4
II. BÖLÜM: FONKSİYONLARIN PARAMETRİK OLMAYAN NOKTA TAHMİNİ
II.1 Giriş
Bu bölümde tek değişkenli parametrik olmayan tahmin yöntemleri verilecektir. Sağ kalım süresi analizi için parametrik olmayan tahmin yöntemleri ve test istatistikleri çoğu kez kullanışlı ve yeterlidir. Zira bu tür analiz ve testler örneklemlerin seçildikleri kitlelerin dağılımına ilişkin varsayımların sağlanmasına ihtiyaç duymazlar. Bu yüzdendir ki sağ kalım süresinin dağılımı ne olursa olsun analizlerde kolaylıkla kullanılabilirler. Parametrik olmayan tahmin ve test yöntemleri küçük hacimli örneklemlerde de rahatlıkla kullanılabilir.
Bu bölümde sağ kalım olasılığı. hazard fonksiyonu ve birikimli hazard fonksiyonlarının parametrik olmayana tahmin edicileri tartışılacaktır.
II.2 Sağ Kalım ya da Güvenilirlik Fonksiyonunun Tahmini II.2.1 Kaplan-Meier Tahmini
Öncelikle sağ kalım süreleri küçükten büyüğe sıralanır ve sağ kalım fonksiyonunun Kaplan Meier tahmin edicisi.
𝑆𝐾𝑀(𝑡𝑘) = ∏ (𝑛𝑗−𝑑𝑗)
𝑛𝑗
𝑘𝑗=1 . 𝑡(𝑗) ≤ 𝑡𝑗 < 𝑡(𝑗+1) ve 𝑘 ≤ 𝑛
eşitliği ile verilir. Burada 𝑛𝑗: 𝑗 anında risk altındaki toplam birim sayısı. 𝑑𝑗: 𝑗 anında ölen ya da bozulan toplam birim sayısı. 𝑡𝑘: 𝑘 anındaki sağ kalım süresini göstermektedir.
II.2.2 Nelson-Aalen Tahmini
Öncelikle sağ kalım süreleri küçükten büyüğe sıralanır ve sağ kalım fonksiyonunun Nelson- Aalen tahmin edicisi.
𝑆𝑁𝐴(𝑡𝑘) = 𝑒𝑥𝑝 [− ∑𝑘𝑗=1∑𝑑𝑖=0𝑗−1(𝑛𝑗− 𝑖)−1] . 𝑡(𝑗) ≤ 𝑡𝑗 < 𝑡(𝑗+1)ve 𝑘 ≤ 𝑛
eşitliği ile verilir. Burada yine 𝑛𝑗: 𝑗 anında risk altındaki toplam birim sayısı. 𝑑𝑗: 𝑗 anında ölen ya da bozulan toplam birim sayısı. 𝑡𝑘: 𝑘 anındaki sağ kalım süresini göstermektedir.
II.2.3 Fleming-Harrington Tahmini
Öncelikle sağ kalım süreleri küçükten büyüğe sıralanır ve sağ kalım fonksiyonunun Flemimg- Harrington tahmin edicisi.
𝑆𝐹𝐻(𝑡𝑘) = 𝑒𝑥𝑝 (− ∑ 𝑑𝑗
𝑛𝑗
𝑘𝑗=1 ) . 𝑡(𝑗) ≤ 𝑡𝑗 < 𝑡(𝑗+1)ve 𝑘 ≤ 𝑛 veya
𝑆𝐹𝐻(𝑡𝑘) = ∏𝑘𝑗=1𝑒𝑥𝑝(−𝑑𝑗/𝑛𝑗). 𝑡(𝑗)≤ 𝑡𝑗 < 𝑡(𝑗+1)ve 𝑘 ≤ 𝑛
5
eşitliği ile verilir. Burada yine 𝑛𝑗: 𝑗 anında risk altındaki toplam birim sayısı. 𝑑𝑗: 𝑗 anında ölen ya da bozulan toplam birim sayısı. 𝑡𝑘: 𝑘 anındaki sağ kalım süresini göstermektedir.
