• Sonuç bulunamadı

DENİZ TABANI İÇERİSİNDE DALGA ETKİSİYLE OLUŞAN AKIMLARIN AĞSIZ YÖNTEMLE MODELLENMESİ

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2022

Share "DENİZ TABANI İÇERİSİNDE DALGA ETKİSİYLE OLUŞAN AKIMLARIN AĞSIZ YÖNTEMLE MODELLENMESİ"

Copied!
12
0
0

Yükleniyor.... (view fulltext now)

Tam metin

(1)

DENİZ TABANI İÇERİSİNDE DALGA ETKİSİYLE OLUŞAN AKIMLARIN AĞSIZ YÖNTEMLE MODELLENMESİ

Ar. Gör. Burak Can Timuçin Doç. Dr. Osman S. Börekçi Boğaziçi Üniversitesi Boğaziçi Üniversitesi

Hesaplamalı Bilim ve Mühendislik Programı İnşaat Mühendisliği Bölümü 34342, Bebek, İstanbul 34342, Bebek, İstanbul burak.timucin@boun.edu.tr borekci@boun.edu.tr Tel:+90(533)470-8581 Tel:+90(212)359-6447 Fax:+90(212) 287-2457 Fax:+90(212) 287-2457

ÖZET

Bu çalışmanın amacı, deniz suyu içerisinde bulunan eriyik oksijenin ve diğer organik maddelerin, dalga etkisiyle kumlu deniz tabanı içerisindeki taşınımını anlamak için gereken sayısal modelleme altyapısını oluşturmaktır. Bu amaçla, geçirimli ve kum dalgacıklı bir taban üzerinde lineer dalga ilerlemesi ağsız Radyal Bazlı Fonksiyon Kolokasyon Metodu (RBFKM) ile modellenmiştir.

Problemin formülasyonunda sadece sınır şartlarını ifade denklemler kullanılmıştır. Akımı belirleyen süreklilik denklemi (laplace denklemi) ise radyal bazlı fonksiyon (RBF) olarak Laplace denkleminin Green fonksiyonu f lnr kullanılarak formülasyona dahil edilmiştir. Çözüm sonucunda sınırlarda elde edilen akım potansiyeli değerleri, RBF enterpolasyonu kullanılarak, çözüm alanı içerisindeki noktalardaki değerlerin hesaplanmasında kullanılmıştır. Elde edilen bulgular, kullanılan sınır tipi RBFKM’ nun problemin çözümü için uygun bir metod olduğunu göstermiştir.

MESHLESS MODELLING OF WAVE INDUCED FLOWS INSIDE A SANDY SEA BED

ABSTRACT

The motivation behind the proposed modeling effort is the development of an understanding of how oxygen entrained in coastal waters penetrates into sandy sea bottoms. To understand the related phenomena, a linear wave propagation model over a porous sandy sea bed was developed using a meshless method, the Radial Basis Function Collocation Method (RBFCM). The Green’s function of the Laplace equation ݂ ൌ Ž ݎ was used as the Radial Basis Function (RBF). The solution of equations on the boundaries was used to obtain the values inside the solution domain using the RBF interpolation. The results indicate that the method used here, a boundary-only RBFCM solution, is an efficient method for solving the problem at hand.

Anahtar Kelimeler: ağsız modelleme, radyal bazlı fonksiyon, deniz dalgaları

(2)

GİRİŞ

Yüzeydeki dalga hareketinin deniz tabanı içerisinde sürdüğü akım, deniz suyundaki eriyik oksijenin ve organik maddelerin deniz tabanı içerisindeki bakterilere ve mikro-organizmalara ulaşmasını sağlayarak deniz ekolojisi için besin üretim süreçlerine katkıda bulunur. Bu süreçlerin etkinliği taban malzemesindeki organik madde miktarının yanı sıra, taban içerisindeki taşınımın da ne kalınlıkta bir tabakaya ulaşabildiğine bağlıdır.

Deniz tabanı içerisindeki taşınım, difüzyon ve adveksiyon süreçlerinden oluşur.

Taban malzemesinin özellikleri, göreceli su derinliği ve taban geometrisi (tabanın düz veya kum dalgacıklarından oluşması) bu süreçlerin niceliğini etkileyen faktörlerdir. Bu çalışmada konu edilen model, bahsedilen difüzyon ve adveksiyon süreçlerinin oluşturduğu madde taşınımının anlaşılması ve modellenmesi için gerekli olan altyapının oluşturulmasıdır.

