ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DOKTORA TEZİ KING TİPLİ OPERATÖRLERİN YAKLAŞIM ÖZELLİKLERİ Övgü GÜREL YILMAZ MATEMATİK ANABİLİM DALI ANKARA 2019 Her hakkı saklıdır

i

ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

DOKTORA TEZİ

KING TİPLİ OPERATÖRLERİN YAKLAŞIM ÖZELLİKLERİ

Övgü GÜREL YILMAZ

MATEMATİK ANABİLİM DALI

ANKARA 2019

Her hakkı saklıdır

ii ÖZET

Doktora Tezi

KING TİPLİ OPERATÖRLERİN YAKLAŞIM ÖZELLİKLERİ Övgü GÜREL YILMAZ

Ankara Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı

Danışman: Prof. Dr. Fatma TAŞDELEN YEŞİLDAL

Bu tez beş bölümden oluşmaktadır. Orjinal bölümler tezin üçüncü ve dördüncü bölümlerinde yer almaktadır.

İlk bölüm giriş kısmına ayrılmıştır.

İkinci bölümde lineer pozitif operatörler ile ilgili bazı temel tanım ve özelliklere yer verilmiştir. Lineer pozitif operatörlerin yakınsaklık koşulları anlatılmış ve tezde kullanılacak olan bazı operatörler tanıtılmıştır.

Üçüncü bölümde Szasz-Mirakjan operatörlerinin fonksiyonunu koruyan genelleştirmesi ele alınmıştır. Bu operatörlerin şekil koruma özellikleri, lokal ve ağırlıklı yaklaşım özellikleri incelenmiş, bu operatörler için Voronovskaja tipli teorem ispatlanmıştır. Son kısımda ise klasik Szasz-Mirakjan operatörleri ile King tipli operatörlerin yakınsaklık hızları karşılaştırılmıştır ve oluşturulan hata tahmini tablosu ve grafik yardımıyla elde edilen sonuçlar tartışılmıştır.

Dördüncü bölümde üstel fonksiyonu koruyan Baskakov-Kantorovich operatörleri tanımlanmış ve bu operatörlerin yakınsaklık özellikleri incelenmiştir. Bu operatörler için de Voronovskaja tipli teorem göz önüne alınmıştır.

Beşinci bölümde ise tezde elde edilen sonuçlar tartışılmıştır.

Haziran 2019, 91 sayfa

Anahtar Kelimeler: Szasz-Mirakjan operatörleri, King tipli operatörler, Baskakov- Kantorovich operatörleri, şekil koruma özellikleri, süreklilik modülü, Voronovskaja tipli teorem, üstel fonksiyon.

iii ABSTRACT

Ph.D. Thesis

APPROXIMATION PROPERTIES FOR CERTAIN KING TYPE OPERATORS Övgü GÜREL YILMAZ

Ankara University

Graduate School of Natural and Applied Sciences Department of Mathematics

Supervisor: Prof. Dr. Fatma TAŞDELEN YEŞİLDAL

This thesis consists of five chapters. The original results are presented in third and fourth chapters.

The first chapter is devoted to the introduction.

In the second chapter, some basic definitions and certain elementary properties concerning linear positive operators are given. Convergence properties of linear positive operators and some certain operators which are used in the thesis are introduced.

In the third chapter, the generalization of Szasz-Mirakjan operators which preserve are presented and their shape preserving properties, local and weighted approximation properties are examined. Voronovskaja type theorem for these operators is proved,as well. In the last section of the chapter, rate of convergence of classical Szasz-Mirakjan operators and King type operators is compared and the results of these two operators are discussed with the the error table and graphic.

In the fourth chapter, Baskakov Kantorovich operators which preserve exponential function are introduced and their convergence properties are analyzed. Voronovskaja type theorem for these operators is also investigated.

In the fifth chapter, the results obtained in the thesis are discussed.

Haziran 2019, 91 sayfa

Key Words: Szasz-Mirakjan operators, King type operators, Baskakov-Kantorovich operators, shape preserving properties, modulus of continuity, Voronovskaja type theorem, exponential function.

iv TEŞEKKÜR

Öncelikle bu çalışmanın oluşmasında beni yönlendiren, her zaman daha ileriye gidebilmem için çaba harcayan, sadece bilimsel anlamda değil her konuda bana olan desteğini esirgemeyen, arkamda her zaman varlığını hissettiğim danışman hocam Prof.

Dr. Fatma TAŞDELEN YEŞİLDAL’a (Ankara Üniversitesi Matematik Anabilim Dalı), doktora eğitimi sürecim boyunca bilgi ve tecrübeleriyle bana yol gösteren, akademik çalışmalarımızda katkısını çok büyük oranda hissettiğimiz, beni kendi öğrencisinden ayırmayarak bu alanda kendimi geliştirebilmem için büyük çaba harcayan Prof. Dr. Ali ARAL’a (Kırıkkale Üniversitesi Matematik Anabilim Dalı), aklıma takılan en küçük bir problem için bile çekinmeden yanlarına gidebildiğim, beni aydınlatabilmek için saatlerce bir konu üzerinde vakit harcayan ve eksikliklerini gerçekten her zaman hissedeceğim Prof. Dr. Gülen BAŞCANBAZ TUNCA’ya (Ankara Üniversitesi Matematik Anabilim Dalı) ve Prof. Dr. İbrahim BÜYÜKYAZICI’ya (Ankara Üniversitesi Matematik Anabilim Dalı) sonsuz teşekkürlerimi sunmak isterim.

Ankara Üniversitesi'ne başladığım ilk günden bugüne kadar bana hoca olduklarını hissettirmeden bir dost edasıyla hep yanımda olan, her türlü tecrübelerini benimle paylaşan, bugünlere gelmem de çok büyük payları olan, pozitif enerjileri ile bana güç katan Doç. Dr. Rabia AKTAŞ’a (Ankara Üniversitesi Matematik Anabilim Dalı) ve Doç. Dr. Serhan VARMA’ya (Ankara Üniversitesi Matematik Anabilim Dalı), bildiklerini paylaşmaktan hiçbir zaman çekinmeyen, söyledikleri küçük bir cümleyle bile problemlerimde büyük değişiklikler yaratan, başlarını çok ağrıttığım Doç. Dr.

Sezgin SUCU’ya (Ankara Üniversitesi Matematik Anabilim Dalı) ve Doç. Dr. Oktay ÖLMEZ’e (Ankara Üniversitesi Matematik Anabilim Dalı), bugüne kadar bütün sevinçlerimde yanımda olan, yeri geldiğinde kahkahalarla güldüğümüz, o kalabalık odada birçok şey paylaştığımız tüm arkadaşlarıma da saygılarımı ve sevgilerimi sunarım.

Sadece doktora eğitimim süresince değil bu hayata gözlerimi açtığım andan itibaren benim bu zorlu dünyada iyi yerlere gelebilmem için varını yoğunu harcayan, benim mutlu olabilmem için her türlü sıkıntıyı çekmeye hazır olan, benim en büyük destekçim,

v

biricik arkadaşım anneme, bana bu hayattaki doğruları ve yanlışları öğreten, bir telefonla tüm sıkıntılarımı mutluluğa dönüştüren ablama, bu süreçte bana çok büyük fedakarlıklar gösteren, benim her türlü stresime katlanabilen, bu süreçte yardımlarıyla yükümü hafifleten eşim Bülent YILMAZ’a, ne zaman pes etsem sadece bir gülüşüyle beni hayata bağlayan biricik oğlum Ural YILMAZ’a sonsuz teşekkürlerimi sunarım.

