BİRİMLER ve VEKTÖRLER 1.1 Boyutlar ve Birimler 1.2 Hata Payı – Anlamlı Hane Sayısı 1.3 Vektörler

(1)

1

BİRİMLER ve VEKTÖRLER 1.1 Boyutlar ve Birimler

1.2 Hata Payı – Anlamlı Hane Sayısı 1.3 Vektörler

Daha iyi sonuç almak için, Adobe Reader programını Tam Ekran modunda çalıştırınız.

Sayfa çevirmek/Aşağısını görmek için, farenin sol/sağ tuşlarını veya PageUp/PageDown tuşlarını kullanınız.

(2)

1.1 BOYUTLAR ve BİRİMLER

Ölçme =⇒ Doğa bilimlerinin başlangıcıH

Boyut =⇒ Niceliklerin ölçme açısından ortak karakteri H

Fiziksel nicelik Boyut mesafe, genişlik,

derinlik, boy . . . )

uzunluk gün, ay, yıl,

mevsim, periyot,. . . )

zaman

Birim =⇒ Kararlaştırılan ölçme standardı (Arşın, mil, yarda . . . )

(3)

1.1 BOYUTLAR ve BİRİMLER

zaman

Birim =⇒ Kararlaştırılan ölçme standardı (Arşın, mil, yarda . . . )

(4)

1.1 BOYUTLAR ve BİRİMLER

zaman

(5)

Bazı boyutlar, daha temel boyutlar cinsinden ifade edilebilirler:

Yüzey alanı = en×boy = (uzunluk)²

Hacim = en×boy×yükseklik = (uzunluk)³ ^H

Her ölçümün sonucu birimli olarak ifade edilmelidir!H

Fizik formüllerinde eşitliğin her iki tarafındaki terimlerin birimleri aynı olmalıdır!H

Çok sayıda birim arasından hangileri temel birimler olarak alınmalıdır?

(6)

(7)

(8)

(9)

Uluslararası Birim Sistemi SI (Systeme Internationale)

7 adet temel birim:H

Boyut Birim Kısaltma

Zaman saniye s

Uzunluk metre m

Kütle kilogram kg

Elektrik akımı amper A

Sıcaklık kelvin K

Işık şiddeti kandela cd

Madde miktarı mol mol

H

Metre: Işığın boşlukta 1/299 792 458 saniyede aldığı yol. H

Saniye : Cs¹³³ atomunun belirli bir titreşim periyodunun 9 192 631 770 katı. H

Kilogram : Paris’te BIPM kurumunda saklanan platin-iridyum alaşımı silindirin kütlesi.

(10)

Uluslararası Birim Sistemi SI (Systeme Internationale)

Zaman saniye s

Uzunluk metre m

Kütle kilogram kg

Sıcaklık kelvin K

H

(11)

Uluslararası Birim Sistemi SI (Systeme Internationale)

Zaman saniye s

Uzunluk metre m

Kütle kilogram kg

Sıcaklık kelvin K

H

(12)

Uluslararası Birim Sistemi SI (Systeme Internationale)

Zaman saniye s

Uzunluk metre m

Kütle kilogram kg

Sıcaklık kelvin K

H

(13)

Uluslararası Birim Sistemi SI (Systeme Internationale)

Zaman saniye s

Uzunluk metre m

Kütle kilogram kg

Sıcaklık kelvin K

H

Kilogram : Paris’te BIPM kurumunda saklanan platin-iridyum

(14)

Bazı türetilmiş birimler

nicelik tanımı birimi kısaltması

Alan en×boy (metre)² m²

Hacim en×boy×yükseklik (metre)³ m³

Hız yol/zaman metre/saniye m/s

İvme hız/zaman metre/(saniye)² m/s²

Kuvvet kütle×ivme kilogram×metre/(saniye)² kg · m/s² İş kuvvet×yol kilogram×metre²/(saniye)² kg · m²/s²

