarının uygulandığı yerler... 20 Şekil 3.5 Ricker dalgacığı... 22 Şekil 3.6 Dört eleman ve dokuz düğüm noktasından oluşan sonlu farklar

ağı... 23 Şekil 4.1 Sonlu elemanlar ağı... 29 Şekil 4.2 Üçgen eleman ve sonlu eleman ağı………. 32 Şekil 4.3 Lokal koordinatlarda üçgen eleman ve şekil fonksiyonu davranışı…. 36 Şekil 4.4 İki eleman ve dört düğümden oluşan sonlu eleman ağında her bir

eleman için sıkılık dizeyleri ve model sıkılık dizeyindeki yerleşimleri... 42 Şekil 4.5 Sekiz üçgen eleman ve dokuz düğümden oluşan sonlu eleman ağı.... 43 Şekil 5.1 Melez modelleme program tasarımı... 51 Şekil 5.2 Düzgün olmayan arayüzeylerde model gösterimleri: a. SFY, b.

SEY……….. 52

Şekil 5.3 Melez model……… 53

Şekil 5.4 Öncel çalışmalardan Melez modelleme örnekleri (a. Maczo vd 2007 ve Galis vd. 2008, b. Beillina 2003)... 54 Şekil 5.5 Delaunay üçgenleme ile q üçgen kalitesine göre eleman tasarımı... 56

Şekil 6.1 Kaynak dalgacığı………. 59

Şekil 6.2 Basamak biçimli ve düzgün ara yüzeyli yer modeli: a. SFY, b.

SEY, c. melez yöntem, d. ortak bölgenin daha küçük olduğu melez yöntem modeli………... 60 Şekil 6.3 Basamak şekilli yer modeli için Dirichlet sınır koşulları kullanılarak

elde edilen yatay ve düşey doğrultulardaki dalga alanı kesitleri……… 62 Şekil 6.4 Basamak şekilli yer modeli için saydam sınır koşulları kullanılarak

elde edilen yatay ve düşey doğrultulardaki dalga alanı kesitleri……… 63 Şekil 6.5 Basamak şekilli yer modelinde sıfır açılımlı kesit için Dirichlet

sınır koşulları kullanılarak elde edilen yatay ve düşey doğrultulardaki dalga alanı kesitleri……… 66 Şekil 6.6 Basamak şekilli yer modelinde sıfır açılımlı kesit için saydam sınır

koşulları kullanılarak elde edilen yatay ve düşey doğrultulardaki dalga alanı kesitleri……….. 67 Şekil 6.7 Düzensiz arayüzeyli yer modeli: a. SFY, b. SEY, c. Melez yöntem,

d. ortak bölgenin daha küçük olduğu melez yöntem modeli……... 68 Şekil 6.8 Düzensiz arayüzeyli yer modeli için saydam sınır koşulları

kullanılarak elde edilen yatay ve düşey doğrultulardaki dalga alanı kesitleri………...………. 71

(10)

viii

Şekil 6.9 Düzensiz arayüzeyli yer modelinde sıfır açılımlı kesit için saydam sınır koşulları kullanılarak elde edilen yatay ve düşey doğrultulardaki dalga alanı kesitleri……… 72 Şekil 6.10 Düzensiz arayüzeyli üç tabakalı yer modeli: a. SFY, b. SEY, c.

Melez yöntem……….. 73

Şekil 6.11 Düzensiz arayüzeyli üç tabakalı yer modeli için saydam sınır koşulları kullanılarak elde edilen yatay ve düşey doğrultudaki dalga

alanı kesitleri………... 76

Şekil 6.12 Düzensiz arayüzeyli üç tabakalı yer modelinde sıfır açılımlı kesit için saydam sınır koşulları kullanılarak elde edilen yatay ve düşey doğrultulardaki dalga alanı kesitleri………... 77 Şekil 6.13 Alaşehir grabeni yer modeli: a. SFY, b. SEY, c. Melez yöntem, d.

Alaşehir grabeni sismik kesiti……….. 79 Şekil 6.14 Alaşehir grabeni yer modeli için saydam sınır koşulları kullanılarak

elde edilen yatay ve düşey doğrultulardaki dalga alanı kesitleri……… 82 Şekil 6.15 Alaşehir grabeni yer modelinde sıfır açılımlı kesit için saydam sınır

koşulları kullanılarak elde edilen yatay ve düşey doğrultulardaki

dalga alanı kesitleri………. 83

Şekil 6.16 SEG/EAGE tuz-domu modeli: a. SFY, b. SEY, c. Melez yöntem, d.

SEG/EAGE tuz domu görüntüsü……… 84

Şekil 6.17 SEG/EAGE tuz domu yer modeli için saydam sınır koşulları kullanılarak elde edilen yatay ve düşey doğrultulardaki dalga alanı kesitleri……….... 87 Şekil 6.18 SEG/EAGE tuz domu yer modelinde sıfır açılımlı kesit için saydam

sınır koşulları kullanılarak elde edilen yatay ve düşey doğrultulardaki dalga alanı kesitleri……… 88 Şekil 6.19 SEG/EAGE tuz domu yer modelinde sıfır açılımlı kesit için 2000

yineleme ile saydam sınır koşulları kullanılarak elde edilen yatay ve düşey doğrultulardaki dalga alanı kesitleri………. 89

(11)

ix

ÇİZELGELER DİZİNİ

Çizelge 3.1 Açık ve kapalı SFY’nin karşılaştırılması...………... 12 Çizelge 6.1 Model-1 için kullanılan parametreler... 61 Çizelge 6.2 Model-1 için 300 yineleme ve 0.0042 s zaman adımlaması (Δ ) t

ile yöntemlerin hesaplama sürelerinin karşılaştırılması... 64 Çizelge 6.3 Model-2 için kullanılan parametreler... 69 Çizelge 6.4 Model-2 için 600 yineleme ve 0.0012 s zaman adımlaması ile

yöntemlerin hesaplama sürelerinin karşılaştırılması... 70 Çizelge 6.5 Model-3 için kullanılan parametreler... 74 Çizelge 6.6 Model-3 için 750 yineleme ve 0.000868 s zaman adımlaması ile

yöntemlerin hesaplama sürelerinin karşılaştırılması... 75 Çizelge 6.7 Model-4 için kullanılan parametreler... 80 Çizelge 6.8 Model-4 için 1000 yineleme ve 0.0014 s zaman adımlaması ile

yöntemlerin hesaplama sürelerinin karşılaştırılması... 80 Çizelge 6.9 Model-5 için kullanılan parametreler... 85 Çizelge 6.10 Model-5 için 4000 yineleme ve 0.0015 s zaman adımlaması ile

yöntemlerin hesaplama sürelerinin karşılaştırılması... 86

(12)

1 1. GİRİŞ

Jeofizik problemlerinin çözümünde genel amaç; Jeofizik belirtiye neden olan yeraltı yapısının fiziksel ve geometrik özelliklerini yansıtan parametrelerin belirlenmesidir.