Ekolojik endişelerle olmasa da, literatürde geçirimli deniz tabanları üzerinde dalga hareketlerinin incelenmesi yaklaşık altmış yıl önce başlamıştır.

Çalışmaların büyük bir çoğunluğunda, doğal veya inşaat amaçlı yerleştirilmiş, kum, çakıl veya taşlardan oluşan tabanların dalga hareketlerine etkisi araştırılmıştır. Örneğin Putnam (1949), Hunt (1959), Reid ve Kajiura (1957), Liu (1973), McLain, Huang ve Pietrafesa (1977), Puri (1978), Saks (1987), Cruz (1997), Silva v.d. (2003) ve Pudjaprasetya ve Magdalena (2013) gösterilebilir.

Taban içerisindeki akımın özelliklerini inceleyen çalışmalara ise örnek olarak Moshagen ve Torum (1975), Madsen (1978), Shum (1992,1993) gösterilebilir.

Son yıllarda, yeni bir nümerik teknik olan, ağsız yöntemler üzerine olan çalışmalar, bilim çevrelerinde bu konuya olan ilgi sebebiyle, hızlı bir gelişme kaydetmektedir. Ağsız yöntemler, kendisinin öncülü olan yöntemlerin aksine, çözüm alanında ve çözüm alanı sınırlarında ağ oluşturulmasını gerektirmemektedir. Bu yüzden, ağsız yöntemlerin, büyük deformasyonların, hareketli sınırların olduğu problemlerin çözümlerinde ve karışık geometriye sahip problemlerin çözümlerinde kullanılmasının uygun oluduğu görülmüştür.

Bu çalışmada kullanılan yöntemin, ana hatlarıyla benzeri olan bir uygulamanın Wu v.d. (2006, 2008) tarafından kullanıldığı ve oluşturulan yöntemin eldeki problem için de etkili ve uygun olacağı tesbit edilmiştir. Bu çalışmada, dalga hareketi tarafından taban içerisinde sürülen taşınımın analizi için gereken alt yapıyı oluşturmak amacıyla geliştirilmekte olan modellerde ve sayısallaştırmada kullanılan ağsız radyal bazlı fonksiyon kolokasyon metodunun (RBFKM) değişik bir uygulamasına yer verilecektir. Problemin formülasyonunda sadece sınır şartlarını ifade eden denklemler kullanılmıştır. Akımı belirleyen süreklilik denklemi (Laplace denklemi) ise radyal bazlı fonksiyon (RBF) olarak Laplace denkleminin Green fonksiyonu kullanılarak formülasyona dahil edilmiştir.

Çözüm sonucunda sınırlarda elde edilen akım potansiyeli değerleri, RBF enterpolasyonu kullanılarak, çözüm alanı içerisindeki noktalardaki değerlerin

(3)

hesaplanmasında kullanılmıştır. Elde edilen bulgular, kullanılan sınır tipi RBFKM’ nun problemin çözümü için uygun bir metod olduğunu göstermiştir.

Problemin formülasyonunda sadece sınır şartlarını ifade denklemler kullanılmıştır. Akımı belirleyen süreklilik denklemi (Laplace denklemi) ise radyal bazlı fonksiyon (RBF) olarak Laplace denkleminin Green fonksiyonu kullanılarak formülasyona dahil edilmiştir. Çözüm sonucunda sınırlarda elde edilen akım potansiyeli değerleri, RBF enterpolasyonu kullanılarak, çözüm alanı içerisindeki noktalardaki değerlerin hesaplanmasında kullanılmıştır. Elde edilen bulgular, kullanılan sınır tipi RBFKM’ nun problemin çözümü için uygun bir metod olduğunu göstermiştir.

SINIR DEĞERLERİ PROBLEMİ

Taban içerisindeki akımları süren dalganın henüz kırılmamış lineer bir dalga olduğu kabul edilmiştir. *1 üzerinde (bkz. Şekil-1) tanımlanan dalganın, *S üzerine yerleştirilen Sommerfeld tipi bir radyasyon şartı ile çözüm alanından uzaklaştırılması düşünülmüştür. Durgun su yüzeyi *F üzerinde lineer kinematik ve dinamik sınır şartları yerleştirilmiştir. Su-zemin ara yüzeyi *B matematiksel olarak (düz, sinüsoidal vs) tanımlanabileceği gibi batimetrik ölçümlerden de alınabilir. *B ara yüzeyinde su ve kum tabakalarındaki akım hızlarının ve basıncın sürekliliği sınır şartı olarak kullanılmıştır. z  (h d) derinliğinde geçirimsiz bir tabaka, *T, bulunabileceği gibi, d derinliği sonsuz olarak da modellenebilir. Zemin tabakasının *R ve *L sınırlarında akımın bu yüzeylerden serbestçe girip çıkmasını sağlayacak sınır şartları

S

0 z

( )

z h d

z h

I S

L R

x

: ( ) ( )

b h x h f x

T

K F

Şekil 1. Çözüm alanı ve sınırları.