Son olarak bana Ankara Üniversitesi'nde eğitim olanağı sağlayan ve finansal anlamda Öğretim Üyesi Yetiştirme Programı (ÖYP) kapsamında beni destekleyen Yükseköğretim Kuruluna, Erasmus+ Öğrenim Hareketliliği kapsamında destekleyen Avrupa Birliği Eğitim ve Gençlik Programları Merkezi Başkanlığına teşekkür ederim.

Ankara Haziran, 2019 Övgü GÜREL YILMAZ

vi

İÇİNDEKİLER

ETİK ... i

ÖZET ... ii

ABSTRACT ... iii

TEŞEKKÜR ... iv

SİMGELER DİZİNİ ... vii

ŞEKİLLER DİZİNİ ... viii

ÇİZELGELER DİZİNİ ... ix

1. GİRİŞ ... 1

2. TEMEL KAVRAMLAR ... 17

2.1 Temel Tanımlar ve Teoremler ... 17

2.2 Genelleştirilmiş Konvekslik ... 22

2.3 Sonlu Aralıkta Sürekli Fonksiyonlar Uzayı ... 24

2.4 Lineer Pozitif Operatörler Dizisinin Yakınsaklık Koşulları ... 26

2.5 Süreklilik Modülü ... 27

2.6 Ağırlıklı Uzaylarda Lineer Pozitif Operatörler Dizisinin Yakınsaklık Koşulları ... 28

2.7 Ağırlıklı Uzaylarda Süreklilik Modülü ... 30

2.8 Szasz-Mirakjan Operatörleri ... 31

2.9 Baskakov Operatörleri ... 34

2.10 Baskakov Kantorovich Operatörleri ... 36

3. KING TİPLİ SZASZ-MİRAKJAN OPERATÖRLERİ ... 39

3.1 Operatörlerinin Şekil Koruma Özelliği ... 42

3.2 Operatörleri için Lokal Yaklaşım Özellikleri ... 49

3.3 Operatörleri için Ağırlıklı Yaklaşım Özellikleri ... 57

3.4 Operatörleri için Voronovskaya Tipli Teorem ... 62

3.5 Operatörleri İle Operatörlerinin Karşılaştırılması... 66

4. KING TİPLİ BASKAKOV KANTOROVİCH OPERATÖRLERİ ... 69

4.1 ̃ Operatörlerinin Yakınsaklık Özellikleri ... 72

4.2 ̃ Operatörleri için Voronovskaya Tipli Teorem ... 76

5. TARTIŞMA VE SONUÇ ... 81

KAYNAKLAR ... 83

ÖZGEÇMİŞ... 90

S·IMGELER D·IZ·IN·I

N Do¼gal say¬lar kümesi

N⁰ f0g ¬içeren do¼gal say¬lar kümesi

R Reel say¬lar

R⁺ Pozitif reel say¬lar [a; b] Kapal¬aral¬k (a; b) Aç¬k aral¬k

C [a; b] [a; b] aral¬¼g¬ndaki sürekli fonksiyonlar uzay¬

C^r[a; b] [a; b] aral¬¼g¬nda reel de¼gerli, r inci basamaktan sürekli türevlere sahip fonksiyonlar uzay¬(r 2 N) L^m(f ; x) L^m lineer pozitif operatörünün sürekli f fonksiyonuna

uygulanmas¬

B_m(f ; x) Bernstein operatörleri S_m(f ; x) Szasz operatörleri V_m(f ; x) Baskakov operatörleri

V_m(f ; x) Baskakov Kantorovich operatörleri w(f ; ) f fonksiyonunun süreklilik modülü

(f; ) f fonksiyonunun a¼g¬rl¬kl¬süreklilik modülü Lip_M mertebeli M katsay¬l¬Lipschitz s¬n¬f¬

B (R) Her x 2 R için jf(x)j M_f (x)ko¸sulunu sa¼glayan fonksiyonlar uzay¬

C (R) B (R) uzay¬ndaki sürekli fonksiyonlar uzay¬

C^k(R) C (R) uzay¬n¬nn

f : f 2 C (R) ; lim

x !1 jf(x)j

(x) = k_fo ko¸sulunu sa¼glayan alt uzay¬

k:k kfk = supn

jf(x)j

(x) , x 2 Ro

f_m f (f_n)fonksiyon dizisinin f fonksiyonuna düzgün yak¬nsamas¬

f [x₀; x₁; :::; x_n] f fonksiyonunun n inci mertebeden bölünmü¸s fark¬

(n)_k Pochhammer sembolü

viii ŞEKİL DİZİNİ

Şekil 3.1 Operatörlerinin fonksiyonuna yaklaşımı. ... 68

ix

ÇİZELGE DİZİNİ

Çizelge 3.1 Operatörleri için hata tahmini. ... 67

1.

Yakla¸s¬m teorisi, ortaya ç¬k¬p yayg¬nla¸smas¬ 19. yüzy¬la dayanan ve bu yüzy¬ldan günümüze kadar dünyadaki birçok matematikçi taraf¬ndan çal¬¸s¬lan matematiksel analizin önemli ara¸st¬rma konular¬ndan biridir. Sadece matematikte de¼gil, temel bilimler ve mühendislik bilimleri ba¸sta olmak üzere, di¼ger alanlardaki birçok bilim- sel probleme ¬¸s¬k tutmas¬, yakla¸s¬m teorisinin günden güne öneminin artmas¬na ne- den olmu¸stur. Özellikle bu alanda yap¬lan bilimsel çal¬¸smalar¬n, ça¼g¬m¬za yön veren bilgisayar hesaplamalar¬ ile zenginle¸stirilmesi, bu alan¬n günümüzde de hala eski etkinli¼gini sürdürmesini sa¼glam¬¸st¬r. Bu yüzden yakla¸s¬m teorisi, matematikte anali- zin harmonik analiz, fonksiyonel analiz, nümerik analizi, Fourier analizi gibi birçok dal¬yla ili¸skili olmas¬n¬n yan¬s¬ra; operatör teori, olas¬l¬k teorisi, say¬lar teorisi, ista- tistik teorisi gibi di¼ger bilim dallar¬yla da içiçedir. Buna ek olarak yakla¸s¬m teorisi

…zikte ve mühendislikte veri gösterimi, sinyal i¸sleme, termogra…k görüntüleme, dal- gac¬k analizi gibi birçok farkl¬konuda da kullan¬lmaktad¬r.