Modelleme, sürekli bir ortam olan jeolojik yapının ayrık yapıya dönüştürülmesidir. Bu işlem, iki temel adımı içerir. Birinci adım, sürekli yapının ayrık hale getirilmesi ve ayrık yapının fiziksel ve geometrik özelliklerini temsil eden büyüklüklerin (hız, yoğunluk, kalınlık vb.) tanımlanmasıdır. Bu birinci adım diğer bir ifadeyle, model tanımlama işlemidir. İkinci adım ise fiziksel problemin matematiksel ifadesi kullanılarak model tepkisinin sayısal hesaplanmasıdır (düz çözüm). Modelleme işleminde incelenen probleme göre, kimi zaman jeolojik yapının belirlenmesi, kimi zamanda kaynağın tanımlanması temel amaçtır.

Gerçek jeolojik yapılarda sismik dalga yayılım probleminin doğrudan zaman ortamında modellenmesi, jeofizik’te uzun zamandır ilgilenilen konuların başında gelmiştir.

Modelleme işlemi, geçmişte basit yeraltı yapıları üzerinde analitik hesaplamalara dayanırken, günümüzde yüksek performanslı modern hesaplayıcıların geliştirilmesiyle, sayısal hesaplama yöntemleri üzerinde yürütülmektedir. Böylece karmaşık yeraltı yapılarının sismik tepkilerinin hesaplanması kolaylaşmıştır. Karmaşık yapıların tepkilerinin hesaplanması amacıyla çok sayıda sayısal hesaplama yöntemleri geliştirilmiştir. Bu sayısal hesaplama yöntemlerine, sonlu fark (finite difference, SFY), sonlu eleman (finite element, SEY), sonlu hacim (finite volume element, FVEM), sınır eleman (boundary element, BEM) ve spektral eleman (spectral element, SEM) yöntemleri örnek olarak verilebilir. Sözü edilen bu sayısal hesaplama yöntemlerinin kendine özgü üstün ve zayıf yönleri bulunmaktadır.

SFY, özellikle sismik dalga yayılımı problemlerinde kabul gören ilk sayısal hesaplama yöntemlerindendir. Bunun başlıca nedenleri arasında, yöntemin göreceli olarak kolay hesaplama sunması, gerçek karmaşık geometrik modellere uygulanabilmesi ve hesaplayıcılarda kolaylıkla kodlanabilmesidir. Bununla birlikte, model geometrisinin oldukça karmaşık olması durumunda sınır koşullarının, yüzey topografyasının veya fay geometrisi gibi karmaşık geometrik yapıların modele yansıtılması durumunda çeşitli

(13)

2

güçlüklerle karşılaşılır (Levander 1988, Frankel 1993, Olsen vd. 1995, Graves 1996, Olsen ve Archuleta 1996, Pitarka ve Irikura 1996, Ohminato ve Chouet 1997, Oglesby vd. 1998). Bu zorluklara ek olarak, çoğu zaman SFY ile modelleme işleminde düzenli ağ (grid) kullanılır. Ağ aralığı modelde tanımlanan en küçük hıza bağlı olarak seçilir.

Fakat bu seçim, kimi zaman model ağ’ın tümünde (özellikle yüzeye yakın sığ bölgede) istenilen koşulu sağlamaz. Dolayısıyla bu durum, model düğüm sayısının arttırılmasına yol açmaktadır ve özellikle düşük hız tabakası içeren modellerde büyük hesaplama zamanı gerektirir. SFY ile modelleme işleminde karşılaşılan bu tür zorlukların üstesinden gelebilmek ve daha karmaşık jeolojik yapıların modellenebilmesini sağlayabilmek için bir alternatif yöntem olarak SEY geliştirilmiştir (Lysmer ve Drake 1972, Toshinawa ve Ohmachi 1992, Bao vd. 1998). Modelleme işleminde SEY farklı boyutlarda, farklı şekillerde geometri ve yaklaşım fonksiyonu tanımlanmasına olanak sağlar. Bao vd. (1998) yapısal olmayan 3-boyutta SEY ağ modelini sedimanter havzaya başarıyla uygulanmış ve yüzeye yakın hız değişimlerinin tanımlanmasında oldukça etkili bir yöntem olduğunu göstermiştir (Day 2002). SEY’nin SFY’ne göre bazı önemli zayıf yönleri bulunmaktadır. İlk olarak, yöntemin hesaplayıcılarda kodlanmasındaki zorluktur. Özellikle sonlu model ağ oluşturmak SEY’de oldukça zaman alıcı işlemdir.

Ayrıca, sonlu ağ kalitesi dalga yayılımının doğruluğu üzerinde oldukça etkilidir.