(4)

yerleştirilebileceği gibi buralarda akımın sürekliliği de tanımlanabilir. Taban zemini

:

K içerisindeki akımın sürekliliği ise Darcy kuramı kullanılarak, hidrolik yük \ p J z cinsinden ’ 2\ 0 olarak yazılabilir. Çözülecek problemin tanımı aşağıdaki gibidir:

0 ( , )

t z x z F

K I

 * (1) 0 ( , )

t g x z F

I



K

* (2)

0 ( , )

z K n x z B

I



\

* (3)

1 t 0 ( , ) B

g x z

\



I

* (4)

0 ( , )

n x z T

\

* (5)

0 ( , )

t c x x z S

I



I

* (6)

( , )

I x z I

I I

* (7)

2\ 0 ( , )x z L, R

’ * * (8)

Yukarıdaki denklemlerde K su yüzeyini, g yerçekimi ivmesini, t zamanı, c dalgaların ilerleme hızını, n yüzeye dik yönü,

I

I akımları süren lineer dalga potansiyelini, K ise kum tabakasının permeabilitesini göstermektedir. Kum tabakasının düşey sınırlarında, sınır şartı olarak süreklilik denklemi (8) kullanılmıştır. Bu sınırlara hiçbir kolokasyon noktası koymamak ta mümkündür.

RBF İLE SAYISALLAŞTIRMA

Bu çalışmada kullanılan çözüm yöntemi bazı farklı yaklaşımlar içermekle beraber temelde Wu v.d. (2006,2008) tarafından önerilen sınır tipi ağsız RBFKM olarak adlandırılabilir. İlk olarak Kansa (1990a, 1990b) tarafından eliptik, hiperbolik veya parabolik kısmi diferansiyel denklemlerin sayısal çözümünde kullanılan RBFKM, ağsız metodu ile klasik sayısal yaklaşımlara göre bazı avantajlara sahiptir. Bu çalışmada da, RBFKM’nun öne çıkan avantajı denklemlerin geçerli olduğu kolokasyon noktalarının ve RBF merkezlerinin yerleştirilmesindeki geometrik esnekliktir. Sınır tipi RBFKM eldeki problemin genel denkleminin Green fonksiyonundan gelen bir RBF kullanılmasına dayanmaktadır. Böylelikle genel denklemin çözümü ile ilgili bilgi modele dolaylı olarak verilmekte ve çözüm alanı içine kolokasyon noktası yerleştirmek

(5)

gerekmemektedir (yukarıda, problemin formülasyonu için verilen denklemler sadece sınırlardadır). Bu da daha küçük sistem matrisleri sonucunu doğurmaktadır.

RBF kullanarak herhangi bir ( , , , )u x y z t fonksiyonuna i noktasındaki yaklaşım

1

( ) ( ), 1, ,

N

i ij j

j

u

¦

f r D t i N (9)

olarak verilebilir. Burada, f RBF’u, i kolokasyon noktalarını, j RBF merkezlerini, r bu noktalar arasındaki geometrik uzaklığı(r [(xixj)2(yiyj)2(zizj) ] )2 1/2 ,

j( )t

D yaklaşım için aranan katsayıları, N ise ayrıklaştırmada kullanılan toplam nokta sayısını göstermektedir. Ayrıklaştırma sonucunda elde edilen her nokta hem bir kolokasyon noktası hem de bir RBF merkezi olarak kullanılabilir.

Ancak, burada RBF olarak kullanacağımız Laplace denkleminin Green fonksiyonu f lnr’da, r olması0 (i{ j) halinde f tekil olacağından kolokasyon noktaları ile RBF merkezlerini yakın ama farklı noktalar olarak seçmek gerekmektedir. Şekil-2’de düz ara yüzeyli model için tipik bir ayrıklaştırma gösterilmiştir. Su-kum ara yüzeyindeki noktalarda denklem (3) ve (4) ile verilen iki ayrı sınır şartı olduğundan ara yüzeye yakın iki ayrı sıra RBF merkezi yerleştirilmiştir.