H

Üskatlar Askatlar

adı kısaltma miktarı adı kısaltma miktarı

kilo k 10³ santi c 10⁻²

mega M 10⁶ mili m 10⁻³

ciga G 10⁹ mikro µ 10⁻⁶

tera T 10¹² nano n 10⁻⁹

(15)

Bazı türetilmiş birimler

nicelik tanımı birimi kısaltması

Alan en×boy (metre)² m²

Hacim en×boy×yükseklik (metre)³ m³

Hız yol/zaman metre/saniye m/s

İvme hız/zaman metre/(saniye)² m/s²

Kuvvet kütle×ivme kilogram×metre/(saniye)² kg · m/s² İş kuvvet×yol kilogram×metre²/(saniye)² kg · m²/s²

H

Üskatlar Askatlar

adı kısaltma miktarı adı kısaltma miktarı

kilo k 10³ santi c 10⁻²

mega M 10⁶ mili m 10⁻³

ciga G 10⁹ mikro µ 10⁻⁶

(16)

1.2 HATA PAYI – ANLAMLI HANE SAYISI

Hata payı =⇒ Bir niceliğin gerçek değeri ile ölçülen değeri arasındaki fark.H

Mutlak hata (∆x ) =⇒ Bir ölçü aletinin ölçebildiği en küçük değer.H

Örnek: Milimetrik cetvel =⇒ ∆L = 1 mm^H Kitabın boyu =⇒ L= 294 mm ^H

Ölçmenin ifadesi =⇒ L ±∆L = 294 ± 1 mm ^H Bağıl hata =⇒ ∆L

L Yüzde (%) olarak ifade edilir.

(17)

1.2 HATA PAYI – ANLAMLI HANE SAYISI

(18)

1.2 HATA PAYI – ANLAMLI HANE SAYISI

Örnek: Milimetrik cetvel =⇒ ∆L = 1 mm^H

Kitabın boyu =⇒ L= 294 mm ^H

(19)

1.2 HATA PAYI – ANLAMLI HANE SAYISI

(20)

1.2 HATA PAYI – ANLAMLI HANE SAYISI

Ölçmenin ifadesi =⇒ L ±∆L = 294 ± 1 mm ^H

Bağıl hata =⇒ ∆L

(21)

1.2 HATA PAYI – ANLAMLI HANE SAYISI

(22)

Hesaplarda hata payı

Toplama ve çıkarmada mutlak hatalar toplanır:

z= a ± b =⇒ ∆z = ∆a + ∆b

H

Çarpma ve bölmelerde bağıl hatalar toplanır: y =( ab

a/b =⇒ ∆y

y = ∆a a + ∆b

b

(23)

Hesaplarda hata payı

Toplama ve çıkarmada mutlak hatalar toplanır:

z= a ± b =⇒ ∆z = ∆a + ∆b

H

Çarpma ve bölmelerde bağıl hatalar toplanır:

y =( ab

a/b =⇒ ∆y

y = ∆a a + ∆b

b

(24)

Anlamlı Hane Sayısı

Bir niceliğin hata payı, niceliği belirten sayının anlamlı hane sayısı ile de anlaşılır. H

Örnek: Cismin kütlesi m= 76.4 g = 0.0764 kg =⇒ anlamlı 3 hane

↑

(bu haneye kadar ölçülebilmiş)H

Mutlak hata: Son hanenin alabileceği en küçük değer =⇒ ∆m = 0.1 g Diğer örnekler:

1.2398 Anlamlı hane sayısı: 5 0.00000039 Anlamlı hane sayısı: 2 3.00007 Anlamlı hane sayısı: 6 2.70 Anlamlı hane sayısı: 3

(25)

↑

1.2398 Anlamlı hane sayısı: 5 0.00000039 Anlamlı hane sayısı: 2 3.00007 Anlamlı hane sayısı: 6 2.70 Anlamlı hane sayısı: 3

(26)

↑

1.2398

Anlamlı hane sayısı: 5 0.00000039 Anlamlı hane sayısı: 2 3.00007 Anlamlı hane sayısı: 6 2.70 Anlamlı hane sayısı: 3