İkincisi, SFY doğrudan hesaplama yöntemi olmasına karşın SEY dolaylı hesaplama yöntemidir ve model ağ dizeylerinin hesaplanmasını ve tüm hesaplama süresince bellekte tutulmasını gerektirir. Bu bakımdan SEY ile modelleme işlemi oldukça yüksek bellek kapasiteli hesaplayıcı gerektirir. SEY’de bellek gereksimini azaltmak amacıyla eleman-eleman yaklaşım işlemi önerilmiştir (Cook vd. 2002). Fakat bu durum, hesaplama zamanını arttırmaktadır. Çünkü yöntem, her bir eleman dizeyinin her bir zaman adımı için tekrar tekrar hesaplanmasını gerektirir. SEY’nin geliştirilmesi ve problemlere uygulanmasından sonra yöntem hacim elemanlarında da denenmiştir ve FVEM olarak anılmaktadır (Tadi 2004). Bir diğer sayısal hesaplama yöntemi olan BEM’de modelleme işlemi, model sınırı boyunca tanımlanan integral işlemine indirgenir (Campillo ve Bouchon 1985, Bouchon vd. 1989, Wu 1996). Fakat BEM’in, sismik dalga yayılımı ile ilgili tüm problemlere uygulanması zordur. Son yıllarda farklı alanlarda olduğu kadar sismik dalga yayılım probleminde de uygulama alanı bulan SEM özellikle sismolojik çalışmalarda önem kazanmıştır (Komatitsch ve Vilotte 1998,

(14)

3

Komatitsch ve Tromp 2003). Gerçekte SEM, SEY’nin probleme yüksek dereceli yaklaşımıdır. Bu yöntemin SEY’den ayrılan yönü, uzamsal ayrıklaştırmada Legendre polinomları ve Gauss–Lobatto–Legendre tekniğinin kullanılmasıdır. Bu nedenle, kütle dizeyi diagonal dizey olarak elde edilir. SEM, SEY’nin probleme yüksek dereceli yaklaşımı olmasından dolayı, bir dalga boyu için en az 5 düğüm noktasının tanımlanmasını zorunlu kılar (Komatitsch ve Vilotte 1998). Dolayısıyla her bir düğüme komşu düğüm sayısı SEM’de daha fazladır ve her bir zaman adımı için SEY’den daha fazla hesaplama gerektirir. Sözü edilen bu sayısal hesaplama yöntemlerinin yanında dalga yayılımı problemlerinde dalga formu yöntemleri ve yüksek frekanslı asimtotik yöntemler gibi çeşitli sayısal çözüm yöntemleri kullanılmışsa da bu yöntemlerin uygulamaları oldukça sınırlı kalmıştır (Martin ve Flatte 1988, Wu 1994, Wu ve Huang 1995).

Günümüzde yüksek performanslı modern hesaplayıcı teknolojisindeki gelişmelere paralel olarak, karmaşık problemlerin sayısal çözümlemesinde (elastik dalga yayılımı gibi), farklı hesaplama yöntemlerinin bir arada kullanılmasıyla, Melez (hybrid) yöntemler geliştirilmiş ve gün geçtikçe yaygın uygulama alanı bulmuştur. Melez yöntem, gerek model geometrisinin tanımlanmasında gerekse hesaplama işlemlerinde tek bir sayısal çözüm yöntemine göre oldukça üstünlükler sunar. Moczo vd. (1997), homojen olmayan topografyalı bir ortamda P-SV yayılımını incelemek için SFY ve SEY’ni birleştirmiş ve yalnızca SEY ile karşılaştırdığında oldukça etkili olduğunu göstermiştir. Zahradnik (1995) ve Zahradnik ve Moczo (1996) ayrık dalga sayısı (discrete wavenumber) ile SFY’ni bir arada kullanarak nokta kaynak için sismik dalga alanını hesaplamıştır. Moczo vd. (1997) ayrık dalga sayısı – SFY – SEY üçlü yöntemlerini bir arada kullanarak, iki-boyutta (2B) sığ yüzey yapılarında sismik dalga alanının hesaplanmasında kullanmıştır.

Bu tezde, SFY ve SEY yöntemleri elastik dalga yayılımı modellemesinde bir arada kullanılmıştır. Sismik dalga alanının hesaplanması amacıyla MATLAB programlama dilinde “HibSis” adı verilen bir yazılım geliştirilmiştir. Geliştirilen yazılıma ilişkin ayrıntılar beşinci bölümde verilmiştir. Tanımlanan model üzerinde belirtilen bir alt bölge veya alt bölgelerdeki yatay ve düşey doğrultulardaki yerdeğiştirmeler zamanın

(15)

4

fonksiyonu olarak SEY’le, geri kalan bölge ise SFY ile çözülmektedir. Gerek SFY’nde gerekse SEY’nde sınır koşulu olarak Drichlet, Neumann ve saydam (absorbing boundary condition) sınır koşulları uygulanmıştır. Sismik dalga yayılımının Melez (SFY + SEY) yöntem ile modellenmesi üstünlük sağlamaktadır. Bu üstünlüklerden başlıcası; daha karmaşık yapıların modelde tanımlanabilmesi ve etkilerinin sayısal hesaplanabilmesidir. Modele gerek yüzey topografyası gerekse tabaka sınır topografyası (interfaces) kolaylıkla katılabilmekte ve bu şekilde gerçek yer modellerine daha gerçekçi yaklaşım sağlanabilmektedir.

Tezin ilk bölümünde, genel olarak yerbilimlerinde sayısal modelleme işleminde kullanılan sayısal hesaplama yaklaşımları ve Melez yönteme ilişkin öncel çalışmalar verilmiştir. Kuramsal ilkelerin EK 1’de verildiği elastik dalga denkleminin SFY’ndeki dizey yapısı, üçüncü bölümde, SEY ile dizey yapısı dördüncü bölümde incelenmiştir.

Beşinci bölüm, sözü edilen her iki yöntemin birleştirilmesinden oluşan Melez yönteme ayrılmıştır. Altıncı bölümde ise sırasıyla SFY, SEY ve Melez yöntemin farklı yer modellerine ilişkin hesaplama sonuçları sunulmuş ve tartışılmıştır.

(16)

5 2. ÖNCEL ÇALIŞMALAR

Son yıllarda bilgisayar teknolojisi ve buna bağlı olarak gelişen hızlı hesaplayıcılar, karmaşık sayısal hesaplamaları daha hızlı hale getirmiştir. Bu gelişmelere paralel olarak karmaşık mühendislik problemlerin sayısal çözümleri için birinci bölümde değinilen sayısal hesaplama yöntemleri kullanılmaya başlanmıştır. Bu yöntemlerden özellikle SFY ve SEY geliştirilmesinden günümüze kadar sayısal hesaplamalarda yaygın kullanılan yöntemlerin başında gelmektedir. Sözü edilen bu hesaplama yöntemleri içerisinde SFY, diferansiyel denklemlerin çözümünde kullanılan ilk yöntemlerdendir.

