ÜÇ SERBESTLİK DERECELİ PARALEL EKSENLİ KARARLILAŞTIRMA PLATFORMUNUN DİNAMİK MODELLEMESİ VE KONTROLÜ
Rıdvan Uğur İNAL
YÜKSEK LİSANS TEZİ
MAKİNA MÜHENDİSLİĞİ ANA BİLİM DALI
GAZİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
EYLÜL 2019
Rıdvan Uğur İNAL tarafından hazırlanan ÜÇ SERBESTLİK DERECELİ PARALEL EKSENLİ KARARLILAŞTIRMA PLATFORMUNUN DİNAMİK MODELLEMESİ VE KONTROLÜ” adlı tez çalışması aşağıdaki jüri tarafından OY BİRLİĞİ ile Gazi Üniversitesi Makina Mühendisliği Ana Bilim Dalında YÜKSEK LİSANS TEZİ olarak kabul edilmiştir.
Danışman: Prof. Dr. Mehmet Arif ADLI Makina Mühendisliği Ana Bilim Dalı, Gazi Üniversitesi
Bu tezin, kapsam ve kalite olarak Yüksek Lisans Tezi olduğunu onaylıyorum.
..………
İkinci Danışman: Dr. Bülent ÖZKAN TÜBİTAK SAGE
Bu tezin, kapsam ve kalite olarak Yüksek Lisans Tezi olduğunu onaylıyorum. ...………
Başkan: Prof. Dr. Veli ÇELİK Makina Mühendisliği Ana Bilim Dalı, Ankara Yıldırım Beyazıt Üniversitesi
Bu tezin, kapsam ve kalite olarak Yüksek Lisans Tezi olduğunu onaylıyorum. ...………
Üye: Doç. Dr. Arif ANKARALI
Makina Mühendisliği Ana Bilim Dalı, Ankara Yıldırım Beyazıt Üniversitesi
Bu tezin, kapsam ve kalite olarak Yüksek Lisans Tezi olduğunu onaylıyorum. ...………
Üye: Prof. Dr. Nizami AKTÜRK
Makina Mühendisliği Ana Bilim Dalı, Gazi Üniversitesi
Bu tezin, kapsam ve kalite olarak Yüksek Lisans Tezi olduğunu onaylıyorum. ...………
Tez Savunma Tarihi: 27/09/2019
Jüri tarafından kabul edilen bu tezin Yüksek Lisans Tezi olması için gerekli şartları yerine getirdiğini onaylıyorum.
……….…….
Prof. Dr. Sena YAŞYERLİ Fen Bilimleri Enstitüsü Müdürü
ETİK BEYAN
Gazi Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Tez Yazım Kurallarına uygun olarak hazırladığım bu tez çalışmasında;
• Tez içinde sunduğum verileri, bilgileri ve dokümanları akademik ve etik kurallar çerçevesinde elde ettiğimi,
• Tüm bilgi, belge, değerlendirme ve sonuçları bilimsel etik ve ahlak kurallarına uygun olarak sunduğumu,
• Tez çalışmasında yararlandığım eserlerin tümüne uygun atıfta bulunarak kaynak gösterdiğimi,
• Kullanılan verilerde herhangi bir değişiklik yapmadığımı,
• Bu tezde sunduğum çalışmanın özgün olduğunu,
bildirir, aksi bir durumda aleyhime doğabilecek tüm hak kayıplarını kabullendiğimi beyan ederim.
Rıdvan Uğur İNAL 27/09/2019
ÜÇ SERBESTLİK DERECELİ PARALEL EKSENLİ KARARLILAŞTIRMA PLATFORMUNUN DİNAMİK MODELLEMESİ VE KONTROLÜ
(Yüksek Lisans Tezi) Rıdvan Uğur İNAL
GAZİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
Eylül 2019
ÖZET
Yakın geçmişte ve günümüzde, robotik sistemlerin yük taşıma kapasiteleri, hassas konumlama kapasiteleri gibi beklentiler, ihtiyaçlar nedeniyle oldukça artmıştır. Bu durum, seri robotik manipülatörlere karşı paralel manipülatörleri gündeme getirmiş ve paralel manipülatörler sağladığı birçok üstünlük sayesinde robotik sistemler içinde önemli bir yere sahip olmuştur. Paralel manipülatörler içinde, Gough ve Stewart’ın altı serbestlik dereceli paralel manipülatörleri büyük popülerlik kazanmış ve literatüre “Stewart Platformu” olarak geçmiştir. Görüntüleme ve sinyal iletim/alım sistemleri için yönlendirme mekanizmaları, aktif titreşim yalıtıcı alt sistemler, uçuş hareket benzetimcileri olarak kullanım gibi amaçlar için de paralel mekanizmaların kullanımı oldukça artmıştır. Bu tez çalışması, üç serbestlik dereceli (İng. degree-of-freedom, DOF) paralel eksenli bir hareket benzetimcisinin (manipülatörün) dinamik modellemesi ve kontrolünü sunmaktadır. Bu üç serbestlik dereceli hareket benzetimcisinde sadece üç adet doğrusal hareket sağlayan eyletim birimi bulunmaktadır. Dinamik analiz, bu türde pek uygulanmayan Newton-Euler denklemleri kullanılarak yapılmış, paralel platform modeli ise Lagrange yöntemi ile elde edilmiştir.
Kontrol yöntemi olarak PD kontrol ve hesaplamalı tork kontrolü yöntemi (İng. computed torque control method) uygulanmıştır. Daha sonra, önerilen sistemin dinamik modeli benzetim ortamında oluşturularak belirtilen kontrol yöntemleri uygulanmış ve uygun kontrolcü kazançları ile sistemin belirli koşullarda istenen başarımı sağladığı gösterilmiştir.
Bilim Kodu : 91430
Anahtar Kelimeler : Paralel platform, dinamik modelleme, kapalı çevrim kontrol, kararlılaştırma
Sayfa Adedi : 63
Danışman : Prof. Dr. Mehmet Arif ADLI İkinci Danışman : Dr. Bülent ÖZKAN
DYNAMIC MODELLING AND CONTROL OF THREE-DEGREES-OF-FREEDOM PARALLEL AXIS STABILIZATION PLATFORM
(M. Sc. Thesis)
Rıdvan Uğur İNAL
GAZİ UNIVERSITY
GRADUATE SCHOOL OF NATURAL AND APPLIED SCIENCES September 2019
ABSTRACT
In the recent past and today, precise positioning and load carrying capacities of robotic systems have increased considerably, due to the needs. This has brought parallel manipulators against serial robotic manipulators and parallel manipulators have occupied an important place in robotic systems thanks to the many advantages they provide. Among parallel manipulators, Gough’s and Stewart's six degree of freedom parallel manipulators gained enormous popularity and took place in the literature as the Stewart Platform. The use of parallel mechanisms has also increased considerably for purposes such as steering mechanisms for imaging and signal transmission/recieving systems, active vibration isolating sub-systems, and flight motion simulators. This thesis provides dynamic modeling and control of a parallel axis motion manipulator (platform) with three degrees of freedom (DOF). This three-DOF motion simulator has only three linear motion units that ensure three rotational motion of the platform. Dynamic analysis was performed using Newton-Euler equations, which were not applied in this kind of problems. Platform model was obtained via Lagrange method. PD control and computed torque control method were used as a control method. Then, the dynamic model of the proposed system is constructed in the simulation environment and the control methods are applied with the appropriate control gains. Eventually, it was shown that the system achieves the desired performance given conditions.
Science Code : 91430
Key Words : Parallel platform, dynamic modeling, closed-loop control, stabilization Page Number : 63
Supervisor : Prof. Dr. Mehmet Arif ADLI Co-Supervisor : Dr. Bülent ÖZKAN
TEŞEKKÜR
Bu çalışmayı hazırlarken bana olan desteklerini esirgemeyen eşim ve aileme sonsuz teşekkürlerimi iletmek isterim. Onların motive edici tutum ve desteklerinin beni sonuca ulaştıran asıl etmenlerden biri olduğu bilincindeyim. Birinci danışmanım Prof. Dr. Mehmet Arif ADLI’ya çalışmalarıma olan büyük katkısı, kılavuzluğu, hoşgörüsü, yardımları ve yol göstericiliği için çok minnettar olduğu belirtmek isterim. Ayrıca tezin hazırlanmasında ve benzetimlerin gerçekleştirilmesi ile sorunlarda ve takıldığım noktalarda çözüme yakınsamama katkısı olan ikinci danışmanım Dr. Bülent ÖZKAN’a da teşekkür ederim.