Yakla¸s¬m teorisinin temel amac¬, ele al¬nan key… bir fonksiyonun daha basit ve daha çok elemanter özelli¼ge sahip (türevlenebilme, integrallenebilme vb.) di¼ger fonksi- yonlar yard¬m¬yla bir gösterimini elde etmektir. Örne¼gin bir fonksiyon kuvvet seri- sine aç¬l¬rken, onun kuvvet serisi ile i¸slem yapmak yerine kuvvet serisinin k¬smi toplam¬yla yani onun polinom gösterimi ile i¸slem yapmak bizim için daha kul- lan¬¸sl¬ olacakt¬r. Bu ¸sekildeki gösterimler fonksiyon hakk¬nda birçok bilgiye daha kolay ula¸smam¬z¬ sa¼glar. Aksi durumda o fonksiyon hakk¬nda bilgi sahibi olmaya çal¬¸s¬l¬rken, içinden ç¬k¬lmas¬ zor ispatlarla ve hatta karma¸s¬k bilgisayar hesapla- malar¬yla kar¸s¬la¸s¬labilir. Bazen bilgisayar yard¬m¬yla baz¬ bilgiler elde edilse bile, bu elde edilen yakla¸s¬k sonuca nas¬l ula¸s¬ld¬¼g¬n¬görememek ya da sonuca daha iyi bir yakla¸s¬mla ula¸sma iste¼gi böyle durumlarda polinom yakla¸s¬m¬n¬n tercih edilmesine neden olur. Bu durumda polinom ailesi bizim için daha iyi özelliklere sahip fonksi- yon tan¬m¬n¬üstlenmi¸s olur. ·I¸ste bu yüzden yakla¸s¬m teorisi, belli özelliklere sahip fonksiyon uzay¬n¬n elemanlar¬n¬n bu uzay¬n bir alt uzay¬ndan olan iyi özelliklere sahip fonksiyonlar cinsinden gösterimini elde etmeyi temel al¬r.

Yakla¸s¬m teorisinde genelde bu yakla¸s¬m¬sa¼glayacak daha basit ve daha çok eleman- ter özelliklere sahip fonksiyonlar, c0; c1; :::; cm reel katsay¬lar¬için

P_m(x) = c₀+ c₁x + ::: + c_mx^m

¸seklinde cebirsel polinomlardan;ea⁰; ea¹; :::;ea^m; eb₁; :::; eb_m reel say¬lar¬için T_m(x) =ea⁰+ ea¹cos x + eb₁sin x + ::: + ea^mcos mx + eb_msin mx

¸seklinde trigonometrik polinomlardan ya da a0; a₁; :::; a_m; b₀; :::; b_m reel say¬lar¬için R_m(x) = P_m(x)

Qm(x) = a₀+ a₁x + ::: + a_mx^m b0+ b1x + ::: + bmx^m iki polinomun oran¬¸seklindeki rasyonel fonksiyonlardan seçilebilir.

Matematiksel analizin temellerinin at¬ld¬¼g¬ 17. yüzy¬la kadar yakla¸s¬m kavram¬

alt¬nda incelenen tek durum say¬lar¬n yakla¸s¬k de¼gerinin hesaplanmas¬yd¬. Buna örnek olarak say¬s¬ verilebilir. Daha sonra Kepler, Wallis, Newton, Bernoulli, Euler ve daha birçok matematikçinin yapt¬¼g¬ çal¬¸smalarla, say¬lar¬n, operatörlerin, fonksiyonlar¬n ve denklemlerin çözümlerinin yakla¸s¬k hesab¬n¬n elde edilebilmesi için geli¸stirdikleri metotlarla yakla¸s¬m kavram¬n¬n da ilk ad¬mlar¬at¬lm¬¸st¬r.

Yakla¸s¬m teorisinde önemli bir yere sahip olan Gauss, denklemlerin çözümlerinin, in- tegral hesaplar¬n¬n minimum hata ile çözümlerinin bulunmas¬n¬n yan¬s¬ra matema- tikte geni¸s ölçüde kullan¬lan en küçük kareler metodunu geli¸stirmi¸stir.

Tüm bu geli¸smelerin yan¬nda reel de¼gi¸skenli fonksiyonlara yakla¸s¬m teorisinin temeli Rus matematikçi P. L. Chebyshev ve Alman matematikçi K. Weierstrass’¬n iki önemli teoremi ispat etmesiyle olu¸sturulmu¸stur.

Rus matematikçi P. L. Chebyshev (1821-1894) in yakla¸s¬m teorisi ile ilgili ilk ara¸st¬r- malar¬1850 y¬l¬nda ba¸slam¬¸s ve bu konu ile ilgili ara¸st¬rmalar¬ölümüne kadar devam etmi¸stir (Chebyshev 1854, 1859, 1947) :

Bu teori kapal¬aral¬kta verilen key… sürekli fonksiyona en iyi yakla¸s¬m¬veren m inci dereceden polinomu bulmaya dayanmaktad¬r. Aç¬k ¸sekilde ifade etmek istersek,

" f , [a; b] kapal¬aral¬¼g¬nda tan¬ml¬sürekli bir fonksiyon ve m pozitif tamsay¬olmak üzere;

a x bmaxjf(x) p(x)j

ifadesini minimum yapacak ¸sekilde derecesi en fazla m olan

P (x) = Xm

s=0

c_sx^s

¸

seklinde bir polinom bulunabilir mi? " sorusunun cevab¬aranmaktad¬r.

P. L. Chebyshev’in bu çal¬¸smas¬ ile yakla¸s¬m teorisinde önemli bir yere sahip olan en iyi yakla¸s¬m problemi anlam kazanm¬¸st¬r (Chebyshev 1854).

Alman matematikçi K. Weierstrass (1815-1897), 1885 y¬l¬nda kendi ismini ta¸s¬yan Weierstrass yakla¸s¬m teorisini ispatlamas¬yla matematikte çok büyük bir geli¸smeye imza atm¬¸st¬r. Bu teorem [a; b] kompakt aral¬¼g¬nda düzgün sürekli her fonksiyona [a; b]aral¬¼g¬nda düzgün olarak yak¬nsayan bir fP^m(x)g polinomlar dizisinin varl¬¼g¬n¬

ispatlam¬¸st¬r (Weierstrass 1885). Aç¬k olarak ifade edilirse,

" f 2 C[a; b] key… bir fonksiyon olmak üzere, her > 0 say¬s¬ ve her x2 [a; b] için öyle bir Pm(x) cebirsel polinomu vard¬r ki

jf(x) P_m(x)j <

sa¼glan¬r."

K. Weierstrass bu teoremi benzer ¸sekilde sürekli periyodik fonksiyonlara, trigonometrik polinomlarla yakla¸sma problemini ele alarak da ispatlam¬¸st¬r.

Weierstrass teoreminin ispat¬oldukça uzun ve kar¬¸s¬k oldu¼gundan birçok ünlü matema- tikçi daha basit ve daha anla¸s¬l¬r bir ispat elde edebilmek için bu teorem üzerinde

çal¬¸sm¬¸slard¬r. Matematikçi C. Z. Runge (Runge 1885), K. Weierstrass’tan ba¼g¬m- s¬z olarak ayn¬ y¬lda teoremin ba¸ska bir ispat¬n¬ yapm¬¸st¬r. Farkl¬ ispatlar ya- pan di¼ger matematikçilerde ¸su ¸sekildedir: E. Picard (1891), V. Volterra (1897), H. Lebesgue (1898), L. Fejer (1900), G. Mittag Le- er (1900), M. Lerch (1903), C. J. De la Vallee Poussin (1908), E. Landou (1908), D. Jackson ve W. Sier- pinski (1911) ve S. N. Bernstein (1912). Bu teoremin birbirinden farkl¬ ispatlar¬

(Goncharov 1954), (Natanson 1964), (Pinkus 2000) referanslar¬nda bulunabilir.

Weierstrass teoreminin, f fonksiyonunun analitikli¼gi kabul edilmeden kompleks uzaya geni¸sletilemeyece¼gi J. L. Walsh (1926) taraf¬ndan verilmi¸stir. Bu teoremin çok de¼gi¸skenli fonksiyonlar için olan hali E. Picard (1891) taraf¬ndan incelenmi¸stir.