Türev ve integral hesaplama, ara değer bulma, gözlemsel veriye fonksiyon uydurma gibi mühendislik alanlarında sıkça karşılaşılan problemlerde sonlu farklar yaklaşımı yaygın olarak kullanılmaktadır. Kısmi diferansiyel (diferensiyel) denklemlerin çözümü için pek çok hesaplama tekniği mevcuttur. Fakat gerek doğrusal gerekse doğrusal olmayan problemlerde kodlanmasının kolay ve hızlı hesaplama sunmasından dolayı SFY çoğu zaman tercih edilmektedir. Matematik ve fizik problemleri sürekli ve çok değişkenli yapıdadır. Değişkenlerin belirli değerleri için fonksiyon değerleri bulunabilir.

Bununla birlikte, bir fonksiyon sadece bir takım ayrık noktalarda da belirlenmiş olabilir.

Bu durumda, sonlu fark matematiği kullanılarak bilinmeyen noktalardaki fonksiyonun değeri için iyi bir tahmin yapılabilir. Bu nedenle, SFY doğrudan çözüm yöntemleri içerisinde yer alır. Sözü edilen sayısal çözüm yöntemleri üzerine günümüzde sayısız araştırma mevcuttur. Bu bölümde, araştırmalardan özellikle yöntemlerin ilk uygulamalarına yer verilmiştir.

SFY ile dalga denklemi modelleme işlemi 1970’li yıllardan itibaren birçok araştırmacı tarafından incelenmiştir. Yapılan bu çalışmalar arasında, Alterman ve Karal (1968), elastik dalga denklemini SFY kullanarak katmanlı ortam için hesaplayarak Rayleigh dalgalarının değişimini incelemiştir. Alterman ve Karal’ın (1968) çalışmasından sonra SFY, sismik modelleme çalışmaları için önemli bir araç haline gelmiştir. Boore (1972), SFY kullanılarak katmanlı ortamda sismik dalga yayılımını modellemiştir. Alford vd.

(1974), akustik dalga denklemini kullanarak SFY’nin doğruluğunu incelemiş ve örnekleme aralığının yeterince küçük seçilmemesi durumunda ağ dispersiyonu oluşacağını, duyarlı sonucun elde edilebilmesi için kaynak dalga boyunun en az on ağ

(17)

6

aralığı kadar olması gerektiğini vurgulamıştır. Kelly vd. (1976), elastik dalga denklemini kullanarak farklı jeolojik modeller için yatay ve düşey dalga alanı kesitlerini elde etmiş, sınırlarda Dirichlet ve Neumann sınır şartlarını kullanmıştır. Madariaga (1976), aşırtmalı ağ (staggered grid) sonlu farklar algoritmasını geliştirerek SFY’ne yeni bir yaklaşım getirerek bu yöntemi genişleyen dairesel kırıkların modellenmesinde kullanmıştır. Reynolds (1978), sınırlarda uç yansımaları engelleyen saydam (transparent) sınır şartının üstünlüğünü göstermiştir. Virieux (1984, 1986), iki-boyutta (2B) dalga yayılımı modellemesinde aşırtmalı ağ yaklaşımını uygulamıştır. İlk olarak, tekdüze olmayan bir ortamda SH dalga yayılımını hız ve gerilme bileşenlerine bağlı olarak aşırtmalı ağ üzerinde modellemiş, daha sonra da aynı yaklaşımı tekdüze olmayan bir ortamda P-SV dalga yayılımının modellenmesi problemine uygulamıştır. Virieux (1984, 1986) çalışmalarında kullandıkları ağın yatay ve düşey aralıklarının birbirinden farklı olması durumunda kararlılık şartını incelemiş ve bir yaklaşımda bulunmuştur.

Mufti (1985), SFY’ni ağ aralıklarının sürekli değişken olması durumuna uygulamıştır.

Levander (1988), P-SV dalga yayılımını SFY ile modellemiştir. Frankel ve Vidale (1992), SFY’ni üç boyutta dalga yayılımının modellemesinde kullanmış ve yorumlanmış bir yer modeli üzerinde çalışmıştır. Oprsal ve Zahradnik (1999), elastik dalga denkleminin SFY ile modellemesini düzensiz ağ aralıkları kullanarak gerçekleştirmiştir. Clayton ve Engquist (1977), akustik ve elastik dalga yayılımı modellemesinde, kenar yansımalarını engelleyen yutucu sınır koşullarını (absorbing boundary conditions) kullanmıştır. Jianfeng (1997), düzensiz dörtgen eleman (Quadrangle-grid) kullanarak elastik dalga denkleminin SFY ile benzetimlerini (simulasyon) gerçekleştirmiştir.

Bir diğer sayısal hesaplama yöntemi olan SEY, kısmi diferansiyel denklem veya enerji teoremi ile tanımlanan fiziksel bir problemi çözmek için kullanılan sayısal bir yöntemdir ve ilk olarak Zienkiewich ve Cheung (1965) tarafından kullanılmıştır. SEY, fizik ve mühendislikte karşılaşılan birçok problemin çözümünde kullanılan en yaygın ve etkin sayısal yöntemlerden biridir. Matematikçilerden ziyade daha çok mühendisler tarafından geliştirilen SEY, ilk olarak yapı analizinde kullanılmaya başlanmıştır.

Yöntemin kullanımına ilişkin ilk çalışmalar Hrennikoff (1941) ve McHenry (1943) tarafından gerçekleştirilmiştir. Turner vd. (1956) üçgen eleman için sıkılık dizeyini

(18)

7

oluşturmuştur. "Sonlu Eleman (finite element)" terimi ilk defa Clough (1960) tarafından kullanılmıştır. Turner vd. (1960) geometrik olarak doğrusal olmayan problemler için bir çözüm tekniği geliştirmiştir. SEY ile duraylılık analizi ilk olarak Martin (1965) tarafından tartışılmıştır. Statik problemlerin yanı sıra dinamik problemlerde SEY ile incelenmeye başlanmıştır (Zienkiewicz ve Cheung 1965, Koening ve Davids 1969).