RBF u’nun denklemlerde geçen çeşitli türevleri

1 1 1

( ) ( ) ( )

n n

n N n N N

ij ij j

i i i

j j ij

n n n n

j i j i j

f f t

u u u

t t f

x x z z t t

D D D

w w w

w w w

w

¦

w w

¦

w w

¦

w (10)

olarak yazılabilir.

Çözümün zaman içinde ileletilmesi için 4 adımlı Adams entegrasyon yöntemi kullanılmıştır. Elde edilen sonuçların doğruluğu ve hassasiyeti yeterli bulunduğundan geleneksel olarak kullanılan Bashforth tipi düzeltmelere gerek duyulmamıştır. Adams yöntemi çözümün geçmiş zaman değerlerini de içerdiğinden t 0 ’da çözümü başlatmak için lineer dalga teorisi analitik ifadelerinden yararlanılmıştır.

(6)

GELİŞTİRİLEN MODELLER VE SONUÇLAR

Modelleme çalışmalarının ilk etabında kullanılan yöntemi doğrulamak amacıyla geçirimsiz ve düz bir taban üzerinde, henüz kırılmamış lineer bir dalga için denklemler (1), (2), (6), (7) ve taban üzerinde

I

z 0denkleminden oluşan sınır değerleri problemi yukarıda verilen yöntemle çözülmüştür. Modeli yürütme süresi olarak seçilen 100 peryot (100T) sonunda dalga yüksekliği veya frekansında herhangi bir bozulmaya rastlanmamıştır. Ayrıca, iç noktalarda enterpolasyon yoluyla elde edilen I değerleri de lineer dalga teorisinden bulunan değerlerle karşılaştırılarak doğrulanmıştır.

Ara yüzeyi kum dalgacıklarından oluşan ve denklemler (1)-(8)’den oluşan sınır değerleri problemi modellenerek sonuçların elde edilmesi ve değişik parametrelerin hem nümerik hem de fiziksel olarak doğrulanabilmesi için birçok defa yürütülmüştür. Tablo-1 ve Tablo-2’de, bu çalışmada yer alan sonuçlara ait bilgisayar modelinde yer alan fiziksel ve modele ait parametreler paylaşılmaktadır.

Tablo-1’de yer alan fiziksel parametreler çeşitli seferler değiştirelerek modelin stabilitesi test edilmiştir. Dalganın, çözüm alanı içinde kırılmayan bir dalga olduğunun tesbiti için dalganın dikliği (H/L) kontrol edilmiştir. Modelde, deniz

Şekil 2. Kolokasyon noktaları ve RBF merkezlerinin tipik yerleştirilmesi.

(7)

Tablo 1. Deneme Dalgası Fiziksel Parametreleri

Dalga peryotu ( )T 4.5 s.

Dalga yüksekliği ( )H 0.96 m

Göreceli su derinliği ( / )h L 0.107

Dalga sayısı ( )k 0.34

Dalga dikliği (H L) 0.052

Dalga hızı ( )c 4.4 m/s

Kum tabakası kalınlığı (d) 4 m Kum tabakası geçirgenlik katsayısı ( )K 10-6 m/s Kum dalgacıkları yüksekliği (Hr) 0.04 m Kum dalgacıkları boyu (Lr) 0.2 m

Tablo 2. Deneme Dalgası Model Parametreleri Çözüm alanı sınırlarındaki nokta sayısı 1104 Çözüm alanı içindeki dalga adedi 5

Çözüm süresi 5T

tabanı geometrisi sinüsoidal kum dalgacıklarından oluşturulmuştur (Şekil-1).

Kum dalgacıklarının sınırlayıcı dikliği ise Nielsen (1979)’dan H Lr/ r 0.2 alınmıştır Kum tabakası içerisinde, deniz yüzeyindeki dalga tarafından sürülen akımların anlaşılabilmesi ve bunların giriş kısmında bahsedilen organik madde taşınımı sürecinde kullanılabilmesi için, kum tabakası içerisinde oluşan akımın hız vektörlerinin elde edilmesi gereklidir. Bunun için, bütün I ve \ değerleri ile akımları süren dalga profilinin doğru olarak bulunması çalışmaların bu kısmında öncelikli olarak yer almıştır. Tablo-2’de yer alan model parametrelerinde, modelin yürütüldüğü süre olarak her ne kadar beş periyotluk (5T) bir zaman seçilmiş olsa da modelin 50T ve 100T denemelerinin sonuçlarında da herhangi bir bozulma saptanmamıştır. Çözüm alanının için deki hız potansiyeli değerleri, daha önce de belirtildiği gibi, RBFKM enterpolasyon metodu ile bulunmuştur.