Weierstrass teoreminin genelle¸stirmeleri ve farkl¬sonuçlar¬(Lubinsky 1993) de bu- lunabilir.

E. Borel (1905) sürekli fonksiyonlara polinomlarla yakla¸s¬m¬incelerken polinomu X

m;s(x)f s m

formunda alm¬¸s ve bu biçimdeki polinomlar yard¬m¬yla ispat¬elde etmi¸stir.

S. N. Bernstein (1912) Borel’in dü¸süncesinden yola ç¬karak _m;s fonksiyonunu

m;s(x) = 0

@ m s

1

A x^s(1 x)^{m s}

olarak ele alm¬¸s ve f 2 C[0; 1] olmak üzere,

B_m(f ; x) = Xm s=0

0

@ m s

1

A x^s(1 x)^{m s}f s

m ; x2 [0; 1]; m 2 N;

¸seklinde bir polinom dizisi tan¬mlam¬¸st¬r. Bernstein bu polinom dizisini kullanarak key… > 0 say¬s¬verildi¼ginde tüm x 2 [0; 1] ve m m₀ için,

jB^m(f ; x) f (x)j <

e¸sitsizli¼ginin sa¼gland¬¼g¬n¬göstermi¸s ve böylece Weierstrass teoreminin en basit ve en etkili ispat¬n¬vermi¸stir (Bernstein 1912) . Bernstein’in olas¬l¬k teorisindeki kavram- lara ve …kirlere dayanarak yapt¬¼g¬ bu k¬sa ispat, temel ve uygulamal¬ bilimlerde büyük bir etki yaratm¬¸st¬r.

Günümüzde Bernstein polinomlar¬ olarak adland¬r¬lan (Bm)_{m 1} polinomlar dizisi birçok bilimsel çal¬¸sman¬n oda¼g¬ haline gelmi¸s ve Bernstein polinomlar¬ üzerine birçok ara¸st¬rma yap¬lm¬¸st¬r (Lorentz 1986). Bu polinomlar I. Chlodovsky (1937) ve O. Szasz (1950) taraf¬ndan sonsuz aral¬¼ga geni¸sletilmi¸slerdir. Bu polinomlar¬n kompleks uzaydaki yak¬nsamalar¬E. M. Wright (1930) ve L. V. Kantorovich (1931) taraf¬ndan incelenmi¸stir. E. V. Voronovskaya (1932), T. Popoviciu (1935) ve B.

Bajsanski-R. Bojonic (1964) Bernstein polinomlar¬n¬n yak¬nsakl¬k h¬z¬n¬tart¬¸s¬rken;

I. Chlodovsky (1929), L. V. Kantorovich (1930), P. L. Butzer (1935) ve G. G.

Lorentz (1937) Bernstein polinomunun çe¸sitli modi…yelerini kullanarak sürekli ol- mayan fonksiyonlara yakla¸s¬m¬n¬ ele alm¬¸st¬r. ·Iki de¼gi¸skenli Bernstein polinomlar¬

P. L. Butzer (1953) taraf¬ndan çal¬¸s¬lm¬¸st¬r. Bernstein operatörünün q analo¼gu A.

Lupa¸s (1987) taraf¬ndan yap¬lm¬¸st¬r.

Günümüzde Bernstein polinomlar¬n¬n bu kadar çok popüler olmas¬n¬n birçok nedeni vard¬r. Bunlardan baz¬lar¬bu polinomun aç¬k ve sade bir gösteriminin olmas¬, çe¸sitli

¸sekil koruma özelliklerinin olmas¬, birçok problemin çal¬¸s¬labilmesinde i¸slevsel olmas¬

ve kolay türevlenebilir ve integre edilebilir olmas¬n¬n yan¬ s¬ra bilgisayarla yap¬lan hesaplarda bize kolayl¬k sa¼glamas¬d¬r. Örne¼gin f fonksiyonu hesaplanmas¬ zor bir fonksiyon olarak seçildi¼ginde bilgisayarla yap¬lan i¸slemler i¸simizi kolayla¸st¬rabilir.

Yakla¸s¬m teorisinin geli¸smesinde önemli katk¬lar¬olan Bernstein polinomlar¬, matema- ti¼gin yan¬s¬ra uygulamal¬bilimlerde de birçok kullan¬m alan¬na sahiptir. Bernstein polinomlar¬n¬n özellikleri üzerine dayal¬ Casteljau algoritmalar¬ bilgisayar destekli geometrik tasar¬m¬n ana elemanlar¬ndan biridir (Boehm ve Müller 1999). Bu algo- ritmalar t¬p ve jeoloji biliminin yan¬nda araba ve gemi dizayn¬nda, uçak endüstrisinde etkili bir ¸sekilde kullan¬lmaktad¬r. Bu algoritmalar¬n ilk olarak mühendis Paul de Casteljau (1958) taraf¬ndan Citroen otomobil …rmas¬nda, Pierre Bezier (1910-1999)

taraf¬ndan Renault …rmas¬nda kullan¬lm¬¸st¬r. Daha sonra J. C. Ferguson (1963) taraf¬ndan Boeing ve A. A. Ball taraf¬ndan ·Ingiliz uçak ¸sirketlerinde uygulanm¬¸st¬r.

Bernstein Weierstrass teoremini olu¸stururken (Bm)_{m 1} polinomlar¬n¬n f fonksiyo- nuna düzgün olarak yak¬nsad¬¼g¬n¬[0; 1] kapal¬aral¬¼g¬nda göstermi¸stir; ancak bu teo- remi genel bir aral¬k olan [a ; b ] kapal¬ aral¬¼g¬na da geni¸sletmek mümkündür. f fonksiyonu [a ; b ] aral¬¼g¬nda sürekli bir fonksiyon olsun ve fonksiyonunu a¸sa¼g¬daki

¸sekilde tan¬mlayal¬m.

(y) = f [a + y(b a )]

olmak üzere, fonksiyonu [0; 1] aral¬¼g¬nda sürekli bir fonksiyondur. Buna göre Weierstrass teoreminin hipotezinden

jP (y) (y)j < ; y 2 [0; 1]

olacak ¸sekilde bir P (y) polinomu mevcut bulunur. y = z a

b a al¬n¬r ve Q(z) := P z a

b a olarak tan¬mlan¬rsa,

z a

b a = f a + (b a ) z a

b a = f (z) olup,

P z a

b a

z a

b a =jQ(z) f (z)j < ; z 2 [a ; b ]

bulunur. Böylece Bernstein polinomlar¬, key… bir [a ; b ] aral¬¼g¬üzerinde de Weier- strass teoremi için bir ispat tekni¼gi olu¸sturmaktad¬r (Gupta ve Agarwal 2014).

Yakla¸s¬m teorisinde önemli bir yere sahip çal¬¸sma alanlar¬ndan birisi de lineer pozi- tif operatörlerin yakla¸s¬m özelliklerinin incelenmesidir. Lineer pozitif operatörlerin olu¸sturulmas¬ve özelliklerinin çal¬¸s¬lmas¬di¼ger operatörlere göre daha kolay oldu¼gun- dan matematikçiler aras¬nda da çok fazla ele al¬nan operatörlerden birisidir. Lineer pozitif operatörler kavram¬ 1950 li y¬llarda bu ¸sekildeki operatör dizilerinin sonlu, kapal¬ aral¬k üzerinde sürekli bir fonksiyona düzgün yak¬nsakl¬¼g¬n¬ veren teoremin

ispatlanmas¬yla büyük bir öneme sahip olmu¸stur. Bu teorem literatürde Bohman- Korovkin teoremi olarak bilinmesine ra¼gmen, T. Popoviciu’nun onlardan daha önce bu konu üzerinde çal¬¸sma yapt¬¼g¬da unutulmamal¬d¬r.