İÇİNDEKİLER
Sayfa
ÖZET ... iv
ABSTRACT ... v
TEŞEKKÜR ... vi
İÇİNDEKİLER ... vii
ÇİZELGELERİN LİSTESİ ... ix
ŞEKİLLERİN LİSTESİ ... x
SİMGELER VE KISALTMALAR... xi
1. G İRİŞ
...1
2. LİTERATÜR TARAMASI
...5
2.1. Seri ve Paralel Robotik Mekanizmalar ... 5
2.2. Stewart Platformu ... 7
2.3. Uzuv Sayısı/Çalışma Uzayı ... 9
2.4. Ters Kinematik Analiz ... 10
2.5. Dinamik Analiz ve Modelleme ...
10
2.6. Eyletim ... 12
2.7. Kontrol Yöntemleri ... 12
3. BACAK YAPISI 3- UPS/S DİZİLİMLİ PARALEL MANİPÜLATÖRÜN MODELLEMESİ
... 173.1. Manipülatör Geometrisi ... 17
3.2. Manipülatörün Hareket Serbestliği Analizi ... 18
3.3. Platformun Ters Kinematik Analizi ... 18
3.4. Bacak Kinematik Parametreleri ... 21
3.5. Mafsal Kinematik Parametreleri ... 23
Sayfa
3.6. Platformun Dinamik Denklemlerinin Türetilmesi ... 25
4. PLATFORMUN TEKİLLİK ANALİZİ
... 354.1. Tekil Durumların Çeşitleri ... 35
4.2. Tekil Durumların Elde Edilmesi ... 35
4.3. İlgilenilen 3-UPS/S Paralel Manipülatörünün Tekil Durumları ... 36
5. PLATFORMUN KONTROLÜ
...39
5.1. Kontrol Sisteminin Yapısı ... 40
5.2. Kontrol Sisteminin Tasarımı ... 41
5.3. Kontrolcü Kazançlarının Elde Edilmesi ... 42
6. BİLGİSAYAR BENZETİMLERİ
... 437. SONUÇ VE ÖNERİLER
... 49KAYNAKLAR ... 51
EKLER ... 53
EK-1. Symbolic Math Toolbox ile manipülatör Jacobian matrisinin determinantı ... 54
EK-2. Tasarlanan kontrol sisteminin MATLAB® Simulink®blok diyagramı ... 62
ÖZGEÇMİŞ ... 63
ÇİZELGELERİN LİSTESİ
Çizelge Sayfa Çizelge 2.1. Seri ve paralel robotik yapıların karşılaştırılması ... 7 Çizelge 6.1. Üç eksenli paralel mekanizma için benzetimlerde kullanılan parametreler 43
ŞEKİLLERİN LİSTESİ
Şekil Sayfa
Şekil 1.1. Genel bir Stewart platformu ... 1
Şekil 2.1. Stewart platformu ... 8
Şekil 2.2. Gough’un lastik test düzeneği ... 8
Şekil 3.1. Üç serbestlik dereceli 3-UPS/S paralel platformu ... 17
Şekil 3.2. Ele alınan 3-UPS paralel manipülatörü temsil eden çizim ... 19
Şekil 3.3. Mekanizmanın bacak yapısı ... 25
Şekil 5.1. Hesaplamalı tork kontrolü blok diyagramı ... 40
Şekil 6.1. Z ekseninde basamak giriş için bacakların HTK ile konum cevapları ... 44
Şekil 6.2. Z ekseninde basamak giriş için bacakların HTK ile uzama hızı cevapları .... 44
Şekil 6.3. X ekseninde basamak giriş için bacakların HTK ile konum cevapları ... 45
Şekil 6.4. X ekseninde basamak giriş için bacakların HTK ile uzama hızı cevapları ... 45
Şekil 6.5. Z ekseninde sinüs giriş için birinci bacağın konum cevapları ... 45
Şekil 6.6. X ekseninde sinüs giriş için bacakların HTK ile konum cevapları ... 46
Şekil 6.7. Z ekseninde basamak giriş için bacakların PD kontrol ile konum cevapları .. 46
Şekil 6.8. Z ekseninde basamak giriş için birinci bacağın PD kontrol ile hız cevapları . 46
Şekil 6.9. X ekseninde basamak giriş için bacakların PD kontrol ile konum cevapları . 47
Şekil 6.10. X ekseninde basamak giriş için bacakların PD kontrol ile hız cevapları ... 47
Şekil 6.11. Z ekseninde sinüs giriş için bacakların PD kontrol ile konum cevapları ... 47
Şekil 6.12. X ekseninde sinüs giriş için bacakların PD kontrol ile konum cevapları ... 47
SİMGELER VE KISALTMALAR
Bu çalışmada kullanılmış simgeler ve kısaltmalar, açıklamaları ile birlikte aşağıda sunulmuştur.
Simgeler Açıklamalar
Hz Hertz
kg Kilogram
m Metre
m2 Metrekare
N Newton
°/s Derece/Saniye
°/s2 Derece/Saniyekare
Kısaltmalar Açıklamalar
DOF İng. Degree of Freedom
HTK Hesaplanmış Tork Kontrolü Yöntemi
LVDT İng. Linear Variable Differential Transducer
SISO İng. Single-Input Single-Output
MIMO İng. Multi-Input Multi-Output
1. GİRİŞ
Paralel manipülatörler, çeşitli uzuvlar (bacaklar) ile bağlanan durağan (sabit) tabanın ve hareketli platformun birleşmesi ile oluşan, kapalı kinematik zincire sahip mekanizmalardır.
Genellikle aktif olarak eyletilen uzuvların sayısı mekanizmanın serbestlik derecesine eşittir, böylece her bir bacak birden fazla eyleyici tarafından çalıştırılmamakta ve her uzuvdaki diğer tüm eklemler pasif olmaktadır. Geometrik yapısı izin verdiği takdirde, tüm eyleyiciler paralel manipülatörlerin sabit tabanı ve hareketli platformu arasına yerleştirilebilir. Bir paralel manipülatörde uzuvlar yükü paylaştığından, seri muadillerine göre daha hafif olabilirler. Bütün bu hususlar paralel manipülatörlerin nispeten düşük eylemsizlik, yüksek direngenlik, daha fazla yük taşıma kapasitesi ve daha yüksek hızlar elde etmesine olanak tanımaktadır [1]. Paralel manipülatörler, benzer geometrik boyutlardaki seri eşdeğerlerine kıyasla çok daha küçük çalışma alanlarına sahip olma dezavantajına sahiptir. Genel bir Stewart platformunun görseli Şekil 1.1’de verilmiştir.
Şekil 1.1. Genel bir Stewart platformu [1]
En çok bilinen paralel manipülatörler, Gough'un lastik test makinası [2] ve Stewart'ın uçuş hareket benzetimcisi [3] olarak önerdikleri altı serbestlik dereceli platformlarıdır. Bu nedenle, ilgili paralel platformlara Gough-Stewart Platformları veya Stewart Platformları adı verilir. Bu mekanizmada her bacak sabit tabana, o bacağın uçlarında yer alan küresel veya üniversal mafsallarla bağlanır [4]. Hareketli platform, altı adet uzvun uzunluğu kontrollü olarak değiştirilerek harekete geçer.
Bu çalışmalardan belirli bir süre sonra paralel platformların üstünlükleri açıkça kabul edilmiş, popülerlik kazanmaya başlamış, kinematik ve dinamik analizleri ile çalışma uzayları üzerine çalışılmaya başlanmıştır. Mekanizmanın, nispeten kolay olan ve istenen bir konuma yönelebilmek için eyleyici kinematik ve dinamik parametrelerinin hesaplandığı ters kinematik ve ters dinamik analiz çalışmaları gerçekleştirilmiştir. Bunun dışında, belirli eyleyici kinematik ve dinamik parametrelerinin platforma nasıl bir yönelim ve yük getireceği bilgisinin elde edildiği ileri kinematik ve ileri dinamik analiz ile ilgili çalışmalar da yapılmıştır. Paralel manipülatörler için ileri kinematik ve dinamik analizlerin elde edilmesi nispeten zor olup, birden çok farklı çözüm içeren ve karmaşık matematiksel işlemler gerektiren bir çalışma olduğu bilinmektedir. Kontrol yöntemleri de mekanizma üzerine uygulanmaya başlamış ve farklı amaçlara hitap edecek farklı paralel platformlar için tip sentezi çalışmaları gerçekleştirilmiştir. Bu gelişmeler sonrasında; serbestlik derecesi, uzayda konum ve yönelim durumu, uzuv mafsal ve eyleyici yerleşimi farklı olan oldukça fazla miktarda paralel manipülatör önerilmiştir. İlk öncelerde uçuş hareket benzetimcisi ve test platformu olarak kullanılan paralel manipülatörler, daha sonra birçok alanda uygulanmaya başlamıştır.
Diğer çalışmalarda paralel manipülatörler hassas işleme tezgahlarına, cerrahi ekipmana, işaretleme ve görüntü alma cihazlarına, rehabilitasyon araçlarına ve titreşim izolatörlerine uygulanmıştır.
İlerleyen zamanlarda, Stewart platformu eksenli yürüyen çalışmaların yanı sıra, paralel robotik yapıların kullanımını gerektiren bazı durumlar için altı serbestlik derecesinin gerekmediği, daha düşük serbestlik dereceli paralel platformlar ile de istenen sonuçların alabileceği öngörülmüştür. Bu düşünce zamanla gelişerek daha düşük dereceli paralel platformların kinematik analizleri, dinamik analizleri, benzetimler, çalışma uzayları, kontrol sistemi tasarımları ve mekanizma tasarımı gibi birçok çalışmanın yapılmasına öncülük etmiştir. Daha düşük serbestlik dereceli paralel platformlar ile tasarımı ve kontrol karmaşıklığı daha da azaltılmış sistemler elde edilmesinin yolu açılmış olur. Ayrıca eyletim, algılayıcı, üretim ve bakım maliyetleri gibi etmenlerin olumsuz etkilerinin azaltılması da sağlanabilmektedir.
Bu yüksek lisans tezi ile görüntüleyici sistemler için yönelim hareketlerini sağlaması düşünülen ve tamamı lineer eyleyici kullanılarak, tamamı yönelim (İng. orientation)
hareketlerin kontrol edecek şekilde, üç serbestlik dereceli bir paralel platformun dinamik olarak modellemesi ve kontrolü ele alınmıştır. Bu konu ile ilgili olarak daha önceki çalışmalarda, üç serbestlik dereceli benzer yapıların ters kinematik analizi, dinamik analizi, çalışma uzayı analizleri yapılmıştır. Bu çalışmada ele alınan mekanizmanın kinematik analizi, diğer çalışmalarla benzer olarak paralel platformlarda genellikle kullanılan mekanizma halka kapanış denklemleri kullanılarak yapılmıştır. Dinamik analiz ise diğer çalışmalarda ele alınan virtüel iş prensibinden (İng. virtual work principle) farklı olarak Lagrange yöntemi kullanılarak yapılmıştır.
