Berkay Yayınları ©
2.
Ünite RASYONEL SAYILARLA TOPLAMA İŞLEMİ
4. RASYONEL SAYILARLA TOPLAMA İŞLEMİ
• Rasyonel say›larla toplama işlemi yapılırken; topla- nanlar›n›n işaretleri ayn› ise toplam, toplananlar›n işa- retini al›r.
3 7 2
7 4
7
+ = 6
+ + +
f p f p
işleminde de görüldüğü gibi, toplananlar pozitif oldu- ğundan toplam da pozitiftir.
Şimdi de bu toplama işlemini sayı doğrusu üzerinde gösterelim.
0 1
7 +2 7 +2
7 +6 7 +4
3 6
5
6 3
6
+ = 8
- - -
c m c m işleminde görüldüğü gibi, toplananlar negatif olduğundan toplam da negatiftir.
Şimdi de bu toplama işlemini sayı doğrusu üzerinde gösterelim.
–2 –1 0
3
-6 6
-5
• Rasyonel sayılarla toplama işlemi yapılırken; topla- nanlar z›t işaretli ise toplam›n işareti, mutlak değeri büyük olan rasyonel say›n›n işareti olur.
3 5
4 5 7
5
+ = 3
- + +
f p f p
5
+7’in mutlak değeri 5
-4 ’in mutlak değerinden bü-
yük olduğu için toplam 5
+7’in işaretini almıştır.
+1
–1 0
5 -4
5 -4
5 +3 5
+7
3 7
11 7 5
7 + + = 6
- -
f p f p f p
7
-11’nin mutlak değeri 7
+5 ’in mutlak değerinden bü-
yük olduğu için toplam 7
-11’nin işaretini almıştır.
0
–2 –1
7 -11
7 +5
7 -6 7
-11
• Paydası eşit olmayan rasyonel sayılarda önce payda- lar eşitlenir, sonra toplama işlemi yapılır.
3 3
5 1
10
3 3
5 1
10 3
310 2
10 3
10 32
10 3
10 32
10 3
10 29
( )2
+ + - = + + -
= + + -
= + + -
= +
+ -
=+
f f f
f
f
^
f
^ f
f
p p
h p
p
p
h p
p
p
Paydaları eşit olmayan rasyonel sayılar- la toplama işlemi yapılırken önce bu sayıların paydaları eşitlenir. Sonra da eşit paydalı kesir- lerde olduğu gibi toplama işlemi yapılır.
Rasyonel sayılarda toplama işlemi cebirsel olarak
b a
d c
b d a d b c
$
$ $
+ = +
şeklinde göste- rilir.
Berkay Yayınları ©
Toplama İşleminin Özellikleri
+ 5
-2
5
-1 0
5 +1
5 +2
5 -2
5 -3
5 -1
5 -3
5 -1
0 5
-1 0
5 +1
5
+1 0
5 +1
5
+2 0
• Tabloda 5
-3 sonucunu veren işlemler,
5 1
5 2
5 2
5 1
5
- + - = - + - =-3
f p f p f p f p
olduğundan, rasyonel say›larla toplama işleminin değişme özelliği vard›r.
Rasyonel sayılarla toplama işleminin de- ğişme özelliği cebirsel olarak,
b a
d c
d c
b + = + a
şeklinde gösterilir.
• Tabloda, 5
1 0 0 5
1 5
- + = + - =-1
f p f p
olduğundan, rasyonel sayılarla toplama işleminin etki- siz elemanı “0” dır.
Rasyonel sayılarla toplama işleminin etkisiz elemanı cebirsel olarak,
b a
b a
b 0 0 a
+ = + =
şeklinde gösterilir.
• “0” sonucunu veren rasyonel sayılar, toplamaya göre birbirinin tersidir.
Tabloda,
5 ve
1
5
1 0 5
2
5
2 0
- + + = - + + =
f p f p f p f p
olduğu için,
5
-1
f p ’in toplamaya göre tersi 5 +1 f p ,
5
-2
f p ’in toplamaya göre tersi 5 +2 f p ’tir.
b a
b
a 0
+ -f p= ise b
a’nin toplamaya göre tersi b -a ’dir.