" (L^m)_{m 1} lineer pozitif operatörlerin bir dizisi olsun. um; vm ve wm [a; b] aral¬¼g¬

üzerinde düzgün olarak s¬f¬ra yak¬nsayan fonksiyon dizileri olmak üzere, her x 2 [a; b]

için

L^m(1; x) = 1 + u_m(x) L^m(t; x) = x + v_m(x) L^m t²; x = x²+ w_m(x)

ko¸sullar¬ sa¼glan¬yorsa bu durumda (L^m)_{m 1} lineer pozitif operatörler dizisi [a; b]

aral¬¼g¬üzerinde f sürekli fonksiyonuna düzgün olarak yak¬nsar."

Bu teorem lineer pozitif operatörler dizisinin birim operatöre yakla¸s¬m¬n¬ gösteren çok basit; ancak basit olmas¬n¬n yan¬s¬ra çok etkili kriterleri içermektedir. Dikkat edilirse [a; b] kompakt aral¬¼g¬ üzerinde (L^m)_{m 1} lineer pozitif operatörler dizisinin f fonksiyonuna düzgün olarak yak¬nsamas¬ için f fonksiyonunun sadece f1; x; x²g kümesinin elemanlar¬ndan seçilmesi yeterlidir. Bu da sa¼glanacak kriterin ne kadar basit oldu¼gunu bize gösterir.

Romanyal¬ matematikçi T. Popoviciu (1906-1975) bu teorem ile ilgili çal¬¸smas¬n¬

1951 y¬l¬nda kendi ana dilinde yay¬nlam¬¸st¬r (Popoviciu 1950). Bu yüzden T. Popovi- ciu’nun katk¬s¬ uzun süre göz önüne al¬nmam¬¸st¬r. ·Isveçli istatistikçi H. Bohman (1920-1996) bu teoremi s = 0; 1; :::; m için wm;sfonksiyonlar¬[0; 1] aral¬¼g¬nda negatif olmayan sürekli fonksiyonlar ve 0 x_m;s 1olmak üzere,

L^m(f ; x) = Xm

s=0

wm;s(x)f (xm;s)

biçimindeki lineer pozitif operatörler için ispatlam¬¸st¬r (Bohman 1952). Rus matema- tikçi P. P. Korovkin (1913-1987) ayn¬teoremi integral tipli operatörler için ispatlam¬¸s ve daha sonra bu teoriyi genellemi¸stir (Korovkin 1953, 1960).

Bu teoremin ispatlanmas¬ndan sonra Korovkin teoremi birçok matematikçi taraf¬n- dan Banach latisleri, Banach cebirleri ve Banach uzaylar¬gibi farkl¬yap¬larda, lineer pozitif operatörlerin farkl¬s¬n¬‡ar¬için geni¸sletilmeye çal¬¸s¬lm¬¸st¬r. Bu ara¸st¬rmalar¬n sonucu olarak da Korovkin tipli yakla¸s¬m teorisi olarak adland¬r¬lan yeni bir teori do¼gmu¸stur.

Daha önce Bernstein taraf¬ndan tan¬mlanan ve kendi ad¬yla an¬lan Bernstein poli- nomlar dizisi de bir lineer pozitif operatörler dizisi olup, [0; 1] aral¬¼g¬nda Korovkin teoreminin ¸sartlar¬n¬ sa¼glar. Bu teorem kullan¬larak kapal¬ [a; b] aral¬¼g¬nda tan¬m- lanan birçok lineer pozitif operatörler ortaya ç¬km¬¸s ve bu operatörlerin yakla¸s¬m özellikleri incelenmi¸stir. Örnek olarak Cheney-Sharma operatörleri, Meyer-König ve Zeller operatörleri ve bu operatörlerin Durrmeyer, Stancu,Kantorovich ve q analo¼gu genelle¸stirmeleri verilebilir.

Yakla¸s¬m teorisinde lineer pozitif operatörler üzerine olan çal¬¸smalar derinle¸stikçe, kompakt aral¬kta tan¬mlanan operatörlerin yan¬s¬ra, s¬n¬rs¬z aral¬klarda da tan¬m- lanan operatörler ortaya ç¬km¬¸s ve bunlar¬n yakla¸s¬m özelliklerinin incelenmesi prob- lemi h¬z kazanm¬¸st¬r.

G. M. Mirakjan (Mirakjan 1941), Bernstein operatörlerini sonlu aral¬ktan s¬n¬rs¬z aral¬¼ga geni¸sleterek, f 2 C[0; 1) olmak üzere,

S_m(f ; x) = e ^mx X1

s=0

(mx)^s s! f s

m ; x2 [0; 1); m 2 N

¸seklinde lineer pozitif operatörler dizisi tan¬mlam¬¸st¬r. (Sm)_{m 1} lineer pozitif opera- törü J. Favard (Favard 1944) ve O. Szasz (Szasz 1950) taraf¬ndan da ayr¬ olarak incelenmi¸stir. Bu operatör literatürde Szasz-Mirakjan operatörü olarak bilinmekte- dir.

(S_m)_{m 1} operatörleri tan¬mland¬ktan sonra bu lineer pozitif operatörler dizisi üze- rine çal¬¸smalar yayg¬nla¸sm¬¸st¬r. Bu operatörün baz¬ genelle¸stirmeleri F. Schurer (1962,1965) taraf¬ndan incelenmi¸stir. E. W. Cheney ve A. Sharma (1964) taraf¬n- dan ise f konveks bir fonksiyon oldu¼gunda (Sm)_{m 1}lineer pozitif operatörler dizisinin

azalan oldu¼gu gösterilmi¸stir. Bu operatörler dizisinin monotonlu¼gu A. S. Cavaretta- A. Sharma (1964) ve I. Horova (1968,1982) taraf¬ndan incelenirken, operatörlerin türevinin olu¸sturdu¼gu dizinin yak¬nsakl¬¼g¬I. Horova (1982) taraf¬ndan ve bu dizinin monotonlu¼gu da B. Della Vecchia (1987,1988) taraf¬ndan çal¬¸s¬lm¬¸st¬r. Szasz-Mirakjan operatörlerinin genelle¸stirilmeleri ve yak¬nsakl¬k özellikleri ile ilgili çal¬¸smalar¬n baz¬lar¬

(Butzer 1954), (Boyanov ve Veselinov 1970), (Becker 1978), (Becker vd. 1978), (Herman 1978), (Totik 1983a), (Totik 1983b), (Ditzian ve Totik 1987), (Sun 1987), (Kasana vd. 1988), (Lesniewicz and Rempulska 1997), (Gupta P. ve Gupta V. 2001), (Ciupa 2003), (de la Cal ve Carcamo 2003), (Walczak 2004), (Miclau¸s ve Pop 2012), (Duman ve Özarslan 2007), (Aral vd. 2014), (Acar 2016) referanslar¬nda bulunabilir.

