+ 3. lim. x 2x. 3 x. lim ( ) lim f ( x) ( x 2) lim 3x. 3) lim L M. lim ( x 3 x).sgn x 4 =? x 1

LİMİT

f, a yakınındaki x değerleri için tanımlı bir fonksiyon olsun.

Alınan ε>0 sayısına karşılık

|f(x)-L| < ε olacak şekilde |x-a| < δ koşulunu sağlayan δ > 0 sayısı bulunabiliyorsa ;

x , a’ya yaklaşırken f(x) , L ye yaklaşır denir.

lim f(x) = L yazılır.

x

→

a

Terimleri A-{a} kümesinde bulunan ve a sayısına yakınsayan her (xn) dizisi için elde edilen (f(xn)) dizileri aynı bir

L sayısına yakınsıyorsa , bu L sayısına x , a ya yaklaştığında f(x) in limiti denir.

x’i a’nın yeterince küçük bir komşuluğu içinde aldığımızda, f(x)’in olabildiğince yaklaşabileceği sayıya ‘’x , a ya giderken f(x) in limiti’’ denir.

Bir fonksiyonun limitinin olabilmesi için x’e sağdan ve soldan yaklaştığımızda y’nin aynı değere yaklaşması lazım!!!

!!! limf(x) =limf(x) ise lim f(x) = L dir.

x

→

_a^- _x

→

_a⁺ x

→

_a

f(x)=1/x fonksiyonunu şekilden inceleyelim;

x ;

4

numaraya gittiğin de y değerimiz 0’a yaklaşıyor.

x;

3

numaraya gittiğin de y değerimiz

+∞

_’a

yaklaşıyor.

x;

2

numaraya gittiğin de y değerimiz

−∞

_’a

yaklaşıyor.

x;

1

numaraya gittiğin de y değerimiz0’a yaklaşıyor.

Limit kontrolü yaptığımızda;

 ⁰

0 0

lim ( )

lim ( ) .

lim ( )

x

x x

f x

f x yoktur f x

−

+

→

→

→

= −∞ 

= +∞ 



lim ( ) 0

lim ( ) 0 lim ( ) 0

x

x x

f x f x f x

−

+

→∞

→∞

→∞

= 

 =

= 

Her fonksiyonunun sağdan ve soldan limitine bakmamıza gerek yoktur. Sağdan ve soldan limitine şu durumlarda bakılır;

i) Kritik noktasında (Özel tanımlı fonksiyonlar için)

ii) Fonksiyonu tanımsız yapan değerlerde iii) Fonksiyonu belirsiz yapan değerlerde

-5,-3,0,1,4 noktaları için limiti araştırın.

Sağdan ve soldan limitlerine bakmamıza gerek olmayan limit örnekleri;

3

2 5 lim 1

x

x x

→−

−

+

değeri nedir?(11/2)

lim

1

1

x

x x x

→−

+

−

değeri nedir? (0)

3 1

lim sgn 1 ?

2 2

x

x x

x x

→

  +    

− + =

     

 +   

 

⁽⁰⁾

2

3 1 , 0

( ) 4 , 0

x x ise

f x x x ise

− <

=  

− ≥



biçiminde tanımlı f(x) fonksiyonu için

lim ( )

1

x

f x

→ değeri nedir?(-3)

3

lim 3 7 ?

x ₊

x

→−

 +  =

 

^(-2)

( )

²

2

lim ?

x

−

x

→

  =

 

⁽¹⁾

(

⁴

)

3

lim ?

x

−

x

→

  =

 

⁽⁸⁰⁾

(

³

)

5

lim ?

x

+

x

→

  =

 

⁽¹²⁵⁾

Sağdan ve soldan limitlerini incelememiz gereken soru tipleri;

i) Kritik noktasında (Özel tanımlı fonksiyonlar için)

( )

2 2

lim (

2

3 ).sgn 4 ?

x

x x x

→−

 − −  =

 

(sağdan -10 , soldan +10)

Sgn değerinin kritik noktaları 2 ve -2 olduğundan x de -2 ye gittiğinden bu tip sorularda limitin sağına ve soluna bakmamız lazım.

: {2} ; ( ) 4 2

2

f f x x x

x

ℜ − → ℜ = + −

−

fonksiyonunun

x → 2

için limitini bulunuz.