(27)

↑

1.2398 Anlamlı hane sayısı: 5 0.00000039

Anlamlı hane sayısı: 2 3.00007 Anlamlı hane sayısı: 6 2.70 Anlamlı hane sayısı: 3

(28)

↑

1.2398 Anlamlı hane sayısı: 5 0.00000039 Anlamlı hane sayısı: 2

Anlamlı hane sayısı: 6 2.70 Anlamlı hane sayısı: 3

(29)

↑

1.2398 Anlamlı hane sayısı: 5 0.00000039 Anlamlı hane sayısı: 2 3.00007 Anlamlı hane sayısı: 6 2.70

Anlamlı hane sayısı: 3

(30)

↑

1.2398 Anlamlı hane sayısı: 5 0.00000039 Anlamlı hane sayısı: 2

(31)

Hesaplarda anlamlı hane sayısı

H

Toplama ve çıkarmada, ondalık basamak sayısı en az olan korunur:H

3.2339+ 5.4 = 8.6339 = 8.6 9.12 − 5.4317 = 3.6883 = 3.69

H

Çarpma ve bölmede, anlamlı hane sayısı en az olan korunur: 3.4567 × 2.7 = 9.33309 = 9.3

15.67 × 0.00012 = 0.0018804 = 0.0019

(32)

H

3.2339+ 5.4 = 8.6339 = 8.6 9.12 − 5.4317 = 3.6883 = 3.69

H

15.67 × 0.00012 = 0.0018804 = 0.0019

(33)

H

3.2339+ 5.4 = 8.6339 = 8.6 9.12 − 5.4317 = 3.6883 = 3.69

H

15.67 × 0.00012 = 0.0018804 = 0.0019

(34)

H

3.2339+ 5.4 = 8.6339 = 8.6 9.12 − 5.4317 = 3.6883 = 3.69

H

Çarpma ve bölmede, anlamlı hane sayısı en az olan korunur:

3.4567 × 2.7 = 9.33309 = 9.3

(35)

1. 3 VEKTÖRLER

Skaler nicelikler =⇒ Sadece büyüklüğü (veya şiddeti) ile belirtilir.

(Sıcaklık, enerji, direnç. . . )H

Vektörel nicelikler =⇒ Hem büyüklük hem de yön ile belirtilir. (Hız, kuvvet, elektrik alan . . . )H

Vektörlerin gösterimi: =⇒ ~a, ~F, ~E . . .

Vektörün büyüklüğü (şiddeti) a, F , E . . . H

Skaler ile çarpma: =⇒

(36)

1. 3 VEKTÖRLER

Vektörel nicelikler =⇒ Hem büyüklük hem de yön ile belirtilir.

(Hız, kuvvet, elektrik alan . . . )H

(37)

1. 3 VEKTÖRLER

(38)

1. 3 VEKTÖRLER

(39)

İki Vektörün Toplamı

Paralelkenar kuralı: Her iki vektör, yönleri korunarak, aynı

noktaya kaydırılır. Herbir vektörün bitiş noktasından diğerine paralel doğrular çizilerek bir paralelkenar oluşturulur.

Paralelkenarın vektörler arasında kalan köşegeni ~A+ ~B vektörü olur.

H

Üçgen kuralı: Vektörlerden biri ( ~A veya ~B ) , kendisine paralel kaydırılarak diğer vektörün bitiş noktasına kadar getirilir. Birinci vektörün ( ~A ) başlangıç noktasından ikinci vektörün ( ~B ) bitiş noktasına çizilen vektör ~A+ ~B olur.

(40)

İki Vektörün Toplamı

Paralelkenar kuralı: Her iki vektör, yönleri korunarak, aynı

noktaya kaydırılır. Herbir vektörün bitiş noktasından diğerine paralel doğrular çizilerek bir paralelkenar oluşturulur.

Paralelkenarın vektörler arasında kalan köşegeni ~A+ ~B vektörü olur.