Bernstein polinomlar¬n¬n pozitif reel eksene önemli genelle¸stirmelerinden biri de 1957 y¬l¬nda V. A. Baskakov (Baskakov 1957) taraf¬ndan yap¬lm¬¸st¬r. f 2 C[0; 1) olmak üzere,

V_m(f ; x) = 1 (1 + x)^m

X1 s=0

0

@ m + s 1 s

1

A x

1 + x

s

f s

m ; x2 [0; 1); m 2 N

¸seklinde tan¬mlanan operatörlere Baskakov operatörleri ad¬verilir.

1978 y¬l¬nda M. Becker (Becker 1978) bu operatörlerin a¼g¬rl¬kl¬uzaylarda yakla¸s¬m özelliklerini incelemi¸stir. 1985 y¬l¬nda Sahai ve Prasad (Sahai ve Prasad 1985) Baska- kov operatörlerinin Durrmeyer tipli operatörlerini tan¬mlam¬¸s ve bu operatörlerin çe¸sitli genelle¸stirmeleri ve yak¬nsakl¬k özellikleri M. Heilmann (Heilmann ve Müller 1989), (Heilmann 1989a) taraf¬ndan çal¬¸s¬lm¬¸st¬r. Z. Ditzian ve V. Totik 1987 y¬l¬nda Baskakov operatörlerinin Kantorovich tipli genelle¸stirmesini tan¬mlam¬¸st¬r. ·Iki de¼gi¸skenli Baskakov operatörleri 1999 y¬l¬nda M. Gurdek, L. Rempulska ve M. Skorupka taraf¬n- dan olu¸sturulmu¸s ve bu operatörlerin yak¬nsakl¬k derecesi ve özellikleri incelenmi¸stir.

Baskakov operatörleri ile ilgili di¼ger çal¬¸smalar ise (Totik 1983c), (Alkemade 1983), (Pethe 1984), (Della Vecchia 1987), (Mihesan 1998), (Altomare ve Mangino 1999), (·Ispir 2001), (Deo 2005), (Aral ve Gupta 2010), (Gupta 2018), (Aral ve Erbay 2019)

¸seklinde verilebilir.

Szasz ve Baskakov operatörlerinin yan¬s¬ra s¬n¬rs¬z aral¬kta tan¬mlanan di¼ger lineer pozitif operatörlerin baz¬ örnekleri Post Widder operatörleri, Phillips operatörleri, Gamma operatörleri, Lupa¸s operatörleri, Bleimann Butzer ve Hahn operatörleri gibi operatörler ve bu operatörlerin kendi aralar¬nda modi…ye edilmi¸s halleri, Stancu, Durrmeyer, Kantorovich tipli genelle¸stirilmeleri ve bunlar¬n q-analoglar¬ ¸seklinde verilebilir.

Kompakt aral¬kta tan¬mlanan lineer pozitif operatörlerin düzgün yak¬nsakl¬¼g¬n¬n in- celenmesi için Korovkin teoreminin geçerli oldu¼gu bilinmektedir. Ancak s¬n¬rs¬z ara- l¬kta tan¬mlanan bu operatörlerin dizisi için Korovkin teoreminin geçerli olmad¬¼g¬, bu teoremin ko¸sullar¬sa¼gland¬¼g¬halde düzgün yak¬nsakl¬¼g¬n sa¼glanmad¬¼g¬görülmek- tedir. Bunun üzerine 1974 ve 1976 y¬llar¬nda A. D. Gadjiev taraf¬ndan reel eksenin tamam¬nda veya s¬n¬rs¬z alt aral¬klar¬nda yakla¸s¬m ko¸sullar¬ve Korovkin tipli teo- remler çal¬¸s¬lm¬¸st¬r.

" B (R) = ff : jf(x)j M_f (x); M_f ; f f onksiyonuna bagl{ pozitif bir sabitg C (R) = ff : f 2 B (R) ; f s•ureklig

C^k(R) = f : f 2 C (R) ; lim

x !1

jf(x)j

(x) = k_f <1; k^f 2 R

¸

seklinde tan¬mlanan fonksiyon uzaylar¬, reel eksende tan¬ml¬sürekli, monoton artan 'fonksiyonu ve (x) = 1 + ('(x))² a¼g¬rl¬k fonksiyonu için,

C (R) uzay¬ndan B (R) uzay¬na tan¬ml¬ fA^mg lineer pozitif operatörler dizisi e¼ger

m!1lim kA^m(' ) ' k = 0; = 0; 1; 2 ko¸sullar¬n¬sa¼gl¬yor ise, her f 2 C^k için

m!1lim kA^m(f ) fk = 0 d¬r (Gadjiev 1974), (Gadjiev 1976)."

Yakla¸s¬m teorisinde önemli çal¬¸sma konular¬ndan biri de yakla¸s¬m¬n h¬z¬n¬n belirlen- mesidir. I herhangi bir kapal¬ve s¬n¬rl¬bir aral¬k olmak üzere, L^m : C (I)! C (I)

lineer pozitif operatörünün f fonksiyonuna düzgün olarak yak¬nsamas¬, kL^m(f ) fkC(I) = a_m; lim

m!1a_m = 0

(a_m) dizisinin s¬f¬ra yak¬nsayan bir dizi olmas¬yla mümkündür. Ele al¬nan bu (am) dizisinin s¬f¬ra yak¬nsama h¬z¬, (L^m)_{m 1} dizisinin de f fonksiyonuna yak¬nsama h¬z¬

ile ili¸skilendirilebilir. Bir lineer pozitif operatörler dizisinin yak¬nsama h¬z¬hakk¬nda süreklilik modülü kullan¬larak yorum yap¬labilir.

Yakla¸s¬m¬n h¬z¬n¬n belirlenmesinin yan¬ s¬ra, bu yakla¸s¬m¬n h¬z¬n¬n hangi durum- larda daha iyi olabilece¼gi dü¸süncesi yakla¸s¬m teorisinde birçok yeni problemin ortaya ç¬kmas¬nda önemli rol oynam¬¸st¬r. Bu kavram alt¬nda ele al¬nan lineer pozitif opera- törler dizilerinin birçok genelle¸stirmesi yap¬lm¬¸s ve böylelikle yeni operatör dizileri tan¬mlanm¬¸st¬r. Gerçekte lineer pozitif operatörlerin bir f fonksiyonuna yak¬nsama h¬z¬n¬ artt¬rmak, bir anlamda yakla¸s¬mda meydana gelen hata miktar¬n¬ azaltmak ve do¼gal olarak daha iyi bir yakla¸s¬m elde etmek demektir.

Korovkin teoreminde kullan¬lan f1; x; x²g kümesi için e^j(x) = x^j; j = 0; 1; 2olmak üzere herhangi bir (L^m)_{m 1} lineer pozitif operatörler dizisi için

L^m(e₀; x) = e₀(x) L^m(e₁; x) = e₁(x)

oldu¼gu bilinmektedir. Bernstein polinomlar¬, Szasz-Mirakjan operatörleri, Baskakov operatörleri ve Phillips operatörleri gibi operatörler bu duruma örnek olarak veri- lebilir. Bu operatörler göz önüne al¬nd¬¼g¬nda L^m(e₂; x) = e₂(x) e¸sitli¼gi sa¼glanma- maktad¬r. Di¼ger taraftan bir lineer pozitif operatörler dizisinin bu e¸sitli¼gi sa¼glayacak

¸sekilde modi…ye edilmesi durumunda o operatör dizisinin yak¬nsakl¬k özelliklerinin ve yakla¸sma h¬z¬n¬n ne olaca¼g¬konusu merak uyand¬rm¬¸st¬r ve bu durum göz önüne al¬narak lineer pozitif operatörleri genelle¸stirme çal¬¸smalar¬yayg¬nla¸sm¬¸st¬r.