Paralel platformun istenen konuma yönelimini sağlamak için kinematik analizler ve dinamik analizler ile dinamik modelleme çıktıları olan sistemin matematiksel modeli gerekmektedir. Sistemin matematiksel modeli elde edilerek, üzerine uygulanan uygun kontrol yöntemi ile istenen geçici durum ve kalıcı durum özelliklerini sağlayan kontrolcü tasarlanmak suretiyle mekanizmanın konum kontrolü yapılabilir.
Halka kapanış denklemleri ile ters kinematik yaklaşım uygulanarak, istenen platform yönelimi girdisi yardımıyla manipülatörün bacak yer değiştirmeleri kolayca elde edilmiştir.
Ters kinematik algoritması sayesinde, hareketli platform için istenen yönelim verisi girdisi verilip hareket eden platformun o konuma erişmesine izin veren bacak yer değiştirmeleri çıktısı bulunur. Bacak yer değiştirmeleri elde edildikten sonra platform bağlantı noktalarının hızlarına geçiş yapılabilir. Platform bağlantı noktalarının hızları elde edildikten sonra Jacobian analizi ile ele alınan paralel platform için Jacobian matrisleri yardımıyla bacak hızları ve ivmeleri için çözüme ulaşılır. Jacobian matrisi, manipülatörün eklem hızları vektöründen hareketli platformun hız durum vektörüne dönüşümü sağlar.
Sistemin matematiksel modeli elde edilerek, üzerine uygulanan uygun eyleyici kuvvetlerine karşılık gelen bacak uzama miktarı ve bacak uzama hızlarını sağlayacak bir ifade geliştirilmiştir. Ardından, istenen konum değerine karşılık uygun elektriksel sinyalleri üreterek elektrik motoru ile gerekli eyletim kuvvetini planta (kontrol edilen sisteme) sağlayacak bir kontrolcü geliştirilmiştir. Geliştirilen bu kontrol yöntemi ile istenen geçici durum ve kalıcı durum özelliklerini sağlanması suretiyle mekanizmanın konum kontrolü yapılabilir. Buna karşılık, kinematik yapıya bağlı olarak, parametre belirsizlikleri ve doğrusal olmayan dinamikler nedeniyle, paralel manipülatörün tam dinamik modelini elde etmek zordur. Bu nedenle bu çalışma için, dinamik bir hibrit kontrolcü tasarlamak için
dolaylı kontrol yöntemini (eklem uzayı kontrolü) benimsemektedir. Burada dış döngü oransal ve türevsel (İng proportional plus derivative, PD) kuralına göre çalışan bir kontrolcü içermekte olup iç döngü ise, lineer olmayan platform modeli terimlerinin sisteme geribeslendiği, yani bir lineer olmayan kısım kuvvetlerinin hesaplanılarak sisteme entegre edildiği hesaplamalı tork yöntemi (İng. computed torque control) kullanılarak tasarlanmıştır.
Tez kapsamında incelenen dinamik sistemin doğrusal eyleyiciler kullanılabilmeye uygun olması, daha az eyleyici kullanılması, merkezde konumlandırılan pasif bacak ile rijitliğinin yüksek olması ve parazitik girdilere olanak vermemesi gibi etmenler ile sistemin oluşturacağı konum profillerini daha iyi bir şekilde yerine getirmesi beklenmektedir.
Doğrusal eyleyicilerle nispeten düşük stroklar elde edilmesine rağmen yüksek miktarda hız ve eyletim kuvveti çıktısı üretilebilir. Ayrıca konumlandırma hassasiyetini ve konumlama esnasında kendini kilitleyecek ve belirli bir konumda iken sürekli olarak kuvvet veya tork ihtiyacı hissetmemesi en büyük özellikleridir. Güç vidalarında kendiliğiden kilitlenme özelliği olup, yüksek verimli bilya-vidalar için bu durum mevcut olmamaktadır.
Bahsedilen dinamik sistemin kontrol edilme ihtiyacı hissedildiği için uygun bir kontrol sisteminin tasarımı gerçekleştirilmiştir.
2. LİTERATÜR TARAMASI
Paralel manipülatörler, seri manipülatörlere göre birçok üstünlüğü nedeniyle genellikle bazı robotik çalışmalarda tercih sebebi olmaktadır. Bu durum, paralel manipülatörlerin oldukça fazla akademik çalışmaya konu olmasına sebep olmuştur. Genellikle araştırmacıların problemlerine çözüm üreten paralel manipülatörlerin kinematik analizleri, dinamik modellemeleri, eyletim ve kontrol yöntemleri hakkında çalışmalar bu konuda başı çekmekle beraber, paralel mekanizmalarının tip sentezleri, çalışma uzayı analizleri, düz kinematik analiz yaklaşımları gibi çalışmalar da bulunmaktadır. Bu tez çalışmasında, istenen manipülatörün ters kinematik analizi, dinamik davranışı ve modellemesi ile kontrol sistemi tasarımı ve eyletim yöntemleri önem teşkil ettiği için, taranan kaynaklar bu doğrultuda sınıflandırılmış ve incelenmiştir.
2.1. Seri ve Paralel Robotik Mekanizmalar
Yapılacak işlerde insan gücünün yerini almak üzere yapılan çalışmalar robotik mekanizmaların (veya yaygın tabiri ile robotların) ortaya çıkmasını sağlamıştır. Robotik mekanizmaların temelini, birbirine eklenerek oluşturulan uzuvlara sahip seri robotlar oluşturmuştur. Seri robotlar endüstride çok yaygın kullanılmakta ve nispeten kolay kinematik ve dinamik çözümlere sahip olmaktadır. Açık kinematik zincire sahip olduğu için seri robotik mekanizmaların çalışma uzayı oldukça geniş olup yönlendirme kabiliyeti de yüksektir. Mekanizmanın düz kinematik çözümlemesi göreceli olarak kolaydır. Buna rağmen, birçok kritik robot uygulaması için beklenen bir talep haline gelen büyük yükler, hızlı ve hassas hareketler gerektiren görevler için uygun değildir. Bunun temel sebeplerinden biri olarak, seri robotların yapısal olarak ankastre yapıya sahip olması gösterilebilir [5]. Ayrıca seri robotların ters kinematik analizleri oldukça karmaşık yapıda olup, çeşitli nümerik hesaplama yöntemlerine başvurulması gerekebilmektedir.
Paralel robotların seri robotlara kıyasla bazı üstünlükleri, yükleri her bacağa dağıtabilmesi sebebi ile fiziksel yapı bakımından daha kararlı olması, daha hızlı ve daha hassas hareketlere olanak tanıyabilmesi, yük taşıma kapasitesinin daha fazla olması, aynı işlevi yerine getiren seri muadillerine göre daha küçük boyutlara sahip olabilmesi ve buna benzer bazı özellikler olarak sıralanabilir. Ayrıca, paralel platformlar yüksek direngenlik (İng.
stifness) ve yüksek mukavemet/ağırlık oranı gibi oldukça iyi mekanik özelliklere sahiptir.
Ayrıca, paralel robotların ilgi çekici diğer özelliklerinden biri de eyleyicileri hareketsiz tabanda konumlandırabilme ve platformu doğrudan eyleyici ile temasta tutabilme imkânıdır. Bu yapıyla, bilhassa zeminin hareket etmesini gerektirmeyen uygulamalarda, eyleyici kendi üzerine göreceli hız ve hız türevleri etki etmemekte, hareketli kısımların eylemsizliği azalmakta, bu etkenler sayesinde daha yüksek bant genişliği elde edilebilmekte ve bu durum başarımı olumlu anlamda etkilemektedir [5]. Paralel robotların seri eşdeğerlerine kıyasla avantajı, hafif uzuv kullanımı ile hızlı hareketleri gerçekleştirmek için motorları tabanda sabit tutma imkanı vermesidir. Yukarıda belirtilen nedenle, genel maksatlı seri robotların gerçekleştiremediği belirli görevleri yerine getirmek için son zamanlarda paralel manipülatörler tercih edilmektedir.
Bununla birlikte, paralel manipülatörler oldukça karmaşık kinematik ve dinamik yapılara ile seri muadillerine kıyasla nispeten küçük bir çalışma alanına sahiptir.
Paralel manipülatörlerin platform konum hataları eyleyicilerin toplam konum hatalarının ortalaması seviyesinde olabilirken, seri robotlarda genellikle her eyleyicinin konum hataları birikerek uç elemanına ulaşır. Bu durum seri robotik mekanizmalarda konum hassasiyetini etkilemektedir.
Paralel platformun ve seri platformun kazanımlarını ve kayıpları ana bir çatı etrafında toplanarak Çizelge 2.1’de belirtilmiştir.
Çizelge 2.1. Seri ve paralel robotik yapıların karşılaştırılması [5]
İncelenen özellikler Robotik Yapılar
Paralel Robotik Yapılar Seri Robotik Yapılar Manipülatör Tipi Kapalı çevrim kinematik Açık çevrim kinematik
Uç Elemanı Platform Tutucu uç
Doğal Tanım Uzayı Kartezyen uzay Bacak uzayı
Eyleyicilerin Konumu Hareketsiz tabla etrafında Bacaklar üzerinde Etkiyen atalet kuvvetleri Görece daha az Görece daha fazla
Direngenlik Görece daha fazla Görece daha az
Tasarım ana noktaları Yapı, çalışma uzayı, tekillikler, bacak girişimleri
Mukavemet ve direngenlik, titreşim karakteristikleri
Tercih edilen özelliği Direngenlik Maharet (İng. dexterity)
Düz kinematik analiz Görece zor ve karmaşık Görece kolay
Ters kinematik analiz Görece kolay Görece zor ve karmaşık
Tekillik Statik Kinematik
Kuvvet iletimi İyi tanımlı ve tek İyi tanımlı değil Tercih edilen kullanım Hassas konumlama Kaba hareket
2.2. Stewart Platformu
Stewart platformu, altı serbestlik derecesine ve altı uzva sahip, tam paralel bağlantılı bir paralel mekanizmadır [2,3]. Stewart Platformunun mekanik yapısı oldukça basittir. Altı doğrusal eyleyicinin, küresel mafsal (İng. spherical joint) ile bağlandığı bir yük taşıma platformundan oluşur. Eyleyicilerin diğer uçları ise mekanizmanın tabanına kardan
mafsallarıyla (İng. universal joint) tutturulmuştur. Eyleyicilerin platforma bağlı uçlarındaki küresel mafsallar üç dönme serbestlik derecesine sahip iken, alt kısımdaki iki serbestlik dereceli mafsal (kardan mafsalı) vasıtasıyla bağlanır. Bu bacak yönelimi 6-UPS (İng.
universal-prismatic-spherical) olarak sınıflandırılmaktadır.