II.3 Birikimli Hazard Fonksiyonunun Tahmini II.3.1 Kaplan-Meier Tahmini
Öncelikle sağ kalım süreleri küçükten büyüğe sıralanır ve birikimli hazard fonksiyonunun Kaplan Meier tahmin edicisi.
𝐻𝐾𝑀(𝑡𝑘) ≅ ∑ 𝑑𝑗
𝑛𝑗
𝑘𝑗=1 . 𝑡(𝑗)≤ 𝑡𝑗 < 𝑡(𝑗+1) ve 𝑘 ≤ 𝑛
eşitliği ile verilir. Burada 𝑛𝑗: 𝑗 anında risk altındaki toplam birim sayısı. 𝑑𝑗: 𝑗 anında ölen ya da bozulan toplam birim sayısı. 𝑡𝑘: 𝑘 anındaki sağ kalım süresini göstermektedir.
II.3.2 Nelson-Aalen Tahmini
Öncelikle sağ kalım süreleri küçükten büyüğe sıralanır ve birikimli hazard fonksiyonunun Nelson-Aalen tahmin edicisi.
𝐻𝑁𝐴(𝑡𝑘) = ∑𝑘𝑗=1∑𝑑𝑖=0𝑗−1(𝑛𝑗 − 𝑖)−1 . 𝑡(𝑗) ≤ 𝑡𝑗 < 𝑡(𝑗+1)ve 𝑘 ≤ 𝑛
eşitliği ile verilir. Burada yine 𝑛𝑗: 𝑗 anında risk altındaki toplam birim sayısı. 𝑑𝑗: 𝑗 anında ölen ya da bozulan toplam birim sayısı. 𝑡𝑘: 𝑘 anındaki sağ kalım süresini göstermektedir.
II.3.3 Fleming-Harrington Tahmini
Öncelikle sağ kalım süreleri küçükten büyüğe sıralanır ve birikimli hazard fonksiyonunun Flemimg-Harrington tahmin edicisi.
𝐻𝐹𝐻(𝑡𝑘) = ∑ 𝑑𝑗
𝑛𝑗
𝑘𝑗=1 . 𝑡(𝑗) ≤ 𝑡𝑗 < 𝑡(𝑗+1)ve 𝑘 ≤ 𝑛
eşitliği ile verilir. Burada yine 𝑛𝑗: 𝑗 anında risk altındaki toplam birim sayısı. 𝑑𝑗: 𝑗 anında ölen ya da bozulan toplam birim sayısı. 𝑡𝑘: 𝑘 anındaki sağ kalım süresini göstermektedir.
II.4 Hazard Fonksiyonunun Tahmini II.4.1 Kaplan-Meier Tahmini
Öncelikle sağ kalım süreleri küçükten büyüğe sıralanır ve hazard fonksiyonunun Kaplan Meier tahmin edicisi.
𝐻𝐾𝑀(𝑡𝑘) ≅𝑑𝑗
𝑛𝑗 . 𝑡(𝑗) ≤ 𝑡𝑗 < 𝑡(𝑗+1) ve 𝑘 ≤ 𝑛
eşitliği ile verilir. Burada 𝑛𝑗: 𝑗 anında risk altındaki toplam birim sayısı. 𝑑𝑗: 𝑗 anında ölen ya da bozulan toplam birim sayısı. 𝑡𝑘: 𝑘 anındaki sağ kalım süresini göstermektedir.
II.4.2 Nelson-Aalen Tahmini
Öncelikle sağ kalım süreleri küçükten büyüğe sıralanır ve hazard fonksiyonunun Nelson-Aalen tahmin edicisi.
6
𝐻𝑁𝐴(𝑡𝑘) = ∑𝑑𝑖=0𝑗−1(𝑛𝑗− 𝑖)−1 . 𝑡(𝑗) ≤ 𝑡𝑗 < 𝑡(𝑗+1)ve 𝑘 ≤ 𝑛
eşitliği ile verilir. Burada yine 𝑛𝑗: 𝑗 anında risk altındaki toplam birim sayısı. 𝑑𝑗: 𝑗 anında ölen ya da bozulan toplam birim sayısı. 𝑡𝑘: 𝑘 anındaki sağ kalım süresini göstermektedir.