H

Üçgen kuralı: Vektörlerden biri ( ~A veya ~B ) , kendisine paralel kaydırılarak diğer vektörün bitiş noktasına kadar getirilir. Birinci vektörün ( ~A ) başlangıç noktasından ikinci vektörün ( ~B ) bitiş noktasına çizilen vektör ~A+ ~B olur.

(41)

Üçgen kuralı daha kullanışlıdır.

H

İki vektörün farkı:

~A − ~B = ~A + (−~B) =⇒

(42)

Üçgen kuralı daha kullanışlıdır.

H

İki vektörün farkı:

(43)

Bir Vektörün Bileşenleri

2-boyutta: ~A vektörünün uç noktasından x - ve y -eksenlerine çizilen paralellerin eksenleri kestiği uzunluklar ~A vektörünün A_x ve A_y bileşenleri olurlar.

~A : (Ax, Ay) ^H

3-boyutta:

~A : (Ax, A_y, A_z)

Bileşenler birer cebirsel sayıdırlar.

(44)

Bir Vektörün Bileşenleri

2-boyutta: ~A vektörünün uç noktasından x - ve y -eksenlerine çizilen paralellerin eksenleri kestiği uzunluklar ~A vektörünün A_x ve A_y bileşenleri olurlar.

~A : (Ax, Ay) ^H

3-boyutta:

(45)

Dik üçgende trigonometrik bağıntılar:

sin θ= b

c , cos θ= a

c , tan θ= b a

H

A_x= A cos θ A= q

A²_x+ A²y

A_y = A sin θ tan θ = Ay

A_x

(46)

Dik üçgende trigonometrik bağıntılar:

sin θ= b

c , cos θ= a

c , tan θ= b a

H

A_x= A cos θ A= q

A²_x+ A²y

A_y = A sin θ tan θ = Ay

A_x

(47)

Birim Vektörler

Eksenler boyunca birim (1) uzunlukta vektörler:

ˆı : (1, 0, 0) , ˆ : (0, 1, 0) , k : (0, 0, 1)ˆ ^H

Her vektör, bileşenleri ve birim vektörler cinsinden daima şöyle yazılabilir:

2-boyutta : ~A = Axˆı+ Ayˆ 3-boyutta : ~A = Axˆı+ Ayˆ+ Aykˆ

(48)

Birim Vektörler

Eksenler boyunca birim (1) uzunlukta vektörler:

ˆı : (1, 0, 0) , ˆ : (0, 1, 0) , k : (0, 0, 1)ˆ ^H

Her vektör, bileşenleri ve birim vektörler cinsinden daima şöyle yazılabilir:

2-boyutta : ~A = Axˆı+ Ayˆ

(49)

Örnek:

~D = 3ˆı − 5ˆ + 6ˆk

↓ ↓ ↓

D_x D_y D_z

H

Vektör Bileşenleriyle Toplama:

~A = Axˆı+ Ayˆ+ Azkˆ

~B = Bxˆı+ Byˆ+ Bzkˆ

~C = ~A + ~B

~C = (Ax+ Bx)ˆı+ (Ay+ By) ˆ+ (Az+ Bz) ˆk

~C = Cxˆı+ Cyˆ+ Czkˆ

(50)

Örnek:

~D = 3ˆı − 5ˆ + 6ˆk

↓ ↓ ↓

D_x D_y D_z

H

~C = ~A + ~B

(51)

Örnek:

~D = 3ˆı − 5ˆ + 6ˆk

↓ ↓ ↓

D_x D_y D_z

H

~C = ~A + ~B

(52)

Skaler Çarpım

~A · ~B = A B cos θ (Skaler çarpım) ^H

Özellikleri:H

Sonuç cebirsel bir sayıdır. İki vektör arasındaki açı 90^◦ den küçükse çarpım pozitif, büyükse çarpım negatif olur.H

Sıra değiştirme: ~A · ~B = ~B · ~A

Dağılma: ~A · (~B + ~C) = ~A · ~B + ~A · ~C ^H

θ = 90^◦ ( cos 90^◦ = 0) ise, birbirine dik iki vektörün skaler çarpımı sıfır olur (diklik koşulu).H

~A · ~A = A A cos 0^◦= A² veya, bir vektörün kendisiyle skaler çarpımı şiddetinin karesini verir.