Şekil 2.1. Stewart platformu [3]
Şekil 2.2. Gough’un lastik test düzeneği [2]
Bazı Stewart platformlarında, taban ve platform bağlantılarının hepsinde küresel mafsal kullanılarak 6-SPS (İng. spherical-prismatic-spherical) bacak bağlantı düzeni oluşturulmuştur. Bu durumda bacak kinematik yapısı değiştiği için bacak açısal hızları ve açısal ivmeleri ile bacak dinamik denklemleri, 6-UPS düzeninden bir miktar farklılık göstermektedir. [4,5]. Altı eyleyicinin doğrusal uzaması ve kısalması, platforma üç öteleme ve üç dönel serbestlik derecesinden oluşan altı serbestlik derecesi ve dolayısı ile 6
serbestlik dereceli konumlama yeteneği kazandırır. Doğrusal eyletim hidrolik, pnömatik veya elektrikli sistemler ile sağlanabilir. Hidrolik ve pnömatik sistemler, kontrol edilen bir silindire sahiptir. Elektrik motorlu sistemler ise, genellikle bir bilya-vida mekanizması kullanılarak motor mili dönüsü, milin uzayıp kısalması ile öteleme hareketine dönüştürülür. Bu tür eyletim ile, bacakların konum ve hız gibi eklem uzayı durum değişkenleri, motor millerine döner kodlayıcılar, potansiyometreler, LVDT’ler (İng. linear variable differential transducer) ve takometrelerin monte edilmesi ile kolayca elde edilir.
2.3. Uzuv Sayısı/Çalışma Uzayı
Bu çalışmada üç serbestlik derecesine sahip (İng. 3-DOF) paralel kinematik manipülatörler ele alınarak hareket benzetimcisinin dinamik modellemesi ve kontrolü incelenmiştir.
Paralel manipülatörler çalışma uzayı açısından, bacak uzayı (İng. leg-space) ve kartezyen çalışma uzayı (İng. task space) olarak incelenmektedir. Bacak uzayı, bacak uzama miktarları, hızları ve ivmelerini esas alarak kinematik ve dinamik analizlerin yapıldığı yaklaşım olup kartezyen çalışma uzayında ise, hareketli platformun yönelim, hız ve ivmelerinin ele alınarak kinematik, dinamik analiz ve kontrol sistemi tasarımı çalışmalarının gerçekleştirildiği uzay olarak tanımlanabilir.
Platform bacak uzayı değişkenlerinin kullanıldığı kontrol sistemi mimarisi merkezi kontrol veya çok girişli-çok çıkışlı (İng. multi input multi output, MIMO) olarak bilinmektedir.
Merkezi kontrol (eylem uzayı veya SISO kontrol) ile tüm sistemin dinamik durumu göz önüne alındığından daha iyi dinamik özellikler elde edebilir. Ancak, paralel mekanizmaların çoğunda belirsizlikler ve karmaşık dinamikler yüzünden kontrolcü tasarımı zorlaşabilir. Merkezi kontrol stratejisi, elde paralel manipülatörlerin edilmesi güç olan ileri kinematik çözümünü veya platformun konum ve yönelim hızlarının geri- beslemesinin yapılacağı pahalı algılayıcıları (ivmeölçer, dönüölçer ve benzerleri) gerektirmesi nedeniyle pratik bir çözüm olmaktan uzaklaşır.
Öte yandan mekanizma bacak uzama miktarları, hız ve ivme değişkenlerinin kullanıldığı kontrol sistemi mimarisi merkezi kontrol veya MIMO olarak bilinmektedir. Merkezi olmayan kontrol, her bir parçayı bütün sistemin bilgisine ihtiyaç duymadan kontrol etmek
üzere tasarlanmıştır. Dolayısıyla, sistemin belirsizliklerine ve bağlılık etkilerine karşı dayanıklılığa sahiptir. Ayrıca merkezi olmayan kontrol, elde edilmesi nispeten kolay olan paralel manipülatörlerin ters kinematik çözümünü kullanarak bacak parametrelerinin hesaplanması ve kontrol sisteminde eyleyicilerle bütünleşik algılayıcılardan geribesleme alarak nispeten daha basit mimari sunmaktadır.
2.4. Ters Kinematik Analiz
Paralel manipülatörlerin konum analizinin yapılması için genel olarak iki farklı yaklaşım mevcuttur. Bu yaklaşımlar ters kinematik (İng. inverse kinematic) analiz ve düz kinematik (İng. forward kinematic) analiz olarak bilinmektedir.
Temel olarak ters kinematik analiz, manipülatör platformunun Kartezyen uzayda istenen konum ve yönelimi sağlaması için gerekli olan bacak uzunluk ve hızlarının elde edildiği yöntemdir. Seri robotlar için yüksek dereceden denklemler oluşturarak analitik oldukça zor çözümler üretilmesine neden olan ve nümerik metotların kullanılmasına mecbur bırakan bu yöntem paralel manipülatörlere uygulandığında ise çözümü analitik olmakta ve oldukça kolay hesaplanabilmektedir. Ters kinematik analiz bu hali ile kontrol uygulamaları için anahtar yöntem olarak görülebilir [6].
Düz kinematik analiz ise ters kinematik analizin tersine, eyleyicilere ve bacaklara girdi yapılan uzunluk değerlerinin platforma Kartezyen uzayda hangi konum ve yönelimi sağlayacağını analiz etmektedir. Yine ters kinematiğin aksine, düz kinematik yaklaşımı seri robotlar için kolayca hesaplanabilen analitik sonuç vermekte olup, paralel manipülatörler için oldukça karmaşık ve yüksek mertebeden denklemler türetmekte, analitik olarak çözüme ulaşmayı oldukça zor kılmakta ve nümerik yöntemler ile dirsek temasında olmayı gerektirmektedir [7].
2.5. Dinamik Analiz ve Modelleme
Mekanizmanın kapalı zincir yapısı ve dinamik denklemlerin bacaklara uygulanması nedeniyle dinamik analizler belirli bir karmaşıklığa sahiptir. Fakat bu durum matrisler ve vektörler ile daha kolay çözülebilir hale getirilmektedir. Paralel manipülatörlerin dinamik analizi için Newton-Euler yöntemi, Lagrange yöntemi, Kane yöntemi, vida teorisi ve
virtüel iş prensibi gibi yöntemler kullanılmıştır. Ayrıca dinamik modellemede bazı kabullerin yapıldığı yaklaşık veya mekanizmanın dinamiği olduğu gibi modellenerek tam dinamik yaklaşımlar kullanılmaktadır. Yaklaşık dinamik analizde genellikle bacakların ataletleri ihmal edilmekte, kütleleri ağırlık merkezinde nokta kütle (İng. point mass) olarak kabul edilmekte ve hesaplamaları kolaylaştıracak buna benzer yaklaşımları içermektedir.
Bu kolaylaştırmalar yaklaşık dinamik analizlerin getirisi olurken, sistemi tam anlamı ile tanımlamaktan uzaklaşma gibi bir götürüsü de olmaktadır. Bu durumun da tasarlanacak kontrol sisteminin etkisini azaltması beklenecektir.
Tam dinamik yaklaşım kullanılarak bir Stewart platformu için dinamik denklemler Newton-Euler yöntemi ile elde edilmiştir [1]. Newton-Euler yaklaşımı, uygulanabilir bir yöntem olmanın yanında bütün ivmelerin, hızların, kısıt kuvvetlerinin ve momentlerinin hesaplanmasını gerektirmektedir. Diğer çalışmalarda ise dinamik denklemler Lagrange yöntemi ile elde edilmiş olup, bu yöntemlerle mekanizmanın eylemsizlik, sönümleme ve yerçekimi matrisi parametreleri elde edilmiş ve bu matrisler dinamik denkleme uygulanarak bu denklemler kontrolcü uygulamalarına uygun hale getirilebilmektedir [7-9].
Lagrange yöntemi ile bileşenlerin üzerine etki eden kuvvetler ve ivmelerin bilinmesi gerekmeden platformun dinamik denklemleri çıkarılabilir. Bu yöntem ile, kontrol sistemi tasarımına uygun olarak sistem plantının kütle eylemsizlik matrisi, sönüm matrisi ve yaylanma matrisi elde edilmektedir. Genellikle kütle eylemsizlik matrisi ve sönüm matrislerinin hesaplanması fazla hesaplama gerektirmektedir [10].
Vida teorisi kullanılarak da bir Stewart platformunun dinamik analizi ve dinamik modelinin elde edildiği çalışmalar mevcuttur [11]. Enerji yöntemi olarak da bilinen virtüel- iş prensibi ile yapılan çalışmalar da mevcuttur [12-14]. Virtüel iş prensibi yaklaşımı da etkin uygulanabilir bir yöntem olmakla birlikte dinamik denklemlerin yapısı birbirine bağlı olan kapalı fonksiyonlar şeklinde elde edildiği için yöntemin kendine has zorlukları vardır [15-16]. Ayrıca, uygun yaklaşım ve modelleme yaklaşımları kullanılmadığı takdirde benzetim ve kontrol sistemi tasarımı çalışmalarında zorluklar çıkabilecektir.