II.4.3 Fleming-Harrington Tahmini
Öncelikle sağ kalım süreleri küçükten büyüğe sıralanır ve hazard fonksiyonunun Flemimg- Harrington tahmin edicisi.
𝐻𝐹𝐻(𝑡𝑘) =𝑑𝑗
𝑛𝑗 . 𝑡(𝑗)≤ 𝑡𝑗 < 𝑡(𝑗+1)ve 𝑘 ≤ 𝑛
eşitliği ile verilir. Burada yine 𝑛𝑗: 𝑗 anında risk altındaki toplam birim sayısı. 𝑑𝑗: 𝑗 anında ölen ya da bozulan toplam birim sayısı. 𝑡𝑘: 𝑘 anındaki sağ kalım süresini göstermektedir.
Örnek-II.1 (Sansürsüz veri): Bir ürüne ilişkin sağ kalım süreleri Tablo-II.1’de verildiği gibi gözlemlenmiş olsun.
Tablo-II.1: Örnek-II.1 İçin Sağ Kalım Süreleri (𝑡𝑖. hafta).
17.88; 28.92; 33.00; 41.52; 42.12; 45.60; 48.40; 51.84; 51.96; 54.12;
55.56; 67.80; 68.64; 68.64; 68.88; 84.12; 92.12; 98.64; 105.12; 105.84;
127.92; 128.04; 173.40
Veriye ilişkin güvenilirlik fonksiyonunun: a) KM olasılıklarını. b) NA olasılıklarını ve c) FH olasılıklarını tahmin ediniz. d) KM. NA ve FH tahmin edicilerine dayalı ortanca sağ kalım süresini tahmin ediniz.
Çözüm-II.1: a) KM Tahminleri takipteki tabloda özetlenmiştir.
tj dj nj (nj − dj) (nj − dj)
nj SKM(tk)=∏ (nj−dj)
nj 𝑘𝑗=1
17.88 1 23 22 0.956522 0.956522 28.92 1 22 21 0.954545 0.913043 33.00 1 21 20 0.952381 0.869565 41.52 1 20 19 0.950000 0.826087 42.12 1 19 18 0.947368 0.782609 45.60 1 18 17 0.944444 0.739130 48.40 1 17 16 0.941176 0.695652 51.84 1 16 15 0.937500 0.652174 51.96 1 15 14 0.933333 0.608696 54.12 1 14 13 0.928571 0.565217 55.56 1 13 12 0.923077 0.521739 67.80 1 12 11 0.916667 0.478261 68.64 2 11 9 0.818182 0.391304
68.88 1 9 8 0.888889 0.347826
84.12 1 8 7 0.875000 0.304348
93.12 1 7 6 0.857143 0.260870
98.64 1 6 5 0.833333 0.217391
105.12 1 5 4 0.800000 0.173913
7
105.84 1 4 3 0.750000 0.130435 127.92 1 3 2 0.666667 0.086957 128.04 1 2 1 0.500000 0.043478 173.40 1 1 0 0.000000 0.000000 b) NA Tahminleri takipteki tabloda özetlenmiştir.