• 5
1 5 2
5 1
5 2
5 1
5 3
5 2
5 2 5 1
5 1
5 1
5 1
- + - = - + - +
-
- =-
+ + +
+ + = - + -
f f
f f
f
f
f f
f f
p p
p p
p
p
p p
p p
> H > H
olduğundan, rasyonel sayılarla toplama işleminin bir- leşme özelliği vardır.
Rasyonel sayılarla toplama işleminin birleş- me özelliği cebirsel olarak,
b a
d c
f e
b a
d c
f
+ + = + +e
f p f p
şeklinde gösterilir.
Örnek , , 4 3
12 5
2
- 1 rasyonel sayılarının toplamını, iki farklı şe- kilde işlem önceliği vererek çözelim ve sonuçların eşitliğini kontrol edelim.
Çözüm 4 3
12 5
2 1
4 3
12 5
2 1
(3) (6) (3) (6)
- + + + + = -? + + + +
d n e o d n d n e o d n
> H > H
eşitliğinin sağlanıp sağlanmadığını kontrol edelim.
12 9
12 5
12 6
12 9
12 5
12
– + + + + =? – + + + + 6
d n e o d n d n e o d n
= G = G
Önce köşeli ayraçlar içindeki terimler toplanır.
. olur 12
4
12 2
12 2
12 9 12
6
12 11
- =?
+ =+
-
+ + + +
f p f p f p f p
Bu eşitlik, rasyonel sayılarla toplama işleminin birleşme özelliğini gösterir.
Berkay Yayınları ©
Rasyonel Sayılarla Toplama İşlemi
Pekiştirme - 4 Kazanım
Kazanım
1 Aşağ›daki işlemlerin sonucunu bulunuz.
a. 8 7
8 + + +3
f p f p
b. 5 4
5 + + +3
f p f p
c. 8
5 2
8 + + + 1
f p f p
ç. 2 1
5 + + + 4
^ h f p
2 Aşağ›daki işlemlerin sonucunu bulunuz.
a. 9 1
9 - + -7
f p f p
b. 11 2
11 - + - 3
f p f p
c. 3 5
1 4
5 - + - 2
f p f p
ç. 6 5
8 - + -3
f p f p
3 Aşağ›daki işlemlerin sonucunu bulunuz.
a. 15 9
15 - + + 3
f p f p
b. 6 5
6 + + -4
f p f p
c. 9 4
9 + + -1
f p f p
ç. 8 3
8 - + -5
f p f p
d. 2 5 3
5 - + +1
f p f p
e. 7 3
7 - + +5
f p f p
f. 4 9
1 2
9 + + - 5
f p f p
g. 10 3
10 4
10
- + - + - 7
f p f p f p
4 Aşağıda verilen tabloyu toplama işlemlerini yaparak ta- mamlayınız.
Toplama işleminin etkisiz eleman, ters eleman ve de- ğişme özelliklerinin varlığını tablo üzerinde ya da birer örnekle gösteriniz.
+ – 7 8 – 1
4 0 + 1
4 + 7 8 – 78
– 14
0 + 14
+ 78
5 Aşağıdaki eşitliklerde verilen boşlukları uygun sayılarla doldurunuz.
a. 1511
15f 1519
+ + = +
c m a k
b. 9 97
9
–f –1
+ + =
a k c m
c. 4 21
4
–f – –3
+ =
a k c m
ç. 54
5 f 1
+ + = +
c m ^ h
d. 103
104 1
– + f + – =
c m ^ h c m
e. c+291m+^f...h=0
f. 352 5
3 3
– + – + f =–
c m c m ^ h
g. 87 5 2
5
–2 f
+ + - = +
c m c m c m ^ h
ğ. 273 7
1 272
– f
+ + + = +
c m c m ^ h
h. 591
9 – –46
f + =
^ h c m
ı. 3 251
107 251 3
– + – + + = – + f + –
^ h c m c m c m ^ h ^ h
Berkay Yayınları ©
TEST 1 TEST 6 Rasyonel Sayılarla Toplama İşlemi
1. 2
1
5 4
6
- + + + - 5
c m c m c m
işleminin sonucu kaçtır?
A. 6047 B.
15
8 C.
15
- 8 D.