(sağdan 9 , soldan 7)

1

2

; 0

( ) 1 ; 0

x x

f x x x

 − ≥

= 

+ <



biçiminde tanımlı f fonksiyonunun

0

x →

için limiti nedir?

(sağdan 1 , soldan 1 dolayısıyla limiti 1 dir.)

ii) Fonksiyonu tanımsız yapan değerlerde 2 2

lim 1 ?

( 2)

x^→

x =

− ^{( +∞ )}

3

lim 1 ?

3

x^→

x =

−

(sağdan

−∞

, soldan

+∞

)

iii) Fonksiyonu belirsiz yapan değerlerde Bu kısımdaki örnekleri belirsizlik bölümünde inceleyeceğiz...

LİMİTİN ÖZELLİKLERİ

lim f(x) = L ve lim g(x) = M ise x

→

a x

→

a

1) lim [f(x)

±

g(x)] = L

±

M x

→

_a

2) lim [f(x).g(x)] = L.M x

→

_a

2

3

lim (2 1). 1 ? 3

x

x x

→

   

+ + =

   

 

 

 

(28)

3) lim

M L x g

x

f =

) (

)

(

(M

≠

₀₎

x

→

a

3 2

1 2

3 4 1

lim ?

2 3

x

x x x

x x

→

 − + − 

  =

− +

 

^(1/2)

4) f(x) = mx+n için lim f(x) = m.a+n dir.

x

→

a lim cos(sin x) = 1 x

→

0

5) f(x) , a’nın çıkartılmış komşuluğunda sınırlı bir fonksiyon ve lim g(x) = 0 iken

x

→

_a

lim f(x).g(x) = 0 dır.

x

→

_a

lim (x.sin

x 1

) = 0

x

→

0

6) f(x)

≤

g(x)

≤

h(x) ve lim f(x) = lim h(x) =L x

→

_{a x}

→

_a

ise lim g(x) = L dir. (SANDWİCH TEO.) x

→

_a

lim 2 ?

x

x x

→∞

=

   

1

x x x

  ≤ <   +

   

^olduğunu

biliyoruz. x’in çok büyük pozitif değerleri için eşitsizliğin her yanını

    x

ile bölelim.

1

1 1 1 ( 2 )

2 2

2 2

x x x

x x x

x Her yanı ileçarpalım

x x

x

x x

    +

   

≤ <

     

     

≤ < +

   

   

≤ < +

   

   

lim 2 2

x

x x

→∞

=

   

^bulunur.

7) lim

x x

sin

= 1 , lim

x x tan

= 1

x

→

0 x

→

0

0

0

lim sin tan lim tan

x

x

ax a bx b veya bx b sinax a

→

→

=

=

0

sin 2

lim ?

tan 5

x

x x

→

=

(2/5)

3

0

sin sin

lim ?

3

x

x x

x

→

 − 

  =

 

^(1/3)

∞ ,n çift 8) lim _n

x

1

= ∞ , lim _n

x 1

=

x

→

0⁺ x

→

0- -∞ , n tek

10) lim _n

x

1

= 0

x

→ ± ∞

∞

_{, m çift}

11) lim ⁿ

m

x

= ∞ , lim ⁿ

m

x

=

x

→ ∞

x

→ −∞

_-

∞

_{, m,n tek}

SONSUZLA İŞLEMLER (L sayı olmak üzere)

+∞

= +∞

+ ( )

L

,

L − ( +∞ ) = −∞

∞

=

∞ m

m ) (

L

(L

≠

0) ,

= 0

∞ m

L

±∞

=

±∞

+

±∞ ) ( )

(

,

( ±∞ )( ±∞ ) = ±∞

∞

m

= m 0

L

,

∞ = ∞ m m

0

m

3 2

lim(3 4 1) ?

x

x x

→∞

− + = ( +∞ )

3 2

3

3 4 1

lim ?

2

x

x x

x x

→−∞

− +

− =

3 3

3( ) ( ) 3

−∞ =

−∞

lim (4

2

) ?

x

x

→−∞

− =

( ( − −∞ ) )

2

= −∞ ( )

DİZİLERDE LİMİT

Buradaki tek fark x sadece ve sadece

±∞

gitmesi başka değere gidemez!!!