tj dj nj ∑ 1 (nj − i)
𝑑𝑗
𝑖=0
∑ ∑ 1
(nj − i)
𝑑𝑗
𝑖=0 𝑘
𝑗=1
SNA(tk)=𝑒{− ∑ ∑
1 (nj−i) 𝑑𝑗 𝑖=0 𝑘
𝑗=1 }
17.88 1 23 0.043478 0.043478 0.957453 28.92 1 22 0.045455 0.088933 0.914907 33.00 1 21 0.047619 0.136552 0.872361 41.52 1 20 0.050000 0.186552 0.829816 42.12 1 19 0.052632 0.239183 0.787270 45.60 1 18 0.055556 0.294739 0.744726 48.40 1 17 0.058824 0.353563 0.702182 51.84 1 16 0.062500 0.416063 0.659639 51.96 1 15 0.066667 0.482729 0.617097 54.12 1 14 0.071429 0.554158 0.574556 55.56 1 13 0.076923 0.631081 0.532016 67.80 1 12 0.083333 0.714414 0.489479 68.64 2 11 0.190909 0.905323 0.404411 68.88 1 9 0.111111 1.016434 0.361883 84.12 1 8 0.125000 1.141434 0.319361 93.12 1 7 0.142857 1.284292 0.276847 98.64 1 6 0.166667 1.450958 0.234346 105.12 1 5 0.200000 1.650958 0.191866 105.84 1 4 0.250000 1.900958 0.149425 127.92 1 3 0.333333 2.234292 0.107068 128.04 1 2 0.500000 2.734292 0.064940 173.40 1 1 1.000000 3.734292 0.023890 c) FH Tahminleri takipteki tabloda özetlenmiştir.
tj dj nj
𝑑𝑗
𝑛𝑗 ∑𝑑𝑗
𝑛𝑗
𝑘
𝑗=1 SFH(tk)=𝑒{− ∑
𝑑𝑗 𝑛𝑗 𝑘 𝑗=1 }
17.88 1 23 0.043478 0.043478 0.957453 28.92 1 22 0.045455 0.088933 0.914907 33.00 1 21 0.047619 0.136552 0.872361 41.52 1 20 0.050000 0.186552 0.829816 42.12 1 19 0.052632 0.239183 0.787270 45.60 1 18 0.055556 0.294739 0.744726 48.40 1 17 0.058824 0.353563 0.702182 51.84 1 16 0.062500 0.416063 0.659639 51.96 1 15 0.066667 0.482729 0.617097 54.12 1 14 0.071429 0.554158 0.574556
8
55.56 1 13 0.076923 0.631081 0.532016 67.80 1 12 0.083333 0.714414 0.489479 68.64 2 11 0.181818 0.896232 0.408104 68.88 1 9 0.111111 1.007343 0.365188 84.12 1 8 0.125000 1.132343 0.322277 93.12 1 7 0.142857 1.275201 0.279375 98.64 1 6 0.166667 1.441867 0.236486 105.12 1 5 0.200000 1.641867 0.193618 105.84 1 4 0.250000 1.891867 0.150790 127.92 1 3 0.333333 2.225201 0.108046 128.04 1 2 0.500000 2.725201 0.065533 173.40 1 1 1.000000 3.725201 0.024108
d) Ortanca Tahminleri:
KM Tahmini: 𝑡̃𝐾𝑀 = 1
44[22(55.56) + 22(67.80)] = 61.68 hafta
NA Tahmini: 𝑡̃𝑁𝐴= 1
43[11(55.56) + 32(67.80)] = 64.67 hafta
FH Tahmini: 𝑡̃𝑁𝐴= 1
43[11(55.56) + 32(67.80)] = 64.67 hafta Örnek-II.2: Örnek-II.1 için birikimli hazard fonksiyonu tahminlerini bulunuz.
Çözüm-II.2: Yöntemlere göre birikimli hazard fonksiyonu tahminleri takipteki tabloda özetlenmiştir.