Courant (1943), bölgesel sürekli doğrusal yaklaşım kullanarak burulma problemi için çözüm üretmiştir. Yapı alanı dışındaki problemlerin SEY ile çözümü 1960'lı yıllarda başlamıştır. Zienkiewicz ve Cheung (1965), SEY ile Poisson denklemini çözmüştür.

Doctors (1970) ise metodu potansiyel akışa uygulamıştır. Sarma vd. (1998), SEY ile elastik dalga denkleminin modellenmesinde kenar yansımaların etkisini ve sınır şartlarını incelemişlerdir. Dauksher (1998), skaler ve elastik dalga denklemini Chebyshev-sonlu eleman yöntemini kullanarak modellemiştir. Ayrıca Dauksher bu çalışmasında dalga yayılımı sırasında oluşan dispersiyon olayını da ayrıntılı ele almıştır.

Dumbser ve Kaser (2000), Galerkin yöntemiyle elastik dalga denkleminin SEY ile modellenmesini gerçekleştirmiştir. Alberty vd. (2002), MATLAB programlama dilini kullanarak doğrusal elastisite probleminin sayısal çözümünü SEY ile gerçekleştirmiş ve hesaplamalarda Drichlet ve Neumann sınır şartlarını kullanmıştır.

Melez yöntemle sayısal çözüm işlemi son on yıl içerisinde gelişme göstermesine karşın araştırma ve uygulama sayısı son derece sınırlıdır. Bu yöntemi farklı problemlere uygulayan araştırmacılar arasında, Beilina (2003), SFY ve SEY’ni birleştirerek elastik dalga yayılımını incelemiştir. Ma vd. (2004), SEY ve Staggered-Grid SFY yöntemlerini karşılaştırarak P-SV elastik dalga yayılımını incelemiştir. Abdijalilov (2005), SEY ve zaman ortamı SFY kullanarak elektromanyetik kuramın temel denklemleri olan Maxwell denkleminin sayısal çözümlerini yapmıştır. Beilina ve Shishlenin (2006), zaman ortamında akustik dalga denklemi için SFY – SEY ile Gel’fand-Levitan-Krein (GLK) yöntemini kullanarak ayrı ayrı çözümlerini gerçekleştirmiştir. Wang ve Duyn (2008), zaman ortamında SFY ve SEY’ni bir arada kullanarak elektromanyetik radyo frekansı benzetimleriyle insandaki beyin hücrelerini incelemiştir.

(19)

8

Günümüzde SFY ve SEY’leri ayrıntılı olarak incelenen ve özelliklerinin iyi bilinmesinden ötürü klasik sayısal yöntemler olarak tarif edilmektedir. Eğilim farklı tekniklerin üstün yönlerinin bir arada kullanılarak mühendislik problemlerine daha gerçekçi ve hızlı çözümler sunma yönündedir. Bu bakımdan Melez algoritmalar günümüzün popüler araştırma konularından birini oluşturmaktadır.

(20)

9 3. SONLU FARK YÖNTEMİ

Günümüzün hızlı hesaplayıcıları, analitik hesaplamanın zor olduğu karmaşık problemlerin sayısal hesaplanmasını kolaylaştırmıştır. SFY, diferansiyel denklemlerin sayısal çözümünde kullanılan ilk yöntemlerden biridir. İkinci bölümde, yaygın olarak kullanılan SFY’nin gelişimi ve ilk uygulamalardan bahsedilmişti. Bu bölümde ise yöntemin elastik dalga yayılımının sayısal hesaplanmasındaki matematiksel ifadelerinin elde edilmesi gösterilmiştir.

SFY, analitik türev operatörünün sayısallaştırılmasına dayanır. Kendisi ve türevleri her noktada sürekli olan bir u(x) fonksiyonunun herhangi bir x0 noktasındaki türevi, fonksiyonun o noktadaki eğimine eşittir ve,

x x u x x u dx

u du

x x x x

x Δ

− Δ

= +

= = Δ

=

) ( ) lim (

|

|' 0 0

0 0

0 (3.1)

şeklinde tanımlanır. (3.1) bağıntısında verilen ifade (3.2) ile verilen Taylor seri açılımında kullanılarak istenilen türev mertebesine kadar elde edilebilir.

i n n

n

n i

x u n

x x x

u ⎟⎟

⎜⎜ ⎞

− ∂

=

=0 !

) ) (

( (3.2)

(3.2) ile verilen Taylor serisinin x x= i+1 ve x x= i1noktaları için açık ifadeleri (3.3) ve (3.4) bağıntıları ile kolaylıkla yazılabilmesi yanında farklı türev ifadelerinin de türetilmesine imkan sağlar.

! ...

3 ) (

! 2

) (

3 3 3 2

2 2

1 ⎟⎟⎠ +

⎜⎜ ⎞

∂ + Δ

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

∂ + Δ

⎟⎠

⎜ ⎞

∂ Δ ∂ +

+ =

i i i

i

i x

u x

x u x

x x u u

u (3.3)

(21)

10

! ...