Bu çalışmalarda platform kütle merkezinin platform orta noktasında olduğu, kütle eylemsizlik momenti matrisinin köşegen matris olduğu gibi (köşegen dışındaki çarpım eylemsizlik momentlerinin ihmal edilmesi) yaklaşımlar yapılmıştır. Bununla birlikte, bacak fiziksel yapısı izin verdiği ölçüde ve makul durumlarda bacak eylemsizliği de ihmal edilebilir. Bir çok çalışma bu yaklaşımı uygulamasına rağmen, bacak eylemsizliklerinin
hesaplara dahil edilmediği taktirde sistemin hassasiyetinden kayıpların yaşanabileceğini analiz eden çalışmalar da vardır [17].
Bütün bu çalışmaların ışığında, Stewart Platformu için Newton-Euler ve Lagrange yöntemlerinin üstünlük sağladığı noktalar elde edilerek dinamik denklemler türetilmiş ve benzetim ile kontrol sistemi tasarım çalışmalarında kullanılmıştır [10,15].
2.6. Eyletim
Paralel mekanizmaların konum ve yönlendirilmesi için genellikle elektromekanik, hidrolik, elektrohidrolik veya pnömatik, eyleyiciler kullanılmaktadır. Bunun dışında piezoelektrik eyleyiciler gibi diğer çeşitli eyleyiciler de uygun koşullarda uygulanmaktadır [18].
Hidrolik ve elektrohidrolik eyleyiciler oldukça yüksek yük yoğunluğu sağlayarak daha fazla güç ve daha yüksek hız gerektiren uygulamalar için yaygın olarak tercih edilirler [19]. Bununla beraber, elektrik motoru teknolojisinde ortaya çıkan yenilikler doğrultusunda daha verimli, daha güçlü elektrik motorlarının üretilmesinin önünü açmıştır.
Elektrik motorlarının diğer üstünlükleri, ağırlık ve boyutlarının azalması, bakım ve işletme maliyetlerinin oldukça düşmesi, verimli olması, tehlikeli akışkanlar ve yüksek basınçlı hidrolik ve pnömatik bileşenler içermemesi, kaçak ve sızdırma sorunları olmaması örnek olarak gösterilebilir. Geçmiş çalışmalarda yaygın olarak kullanılan hidrolik ve elektrohidrolik eyletimin güncel çalışmalarda yerini yavaş yavaş elektromekanik eyletime bıraktığı görülmektedir. Bu kapsamda, gelecek vaat eden elektrik motoru eyletimli paralel manipülatörlerin kullanılması konusunda çalışmalar yapılmıştır.
2.7. Kontrol Yöntemleri
Paralel mekanizmaların kontrol yöntemleri, kontrol ettikleri uzaylar cinsinden Kartezyen uzayı kontrolü ve eklem uzayı kontrolü olarak sınıflandırılabilirler. Doğrudan kontrol yöntemi olan Kartezyen uzayı kontrol yönteminde, platformun konum ve yönelim parametreleri Kartezyen düzlem üzerinde istenen konum ve yönelim değerlerine yakınsatılarak kontrol edilir. Bu yöntem aslında tablanın MIMO esaslı kontrolü ilkesine dayanmaktadır. Bu kontrol yönteminde Kartezyen uzay değişkenlerinin kontrol sistemine hata sinyali üretmesini sağlayacak algılayıcıların bulunması gerekmektedir. Bu sensörler tabla üzerinden konum ve hız verisi alabilen dönüölçerler, ivmeölçerler ve benzeri
algılayıcılardır. Bu tür sensörleri sistem üzerinde kullanmak oldukça maliyetli olup, ayrıca bu sensörlerin ürettiği verileri işlemek ve incelemek de ayrıca bir yük getirmektedir.
Bunun yerine ileri kinematik analiz ile platform durum değişkenleri elde edilebilir. Fakat bu yöntem de matematiksel olarak oldukça ağır olmakta, sayısal yöntemler kullanılmak zorunda kalınmakta ve bu durum bir hayli işlem yükü getirmektedir. Bu nedenle, özel bir gereksinim olmadıkça eklem uzayı kontrol yöntemini tercih etmekte yarar vardır [20].
Eklem uzayı kontrolü ise paralel manipülatörün eyletilen eklemlerinin durum değişkenlerinin ölçülerek hata sinyali üretmesi ve ters dinamik analiz ile uygun tasarlanmış bir kontrolcü ile sisteme kontrol girişi vererek sistemin durum değişkenlerini istenen değere yakınsatmayı amaçladığı bir sistemdir. Bu yöntem aslında her bacağın tek girişli- tek çıkışlı (İng. single input-single output, SISO) kontrolü ilkesine dayanmaktadır. Bu yöntem ile tablanın istenen yönelimi, bir dönüşüm matrisi ile işleme sokularak bacak boylarının kontrol edilmesi sağlandığı için dolaylı bir kontrol yöntemidir. Genellikle, hal-i hazırda eyleyicilerin eyletim kuvvetini kapalı döngü çevrimde kontrol edilmek istenmesi ile eyletilen uzvun konumunu ve/veya hızını ölçmek için kullanılan sensörlerin çıktılarını kullanılabilir. Bu tür sensörler potansiyometre, kodlayıcı, çözücü gibi sensörler olabilir. Bu sensörlerin ürettiği verileri işlemek, incelemek ve kontrol sinyali oluşturacak şekilde manipüle etmek nispeten kolaydır.
Kontrol sisteminin kullandığı uzay yukarıdaki bilgilere göre elde edildikten sonra kontrol sistemi için uygun kuralı oluşturan kontrol yöntemleri uygulanabilir. Kontrol sistemleri kabaca, klasik yöntemler ve modern kontoller olarak iki çatı altında toplanabilir. Klasik yöntemler içinde oransal, tümlevsel ve türevsel (İng. proportional plus integral plus derivative, PID) işlemi temelli kontrol gibi alışılagelmiş ve nispeten basit yöntemler mevcuttur. Fakat bu yöntemler enerji eniyilemesine sahip değildir. Klasik kontrol yöntemi olan PID kontrol nominal sistemler için çok etkin bir kontrol sistemi geliştirilmesini sağlar.
Fakat sistemlerde olan belirsizlikler kontrol kuralına etki ettirilemediği için belirsizliklerin olduğu durumda başarımları oldukça düşmektedir. Paralel platformlar da hareketi esnasında oldukça değişen eylemsizlik özellikleri, üzerine gelen değişken bozucu girişler, sürtünme gibi modellemesi oldukça zor olan olgular nedeniyle yüksek belirsizlik oranına sahip olabilir. Bu belirsizlikler birçok kontrol yöntemi ile telafi edilebilir. Gürbüz kontrol (İng. robust control) yöntemi ile mekanizmanın eylemsizlik, Coriolis-merkezkaç tabanlı sönüm ve yerçekimi tabanlı yaylanma parametre matrislerinin belirsizlik sınırları
öngörülmekte, sisteme etki edecek en kötü durum kestirilmekte ve bu en kötü duruma bile cevap verebilir kontrolcünün sentezlenmesi ile manipülatörün başarımı istenen ölçüde şekillendirilmiş olur. Uyarlamalı kontrol ile de klasik kontrolde karşılaşılabilecek sorunların çözüme ulaştırıldığı araştırmalar mevcuttur [21]. Gürbüzlüğüne rağmen, belirsizlikleri öngören sistem modelinin sürekli hesaplanması gerekliliği kontrol yönteminin en büyük zayıflıklarındandır. Her yeni durum için sistem modelinin tekrar tekrar oldukça büyük hesaplama yükü bu tür sistemlerde istenen bir durum olmamaktadır.
Bir diğer modern kontrol yöntemi ise kayan kipli kontrol yaklaşımıdır. Kayan kipli kontrol, gürbüzlüğü ve türetilmiş kontrol algoritmasının sadeliği nedeniyle ilginç bir yaklaşımdır. Sistemin Lyapunov hata fonksiyonunun türevi bir kayma yüzeyi ile kontrol edilmekte ve sisteme uygun kontrol girişleri vermektedir. Fakat, kayan kipli kontrol yaklaşımının doğası gereği sisteme verilen yüksek frekanslı ve genliği ile yönü sürekli değişen konrol girdileri türetmekte, bu durum sistemde çatırdama (İng. chattering) adı verilen tepkilere yol açmakta ve bu durum sistemi mekanik açıdan etkilemektedir. Bu etkiyi azaltıcı çalışmalar sürdürülmektedir.
Tüm bunların yanında, Lineer olmayan plant terimlerinin sisteme geri beslendiği ters dinamik kontrol ise oransal ve türevsel (İng. proportional plus derivative, PD) veya PID kontrol ile birlikte, lineer olmayan Coriolis ivmeleri, sürtünmeler, yerçekimi gibi olguların davranışlarını elimine ederek klasik kontrol kuralının sisteme kolayca uyarlanabilmesi sayesinde pratik çözümler sunabilir. Bu tür bir kontrol yöntemine hesaplamalı tork kontrolü veya ters kinematik kontrol (İng. inverse dynamics control) olarak bilinmektedir [22]. Paralel manipülatörler için ters dinamik kontrol (İng. inverse dynamics control) adı verilen ve plant dinamiğinde yer alan, nonlineer terimlerin sisteme geri besleme ile tekrar girdi oluşturarak yok edilmesi yöntemi mevcut olup plant dinamiği ve belirsizlik miktarı kestirildiğinde çok daha kolay tasarlanan ve etkin bir kontrolcü elde edilebilmektedir. Bu yöntemin zayıflıkları ise belirsizliklerin, modellenemeyen dinamiklerin fazla ve tahmin edilmeyen şekillerde olması kontrol sistemini kolayca kararsız hale gelmesine sebep olabilmesi ve dinamik modelin gerçek zamanlı hesaplanması ve sisteme verilmesinin hesaplama yükünü artırması olarak gösterilebilir [23].