Tablo: 𝐻(𝑡𝑘) = −𝑙𝑛[𝐻(𝑡𝑘)] Sonuçları tj
KM Sonucu NA Sonucu FH Sonucu
𝑆𝐾𝑀(𝑡𝑘) 𝐻𝐾𝑀(𝑡𝑘) 𝑆𝑁𝐴(𝑡𝑘) 𝐻𝑁𝐴(𝑡𝑘) 𝑆𝐹𝐻(𝑡𝑘) 𝐻𝐹𝐻(𝑡𝑘) 17.88 0.956522 0.044452 0.957453 0.043478 0.957453 0.043478 28.92 0.913043 0.090972 0.914907 0.088933 0.914907 0.088933 33.00 0.869565 0.139762 0.872361 0.136552 0.872361 0.136552 41.52 0.826087 0.191055 0.829816 0.186552 0.829816 0.186552 42.12 0.782609 0.245122 0.787270 0.239183 0.787270 0.239183 45.60 0.739130 0.302281 0.744726 0.294739 0.744726 0.294739 48.40 0.695652 0.362905 0.702182 0.353563 0.702182 0.353563 51.84 0.652174 0.427444 0.659639 0.416063 0.659639 0.416063 51.96 0.608696 0.496437 0.617097 0.482729 0.617097 0.482729 54.12 0.565217 0.570545 0.574556 0.554158 0.574556 0.554158 55.56 0.521739 0.650588 0.532016 0.631081 0.532016 0.631081 67.80 0.478261 0.737599 0.489479 0.714414 0.489479 0.714414 68.64 0.391304 0.938270 0.404411 0.905323 0.408104 0.896232 68.88 0.347826 1.056053 0.361883 1.016434 0.365188 1.007343 84.12 0.304348 1.189584 0.319361 1.141434 0.322277 1.132343 93.12 0.260870 1.343735 0.276847 1.284292 0.279375 1.275201 98.64 0.217391 1.526056 0.234346 1.450958 0.236486 1.441867 105.12 0.173913 1.749200 0.191866 1.650958 0.193618 1.641867 105.84 0.130435 2.036882 0.149425 1.900958 0.150790 1.891867
9
127.92 0.086957 2.442347 0.107068 2.234292 0.108046 2.225201 128.04 0.043478 3.135494 0.064940 2.734292 0.065533 2.725201 173.40 0.000000 NA 0.023890 3.734292 0.024108 3.725201
Örnek-II.3: Örnek-II.1 için hazard fonksiyonu tahminlerini bulunuz.
Çözüm-II.3: Yöntemlere göre hazard fonksiyonu tahminleri takipteki tabloda özetlenmiştir.
Tablo: ℎ(𝑡𝑘) = 𝐻(𝑡𝑘) − 𝐻(𝑡𝑘−1) Sonuçları tj
KM Sonucu NA Sonucu FH Sonucu
𝐻𝐾𝑀(𝑡𝑘) ℎ𝐾𝑀(𝑡𝑘) 𝐻𝑁𝐴(𝑡𝑘) ℎ𝑁𝐴(𝑡𝑘) 𝐻𝐹𝐻(𝑡𝑘) ℎ𝐾𝑀(𝑡𝑘) 17.88 0.044452 0.044452 0.043478 0.043478 0.043478 0.043478 28.92 0.090972 0.046520 0.088933 0.045455 0.088933 0.045455 33.00 0.139762 0.048790 0.136552 0.047619 0.136552 0.047619 41.52 0.191055 0.051293 0.186552 0.050000 0.186552 0.050000 42.12 0.245122 0.054067 0.239183 0.052632 0.239183 0.052632 45.60 0.302281 0.057158 0.294739 0.055556 0.294739 0.055556 48.40 0.362905 0.060625 0.353563 0.058824 0.353563 0.058824 51.84 0.427444 0.064539 0.416063 0.062500 0.416063 0.062500 51.96 0.496437 0.068993 0.482729 0.066667 0.482729 0.066667 54.12 0.570545 0.074108 0.554158 0.071429 0.554158 0.071429 55.56 0.650588 0.080043 0.631081 0.076923 0.631081 0.076923 67.80 0.737599 0.087011 0.714414 0.083333 0.714414 0.083333 68.64 0.938270 0.200671 0.905323 0.190909 0.896232 0.181818 68.88 1.056053 0.117783 1.016434 0.111111 1.007343 0.111111 84.12 1.189584 0.133531 1.141434 0.125000 1.132343 0.125000 93.12 1.343735 0.154151 1.284292 0.142857 1.275201 0.142857 98.64 1.526056 0.182322 1.450958 0.166667 1.441867 0.166667 105.12 1.749200 0.223144 1.650958 0.200000 1.641867 0.200000 105.84 2.036882 0.287682 1.900958 0.250000 1.891867 0.250000 127.92 2.442347 0.405465 2.234292 0.333333 2.225201 0.333333 128.04 3.135494 0.693147 2.734292 0.500000 2.725201 0.500000 173.40 NA NA 3.734292 1.000000 3.725201 1.000000
Örnek-II.4 (Sansürlü veri): Örnek-II.1’de bazı değerlerin sansürlü olduğunu düşünelim.