Ilk olarak J. P. King 2003 y¬l¬nda Bernstein operatörünün e· 2(x) = x² fonksiyonunu koruyacak ¸sekilde genelle¸stirmesini ele alm¬¸st¬r. Vm : C[0; 1]! C[0; 1]; f 2 C[0; 1]

olmak üzere,

V_m(f ; x) = Xm s=0

0

@ m s

1

A (r_m(x))^s(1 r_m(x))^{m s}f s

m ; x2 [0; 1]; m 2 N lineer pozitif operatörü için rm fonksiyonu

r_m(x) = 8>

><

>>

:

r₁(x) = x² rm(x) = 2

m 1 +

s m

m 1 x² + 1

4 (m 1)²; m = 2; 3; :::

¸seklinde elde edilmi¸stir. Burada rm yard¬mc¬fonksiyonu, 0 rm(x) 1; x2 [0; 1]; m 2 N biçimindedir ve

m!1lim r_m(x) = x; x2 [0; 1]

özelli¼gine sahiptir. J. P. King’in bu çal¬¸smas¬nda modi…ye edilmi¸s (Vm)_{m 1} ope- ratörler dizisinin yakla¸s¬m özellikleri incelenmi¸s ve 0;¹₃ aral¬¼g¬nda, genelle¸stirilmi¸s operatörler dizisinin en az¬ndan klasik Bernstein operatörleri kadar iyi bir yakla¸s¬m derecesine sahip oldu¼gunu ispatlanm¬¸st¬r (King 2003).

2006 y¬l¬nda O. Agratini, J. P. King’in bu dü¸süncesinden yola ç¬karak genel King tipli operatörlerin çe¸sitli fonksiyon uzaylar¬nda farkl¬süreklilik modülleri yard¬m¬yla yak- la¸s¬m¬n¬incelemi¸s ve bu tekni¼gi Szasz-Mirakjan, Baskakov ve Bernstein Chlodovsky operatörlerine uygulayarak ara¸st¬rmas¬n¬örneklemi¸stir (Agratini 2006).

Ayn¬ y¬lda D. Cardenas Morales ve arkada¸slar¬ Bernstein operatörünün e2 + e₁ i koruyan Bm; modi…ye operatörünü Bm; : C[0; 1] ! C[0; 1]; f 2 C[0; 1] olmak üzere,

B_m; (f ; x) = Xm

s=0

0

@ m s

1

A (d_m; (x))^s(1 d_m; (x))^{m s}f s

m ; x2 [0; 1]; m 2 N

¸seklinde tan¬mlam¬¸st¬r. Burada d_m; (x) = m + 1

2(m 1) + s

(m + 1)²

4(m 1)² +m( x + x²)

m 1 ; m = 2; 3; :::

biçimindedir. Bu çal¬¸smada modi…ye Bernstein polinomunun ¸sekil koruma ve yak- la¸s¬m özellikleri incelenmi¸s ve bu özelliklere dayan¬larak yakla¸s¬m h¬z¬ile ilgili bilgiler elde edilmi¸stir. Ayr¬ca klasik Bernstein polinomu ile Bm; polinomunun yakla¸s¬m h¬z- lar¬kar¸s¬la¸st¬r¬lm¬¸s, çizilen gra…klerle genelle¸smi¸s operatörlerin yak¬nsama h¬zlar¬n¬n daha iyi oldu¼gu sonucuna var¬lm¬¸st¬r (Cardenas Morales vd. 2006).

2007 y¬l¬nda O. Duman ve M. A. Özarslan, O. Agratini’nin makalesinde k¬saca bah- setti¼gi King tipli Szasz-Mirakyan operatörlerini daha ayr¬nt¬l¬bir ¸sekilde incelemi¸stir.

D_m : C[0;1) ! C[0; 1); f 2 C[0; 1) olmak üzere,

D_m(f ; x) = e ^mhm(x) X1

s=0

(mh_m(x))^s

s! f s

m ; x2 [0; 1); m 2 N (1.1)

¸seklinde elde etmi¸stir. u_m fonksiyonu,

h_m(x) = 1 +p

4m²x²+ 1

2m ; x2 [0; 1); m 2 N biçiminde olup,

0 h_m(x) <1; x2 [0; 1); m 2 N

m!1lim h_m(x) = x; x2 [0; 1)

özellikleri sa¼glan¬r. Bu çal¬¸smada (D_m)_{m 1} genelle¸stirilmi¸s operatör dizisinin, klasik Szasz-Mirakjan operatöründen daha iyi bir yakla¸s¬m h¬z¬na sahip oldu¼gu gösterilmi¸s ve bu operatörün noktasal aç¬dan yakla¸s¬m¬incelenmi¸stir (Duman ve Özarslan 2007).

2008 y¬l¬nda O. Agratini, D. Cardenas Morales ve arkada¸slar¬n¬n dü¸süncesini lineer pozitif operatörlerin genel hali olan

L^m(f ; x) = X

s2Im

u_m;s(x)f (x_m;s) ; I_m N

¸seklindeki (L^m)_{m 1} operatör dizilerine uygulam¬¸st¬r ve bu çal¬¸smada tan¬m aral¬¼g¬n¬n J = [0; 1]ve J = [0; 1) biçiminde oldu¼gu durumlarda yak¬nsakl¬k özellikleri ayr¬ayr¬

incelenmi¸stir. Bernstein, Szasz-Mirakjan ve Baskakov operatörlerinin durumlar¬n¬

da içinde bar¬nd¬ran çal¬¸smada Szasz-Mirakjan modi…ye operatörü,

L^m; : C[0;1) ! C[0; 1) ve > 0 için,

L^m; (f ; x) = X1

s=0

e ^{mvm; (x)}(mv_m; (x))^s

s! f s

m

biçiminde tan¬mlanm¬¸st¬r. Burada vm; : [0;1) ! R ¸seklinde bir fonksiyon olup,

v_m; (x) = ( m + 1)

2m +

r( m + 1)²

4m² + (x²+ x); x2 [0; 1); m 2 N dir (Agratini ve Tarabie 2008).

2009 y¬l¬nda L. Rempulska ve K. Tomczak King tipli operatörlerin a¼g¬rl¬kl¬uzaylar- daki yakla¸s¬m¬n¬inceleyen çal¬¸smas¬n¬yay¬nlam¬¸st¬r ve Szasz-Mirakjan operatörleri, Baskakov operatörleri, Post-Widder operatörleri ve Stancu operatörleri ile örnekleye- rek çal¬¸smas¬n¬zenginle¸stirmi¸stir (Rempulska ve Tomczak 2009).

Ayn¬y¬lda Szasz-Mirakjan Kantorovich operatörlerinin King tiplisi O. Duman vd.

taraf¬ndan (Duman vd. 2009) çal¬¸s¬lm¬¸s ve 2010 y¬l¬nda da bu genelle¸stirilmi¸s ope- ratörün lokal yakla¸s¬m özellikleri ele al¬nm¬¸st¬r (Özarslan ve Duman 2010).

