Örnek...2 : Örnek...1 : cos(4x 60)=cos(2x) denkleminin çözüm kümesini bulunuz? Örnek...3 : TRİGONOMETRİ 2. A) cos( x)=cos α DENKLEMİNİN ÇÖZÜMÜ

(1)

TRİGONOMETRİK DENKLEMLER TRİGONOMETRİK DENKLEMLER

İçinde bilinmeyenin trigonometrik

fonksiyonları bulunan, bilinmeyenin bazı değerleri için doğru olan eşitliklere, trigonometrik denklem denir. Denklemi sağlayan değerlere, denklemin kökleri;

köklerin oluşturduğu kümeye de çözüm kümesi denir. Çözüm kümesini bulmak için yapılan işlemlere de denklemi çözme denir.

A)

A) cos ( x)=cos α DENKLEMİNİN ÇÖZÜMÜ DENKLEMİNİN ÇÖZÜMÜ

Birim çember üzerinde standart

pozisyonda α radyanlık yayın bitim noktası C, −α radyanlık yayın bitim noktası D olsun. Şekli inceleyiniz.

cosx= cos α ise k bir tam sayı olmak üzere, denklemin çözüm kümesi

aşağıdaki gibi bulunur.

Ç= {x: x= α + k .2π veya x= −α + k .2π }

GENEL OLARAK GENEL OLARAK

cos(f (x))=cos(g(x))→

{

^f(x)= g(x)+k .2π f(x)=−g(x)+k .2π

Örnek...1 : Örnek...1 :

cos(4x− 60)= cos(2x)

denkleminin çözüm kümesini bulunuz?

Örnek...2 : Örnek...2 :

cos(2x+ 40)= −

√

³

2

denkleminin çözüm kümesini bulunuz

B) B) sin (x)=sin α DENKLEMİNİN ÇÖZÜMÜ DENKLEMİNİN ÇÖZÜMÜ

pozisyonda α radyanlık yayın bitim noktası C, π−α radyanlık yayın bitim noktası D olsun. Şekli inceleyiniz.

sinx= sin α ise k bir tam sayı olmak üzere, denklemin çözüm kümesi aşağıdaki gibi bulunur.

Ç= {x: x= α + k .2π veya x= π − α + k .2π }

GENEL OLARAK GENEL OLARAK

sin(f (x))=sin (g(x))→

{

f(x)= g(x)+k.2 π f(x)=π−g(x)+k .2 π

Örnek...3 : Örnek...3 :

sin(5x− 120)=

√

³

2 denkleminin çözüm kümesini bulunuz

www.matbaz.com

y

Kosinüs ekseni C

x

K O

D

y Sinüs ekseni

C

K O D

π−α x

(2)

Örnek...4 : Örnek...4 :

sin(6x− 40)= cos(2x+ 20) denkleminin çözüm kümesini bulunuz?

Örnek...5 : Örnek...5 :

sin(2x+ 40)= − sinx

Örnek...6 : Örnek...6 :

sin(x)= − 1

denkleminin (0,360) aralığında kaç farklı çözümü vardır?

C)

C) tan ( x)=tan α DENKLEMİNİN ÇÖZÜMÜ DENKLEMİNİN ÇÖZÜMÜ

pozisyonda α radyanlık yayın bitim noktası C, π +α radyanlık yayın bitim noktası E olsun. x= 1 doğrusun a tanjant ekseni dendiğini öğrenmiştik. Orijinden ve C ( ve E) noktasında n geçen doğrunun tanjant eksenini kestiği nokta D olsun.

İnceleyiniz.

tanx= tan α ise k bir tam sayı olmak üzere

Ç= {x: x= α + k .π }

GENEL OLARAK GENEL OLARAK

tan(f (x))=tan(g(x))→

{

^f(x)= g(x)+k . π

Örnek...7 : Örnek...7 :

tan(x)=

√

³

Örnek...8 : Örnek...8 :

tan(5x− 20^o)= tan(3x+ 30^o) denkleminin çözüm kümesini bulunuz?

www.matbaz.com Tanjant ekseni

D x y

A C

E

O

(3)

D)

D) cot ( x)=cot α DENKLEMİNİN ÇÖZÜMÜ DENKLEMİNİN ÇÖZÜMÜ

cotx= cot α ise k bir tam sayı olmak üzere

Ç= {x: x= α + k .π }

GENEL OLARAK GENEL OLARAK

cot(f (x))=cot (g(x))→

{

^f(x)= g(x)+k . π

Örnek...9 : Örnek...9 :

cot(3x)= − 1 denkleminin çözüm kümesini bulunuz

Örnek...10 : Örnek...10 :

Cot(3x)= tan(2x) denkleminin çözüm kümesini bulunuz

Örnek...11 : Örnek...11 :

tan2x+

√

²^−2sin2x

cos2x =1 denkleminin (0,90) arasındaki çözümünü kaçtır?

Örnek...12 : Örnek...12 :

tanx+ cotx = 4cos2x denklemini sağlayan x in pozitif en küçük değeri kaçtır?

Örnek...13 : Örnek...13 :

2cosx<cotx eşitsizliğinin (0,90) aralığında çözüm kümesini bulunuz

www.matbaz.com

(4)

a•b≠0,a, b∈ℝ olmak üzere

asinx+ bcosx= c biçimindeki denklemlere klasik denklemler denir. Bu denklemler b ye bölünüp a

bsinx+cosx=c

b biçimine getirildikten sonra (cosx katsayısı 1 yapıldıktan sonra) tan(θ)=a

b dönüşü ile beraber yay toplam fark bağıntıları kullanılarak çözülür.

Uyarı f(x)=msinx +ncosx fonksiyonu x in gerçek sayı değerleri için

[−

√

^m²⁺ⁿ²^,

√

^m²⁺ⁿ²] aralığında değerler alır

Örnek...14 : Örnek...14 :

√

^2sinx⁺

√

^3cosx=3 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.

Örnek...15 : Örnek...15 :

√

^3sinx^+cosx=

√

2 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.

Örnek...16 : Örnek...16 :

3sinx+4cosx=5 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.

f(sinx , cosx)=0 denkleminde sinx ve cosx ifadelerinin dereceleri eşitse bu tür denklemlere homojen trigonometrik denklem denir.Bu tür denklemlerde eşitliğin her iki yanı cosx in uygun kuvvetine bölünerek cebirsel hale getirilebilir

Örnek...17 : Örnek...17 :

sin²x−2 cosx•sinx−8cos²x=0 olduğuna göre tanx değeri kaça eşit olabilir?

Örnek...18 : Örnek...18 :

sin²x+(

√

³+1)cosx•sinx+

√

^3cos²^x=0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.

www.matbaz.com

(5)

DEĞERLENDİRME DEĞERLENDİRME

1) cos

²

2x−sin

²

2x=sinx denkleminin (0,180) arasında kaç kökü vardır?

2) tan(4x−20).tan(2x)=1 denkleminin çözüm kümesini bulunuz?

3) secx=2 denkleminin çözüm kümesini bulunuz?

4) 2cos

²

x−3cosx−2=0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz?

6) sinx−tan60.cosx=1 denkleminin en küçük kökü kaçtır?

7) sinx+ cosx= 1 denkleminin kökler toplamı kaçtır?

8) 1

1−cosx+ 1 1+cosx=4

3 denkleminin (0,500) aralığında kaç kökü vardır?

9) cos

³

x+2sin

³

x= 3cosxsin

²

x denklemini sağlayan dar açı kaç derecedir?

www.matbaz.com