Sansürlü değerlerin sağ tarafına (+) koyalım ve yeni veri tablosu Tablo-II.2’de verildiği gibi olsun.
Tablo-II.2: Örnek-II.4 İçin Sağ Kalım Süreleri (𝑡𝑖. hafta).
17.88; 28.92; 33.00; 41.52+; 42.12; 45.60+; 48.40; 51.84; 51.96; 54.12+;
55.56; 67.80+; 68.64; 68.64; 68.88+; 84.12; 92.12; 98.64; 105.12; 105.84+;
127.92; 128.04; 173.40+
Veriye ilişkin güvenilirlik fonksiyonunun: a) KM olasılıklarını. b) NA olasılıklarını ve c) FH olasılıklarını tahmin ediniz. d) KM. NA ve FH tahmin edicilerine dayalı ortanca sağ kalım süresini tahmin ediniz.
10
Çözüm-II.4: a) KM Tahminleri takipteki tabloda özetlenmiştir.
tj dj nj (nj − dj) (nj − dj)
nj SKM(tk) cj
17.88 1 23 22 0.956522 0.956522 0 28.92 1 22 21 0.954545 0.913043 0 33.00 1 21 20 0.952381 0.869565 0
41.52+ 0 20 20 1 0.869565 1
42.12 1 19 18 0.947368 0.823799 0
45.60+ 0 18 18 1 0.823799 1
48.40 1 17 16 0.941176 0.775340 0 51.84 1 16 15 0.937500 0.726881 0 51.96 1 15 14 0.933333 0.678422 0
54.12+ 0 14 14 1 0.678422 1
55.56 1 13 12 0.923077 0.626236 0
67.80+ 0 12 12 1 0.626236 1
68.64 2 11 9 0.818182 0.512375 0
68.88+ 0 9 9 1 0.512375 1
84.12 1 8 7 0.875000 0.448328 0 93.12 1 7 6 0.857143 0.384281 0 98.64 1 6 5 0.833333 0.320234 0 105.12 1 5 4 0.800000 0.256187 0
105.84+ 0 4 4 1 0.256187 1
127.92 1 3 2 0.666667 0.170792 0 128.04 1 2 1 0.500000 0.085396 0
173.40+ 0 1 1 1 0.085396 1
Toplam 16 7
b) NA Tahminleri takipteki tabloda özetlenmiştir.
tj dj nj ∑ 1
(nj − i)
𝑑𝑗
𝑖=0
∑ ∑ 1
(nj − i)
𝑑𝑗
𝑖=0 𝑘
𝑗=1
SNA(tk)=𝑒{− ∑ ∑
1 (nj−i) 𝑑𝑗 𝑖=0 𝑘
𝑗=1 }
17.88 1 23 0.043478 0.043478 0.957453 28.92 1 22 0.045455 0.088933 0.914907 33.00 1 21 0.047619 0.136552 0.872361
41.52+ 0 20 0 0.136552 0.872361
42.12 1 19 0.052632 0.189183 0.827635
45.60+ 0 18 0 0.189183 0.827635
48.40 1 17 0.058824 0.248007 0.780355 51.84 1 16 0.062500 0.310507 0.733075 51.96 1 15 0.066667 0.377174 0.685797
54.12+ 0 14 0 0.377174 0.685797
55.56 1 13 0.076923 0.454097 0.635021
67.80+ 0 12 0 0.454097 0.635021
68.64 2 11 0.190909 0.645006 0.52466
68.88+ 0 9 0 0.645006 0.52466
11
84.12 1 8 0.125000 0.770006 0.46301
93.12 1 7 0.142857 0.912863 0.401373
98.64 1 6 0.166667 1.079530 0.339755
105.12 1 5 0.200000 1.279530 0.278168
105.84+ 0 4 0 1.279530 0.278168
127.92 1 3 0.333333 1.612863 0.199316 128.04 1 2 0.500000 2.112863 0.120891
173.40+ 0 1 0 2.112863 0.120891
c) FH Tahminleri takipteki tabloda özetlenmiştir.