(8)

Tablo-1 ve Tablo-2’de verilen parametrelere bağlı olarak modelden elde edilen deneme dalgasının I ve \ dağılımlarının serbest yüzeydeki ve su zemin arayüzeyindeki değerleri Şekil-3’de, su ve kum alanları içindeki dağılımları ise Şekil-4’te gösterilmiştir. Kum alanındaki hız potansiyeli değerlerinin, deniz alanındakiler ile aynı fazda olması problemin lineer olması ve sürtünme, vortisite gibi lineer olmayan etkileri içermemesinden kaynaklanmaktadır. Şekil- 4’te dikkat edilmesi gereken husus, yatay eksende yer alan değerlerin yarım dalga boyu kadar çözüm alanının sağından ve solundan içeride yer alacak şekilde gösterilmiş olmasıdır. Bunun sebebi, deniz alanının düşey sınırlarında lineer deneme dalgası potansiyeli ve Sommerfeld sınır şartı yerleştirilebildiği halde kum alanının düşey sınırlarında sınır şartlarının belli olmamasından dolayı buralarda sınır şartı olarak süreklilik denkleminin kullanılmış olmasıdır.

Kum alanda düşey sınırlara yakın bölgelerde (yaklaşık yarım dalga boyu içersinde) sonuçlarda bazı bozulmalara rastlanmıştır.

Dalga hareketi ile yarattığı dinamik basınç dağılımı arasında faz farkı olmadığından, beklenen dalga tepesinin altında (K!0, pd !0) akımın tabanın içine doğru olması, dalga çukurunun altında (K0, pd 0) ise akımın tabandan dışarı yönde olmasıdır.

Şekil 3. Deneme dalgası için hesaplanan

h

, y ve f .

(9)

Kum alanındaki su akımının yönünün, kum tabakasının içerisine doğru olduğu durumlarda, oksijen ve diğer organik madde taşınımının kum tabakasının içine doğru olacağı, su akımının yönünün kum tabakasından dışarı doğru olduğu durumlarda ise oksijen ve organik madde taşınımının kum tabakasının dışına doğru olacağı görülür. Şekil-4’te taban zemini içindeki eş potansiyel eğrilerinin aralıklarının derinlikle arttığı dolayısıyla beklendiği gibi akım hızlarının da azalacağı görülmektedir.

Çözüm alanı içindeki I ve \değerleri sınırlardaki değerlerinden enterpolasyon yoluyla elde edildikten sonra denklem (10)’dan yararlanarak hız vektörleri hesaplanmıştır. Deneme dalgasının sürdüğü akımın hızlarının su tabakasında (100-10-1)m/s, kum tabakası içinde ise 10-2m/s mertebesinde olduğu görülmüştür. Hızların Şekil-5’teki gösteriminde vektör boyları aynı olacak şekilde normalizasyon yapılmıştır.

Şekil 4. Deneme dalgası altında oluşan f ve y dağılımları. Alttaki şekil üstteki şeklin yoğunluk imajıdır.

(10)
(11)

ÖNERİLER

Buradaki çalışmada taban zemini içindeki akımların modellenmesinde sürtünme ihmal edilmiştir. Sürtünmenin dahil edilmesi ve su serbest yüzeyindeki kinematik ve dinamik sınır şartlarında ihmal edilen lineer olmayan terimlerin de dahil edilmesi modeli daha gerçekçi kılacaktır. Ayrıca, kum tabkasının düşey kenarları için yeni sınır şartları düşünülebilir. Yatayda model alanının dalgaların tabanı hissetmeyecekleri bir derinliğe kadar uzatılması ve bunun sonuçları nasıl etkileyeceğinin araştırılması gereklidir.

Kullanılan sınır tipi RBFKM’in eldeki problem için uygun, kullanılması kolay ve etkili olduğu görülmüştür.

KAYNAKLAR

Kansa, E.J.(1990a). Multiquadrics - A scattered data approximation scheme with applications to computational fluid-dynamics I Surface approximations and partial derivative estimates. Computers Math Applic., 19,127-145.

Kansa, E.J. Multiquadrics (1990b).A scattered data approximation scheme with applications to computational fluid-dynamics II Solutions of parabolic, hyperbolic and elliptic partial differential equations. Computers Math Applic., 19,147-161.Cruz, E.C., Isobe, M., Watanabe, A. (1997).