(53)

Skaler Çarpım

Özellikleri:H

(54)

Skaler Çarpım

Özellikleri:H

(55)

Skaler Çarpım

Özellikleri:H

(56)

Skaler Çarpım

Özellikleri:H

θ = 90^◦ ( cos 90^◦ = 0) ise, birbirine dik iki vektörün skaler çarpımı sıfır olur (diklik koşulu).

(57)

Skaler Çarpım

Özellikleri:H

~A · ~A = A A cos 0^◦ = A² veya, bir vektörün kendisiyle skaler çarpımı şiddetinin karesini verir.

(58)

Birim vektörlerin skaler çarpımı:

ˆı · ˆı = 1.1. cos 0 = 1 ˆı · ˆ = 1.1. cos 90^◦= 0

=⇒ ˆı · ˆı = ˆ · ˆ = ˆk · ˆk = 1 ˆı · ˆ = ˆ · ˆk = ˆk · ˆı = 0

H

Skaler çarpımın bileşenler cinsinden ifadesi:

~A · ~B = AxB_x(ˆı · ˆı)+ AxB_y(ˆı · ˆ)+ AxB_z(ˆı · ˆk)+ +AyBx( ˆ · ˆı)+ AyBy( ˆ · ˆ)+ AyBz( ˆ · ˆk)+

+AzB_x( ˆk · ˆı)+ AzB_y( ˆk · ˆ)+ AzB_z( ˆk · ˆk)

~A · ~B = AxB_x+ AyB_y+ AzB_z

H

Özet:

Skaler Çarpım : ~A · ~B =











A B cos θ veya

AxBx+ AyBy+ AzBz

(59)

ˆı · ˆı = 1.1. cos 0 = 1 ˆı · ˆ = 1.1. cos 90^◦= 0

H

Özet:











A B cos θ veya

AxBx+ AyBy+ AzBz

(60)

ˆı · ˆı = 1.1. cos 0 = 1 ˆı · ˆ = 1.1. cos 90^◦= 0

H

Özet:











A B cos θ veya

AxBx+ AyBy+ AzBz

(61)

ˆı · ˆı = 1.1. cos 0 = 1 ˆı · ˆ = 1.1. cos 90^◦= 0

H

Özet:









A B cos θ veya

(62)

Vektörel Çarpım

~A × ~B = ~C Sonuç bir vektördür.

Şiddeti: C= A B sin θ

Yönü: ~A ve ~B nin oluşturduğu düzleme dik doğrultuda ve sağ-el kuralı yönünde.

H

Özellikleri:H

Sıra değiştirmez! ~B × ~A = −~A × ~B ^H Dağılma : ~A × (~B + ~C) = ~A × ~B + ~A × ~C

İki vektör paralel ( θ= 0) veya anti-paralel (θ = 180^◦) ise, sinüsler sıfır olacağından, vektörel çarpımın sonucu sıfır olur.

Özel olarak, bir vektörün kendisiyle vektörel çarpımı sıfırdır:

~A × ~A = 0

(63)

Vektörel Çarpım

H

Özellikleri:H

~A × ~A = 0

(64)

Vektörel Çarpım

H

Özellikleri:H

Sıra değiştirmez! ~B × ~A = −~A × ~B ^H

Dağılma : ~A × (~B + ~C) = ~A × ~B + ~A × ~C

~A × ~A = 0

(65)

Vektörel Çarpım

H

Özellikleri:H

(66)

Birim vektörlerin vektörel çarpımı:

ˆı × ˆı= ˆ × ˆ = ˆk × ˆk = 0

ˆı × ˆ= ˆk, ˆ × ˆk = ˆı, ˆk × ˆı = ˆ

ˆ × ˆı= − ˆk, . . .