tj dj nj
𝑑𝑗
𝑛𝑗 ∑𝑑𝑗
𝑛𝑗
𝑘
𝑗=1 SFH(tk)=𝑒{− ∑
𝑑𝑗 𝑛𝑗 𝑘 𝑗=1 }
17.88 1 23 0.043478 0.043478 0.957453 28.92 1 22 0.045455 0.088933 0.914907 33.00 1 21 0.047619 0.136552 0.872361 41.52+ 0 20 0 0.136552 0.872361 42.12 1 19 0.052632 0.189183 0.827635 45.60+ 0 18 0 0.189183 0.827635 48.40 1 17 0.058824 0.248007 0.780355 51.84 1 16 0.0625 0.310507 0.733075 51.96 1 15 0.066667 0.377174 0.685797 54.12+ 0 14 0 0.377174 0.685797 55.56 1 13 0.076923 0.454097 0.635021 67.80+ 0 12 0 0.454097 0.635021 68.64 2 11 0.181818 0.635915 0.529451
68.88+ 0 9 0 0.635915 0.529451
84.12 1 8 0.125 0.760915 0.467239 93.12 1 7 0.142857 0.903772 0.405039 98.64 1 6 0.166667 1.070439 0.342858 105.12 1 5 0.2 1.270439 0.280708 105.84+ 0 4 0 1.270439 0.280708 127.92 1 3 0.333333 1.603772 0.201136 128.04 1 2 0.5 2.103772 0.121995 173.40+ 0 1 0 2.103772 0.121995
Ortanca Tahminleri:
KM Tahmini: Önce %50 mesafeleri hesaplayalım. (0.512375-0.5=0.012375)+(0.5- 0.448328=0.051672)= 0.064047 toplam mesafe olur. Böylece 𝑡̃𝐾𝑀 =
1
0.064047[0.051672(68.64) + 0.012375(84.12)] ≅ 71.631 hafta.
12
NA Tahmini Önce %50 mesafeleri hesaplayalım. (0.52466-0.5=0.02466)+(0.5- 0.46301=0.03699)=0.061649 toplam mesafedir. Böylece 𝑡̃𝑁𝐴 = 1
0.061649[11(55.56) + 32(67.80)] ≅ 74.832 hafta.
FH Tahmini: Önce %50 mesafeleri hesaplayalım. (0.529451-0.5=0.029451)+(0.5- 0.467239=0.032761)= 0.062212 toplam mesafedir. Böylece 𝑡̃𝑁𝐴 =
1
43[0.032761(68.64) + 0.029451(84.12)] ≅ 75.968 hafta.
Örnek-II.5: Örnek-II.4 için birikimli hazard fonksiyonu tahminlerini bulunuz.
Çözüm-II.5: Yöntemlere göre birikimli hazard fonksiyonu tahminleri takipteki tabloda özetlenmiştir.