Bu tez çalışması, birbirine dik olan ve üç ekseninde (X, Y, Z eksenleri için) dönme serbestliğini sağlayacak olan üç eksenli bir paralel kararlılaştırma platformu için iç ve dış döngülerin doğrusal olmayan, oransal ve tümlevsel (İng. Proportional and Integral) kontrol
yöntemini göz önüne alan ve ters kinematik kontrol (veya hesaplamalı tork kontrolü adı ile de bilinmektedir) yaklaşımının kullanılarak tasarlandığı dinamik bir hibrit kontrol yöntemi önermektedir.
3. BACAK YAPISI 3-UPS/S DİZİLİMLİ PARALEL MANİPÜLATÖRÜN MODELLEMESİ
3.1. Manipülatör Geometrisi
Üç serbestlik dereceli 3-UPS/S paralel platformu, altı serbestlik dereceli Stewart platformunun öteleme hareketleri kısıtlanmış ve birbirine dik üç eksende yönelim hareketlerini gerçekleştirebilen bir özel hali olarak düşünülebilir. U harfi taban ile eyleyiciyi birbirine bağlayan kardan mafsalını (İng. universal joint), P harfi taban ile platfom arasında olan prizmatik eyleyici mafsalını, S harfi ise eyleyici ile platformu birbirine bağlayan küresel mafsalı (İng. spherical joint) göstermek üzere mekanizma platformu, tabana üç adet aktif UPS bacağı ve bir adet pasif bacak ile bağlıdır. Platformun aktif bacaklara olan üç bağlantısı ve pasif bacağın olduğu bağlantı küresel mafsallar ile gerçekleştirilir.
Şekil 3.1. Üç serbestlik dereceli 3-UPS/S paralel platformu
Platformun bacaklar ve bacakların da tabanla olan bağlantıları Şekil 3.1 ile katı modelde gösterilmektedir.
3.2. Manipülatörün Hareket Serbestliği Analizi
Robotik mekanizmaların hareket serbestliği analiz edilirken Grübbler denklemleri kullanılabilir. İlgili hareket serbestliği (İng. mobility) analizi, ele alınan paralel platform için Eş. 3.1 ile yapılmış olup serbestlik derecesi üç olarak elde edilmiştir.
3 ) 3 1 1 (
* 3 ) 1 6 3 ( 6 )
1 (
1
= + + + +
−
= +
−
−
=
∑
= n
i
fi
j l
m l (3. 1 )
Bu denklemde;
m: mekanizmanın hareket serbestliğini gösteren ifade (serbestlik derecesi),
l : içinde bulunulan uzayda var olan serbestlik derecesi (kartezyen uzay için l=6), l : uzuv adeti,
j: eklem adeti,
f : i her eklemin sahip olduğu hareket serbestliğidir.
3.3. Platformun Ters Kinematik Analizi
Paralel manipülatörler için ters kinematik analiz, hareketli platformu Kartezyen uzayda istenen yönelime getirmek için bacak uzayında, uzuvların eyleyicilerinin gerçekleştirmesi gereken uzama ve kısalma miktarının elde edildiği yöntem olarak tanımlanabilir. Birçok çalışmada altı serbestlik dereceli bir sistemin ters kinematik analizi elde edilmiştir. Benzer yöntem, ele alınan üç serbestlik dereceli platformlara da benzer şekilde uyarlanmıştır [24-25].
Şekil 3.2. Ele alınan 3-UPS paralel manipülatörü temsil eden çizim [26].
Şekil 3.2’de, sabitlenmiş {A} eksen takımında tanımlanan taban ile, hareketli {B} eksen takımında tanımlanan platformun köşeleri simetrik olacak şekilde birleştirilip, ayrıca merkezindeki bağlantı da göz önüne alınarak kapalı bir kinematik bir zincir elde edilmiştir.
Bu kinematik zincir aşağıda Eş. 3.2 ile ifade edilebilir. Yönelim matrisi 𝑩𝑩𝐴𝐴𝑅𝑅olacak şekilde,
𝐴𝐴𝑏𝑏
𝑖𝑖 = 𝑥𝑥 + 𝑅𝑅𝑩𝑩𝐴𝐴 . 𝑏𝑏𝐵𝐵 𝑖𝑖 ( 3.2 )
Burada, yönelim matrisi 𝑩𝑩𝐴𝐴𝑅𝑅, {A} eksen takımında işaret edilen platformun bağlantı noktaları 𝑏𝑏𝐴𝐴 𝑖𝑖, {B} eksen takımında işaret edilen platformun bağlantı noktaları 𝑏𝑏𝐵𝐵 𝑖𝑖 , şeklinde belirtilmiştir. Ayrıca, taban ve hareketli platformun bağlantıları arası, bacak konum ve yönelimini gösteren 𝐿𝐿�⃗𝑖𝑖 vektörü,
𝐿𝐿�⃗𝑖𝑖 = 𝑏𝑏�⃗𝑖𝑖− 𝑎𝑎⃗𝑖𝑖 ( 3.3 )
taban ile manipülatör eksen takımları arasındaki vektörel olarak verilen uzunluk 𝑥𝑥 ise;
𝑥𝑥⃗ = 𝑃𝑃�⃗𝐴𝐴 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 ( 3.4 )
şeklindedir. Platformun hareketli ekseninin, sabit eksen takımına göre yönelimini ifade eden yönelim matrisi ise Z-X-Z Euler açıları kullanılarak aşağıdaki gibi ifade edilebilir:
𝑩𝑩𝑅𝑅
𝐴𝐴 = �𝑐𝑐𝑐𝑐 −𝑠𝑠𝑐𝑐 0 𝑠𝑠𝑐𝑐 𝑐𝑐𝑐𝑐 0
0 0 1� �1 0 0
0 𝑐𝑐𝑐𝑐 −𝑠𝑠𝑐𝑐
0 𝑠𝑠𝑐𝑐 𝑐𝑐𝑐𝑐 � �𝑐𝑐𝑐𝑐 −𝑠𝑠𝑐𝑐 0 𝑠𝑠𝑐𝑐 𝑐𝑐𝑐𝑐 0
0 0 1� ( 3.5 )
Eş. 3.5 içerisinde gösterilen 𝑐𝑐 açısı z-ekseninde istenen yönelim değerini, 𝑐𝑐 açısı yeni oluşan eksen takımına göre x-ekseninde istenen yönelim değerini, 𝑐𝑐 açısı ise en son oluşan eksen takımına göre z-ekseninde istenen yönelim değerini derece olarak, c ve s harfleri ise sırasıyla kosinüs ve sinüs trigonometrik işlevlerini temsil etmektedir.
Eş. 3.5 ile elde edilen, platformun açısal hız 𝜔𝜔��⃗ ve açısal ivme 𝛼𝛼⃗ eşitlikleri ise aşağıdaki verilmiştir [10]:
𝜔𝜔��⃗ = �
𝑐𝑐̇𝑐𝑐𝑐𝑐 + 𝑐𝑐̇𝑠𝑠𝑐𝑐𝑠𝑠𝑐𝑐 𝑐𝑐̇𝑠𝑠𝑐𝑐 − 𝑐𝑐̇𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑐𝑐
𝑐𝑐̇ + 𝑐𝑐̇𝑐𝑐𝑐𝑐
� ( 3.6 )
𝛼𝛼⃗ = �−𝑐𝑐̇𝑐𝑐̇𝑠𝑠𝑐𝑐 + 𝑐𝑐̇𝑐𝑐̇𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑐𝑐 + 𝑐𝑐𝑐𝑐̇̇𝑠𝑠𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 + 𝑐𝑐̈𝑐𝑐𝑐𝑐 + 𝑐𝑐̈𝑠𝑠𝑐𝑐𝑠𝑠𝑐𝑐 𝑐𝑐̇𝑐𝑐̇𝑐𝑐𝑐𝑐 + 𝑐𝑐̇𝑐𝑐̇𝑠𝑠𝑐𝑐𝑠𝑠𝑐𝑐 − 𝑐𝑐̇𝑐𝑐̇𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 + 𝑐𝑐̈𝑠𝑠𝑐𝑐 − 𝑐𝑐̈𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑐𝑐
−𝑐𝑐̇𝑐𝑐̇𝑠𝑠𝑐𝑐 + 𝑐𝑐̈ + 𝑐𝑐̈𝑐𝑐𝑐𝑐
� ( 3.7 )
Hareketli platform ve taban bağlantı arasındaki uzaklık 𝑙𝑙𝑖𝑖 olarak aşağıdaki gibi elde edilebilir:
𝑙𝑙𝑖𝑖 = �𝐿𝐿𝑖𝑖. 𝐿𝐿𝑇𝑇𝑖𝑖 = �(𝑏𝑏𝑖𝑖𝑖𝑖− 𝑎𝑎𝑖𝑖𝑖𝑖)2+ �𝑏𝑏𝑖𝑖𝑖𝑖− 𝑎𝑎𝑖𝑖𝑖𝑖�2+ (𝑏𝑏𝑖𝑖𝑖𝑖− 𝑎𝑎𝑖𝑖𝑖𝑖)2 ( 3.8 )
𝐿𝐿�⃗𝑖𝑖 vektörünün doğrultusunu ifade eden si birim vektörü, ilgili vektörün kendi normuna oranı ile elde edilir.
𝑠𝑠̂𝑖𝑖 =𝐿𝐿�⃗𝑖𝑖
𝑙𝑙𝑖𝑖 ( 3.9 )
Bu yöntem ile mekanizmanın ters kinematik analizi gerçekleştirilmiş ve bacak uzama miktarları elde edilmiş olunmaktadır.
3.4. Bacak Kinematik Parametreleri
Daha önceki çalışmalarda bacak kinematik parametreleri elde edilmiş olup ele alınan 3- UPS/S paralel manipülatörüne benzer prosedür uygulanmıştır [10]. Bacakların platforma bağlantı noktalarındaki hız vektörleri 𝑏𝑏̇�⃗𝑖𝑖, Eş. 3.2’nin türevi alınarak elde edilir.