60 - 47
2. 3
1 5 1
7
- + - 1
c m c m
işleminin sonucu kaçtır?
A. 10527 B.
10528 C.
21
- 5 D.
105 - 29
3.
Sayı doğrusunda modellenen işlem aşağıdakiler- den hangisidir?
A. 8
3
8 - + - 5
c m c m B.
8 7
8 + + - 3
c m c m
C. 8 7
8
- -c 3m D.
8 7
8 - + - 3
c m c m
4. 7
3 + = 145 işleminde “ ” yerine aşağıdakilerden hangisi yazılmalıdır?
A. 72 B. 14
2 C. 7
- 1 D. 14
- 1
5. 121 121
- + =
93 31 + -c m =
71
142
- + =
Yukarıdaki işlemlerde “ ” yerine gelmesi gereken sayı kaçtır?
A. –2 B. –1 C. 0 D. 1
6. a, b doğal sayı olmak üzere 2 35 a b + = +3 eşitli- ğinde b’nin en küçük değeri için a + b toplamı kaç- tır?
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
Berkay Yayınları ©
2.
Ünite RASYONEL SAYILARLA ÇIKARMA İŞLEMİ
Aşağıda tam sayılarla çıkarma işlemine bir örnek veril- miştir. İnceleyelim.
tersi
(–3) – (–6) = (–3) + (+6) = +3
–3
–3 –(–6)
–2 –1 0 1 2 3 4
Tam say›larla ç›karma işlemi yapılırken ek- silen say›, ç›kan say›n›n toplama işlemine göre tersi (ters işaretlisi) olan tam say› ile toplan›r.
a – b = a + (–b), a – (– b) = a + (+b) = a + b
Şimdi rasyonel sayılarla çıkarma işlemine bir örnek verip işlemleri sayı doğrusunda gösterelim.
tersi
6 4
6 8
6 4
6 8
6
- - - = - + + =+4
f p f p f p f p
Tam sayılarda olduğu gibi rasyonel sayılarda çıkarma iş- lemi yapılırken de eksilen sayı, çıkan sayının tersiyle toplanır.
–1 0 1
6 +4 6
-4
6 -4
6 - -f 8p
Örnek
6 4
6 - - -9
f p f p işleminin sonucunu bulalım.
Çözüm
tersi
6 4
6 6
4
6 6
9 9 5
- - - = - + + =+
f p f p f p f p
Örnek
4
3 1
- - +4
f p f p işleminin sonucunu bulalım.
Çözüm 4 3
4
4 1
4 1
4 3
4 - 1
=- =-
- + =- + -
f p f p f p
Örnek 3 41
5 21
- - +
f p f p işleminin sonucunu bulalım.
Çözüm 3 41
5 21
3 41
5 21 3 41
5 42 4
13
4 22
4 35
( )1 ( )2
- - + = - - +
= - + -
= - + - =-
f f f
f
f f
f
f
p p
p p
p
p p
p
Bir rasyonel sayının önüne gelen “–” işareti, sayının yönünü değiştirir. Yani sayının tersini verir.
İki rasyonel sayının farkı, çıkan sayının top- lamaya göre tersi ile eksilen sayının toplamına eşittir.
b a
d c
b a
d - = + -f cp
Berkay Yayınları ©
Pekiştirme - 5 Kazanım
Kazanım
1 Aşağıdaki sayı doğruları üzerinde modellenmiş olan toplama ve çıkarma işlemlerinin matematik cümlelerini yazıp sonuçlarını bulunuz.
=
=
=
= a.
b.
c.
ç.
2 Aşağıda verilen rasyonel sayılarla toplama işlemini in- celeyiniz. Her işlem adımında, toplama işleminin hangi özelliğinden yararlanıldığını noktalı yerlere yazınız.
?
...
...
...
2
3 1 1
2 1
2
3 1
2
1 1
2 3
2
3 1
0 1
1
$
$
$
- + - + =
= - + + -
= - + + -
= + -
=- c
c
c
^
^
^
^ m
m
h m
h
h h
3 A , B ve C
8 1
4 1
2
=- =- =+1 veriliyor.
Aşağıdaki işlemlerin sonuçlarını bulunuz.
a.