Tablo: 𝐻(𝑡𝑘) = −𝑙𝑛[𝐻(𝑡𝑘)] Sonuçları tj
KM Sonucu NA Sonucu FH Sonucu
𝑆𝐾𝑀(𝑡𝑘) 𝐻𝐾𝑀(𝑡𝑘) 𝑆𝑁𝐴(𝑡𝑘) 𝐻𝑁𝐴(𝑡𝑘) 𝑆𝐹𝐻(𝑡𝑘) 𝐻𝐹𝐻(𝑡𝑘) 17.88 0.956522 0.044452 0.957453 0.043478 0.957453 0.043478 28.92 0.913043 0.090972 0.914907 0.088933 0.914907 0.088933 33.00 0.869565 0.139762 0.872361 0.136552 0.872361 0.136552 41.52+ 0.869565 0.139762 0.872361 0.136552 0.872361 0.136552 42.12 0.823799 0.193829 0.827635 0.189183 0.827635 0.189183 45.60+ 0.823799 0.193829 0.827635 0.189183 0.827635 0.189183 48.40 0.775340 0.254454 0.780355 0.248007 0.780355 0.248007 51.84 0.726881 0.318992 0.733075 0.310507 0.733075 0.310507 51.96 0.678422 0.387985 0.685797 0.377174 0.685797 0.377174 54.12+ 0.678422 0.387985 0.685797 0.377174 0.685797 0.377174 55.56 0.626236 0.468028 0.635021 0.454097 0.635021 0.454097 67.80+ 0.626236 0.468028 0.635021 0.454097 0.635021 0.454097 68.64 0.512375 0.668699 0.524660 0.645006 0.529451 0.635915 68.88+ 0.512375 0.668699 0.524660 0.645006 0.529451 0.635915 84.12 0.448328 0.802230 0.463010 0.770006 0.467239 0.760915 93.12 0.384281 0.956381 0.401373 0.912863 0.405039 0.903772 98.64 0.320234 1.138702 0.339755 1.079530 0.342858 1.070439 105.12 0.256187 1.361846 0.278168 1.279530 0.280708 1.270439 105.84+ 0.256187 1.361846 0.278168 1.279530 0.280708 1.270439 127.92 0.170792 1.767311 0.199316 1.612863 0.201136 1.603772 128.04 0.085396 2.460458 0.120891 2.112863 0.121995 2.103772 173.40+ 0.085396 2.460458 0.120891 2.112863 0.121995 2.103772
13
Örnek-II.6: Örnek-II.4 için hazard fonksiyonu tahminlerini bulunuz.
Çözüm-II.6: Yöntemlere göre hazard fonksiyonu tahminleri takipteki tabloda özetlenmiştir.
Tablo: ℎ(𝑡𝑘) = 𝐻(𝑡𝑘) − 𝐻(𝑡𝑘−1) Sonuçları
tj KM Sonucu NA Sonucu FH Sonucu
𝐻𝐾𝑀(𝑡𝑘) ℎ𝐾𝑀(𝑡𝑘) 𝐻𝑁𝐴(𝑡𝑘) ℎ𝑁𝐴(𝑡𝑘) 𝐻𝐹𝐻(𝑡𝑘) ℎ𝐾𝑀(𝑡𝑘) 17.88 0.044452 0.044452 0.043478 0.043478 0.043478 0.043478 28.92 0.090972 0.046520 0.088933 0.045455 0.088933 0.045455 33.00 0.139762 0.048790 0.136552 0.047619 0.136552 0.047619 41.52+ 0.139762 0 0.136552 0 0.136552 0 42.12 0.193829 0.054067 0.189183 0.052632 0.189183 0.052632 45.60+ 0.193829 0 0.189183 0 0.189183 0 48.40 0.254454 0.060625 0.248007 0.058824 0.248007 0.058824 51.84 0.318992 0.064539 0.310507 0.062500 0.310507 0.0625 51.96 0.387985 0.068993 0.377174 0.066667 0.377174 0.066667 54.12+ 0.387985 0 0.377174 0 0.377174 0 55.56 0.468028 0.080043 0.454097 0.076923 0.454097 0.076923 67.80+ 0.468028 0 0.454097 0 0.454097 0 68.64 0.668699 0.200671 0.645006 0.190909 0.635915 0.181818 68.88+ 0.668699 0 0.645006 0 0.635915 0 84.12 0.802230 0.133531 0.770006 0.125000 0.760915 0.125000 93.12 0.956381 0.154151 0.912863 0.142857 0.903772 0.142857 98.64 1.138702 0.182322 1.079530 0.166667 1.070439 0.166667 105.12 1.361846 0.223144 1.279530 0.200000 1.270439 0.200000 105.84+ 1.361846 0 1.279530 0 1.270439 0 127.92 1.767311 0.405465 1.612863 0.333333 1.603772 0.333333 128.04 2.460458 0.693147 2.112863 0.500000 2.103772 0.500000 173.40+ 2.460458 0 2.112863 0 2.103772 0