𝑏𝑏̇�⃗𝑖𝑖 = 𝑥𝑥̇⃗ + 𝜔𝜔��⃗ × 𝑅𝑅𝑩𝑩𝐴𝐴 . 𝑏𝑏𝐵𝐵 𝑖𝑖 ( 3.10 )
Burada kullanılan bacak ve mafsal yapısı, paralel manipülatörün platformunun sadece yönelim hareketlerini yapmasına olanak verdiğinden diğer tüm öteleme hareketleri ve bunların türevi sıfır olacaktır.
𝑥𝑥̇⃗ = 𝑥𝑥̈⃗ = 0 ( 3.11 )
𝑏𝑏̇�⃗𝑖𝑖 = 𝜔𝜔 × 𝑅𝑅𝑩𝑩𝐴𝐴 . 𝑏𝑏𝐵𝐵 𝑖𝑖 ( 3.12 )
Bacak uzamalarının hızları olan 𝑙𝑙̇𝑖𝑖 ise aşağıda tanımlanmıştır:
𝑙𝑙̇𝑖𝑖 = 𝑏𝑏̇�⃗𝑖𝑖 ⋅ 𝑠𝑠̂𝑖𝑖 = 𝜔𝜔 × 𝑅𝑅𝑩𝑩𝐴𝐴 . 𝑏𝑏𝐵𝐵 𝑖𝑖 ⋅ 𝑠𝑠̂𝑖𝑖 ( 3.13 )
Tabla açısal hızları ile bacak hız değerleri arası ilişkiyi ifade eden Jacobian matrisi 𝐽𝐽1 ise aşağıdaki gibidir:
𝑙𝑙̇𝑖𝑖 = 𝐽𝐽1 ⋅ 𝜔𝜔 ( 3.14 )
𝐽𝐽1 = �
( 𝑅𝑅𝑩𝑩𝐴𝐴 . 𝑏𝑏𝐵𝐵 1 × 𝑠𝑠̇⃗1)𝑇𝑇 ( 𝑅𝑅𝑩𝑩𝐴𝐴 . 𝑏𝑏𝐵𝐵 2 × 𝑠𝑠̇⃗2)𝑇𝑇 ( 𝑅𝑅𝑩𝑩𝐴𝐴 . 𝑏𝑏𝐵𝐵 3 × 𝑠𝑠̇⃗3)𝑇𝑇
�
3×3
( 3.15 )
𝑙𝑙̇𝑖𝑖 = 𝐽𝐽1 𝐽𝐽2 𝑞𝑞̇ ( 3.16 )
𝑞𝑞̇ = [𝑐𝑐̇ 𝑐𝑐̇ 𝑐𝑐̇] ( 3.17 )
𝐽𝐽2 = [𝜔𝜔]3×3 ( 3.18 )
𝐽𝐽1 = 𝐽𝐽1 𝐽𝐽2 ( 3.19 )
Hareketli platformun bağlantı noktasındaki hız vektörünün ivmesi 𝑏𝑏̈�⃗𝑖𝑖 ise, Eş. 3.10’da bulunan hız denkleminin bir kere türevinin alınması ile elde edilir.
𝑏𝑏̈�⃗𝑖𝑖 = 𝛼𝛼 × 𝑅𝑅𝑩𝑩𝐴𝐴 . 𝑏𝑏𝐵𝐵 𝑖𝑖 + 𝜔𝜔 × (𝜔𝜔 × 𝑅𝑅𝑩𝑩𝐴𝐴 . 𝑏𝑏𝐵𝐵 𝑖𝑖 ) ( 3.20 )
Bacak uzama ivmeleri 𝑙𝑙̈𝑖𝑖 ise aşağıdaki gibi olmaktadır:
𝑙𝑙̈𝑖𝑖 = 𝑏𝑏̈𝑖𝑖𝑠𝑠̂𝑖𝑖+ 𝑏𝑏𝚤𝚤̇ 𝑠𝑠̇𝑖𝑖 = 𝑏𝑏̈𝑖𝑖𝑠𝑠̂𝑖𝑖+ 𝑏𝑏𝑖𝑖(𝜔𝜔 × 𝑠𝑠̂𝑖𝑖) ( 3.21 )
Burada, bacak uzama doğrultusundaki birim vektörün türevi ise Eş. 3.9 yardımıyla, aşağıdaki gibi bulunmaktadır:
𝑠𝑠̇𝑖𝑖 = (𝜔𝜔 × 𝑠𝑠𝑖𝑖) ( 3.22 )
𝐿𝐿�⃗𝑖𝑖 = 𝑙𝑙𝑖𝑖𝑠𝑠̂𝑖𝑖 ( 3.23 )
𝑠𝑠̇⃗𝑖𝑖 =𝐿𝐿̇�⃗𝑖𝑖𝑙𝑙𝑖𝑖 − 𝐿𝐿�⃗𝑖𝑖𝑙𝑙̇𝑖𝑖
𝑙𝑙𝑖𝑖2 ( 3.24 )
𝑙𝑙𝑖𝑖 = �𝐿𝐿�⃗𝑖𝑖. 𝐿𝐿�⃗𝑖𝑖 ( 3.25 )
Eş. 3.24 ile Eş. 3.8 birlikte yazılırsa;
𝑙𝑙̇𝑖𝑖 = 1
2(𝐿𝐿𝑖𝑖. 𝐿𝐿𝑇𝑇𝑖𝑖)−12 �𝐿𝐿̇�⃗𝑖𝑖𝐿𝐿�⃗𝑖𝑖+ 𝐿𝐿�⃗𝑖𝑖𝐿𝐿̇�⃗𝑖𝑖� ( 3.26 )
olur. Bacak uzama vektörünün türevi alınırsa;
𝐿𝐿̇�⃗𝑖𝑖 = 𝜔𝜔 × 𝑅𝑅𝑩𝑩𝐴𝐴 ⋅ 𝑏𝑏𝐵𝐵 𝑖𝑖 ( 3.27 )
elde edilir.
3.5. Mafsal Kinematik Parametreleri
Ele alınan paralel manipülatörde taban ile bacak arasındaki bağlantı kardan mafsalı (İng.
universal joint) kullanılarak gerçekleştirilmiştir.. Kardan mafsalı iki serbestlik dereceli bir eklem yapısıdır. Bu yapı sayesinde bacağın birbirine dik olan iki eksende de dönüş hareketleri yapmasına olanak sağlanır. Paralel manipülatörün dinamik analizi için bacağın yapısı ve bacak bileşenlerinin kinematik özelliklerinin bilinmesi gerekmektedir. Daha önceki çalışmalarda mafsal kinematik parametreleri elde edilmiş olup ele alınan 3-UPS/S için benzer prosedür paralel manipülatörüne uygulanmıştır [10].
Platform üzerinde bir kinematik zincir denklemi yazılırsa;
𝐴𝐴𝑏𝑏
𝑖𝑖 = 𝑙𝑙𝑖𝑖𝑠𝑠̂𝑖𝑖+ 𝑎𝑎𝐴𝐴 𝑖𝑖 ( 3.28 )
Bu denklemin türevi hız;
𝐴𝐴𝑏𝑏̇
𝑖𝑖 = 𝑤𝑤��⃗𝑖𝑖 × 𝑙𝑙𝑖𝑖𝑠𝑠̂𝑖𝑖 + 𝑙𝑙̇𝑖𝑖𝑠𝑠̂𝑖𝑖 ( 3.29 )
ve ikinci türevi ivme;
𝐴𝐴𝑏𝑏̈
𝑖𝑖 = 𝛼𝛼 × 𝑙𝑙𝑖𝑖𝑠𝑠̂𝑖𝑖 + 𝑤𝑤��⃗𝑖𝑖× (𝑤𝑤��⃗𝑖𝑖× 𝑙𝑙𝑖𝑖𝑠𝑠̂𝑖𝑖) + 2𝑤𝑤��⃗𝑖𝑖× 𝑙𝑙̇𝑖𝑖𝑠𝑠̂𝑖𝑖 + 𝑙𝑙̈𝑖𝑖𝑠𝑠̂𝑖𝑖 ( 3.30 )
olarak elde edilir. Daha önceden de bahsedildiği gibi, kardan mafsalı iki serbestlik dereceli bir mafsal yapısına sahip olduğundan, bacak bileşenlerinin açısal hızları aşağıdaki şekilde ifade edilebilir.
𝑙𝑙̇𝑖𝑖 = 𝑏𝑏̇𝐴𝐴 𝑖𝑖 ⋅ 𝑠𝑠̂𝑖𝑖 ( 3.31 )
𝑢𝑢�𝑖𝑖 ekseni Şekil 3.3’te de belirtildiği gibi, kardan mafsalında sabit olan dönme eksenini ifade etmektedir. 𝑢𝑢�𝑖𝑖 eksenine dik olan hareketli 𝑣𝑣�𝑖𝑖 ekseni ise mafsalın ikinci dönme eksenidir. Burada bahsedilen 𝑣𝑣�𝑖𝑖 vektörü, birbirine dik olan birim vektörler cinsinden aşağıdaki şekilde tanımlanabilir.
𝑣𝑣�𝑖𝑖 = 𝑢𝑢�𝑖𝑖× 𝑠𝑠̂𝑖𝑖
‖𝑢𝑢�𝑖𝑖× 𝑠𝑠̂𝑖𝑖‖ ( 3.32 )
Bacak açısal hızı, 𝑢𝑢�𝑖𝑖 ve 𝑣𝑣�𝑖𝑖 eksenindeki açısal hızların tolamı olarak tanımlanmaktadır.