1)

1 lim( ) 0 1 lim( ) 1 1 lim( )

1 lim( ) .

n

n

n

n

r r

r r

r r

r r yoktur

< ⇒ =

= ⇒ =

> ⇒ = +∞

< − ⇒ = lim 7

^x

?

x→ ± ∞

=

1 1

2 2

7 1 7 7 7

7 1 49 7 0 ; 7 49 7 ... ...

−

− −∞ ∞

=   = 

 

=  = =  = ∞

 

 

2) P(n) ve Q(n) n’ye bağlı birer polinom olmak

üzere ;

( )

( )

( ) an P n

Q n

 

=  

 

rasyonel dizisinin limiti bulunurken;

der[P(n)] < der[Q(n)] lim( ) 0 der[P(n)] = der[Q(n)] lim( ) ( )'

( )' der[P(n)] > der[Q(n)] lim( )

an

P n inba ş katsayısı an Q n inba ş katsayısı an

⇒ =

⇒ =

⇒ =+∞

lim 5 ?

7 !

n n

x n

n n

→∞

+ =

+

⁽

∞

)

5

2

lim ?

1 !

x

n n

→∞

+ = +

⁽⁰⁾

4 2

4

lim 2 ?

3 5!

x

x x

x

→∞

+ =

− +

^(1/-3)

3)

.

lim 1

cn d p c

p

a

an b e

 

+

+ =

 

 + 

4 2

3 1

lim ?

3 1

n

n

n n

−

→∞

 + 

  =

 − 

8 / 3

( e )

4)

( )

¹

( ) ;

lim lim

n

n n n

n

a pozitif terimli ise a a

a



+



=  

 

2 1 lim

ⁿ

n ?

n

 + 

  =

 

 

⁽¹⁾

lim(

ⁿ

!) ?

n

n

→∞

= ( ) ∞

lim 1 ?

!

n

n^→∞

n

 

  =

 

⁽⁰⁾

5)

(

²

)

0

lim lim .( )

2

( 0 .)

a için

an bn c a n b

a a için limit yoktur

>

+ + = +

<

2 2

4 n − 6 n + 3 − 4 n − 1

dizisi- nin limitini bulunuz.

4 lim( 6 ) 4 lim( 0) 8

6 3

2( )

8 4

n n

n n

= − − −

= − − = −

6)

sin( ) tan( )

lim 1, lim 1

( ) ( )

sin( ) lim tan( )

n n

n n

n

n

a a

a a

a a

b b

= =

= .sin 1

n n

 

 

 

dizisinin limit kaçtır?

sin 1 1 1

n n

=

7)

1 2

...

lim(

_n

) lim a a a

ⁿ

a a a

n

 + + + 

= ⇒   =

 

1 1 1

1 ...

2 3 n

n

 

+ + + +

 

 

 

 

dizisinin

limiti kaçtır?

lim 1 0 n =

1

2 1

n

k

k k k

=

 − 

 

 

 

 

 

∑

dizisinin limiti kaçtır?

2 1

lim n 2

n

 − 

  =

 

8)

(

^{1 2 3}

)

lim( )

( ) ;

lim . . ...

n

n

n

a a ve

a pozitif terimli bir dizi ise a a a an a

=

=

1

!

n

n

 

 

 

dizisinin limiti kaçtır?

1 1

1.2.3.... 0

n

n n

 

= =

 

 

9)

1

1

1 2 3 ... 1 1

lim .

. 1

k k k k

k

k için

n

p n

⁺

p k

≠ −

+ + + +

= +

2 2 2 2

3

1 2 3 ...

4 5

n n

+ + + +

+

^dizisinin

limiti kaçtır?

3

3 3

( 1)(2 1)

2 ... 1

6

4 5 24 ... 12

n n n

n

n n

+ +

= + =

+ +

veya kuralı uygularsak;

1 1 1

4 2 1 . = 12 +

ÖRNEKLER 1) lim (cos x +

x 1

) =

∞

x

→

₀⁺

2)lim ( ³

5 3 2

x x +

) =

∞

x

→ ∞

3)lim

sin

₂

sin 1 1 . 1.

x x

x = x x = x = −∞

x

→

0^-

4)

: {1}

1 ; 1

( ) 1 ; 1

f

x x

f x x x

ℜ − → ℜ

− + <

=  

− >



fonksiyonun x=1 ve x=3 deki limitlerini bulalım.