3 ) (

! 2

) (

3 3 3 2

2 2

1 ⎟⎟⎠ +

⎜⎜ ⎞

− Δ

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

∂ + Δ

⎟⎠

⎜ ⎞

∂ Δ ∂

=

i i i

i

i x

u x

x u x

x x u u

u (3.4)

Şekil 3.1’de temel sonlu fark yaklaşımları gösterilmiştir. (3.3) ve (3.4) bağıntılarındaki Taylor açılımları kullanıldıktan sonra gerekli düzenlemeler yapılarak limit operatörü kaldırılırsa,

Şekil 3.1 Sonlu farklar türev yaklaşımı

x u x u

x O x u x x u dx x du

u i i

Δ

≈ − Δ Δ +

− Δ

= +

= ( ) ( ) ( ) +1

) (

' (3.5)

şeklinde sayısal türev tanımlanabilir (Moczo vd 2004). (3.5) ifadesi İleri Sonlu Fark olarak adlandırılır. O(Δ x) terimi katkılarının küçük olduğu varsayılan yüksek mertebeli terimleri gösterir. Benzer şekilde Geri Sonlu Fark ifadesi ise,

x u x u

x O x x u x u dx x du

u i i

Δ

≈ − Δ Δ +

Δ

= −

= ( ) ( ) ( ) −1

) (

' (3.6)

şeklinde elde edilir. Sayısal türevdeki hata miktarını azaltmak için Merkezi Fark ifadesi kullanılır ve,

(22)

11

x u x u

x O x x u x x u dx x du

u i i

Δ

≈ − Δ Δ +

Δ

− Δ

= +

= +

) 2 2 (

) (

) ) (

(

' 2 1 1 (3.7)

şeklinde tanımlanır (Moczo vd. 2004). Merkezi fark yaklaşımında ikinci dereceden bir hata elde edilirken diğer iki yaklaşımda hata derecesi birinci derecedendir.

2B sonlu ağ yapısı, x yönünde her birimin büyüklüğü Δx olan M adet parçaya ve z yönünde her birimin büyüklüğü zΔ olan N adet parçaya ayrılmasıyla oluşturulur (Şekil 3.2). Sonlu farklar ağı düzenli (structured) bir yapıdadır. Ağın yatay ve düşey yöndeki aralıkları genelde birbirine eşit alınır (Alford vd. 1974, Madariaga 1976, Virieux 1984, 1986, Mufti 1985, Moczo vd. 2004). Ağ aralıkları birbirinden farklı olarakta tanımlanabilir (Oprsal ve Zahradnik 1999, Mufti 1985). SFY, ayrık noktalarda tanımlanan ve birbirleriyle ilişkili noktalardaki fonksiyon değerlerinin veya türevlerin hesaplanmasında kolaylık sağlayan bir sayısal çözüm yöntemidir.

Şekil 3.2 Sonlu farklar ağı

Şekil 3.2’de görüldüğü gibi, ağ üzerindeki herhangi bir ( , )i j noktasına ağ noktası adı verilir. Bu noktaya göre (i+1, )j ve (i−1, )j sağında ve solunda bulunan, ( ,i j+ ve 1) ( ,i j− noktaları ise üstünde ve altında bulunan noktaları temsil eder. Kullanılan ağın 1)

(23)

12

düzenli ağ olması durumunda ağ noktaları kolaylıkla ifade edilebilir. Örneğin, şekil 3.2’deki gibi bir ağ için, ağ noktaları izleyen şekildedir.

i

i i x

x = .Δ i = 0,1,2,...,M

i

i j z

z = .Δ j = 0,1,2,...,N t

n

t= .Δ t = 0,1,2,...

SFY açık (explicit) ve kapalı (implicit) yaklaşım olarak ikiye ayrılır. Açık yaklaşımda, zaman veya mekanın bir sonraki adım değerini hesaplamak için bir önceki zaman veya komşu nokta değerlerinden yararlanılır. İşlem ardışık olarak sürdürülerek sonlu ağ üzerindeki her bir nokta değeri hesaplanır (Madariaga 1976, Virieux 1984 ve 1986, Moczo vd. 2004). Buna karşılık kapalı yaklaşımda ise bir önceki zamana ait bilinen tüm uzaysal noktalardaki değerlerden bir sonraki zamana ait noktalar aynı anda dizey tersleme yöntemiyle elde edilir (Emerman vd. 1982, Mufti 1985).

Açık yaklaşım, Δt zaman örnekleme aralığının geniş seçilmesi durumunda kararsız yapılar oluşturabilir. Bu durumda kapalı yaklaşımdan daha etkin çözümler elde edilebilir. Açık ve kapalı yaklaşım özellikleri çizelge 3.1’deki gibi özetlenebilir.

Çizelge 3.1 Açık ve kapalı SFY’nin karşılaştırılması

Açık Yaklaşım (explicit) Kapalı Yaklaşım (implicit)

Basit ve anlaşılması kolaydır. Δt zaman adımı daha geniş seçilebilir.

Böylece hedeflenen zamana daha çabuk ulaşılır.

Programlanması oldukça kolaydır. Açık yaklaşıma göre daha karmaşıktır ve programlanması daha zordur.

Doğruluk ve kararlılığı sağlamak için çok küçük zaman adımları kullanmak gerekir.

Her bir zaman adımı için çok fazla hesaplama yükü gerektirir.

(24)

13

3.1 2B Elastik Dalga Denkleminin Sonlu Fark İfadesi

SFY ile dalga denklemi modellemesi 1970’li yıllardan itibaren bir çok araştırmacı tarafından ele alınmıştır. Yönteme ilişkin ilk çalışmalar öncel araştırmalar kısmında özetlenmiştir. Bu bölümde ise iki-boyutta elastik dalga denkleminin SFY ile hesaplanmasında, gerekli çözüm koşullarına değinilecektir.

EK 1’de verilen EK 1 (1.15) ifadesinden 2B elastik dalga denkleminin elde edilmesi için y-yönünde değişimin olmadığı varsayımı yapılarak izleyen eşitlik yazılabilir.

z t x

u

∂ +∂

= ∂

11 13

2

2 σ σ

ρ

(3.8)

z t x

w

∂ +∂

= ∂

31 33

2

2 σ σ

ρ

EK 1'de verilen EK 1 (1.16) ifadesindeki ilgili gerilme bileşenlerinin yerdeğiştirmeler cinsinden ifadeleri,

z w x

u

∂ + ∂

∂ + ∂

= λ μ λ

σ11 ( 2 )

x u z

w

∂ + ∂

∂ + ∂

= λ μ λ

σ33 ( 2 ) (3.9)

⎟⎠

∂ +∂

⎜⎝

= ∂

= x

w z μ u σ σ13 31

şeklinde yazılabilir. Burada u ve w sırasıyla yatay ve düşey yöndeki yerdeğiştirmeleri temsil eder. (3.9) ifadeleri (3.8) denkleminde yerine yazılırsa, (3.10) ile verilen kartezyen koordinatlarda 2B elastik dalga denklemi elde edilir.