Boussinesque Equations for Wave Transformation on Porous Beds. Coastal Engineering, v.30, 125-136.

Hunt, J.N.(1959). On the Damping of Gravity Waves Propagated over a Permeable Surface. Journal of Geophysical Research, v.64, no.4,437-442.

Liu,P.L-F.(1973). Damping of Water Waves Over Porous Bed. ASCE J.

Hydraulics Division, v99., no.HY12, 2263-2271.

McLain, C.R., Huang, N.E. ve Pietrafesa, L.J. (1977). Application of a

“Radiation-Type” Boundary Condition to the Wave, Porous Bed Problem.

Journal of Physical Oceanography, v.7, 823-835.

Madsen, O.S. (1978). Wave Induced Pore Pressures and Effective Stresses in a Porous Bed. Geotechnique, v.28, no.4, 377-393.

Moshagen, H., Torum, A. (1975). Wave Induced Pressures in Permeable Soils.

ASCE J. Waterways, Harbors amd Coastal Engineering, v.101,no.WW1, 49- 57.

Nielsen,P. (1979) Some Basic Boncepts of Wave Sediment Transport. Series Paper No.20. Inst. of Hydrodynamics and Hydraulic Engineering, ISVA, Tech. Univ. Denmark

Pudjaprasetya, S.R., Magdalena, I. (2013). Wave Energy Dissipation over Porous Media. Applied Mathematical Sciences, v.7, no.59, 2925-2937.

(12)

Puri, K.K. (1978).Viscous Damping of Gravity Waves Over a Permeable Bottom.

Internat. J. Math. & Math. Sci., v.1, 497-507.

Putnam, J. A. (1949). Loss of Wave Energy Due toPercolation in a Permeable Sea Bottom. Trans. Am. Geophys. Un. v.30, 349-356.

Reid, R.O. ve Kajiura, K. (1957). On the Damping of Gravity Waves Over a Permeable Sea Bed. Trans. Am. Geophys. Un., v.38, no.5, 662-666.

Saks, S.E. (1987). Gravity Waves in a Ponderable Flow with a Permeable Bottom. Izvestiya Akademii Nauk SSSR, Mekhanika Zhidkosti i Gaza, no.2, 115-118.

Shum,K.T. (1993). The Effects of Wave-Induced Pore Water Circulation on the Transport of Reactive Solutes Below a Rippled Sediment Bed. Journal of Geophysical Research, v98, no.C6, 10289-10301.

Silva, R., Salles, P., Govaere, G. (2003). Extended Solution for Waves Travelling Over a Rapidly Changing Porous Bottom.Ocean Engineering, v.30,437-452.

Wu,N.-J., Tsay, T.-K. ve Young, D.L. (2006). Meshless Numerical Simulation for fully Nonlinear Water Waves. Int. J. Numer. Meth. Fluids, v50, 219-234.

Wu,N.-J., Tsay, T.-K. ve Young, D.L. (2008). Computation of Nonlinear Free- Surface Flows by a Meshless Numerical Method. ASCE JWPCOE, v134,no.2, 97-103.

Referanslar

Benzer Belgeler

Bu ¸calı¸smada 1-boyutlu Burgers’ denklemi i¸cin tam ¸c¨ oz¨ um¨ u mevcut olan iki test problemin sonlu fark teknikleriyle birle¸stirilmi¸s multikuadrik radyal baz fonksiyonu

Millî Eğitim Bakanlığı Yayınlarına Ait İlköğretim 6.. Tablo 12‘de yer alan verilere göre; Erol, A. ve diğerleri tarafından hazırlanan 6. Sınıf Türkçe ders kitabında

Yukar¬daki teorem yeter ko¸ sullar¬ ifade etmektedir, gerek ko¸ sul içermemektedir.. Ancak üstel basamaktan

› Laplace transform is a special type of transform, which transforms a suitable

Tüm bu araçlar, müşterinin markaya olan algılarını ve hislerini olumlu yada olumsuz olarak etkileye- bilmektedir Pek çok işletme, müşterilerin marka farkındalıklarını

Bu yüzden iletkenliği olan ortamlar, düzlem dalgalar için kayıplı ortamlardır ve (***) denklemi de kayıplı ortamlar için düzlem dalga denklemidir. Yani

Bu tezde Legendre diferensiyel denklemi, Laplace denkleminin küresel koordinatlarındaki ifadesinden yararlanılarak elde edilmiştir. Legendre diferensiyel denkleminin çözümleri