B – A = ?
b.
A – B + C = ?
c.
A – (B – C) = ?
ç.
(A – B) – C = ?
Portakal Yiyiciler
Her katta bir görevlinin bulunduğu sekiz katl› bir iş mer- kezinin yedinci kat›nda iş yeri olan Ayşe Han›m, portakal yemek ister. ‹lk kattaki görevliye portakal almas›n› söyler.
Ancak bu apartmanda görevlilerin şöyle bir kural› vard›r:
En üst kattaki dışında her görevli kendisine ulaşan porta- kallar›n yar›s›n› alarak geri kalan›n› üst kata göndermekte- dir. Buna göre Ayşe Han›m, bir tane portakal yiyebilmek için en az kaç tane portakal sipariş etmelidir?
Meraklısına Soru
Berkay Yayınları ©
TEST 1 TEST 7 Rasyonel Sayılarla Çıkarma İşlemi
1. 52 154 –
işleminin sonucu kaçtır?
A. 151 B. 152 C. 153 D. 154
2. Aşağıdaki işlemlerden hangisi yanlıştır?
A. 43 34
127
– =– B. 57
31 1516
– =
C. 41 71
283
– – = D. 53
52 1 – – =–
3. 343 2 61 –
işleminin sonucu kaçtır?
A. 1219 B. 1217 C. 1215 D. 1213
4. x , y , z
3 2
4 3
5
=- = =-2
olduğuna göre x + y + z işleminin sonucu aşağıda- kilerden hangisidir?
A. –6016 B. –6017 C. –6018 D. –6019
5. 204
5 – =3
işlemine göre yerine aşağıdaki sayılardan han- gisi yazılabilir?
A. –2010 B. –208 C. 208 D. 2010
6. 153
21 1 – – +c m
işleminin sonucu kaçtır?
A. 109 B. 1010 C. 1011 D. 1012
Berkay Yayınları ©
TEST 1
Rasyonel Sayılarla Toplama ve Çıkarma İşlemi TEST 8
1. 2
2
1 2
4
3 1
7
+ - + + - 5
d n e o c m
işleminin sonucu kaçtır?
A. 28
-55 B.
28 -25 C.
2825 D.
28 55
2. 2 4 3
8 D 7
- + =-
ise D kaçtır?
A. 8
-17 B.
8
-15 C.
8
-13 D.
8 -11
3. 2 5
2 3 1
8 -c - 1m
işleminin sonucu kaçtır?
A. 1517 B.
6023 C.
2011 D.
40 21
4. x , y , z
3 2
4 3
5
=- = =-4
ise aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?
A. x + y + z = 60
-43 B. x + y – z = 60 53
C. x – y – z = 60
–37 D. (x + y) – (– z) = 60 41
5. Aşağıdaki ifadelerden hangisi yanlıştır?
A. 103
51
- + -
e o e o işleminin sonucu 21 - ’ dir.
B. 164 163
167
+ - işleminin sonucu 0’dır.
C. 71 212
- işleminin sonucu ' .dir 211 -
D. 0 + 92
c- m işleminin sonucu -92' .d ri
6. + = –134 – = 0
Yukarıdaki işlemlerde “4” yerine hangi sayı gelebi- lir?
A. 132 B.
261
- C.
132
- D.
134 -
7. Rasyonel sayılarla toplama işleminin etkisiz elema- nı nedir?
A. –1 B. 0 C.
21 D. 1
8. a ise,
5 4
8 7
13 11
1 5
4 1
8
7 1
13 11
+ + =
+ + + + +
c m c m c m
ifadesinin a cinsinden değeri aşağıdakilerden han- gisidir?
A. a + 3 B. a – 3 C. 3a D. 2a
9. 54
32 4
61
5 d
- +c +Dm= -c + m+ eşitliğinde D
61 0
+ -c m= olduğuna göre D ve Ω ye- rine yazılacak sayıların farkı kaçtır?
A. -272 B.
64
- C. 1
– 2 D.
92
10. A ve B
3
2 1
3
= = 2 kesirleri veriliyor.
Buna göre aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?
A. A + B = 2
31 B. B, A’nın 1 katıdır.
C. – B – A = 37
– D. B – A = 1