Bu parçalı fonksiyonun kritik noktası 1 olduğundan sağından ve solundan limitine bakılması gereken tek nokta 1 dir. Onun haricindekileri direkt yerine koyarak yapmamız gerekir.

x=1 için gerekli kontrolleri yapalım;

1

1 1

lim 1 1 0

lim 0 lim 1 1 0

x

x x

−

+

→

→

→

− + = 

 =

− = 

elde edilir.

x=3 için direkt yerine yazdığımızda 3-1=2 elde edilir.

5)

:

; 1

( ) 2 1 ; 1

; 1

f

ax b x

f x x x

x a x

ℜ → ℜ

+ <

 

=  + =

 + >



fonksiyonun

x=1 de limiti olabilmesi için

b ∈ ℜ

sayısı;

a.1+b=1+a → b=1

elde edilir.

6)

lim cos cos

0,.. 1

x

x

π

π

−

−

→

 

  =

   

=  −   = − 

7)

2

lim sin sin

2 0,.. 0

x

x

π

π

−

−

 

→  

   

  =    

 

 

 

 

=    = 

1.TİP BELİRSİZLİKLER

0

0

, 0.

∞

,

∞

∞

,

∞ − ∞

BELİRSİZDİR.

Bu belirsizlikleri bir bir inceleyelim.

0

0

BELİRSİZLİĞİ

3

1

lim 1 ? 1

x

x x

→

− =

−

⁽³⁾

2

2 2

4 4

lim ?

5 6

x

x x

x x

→

− +

− + =

(0)

2 3

2 2

lim ?

8

x

x x

→

+ −

− =

(1/48)

3 2

3 3

3 3

lim ?

2 1

x

x x x

→

x

− − +

=

− −

(24)

3 2

2 3

lim ?

1 1

x

x x mx m

→−

x

− − +

=

+ +

değerinin

reel bir sayı olması için m reel sayısını ve limit değerini bulalım.

12 3 0

12 3 0 4 .

m olması için

m m olur

− +

∈ ℜ

− + = → =

1

[ ] 1

lim ?

sgn( 1)

x

x x

→

− =

−

(Yoktur)

∞

∞

BELİRSİZLİĞİ,

∞ − ∞

BELİRSİZLİĞİ

Dizilerde limit konusunda işlenmiştir.

!!! a >0 olmak üzere ; lim

a x b a c bx

ax

²

+ + = lim +

dır.

x

→ m ∞

x

→ m ∞

16

2

3 1

lim ?

4 3

x

x x

x

→∞

− +

+ =

(1)

2

2

3 1 7

lim ?

4 5

x

x x x

x x x

→−∞

+ + −

=

− − +

7 7

lim 4 4

8 4

2 4

x

x x x x

x x x x

x x

→−∞

− − −

− − = − − −

= − = −

−

2 2

lim 4 6 5 4 1 ?

x

x x x x

→∞

+ + − − + =

(7/4)

lim

2

5 4 ?

x

x x x

→−∞

− + + =

(5/2)

3 3

lim 3 ?

x

x x

→∞

+ − =

3

2 2

3 3

3 3

3

2 2

3 3

3 2 3 2 3 2 3 2

( ( 3) ( 3) ) lim( 3 ).

( ( 3) ( 3) )

3 3

lim 0

3

x

x

x x x x

x x

x x x x

x x

x x x x

→∞

→∞

+ + + +

+ −

+ + + +

+ − = =

+ +

0.

∞

BELİRSİZLİĞİ

lim 1 .(3 1) ?