Vektörel çarpımın bileşenler cinsinden ifadesi:

~C = ~A × ~B = (Axˆı+ Ayˆ+ Azk) × (Bˆ _xˆı+ Byˆ+ Bzk)ˆ

= AxBx(ˆı × ˆı)+ AxBy(ˆı × ˆ)+ AxBz(ˆı × ˆk)+ +AyB_x( ˆ × ˆı)+ AyB_y( ˆ × ˆ)+ AyB_z( ˆ × ˆk)+

+AzBx( ˆk × ˆı

|{z} ˆ

)+ AzBy( ˆk × ˆ

|{z}

−ˆı

)+ AzBz( ˆk × ˆk

|{z} 0

)

~C = (AyB_z−A_zB_y

| {z } C_x

) ˆı+ (AzB_x−A_xB_z

| {z } Cy

) ˆ+ (AxB_y−A_yB_x

| {z } C_z

) ˆı

(67)

ˆı × ˆı= ˆ × ˆ = ˆk × ˆk = 0

ˆ × ˆı= − ˆk, . . .

+AzBx( ˆk × ˆı

|{z} ˆ

|{z}

−ˆı

)+ AzBz( ˆk × ˆk

|{z} 0

)

| {z } C_x

| {z } Cy

| {z } C_z

) ˆı

(68)

ˆı × ˆı= ˆ × ˆ = ˆk × ˆk = 0

ˆ × ˆı= − ˆk, . . .

+AzBx( ˆk × ˆı

|{z} ˆ

|{z}

−ˆı

)+ AzBz( ˆk × ˆk

|{z} 0

)

| {z } C_x

| {z } Cy

| {z } C_z

) ˆı

(69)

ˆı × ˆı= ˆ × ˆ = ˆk × ˆk = 0

ˆ × ˆı= − ˆk, . . .

+AzBx( ˆk × ˆı

|{z}

ˆ

|{z}

−ˆı

)+ AzBz( ˆk × ˆk

|{z}

0 )

| {z } C_x

| {z } Cy

| {z } C_z

) ˆı

(70)

ˆı × ˆı= ˆ × ˆ = ˆk × ˆk = 0

ˆ × ˆı= − ˆk, . . .

+AzBx( ˆk × ˆı

|{z}

)+ AzBy( ˆk × ˆ)+ AzBz( ˆk × ˆk

|{z}

)

(71)

Bu formülü akılda tutmak için:

Döner permütasyon tekniği

x → y → z , y → z → x , z → x → y

H

C_x = AyB_z

| {z }

x→y→z

−A_zB_y, C_y = AzB_x

| {z }

y→z→x

−A_xB_z, C_z = AxB_y

| {z }

z→x→y

−A_yB_x

H

Determinant şeklinde yazım:

~A × ~B = det

ˆı ˆ kˆ Ax Ay Az

Bx By Bz

H

∗ ∗ ∗ 1. Bölümün Sonu ∗ ∗ ∗

(72)

x → y → z , y → z → x , z → x → y

H

C_x = AyB_z

| {z }

x→y→z

| {z }

y→z→x

| {z }

z→x→y

−A_yB_x

H

~A × ~B = det

Bx By Bz

H

∗ ∗ ∗ 1. Bölümün Sonu ∗ ∗ ∗

(73)

x → y → z , y → z → x , z → x → y

H

C_x = AyB_z

| {z }

x→y→z

| {z }

y→z→x

| {z }

z→x→y

−A_yB_x

H

~A × ~B = det

Bx By Bz

H

∗ ∗ ∗ 1. Bölümün Sonu ∗ ∗ ∗

(74)

x → y → z , y → z → x , z → x → y

H

C_x = AyB_z

| {z }

x→y→z

| {z }

y→z→x

| {z }

z→x→y

−A_yB_x

H

~A × ~B = det

Bx By Bz