(25)

14

2 2 2 2

2 2 2

2

u u u w

t x z x z

λ μ μ λ μ

ρ ρ ρ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

∂ + ∂ ∂ + ∂

=⎜ ⎟ +⎜ ⎟ +⎜ ⎟

∂ ⎝ ⎠ ∂ ⎝ ⎠ ∂ ⎝ ⎠ ∂ ∂

(3.10)

2 2 2 2

2 2 2

2

w w w u

t z x x z

λ μ μ λ μ

ρ ρ ρ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

∂∂ =⎜⎝ + ⎟⎠ ∂∂ +⎜⎝ ⎟⎠ ∂∂ +⎜⎝ + ⎟⎠ ∂ ∂∂

(3.10) ifadelerinde kısmi türevler yerine merkezi fark yaklaşımı kullanılarak denklem tekrar düzenlenirse (Boore 1972, Dablain 1986), yatay ve düşey yerdeğiştirmeler için,

) , , ( ) 2

( ) (

) 2

( 2

1 , ,

1 3 , 1 , 1 1

, 1 1

, 1 1

, 2 1

, 1 ,

, 1 1 1, ,

1,

n j i S u

u u

q w

w w

w q

u u

u q u

u u

j ni j ni j

ni j

ni j ni j ni j

ni

j ni j ni j ni j

n i j ni j n i

+ +

− +

+

+ +

− +

=

+

+

+ +

+

+ +

) , , ( ) 2

( ) (

) 2

( 2

1 , , 1 1 , 1 , 1 1 , 1 1 , 1 1 , 2 1

, 1 ,

, 3 1 1, ,

1,

n j i S w

w w

q u

u u

u q

w w w

q w

w w

j ni j ni j

ni j

ni j ni j ni j ni

j ni j ni j ni j

n i j ni j n i

+ +

+

+

+ +

+

=

+

+

+ + +

+ +

(3.11)

eşitlikleri elde edilir. Bu ifadelerde yer alan q1, q2 ve q3 değişkenleri:

2 2

1 2

Vp t

q x

= Δ

Δ

2 2

2 2

( )

( )

p s

V V t

q x z

− Δ

= Δ Δ 3 Vs2 2t2

q z

= Δ

Δ

ile verilir. (3.11) ifadelerindeki S(i,j,n) kaynak terimi, kaynağın yerleştirildiği (i,j) düğümündeki kaynak etkisini gösterir. (3.10) ifadesindeki türev terimleri için uygun farklı türev tanımları kullanılarak denklem ayrık yapıda ifade edilebilir (Virieux 1984 ve 1986, Levander 1988, Graves 1996, Pitarka 1999, Moczo vd. 2004).

3.2 Sayısal Çözüm Koşulları

Akustik ve elastik dalga denklemlerinin sayısal çözümünde uzaysal örnekleme aralıkları (Δx,Δ ) ve zaman örnekleme aralığı (z Δt) seçimi bazı koşullara bağlıdır. Bu koşullar;

(26)

15

başlangıç ve sınır koşulları, kararlılık koşulu ve ağ dispersiyonu’dur. Bu koşulların modelleme sırasında uygun olarak tanımlanması gerekir, aksi takdirde incelenen modelin vereceği sismik yanıt farklı olur.

3.2.1 Başlangıç ve sınır koşulları

Elastik dalga denklemi hiperbolik türde bir diferansiyel denklemdir ve başlangıç, sınır koşulları içerir. Başlangıç anında (t=0) ortamın dengede olduğu varsayılarak tüm hızlar sıfıra eşit kabul edilebilir. (3.11) denkleminde görüldüğü gibi, 2B elastik dalga denkleminin SFY ile hesaplanabilmesi için t=0 ve t =Δt zamanlarındaki değerlerin tanımlanması gerekir.

t = 0 için ui jn u0i,j,n ,

, = (n = 1) , t

t =−Δ ise sıfır başlangıç değeri olarak kullanılır.

Dalga problemleri sonsuz ortamlar için çözülür, fakat hesaplayıcılarda çözüm sınırlı bir ortamda gerçekleştirilir. Bu nedenle, bilgisayar çözümlemeleri için sonsuz ortamın sınırlandırılması gerekir. 2B modelleme işleminde oluşturulan yer modelleri yatay ve düşey olarak sınırlandırılır. Genellikle model sınırlarında Neumann serbest yüzey sınır şartı ve Dirichlet katı yüzey sınır şartı kullanılır. Sözü edilen bu iki sınır şartı için i = 1,2,3,…,M ve j = 1,2,3,…,N olmak üzere,

0 0 0

0

, ,

, , , 1 ,

, , 1

=

=

=

=

n N i

n j M

n i

n j

u u u u

(Dirichlet sınır şartı) (3.12)

ve

(27)

16 0

0 0

0

, ,

, , , 1 ,

, , 1

∂ =

∂ =

∂ =

∂ =

z u

x u

z u

x u

n N i

n j M

n i

n j

(Neumann sınır şartı) (3.13)

şeklinde tanımlanır (Kelly vd. 1976).

Dalga yayılımının sayısal çözümünde karşılaşılan en önemli problemlerden biri de hesaplama ağ alanının sınırlarında oluşan yansımalardır. Şekil 3.3.a’daki gibi bir modelin sınırlarına ulaşan dalga, kullanılan sınır şartına göre ya sönümlenir ya da tekrar geri döner. Neumann ve Dirichlet sınır şartları kullanıldığında, sınırlarda yansıma katsayısı R=1 olmaktadır. Diğer bir ifadeyle, sınıra gelen dalga ile sınırdan yansıyan dalganın genliği aynı olmakta ve bunun neticesinde kenar yansımaları oluşarak hesaplamaları olumsuz etkilemektedir (Şekil 3.3.b) (Clayton ve Engquist 1977, Reynolds 1978, Higdon 1991). Doğru çözümler elde edebilmek için bu yansımaların ihmal edilebilir düzeyde tutulması gerekmektedir. Sınır etkilerinin önlenmesi için uygulanabilecek önemli bir yöntem, hesaplama alanını genişleterek model kenarlarından dalgaların yayılımını geciktirmektir. Ağ boyutları yeteri kadar büyük seçilirse, sınırlardan yansıma elde edilmeden hesaplama yapılabilir ve sınır yansımalarının görüldüğü kısımlar atılarak doğru dalga alanı elde edilebilir. Fakat bu çözüm yöntemi hesaplama zamanını artıran bir yöntemdir. Bu problemin üstesinden gelmek için kenarlarda yansımaların olmaması, yani yansıma katsayısının R=0 olması istenir. Reynolds (1978) saydam (transparent) sınır şartı adını verdiği yöntemi uygulayarak bu problemin üstesinden büyük ölçüde gelmiştir (Şekil 3.3.c).