𝑤𝑤��⃗𝑖𝑖 = 𝑤𝑤𝑢𝑢𝑖𝑖𝑢𝑢�𝑖𝑖+ 𝑤𝑤𝑣𝑣𝑖𝑖𝑣𝑣�𝑖𝑖 ( 3.33 )
Burada 𝑤𝑤𝑢𝑢𝑖𝑖 ile 𝑤𝑤𝑣𝑣𝑖𝑖;
𝑤𝑤𝑢𝑢𝑖𝑖 =− �𝑏𝑏̇�⃗𝑖𝑖− 𝑙𝑙̇𝑖𝑖𝑠𝑠̂𝑖𝑖� ⋅ 𝑣𝑣�𝑖𝑖
𝑙𝑙𝑖𝑖𝑠𝑠̂𝑖𝑖 ⋅ 𝑐𝑐̂𝑖𝑖 ( 3.34 )
𝑤𝑤𝑣𝑣𝑖𝑖 =�𝑏𝑏̇�⃗𝑖𝑖 − 𝑙𝑙̇𝑖𝑖𝑠𝑠⃗𝑖𝑖� ⋅ 𝑢𝑢�𝑖𝑖 𝑙𝑙𝑖𝑖𝑠𝑠̂𝑖𝑖 ⋅ 𝑐𝑐̂𝑖𝑖
( 3.35 )
eşitlikleri ile tanımlanır. Bu vektörlere dik konumda olan üçüncü birim vektör 𝑐𝑐̂𝑖𝑖 ise;
𝑐𝑐̂𝑖𝑖 = 𝑢𝑢�𝑖𝑖 × 𝑠𝑠̂𝑖𝑖 ( 3.36 )
eşitliği ile ifade edilir. Bacak uzama ivmeleri de aşağıdaki gibi olmaktadır:
𝑙𝑙̈𝑖𝑖 = 𝑏𝑏̈𝑖𝑖 ⋅ 𝑠𝑠̂𝑖𝑖− 𝑙𝑙𝑖𝑖�𝑤𝑤��⃗𝑖𝑖× (𝑤𝑤��⃗𝑖𝑖× 𝑙𝑙𝑖𝑖𝑠𝑠̂𝑖𝑖)� ⋅ 𝑠𝑠̂𝑖𝑖 ( 3.37 ) Bacak açısal ivmeleri 𝛼𝛼⃗𝑖𝑖 ise, 𝑢𝑢�𝑖𝑖 ve 𝑣𝑣�𝑖𝑖 birim vektörlerinin eksenlerindeki açısal ivmelerle, bu ivmelerin 𝑐𝑐̂𝑖𝑖 ekseninde oluşturduğu etkilerin toplamı olarak tanımlanır.
𝛼𝛼⃗𝑖𝑖 = 𝛼𝛼𝑢𝑢𝑖𝑖𝑢𝑢�𝑖𝑖 + 𝛼𝛼𝑣𝑣𝑖𝑖𝑣𝑣�𝑖𝑖 + 𝑤𝑤𝑢𝑢𝑖𝑖𝑤𝑤𝑣𝑣𝑖𝑖𝑐𝑐̂𝑖𝑖 ( 3.38 )
Bacakların açısal ivme değerleri 𝛼𝛼𝑢𝑢𝑖𝑖 ve 𝛼𝛼𝑣𝑣𝑖𝑖 ise şu şekilde elde edilebilir.
𝛼𝛼𝑢𝑢𝑖𝑖 =−𝑏𝑏̈�⃗𝑖𝑖′⋅ 𝑣𝑣�𝑖𝑖
𝑙𝑙𝑖𝑖𝑠𝑠̂𝑖𝑖 ⋅ 𝑐𝑐̂𝑖𝑖
( 3.39 )
𝛼𝛼𝑣𝑣𝑖𝑖 = 𝑏𝑏̈�⃗𝑖𝑖′⋅ 𝑢𝑢�𝑖𝑖 𝑙𝑙𝑖𝑖𝑠𝑠̂𝑖𝑖 ⋅ 𝑐𝑐̂𝑖𝑖
( 3.40 )
Ara değişken olan 𝑏𝑏̈�⃗𝑖𝑖′ terimi ise aşağıdaki ifadede toplanan terimleri temsil etmektedir:
𝑏𝑏̈�⃗𝑖𝑖′ = 𝑏𝑏̈�⃗𝑖𝑖 − 𝑤𝑤𝑢𝑢𝑖𝑖𝑤𝑤𝑣𝑣𝑖𝑖𝑙𝑙𝑖𝑖𝑐𝑐̂𝑖𝑖× 𝑠𝑠̂𝑖𝑖 − 𝑙𝑙̈𝑖𝑖𝑠𝑠̂𝑖𝑖 − 2𝑙𝑙̇𝑖𝑖𝑤𝑤��⃗𝑖𝑖× 𝑠𝑠̂𝑖𝑖− 𝑙𝑙𝑖𝑖𝑤𝑤��⃗𝑖𝑖 × (𝑤𝑤��⃗𝑖𝑖× 𝑠𝑠̂𝑖𝑖) ( 3.41 )
Şekil 3.3. Mekanizmanın bacak yapısı [10]
Bacağı kardan mafsalına bağlayan eyleyicinin alt (piston) kısmının ağırlık merkezine etki eden eylemsizlik ivmesi 𝛼𝛼⃗𝑖𝑖1 ise;
𝛼𝛼⃗𝑖𝑖1= 𝑙𝑙1𝑤𝑤��⃗𝑖𝑖 × (𝑤𝑤��⃗𝑖𝑖× 𝑠𝑠̂𝑖𝑖) + 𝑙𝑙1𝛼𝛼⃗𝑖𝑖× 𝑠𝑠̂𝑖𝑖 ( 3.42 )
bacağın küresel mafsala bağlanan silindir kısmının ağırlık merkezine etki eden eylemsizlik ivmesi 𝛼𝛼⃗𝑖𝑖2 ise;
𝛼𝛼⃗𝑖𝑖2= (𝑙𝑙𝑖𝑖 − 𝑙𝑙2)𝑤𝑤��⃗𝑖𝑖 × (𝑤𝑤��⃗𝑖𝑖× 𝑠𝑠̂𝑖𝑖) + (𝑙𝑙𝑖𝑖 − 𝑙𝑙2)𝛼𝛼⃗𝑖𝑖 × 𝑠𝑠̂𝑖𝑖 + 2𝑤𝑤��⃗𝑖𝑖 × 𝑙𝑙̇1𝑠𝑠̂𝑖𝑖 + 𝑙𝑙̈𝑖𝑖𝑠𝑠̂𝑖𝑖 ( 3.43 )
şeklinde elde edilir.
3.6. Platformun Dinamik Denklemlerinin Türetilmesi
Lagrange yöntemi, klasik mekaniği genel olarak momentumun korunumu ve enerjinin korunumu ilkelerini birleştirerek yeniden formüle eden bir yöntemdir. Bu nedenle enerji
yöntemi olarak da bilinmektedir. Bu yöntem ile, uygun koşullarla ve yaklaşımlarla çok bileşenli sistemlerin dinamiği de bir bütün olarak incelenebilinmektedir. Ayrıca, sistemin iç dinamiğinin bilgisine olan gereksinim ortadan kalkmaktadır.
Daha önceki çalışmalarda üç serbestlik dereceli paralel manipülatörler için temel ters dinamik analizler virtüel iş prensibi ile elde edilmiştir [24]. Stewart platformu için Lagrange yöntemi ile dinamik analiz çalışmaları yapılmış olup, benzer prosedür, aynı formülasyon yoluyla, ele alınan 3-UPS/S paralel manipülatör için uygulanarak dinamik denklemler Lagrange yöntemi ile elde edilecektir [27].
Kinetik enerji 𝐾𝐾, potansiyel enerji 𝑃𝑃 ile gösterilmek üzere, temel olarak Lagrange eşitlliği aşağıdaki gibidir:
𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑞𝑞 �
𝜕𝜕𝐾𝐾
𝜕𝜕𝑞𝑞̇� −
𝜕𝜕𝐾𝐾
𝜕𝜕𝑞𝑞 +
𝜕𝜕𝑃𝑃
𝜕𝜕𝑞𝑞 = 𝐹𝐹 ( 3.44 )
Bu eşitlik mekanizmanın dinamik denklemi ile benzerlik gösterir. Sistemin kinetik enerjisi ve potansiyel enerjilerinin hesaplanılarak yukarıdaki denklemde yerine yazılması suretiyle sistemin geneli için şöyle bir eşitlik elde edilir:
𝑀𝑀𝑞𝑞̈ + 𝐶𝐶𝑞𝑞̇ + 𝐺𝐺 = 𝐹𝐹 ( 3.45 )
Dinamik denklemleri elde edebilmek için manipülatörün bacakları ve platform kısmı ayrı düşünülerek analiz yapılır. Bacaklar için, mekanizmanın genel denklemi aşağıdaki gibi yazılır.
𝑀𝑀𝑖𝑖𝑥𝑥̈𝑖𝑖 + 𝐶𝐶𝑖𝑖𝑥𝑥̇𝑖𝑖 + 𝐺𝐺𝑖𝑖 = 𝐹𝐹𝑖𝑖 ( 3.46 )
Burada kütle matrisi 𝑀𝑀, Coriolis ivmesi ve merkezkaç ivmesinden doğan kuvvetleri gösteren nonlineer matris 𝐶𝐶, yerçekimi ivmesinden doğan kuvvetler 𝐺𝐺, kuvvet vektörü 𝐹𝐹, platformun bağlantı noktalarının konumunu gösteren genelleştirilmiş koordinatlar 𝑥𝑥𝑖𝑖 terimi ile gösterilmiştir. Burada kütle matrisi aşağıdaki denklem kullanılarak elde edilebilir.
𝐾𝐾𝑖𝑖 =1
2 𝑥𝑥̇𝑖𝑖𝑇𝑇𝑀𝑀𝑖𝑖𝑥𝑥̇𝑖𝑖 ( 3.47 )