4

x

x

x

→∞

+ =

+

(3)

0

lim .(cot ) ?

x

x x

→

=

(1)

2.TİP BELİRSİZLİKLER

0⁰ ,

∞

⁰ _,

1

^∞ BELİRSİZDİR.

lim [f(x)]^g(x) = c şeklindeki ifadelerde;

x

→

a

lim f(x) = A ve lim g(x) = B ise c=A^B dir.

x

→

a x

→

a

lim f(x) = 1 ve lim g(x) =

∞

ise ; x

→

a x

→

_a

lim p(x)=0 koşulu ile f(x)=1+p(x) değişkeni x

→

_a

kullanılarak

[ ]

( ). ( )

1 lim[ ( ) 1]. ( )

lim 1 ( )

( )

p x g x

f x g x p x

c

x a

p x e

⁻

→

 

=  +  =

 

lim [f(x)]

^g(x)

= lim e

g(x).lnf(x)

= e

^L

x → a x → _a

ÖRNEK: lim x^x = lim e^{x.ln x} = e⁰ = 1 x

→

₀⁺ _x

→

₀⁺

lim

x

^x

1

= lim ^{ln 0}

1

1

= e = e

^{x x}

x

→ ∞

x

→ ∞

lim

( x )

^x

1

1 +

= lim

e

^{xln(1+ )x}

= e

1

x

→

0 x

→

₀

lim

x

x 



 



 + 1

1

= lim

( t )

^t

1

1 +

= e x

→ m ∞

t

→

₀⁺

lim ^rt

x t

e x p

p r

^.

.

. 1

.  =



 



 +

x

→ ∞

!!! lim

a

x a

^x

1 ln

− =

, lim

1 1

− = x e

^x

x

→

0 x

→

₀

lim

1

ln 1 =

− x x

x

→

1

SÜREKLİLİK

1)f(x) , x=a da tanımlı , 2) lim f(x) limiti var ve x

→

_a

3) lim f(x) = f(a) ise x

→

_a

f , x=a da süreklidir denir.

ÖRNEK:

-2 sin x ; x <

2

− π

ise

f(x) = a sin x + b ;

2 2

π π ≤ ≤

− x

ise

cos x ; x >

2 π

ise

fonksiyonu

∀x ∈

R için sürekli ise a=? b=?

f(

2

− π

_{) = a.sin(}

2

− π

_)+b=-a+b

lim (-2.sin x) = 2 x

→ − )

⁻

( π 2

lim (a.sin x + b) = -a+b x

→ − )

⁺

( π 2

-a+b = 2 (1)

f(

2

π

) = a.sin(

2

π

)+b=a+b

lim (a.sin x + b) = a+b

x

→ )

⁻

( π 2

lim (cos x) = 0

x

→ )

⁺

( π 2

a+b = 0 (2)

(1) ve (2) den a=-1 ve b=1 bulunur.

!!! Eğer lim f(x) = L ve g(x), L de sürekli x

→

a

ise lim g[f(x)] = g(L) dir.

x

→

a

2

; ( ) 10

10 m olmak üzere

f x x

x x m

∈ ℜ

= +

− + +

fonksiyonunun daima sürekli olabilmesi için m hangi aralıktadır? (m<-25)

:

10 ; 1

( ) 1 ; 1

; 1

. f

x x x

f x mx x

x x n x

fonksiyonu veriliyor ℜ → ℜ

 +     <

=   − =

   +  +  >

   



f(x) fonksiyonun x=1 noktasında sürekli olabilmesi için m+n hangi aralıkta? [19,20)

-5,-3,0,1,4 noktaları için sürekliliğini araştırın.

2

:

9 ; 3

( ) 3

2 ; 3

f

x x

f x x

a x

ℜ → ℜ

 −

 ≠

=  −

 + =



fonksiyonunun x=3 noktasındaki

süreksizliğini kaldırabilmek için a değeri kaç olmalıdır? (-8)

:

1 ; 1

( ) 2 1 ; 1 5

3 12 ; 5

f

x x

f x x x

x x

fonksiyonu aşağıdaki noktalardan ℜ → ℜ

 <

 

=  − ≤ <

   −   ≥

 

hangisinde süreksizdir?

A) 1 B)2 C)3 D)5 E)6+

2 2

( ) 8 2 8 sgn( 8)

f x x 8 x

x x

= − + + +

−

fonksiyonu x in kaç tane değeri için süreksizdir? (3)

2

: ;

sgn(3 )

( ) 1

f

x x

f x x

ℜ → ℜ

= −

+

fonksiyonunun süreksiz olduğu noktalar kümesi nedir?

{ ^{− 1, 0,3} }