(28)

17 Şekil 3.3 Sonlu model ağda sınır koşulları

a. Model kenarlarındaki sınır koşulları, b. Dirichlet ve Neumann sınır koşulu, c. Saydam sınır koşulu

3.2.1.1 Saydam sınır koşulları

Saydam sınır şartı yaklaşımında, sınır bölgesindeki dalga denklemi yerine yansımayı önleyici tek yönlü denklemler kullanılarak kenarlardan dalganın yayılması ve hesaplama alanı içindeki değerleri etkilemesi önlenmeye çalışılır. Saydam sınır koşulları modelin sağ, sol, alt ve üst tarafı olmak üzere dört kenarı ve dört köşe noktası için belirlenir (Şekil 3.4). Modelin sol kenarı için,

1 0

p p

p u

V t x V t x

⎛ ∂ − ∂ ⎞⎛ ∂ − ∂ ⎞ =

⎜ ⎟⎜ ⎟

⎜ ∂ ∂ ⎠⎜ ∂ ∂ ⎠

⎝ ⎝ x= 00, ≤zzN (3.14)

sağ kenarı için,

1 0

p p

p u

V t x V t x

⎛ ∂ + ∂ ⎞⎛ ∂ + ∂ ⎞ =

⎜ ⎟⎜ ⎟

⎜ ∂ ∂ ⎠⎜ ∂ ∂ ⎠

⎝ ⎝ x= xM,0≤zzN (3.15)

alt kenarı için,

(29)

18

1 0

p p

p u

V t z V t z

⎛ ∂ + ∂ ⎞⎛ ∂ + ∂ ⎞ =

⎜ ⎟⎜ ⎟

⎜ ∂ ∂ ⎠⎜ ∂ ∂ ⎠

⎝ ⎝ x=zN,0≤xxM (3.16)

şeklinde verilir (Reynolds 1978). Burada p t

p V x

= Δ

Δ olarak ifade edilir.

Bu saydam sınır koşullarının sonlu fark ifadelerinin elde edilmesinde, modelin üst kenarı serbest yüzey olarak tanımlanır ve serbest yüzey sınır koşulları uygulanır.

Serbest yüzey sınır koşulu için sonlu fark yaklaşımı; z=0 doğrultusu boyunca gerilme bileşenlerinin sıfır yapılmasıdır. Serbest yüzey sınır koşulları, serbest yüzey üzerinde düşey yönlü normal gerilme bileşeninin sıfıra eşitlenmesi ve diğer gerilme bileşenlerinin sınırda negatif olması şeklinde gerçekleştirilir. Modelin üst kenarı için sonlu fark ifadesi,

0 , 1 0

, 1 1

, 1

, = + +ni

ni ni

ni u w w

u

(3.17)

2

, 1 ,1 1 2 ( 1,0 1,0)

n n s n n

i i i i

p

w w V u u

V +

⎞ ⎤

⎡ ⎛ ⎟ ⎥

= + −⎢⎢⎣ ⎜⎜⎝ ⎟⎠ ⎦⎥ −

ile verilir (Reynolds, 1978). Modelin sol ve sağ kenarları için (3.14) ve (3.15) ifadeleri kullanılarak, sınır koşullarının SFY ifadeleri,

1 1 1 1

0, 0, 1, 1, ( 1, 0, 2, 1, )

n n n n n n n n

j j j j j j j j

u + =u +uu + p uuu +u

(3.18)

1 1 1 1

0, 0, 1, 1, ( 1, 0, 2, 1, )

n n n n n n n n

j j j j j j j j

w + =w +ww + p www +w

(30)

19

1 1 1 1

, , 1, 1, ( , 1, 1, 2, )

n n n n n n n n

M j M j M j M j M j M j M j M j

u + =u +u u p uu u +u

(3.19)

1 1 1 1

, , 1, 1, ( , 1, 1, 2, )

n n n n n n n n

M j M j M j M j M j M j M j M j

w + =w +w w p ww w +w

Modelin alt kenarı için ise (3.16) ifadesi kullanılarak, sınır koşullarının SFY ifadeleri,

1 1 1 1

, , , 1 , 1 ( , , 1 , 1 , 2)

n n n n n n n n

i N i N i N i N i N i N i N i N

u + =u +u u p uu u +u

(3.20)

1 1 1 1

, , , 1 , 1 ( , , 1 , 1 , 2)

n n n n n n n n

i N i N i N i N i N i N i N i N

w + =w +w w p ww w +w

şeklinde verilir. Modelin dört ayrı köşe noktalarındaki sınır koşulları ise,

1

0,0 0,0 ( 1,1 0,0)

n n n n

u + =u +p uu

1

0, 0, ( 1, 1 0, )

n n n n

N N N N

u + =u +p u u (3.21)

1

,0 ,0 ( 1,1 ,0)

n n n n

M M M M

u + =u +p u u

1

, , ( 1, 1 , )

n n n n

M N M N M N M N

u + =u +p u u

1

0,0 0,0 ( 1,1 0,0)

n n n n

w + =w +p ww

1

0, 0, ( 1, 1 0, )

n n n n

N N N N

w + =w +p w w (3.22)

1

,0 ,0 ( 1,1 ,0)

n n n n

M M M M

w + =w + p w w

1

, , ( 1, 1 , )

n n n n

M N M N M N M N

w + =w +p w w

şeklinde ifade edilir (Reynolds 1978).

Şekil

Updating...

Referanslar

Benzer konular :