2011 y¬l¬nda N. I. Mahmudov taraf¬ndan Szasz-Mirakjan operatörünün q genelle¸stirmesi e₂(x) = x² fonksiyonunu koruyacak ¸sekilde modi…ye edilmi¸s ve a¼g¬rl¬kl¬uzaylardaki yakla¸s¬m özellikleri ile noktasal yakla¸s¬m¬incelenmi¸stir (Mahmudov 2011).

2016 y¬l¬nda q-Szasz-Mirakjan Kantorovich operatörünün (Mursaleen vd. 2016), 2018 y¬l¬nda q-Szasz-Mirakjan operatörünün Dunkl analo¼gunun (Mursaleen ve Rahman 2018), 2019 y¬l¬nda da (p; q) Szasz-Mirakjan operatörünün (Mursaleen vd 2019) King tipli genelle¸smesi M. Mursaleen ve arkada¸slar¬taraf¬ndan çal¬¸s¬lm¬¸st¬r.

2017 y¬l¬nda T. Acar, A. Aral ve H. Gonska, King tipli operatörlere yeni bir bak¬¸s aç¬s¬ kazand¬rm¬¸st¬r. Bugüne kadar test fonksiyonlar¬ ya da onlar¬n lineer bir- le¸simlerini koruyacak ¸sekilde genelle¸stirilen lineer pozitif operatörler, bu çal¬¸smada üstel tipten bir fonksiyonu koruyacak ¸sekilde modi…ye edilmi¸stir. Asl¬nda 2010

y¬l¬nda J. M. Aldaz ve H. Render yapt¬klar¬ çal¬¸smada lineer pozitif operatörler dizisinin f fonksiyonuna daha h¬zl¬ yakla¸s¬m¬n¬ elde edebilmek için konvekslik ve genelle¸stirilmi¸s konvekslik tan¬m¬n¬ temel alarak yeni teoriler geli¸stirmi¸sler ve bu amaçla Bernstein operatörlerinin üstel fonksiyonu sabit b¬rakacak ¸sekilde yeni bir modi…kasyonunu elde etmi¸slerdir (Aldaz ve Render 2010). 2014 y¬l¬nda da M. Birou test fonksiyonlar¬n¬(veya onlar¬n lineer birle¸simlerini) ya da üstel fonksiyonu koru- yacak ¸sekilde genelle¸stirilen lineer pozitif operatörlerin, f fonksiyonunun azalan- l¬k ko¸sulu ve genelle¸stirilmi¸s konvekslik tan¬m¬ alt¬nda yak¬nsama ve ¸sekil koruma özelliklerini incelemi¸stir (Birou 2014). Bu çal¬¸smada da Bernstein operatörlerinin modi…kasyonlar¬ çal¬¸s¬lm¬¸st¬r. T. Acar, A. Aral ve H. Gonska ise yapt¬klar¬ çal¬¸s- mada bu zamana kadar Bernstein operatörüne uygulanan bu dü¸sünceyi s¬n¬rs¬z ara- l¬kta tan¬mlanan Szasz-Mirakjan operatörlerine uygulam¬¸slard¬r (Acar vd. 2017).

R _;m : C[0;1) ! C[0; 1) ve a > 0 için, R_a;m(f ; x) = e ^{m m(x)}

X1 s=0

(m _m(x))^s

s! f s

m

biçiminde tan¬mlanm¬¸st¬r. Burada m(x) : [0;1) ! R ¸seklinde bir fonksiyon olup,

m(x) = 2ax m e^2am 1

; x2 [0; 1); m 2 N

dir. Bu yeni operatörler dizisinin düzgün yak¬nsakl¬¼g¬ve noktasal yakla¸s¬m özellikleri incelenmi¸s ve ¸sekil koruma özellikleri hakk¬nda bilgi verilmi¸stir. (R _;m) dizisinin yak- la¸s¬m h¬z¬, klasik Szasz-Mirakjan operatörler dizisinin yakla¸s¬m h¬z¬yla kar¸s¬la¸st¬r¬larak daha iyi bir yakla¸s¬m h¬z¬na sahip oldu¼gu ispatlanm¬¸st¬r.

Daha sonra bu dü¸sünce Szasz-Mirakjan operatörünün Durrmeyer ve Kantorovich tipli genelle¸stirmeleri, Baskakov operatörleri, Phillips operatörleri gibi birçok lineer pozitif operatörlere uygulanm¬¸st¬r (Gürel Y¬lmaz vd 2017), (Gupta ve Tachev 2017), (Deniz vd. 2018), (Gupta ve Aral 2018), (Gupta ve Acu 2018), (Aral vd. 2018).

Bu tez be¸s bölümden olu¸smaktad¬r.

¸

Su ana kadar üzerinde durulan yakla¸s¬mlar teorisinin ortaya ç¬k¬¸s¬n¬n, lineer pozi-

tif operatörler kavram¬n¬n geli¸siminin ve günümüzde bu konu ile ilgili yap¬lan baz¬

çal¬¸smalar¬n anlat¬ld¬¼g¬bölüm tezin giri¸s bölümünü olu¸sturmaktad¬r.

Tezin ikinci bölümünde tez için gerekli olan baz¬temel tan¬mlara ve teoremlere yer verilmi¸stir. Lineer pozitif operatörlerin sonlu aral¬kta sürekli fonksiyonlar uzay¬nda ve a¼g¬rl¬kl¬uzaylarda yak¬nsakl¬k ko¸sullar¬anlat¬lm¬¸s ve tezde kullan¬lacak olan baz¬

operatörler tan¬t¬lm¬¸st¬r.

Tezin üçüncü ve dördüncü bölümleri tamamen orjinal olup a¸sa¼g¬daki sonuçlar elde edilmi¸stir.

Üçüncü bölümde (Sm; )ile gösterilen e2+ e₁ fonksiyonunu koruyan genelle¸stirilmi¸s Szasz-Mirakjan operatörleri ele al¬nm¬¸st¬r. Bu operatörler için ¸sekil koruma özellik- leri ve yakla¸s¬m özellikleri incelenmi¸s, noktasal yak¬nsakl¬¼g¬n incelendi¼gi Voronovskaja tipli teorem göz önüne al¬nm¬¸st¬r. Bu bölümün son k¬sm¬nda ise (Sm)_{m 1} klasik Szasz operatörleri ile (Sm; ) King tipli Szasz-Mirakjan operatörlerinin yakla¸s¬m h¬z- lar¬ kar¸s¬la¸st¬r¬lm¬¸st¬r. Son olarak bu operatörlerin yakla¸s¬m sonuçlar¬ gra…kle ve hata tahmini tablosuyla da gösterilmi¸stir.

Dördüncü bölümde ise Ve_m; ile ifade edilen e ^x fonksiyonunu koruyan genelle¸sti- rilmi¸s Baskakov-Kantorovich operatörlerine yer verilmi¸stir. Bu operatörlerin üstel süreklilik modülü yard¬m¬yla yakla¸s¬m özellikleri ele al¬nm¬¸s ve Voronovskaya tipli teoremi üzerinde durulmu¸stur.

Son bölüm olan be¸sinci bölümde ise elde edilen sonuçlar tart¬¸s¬lm¬¸st¬r.

2.

2.1 Temel Tan¬mlar ve Teoremler

Bu bölümde yakla¸s¬m teorisinde önemli bir çal¬¸sma alan¬olan lineer pozitif operatör- ler ile ilgili baz¬temel kavramlar ve notasyonlardan bahsedilecektir. Ayr¬ca ilerleyen bölümlerde kullan¬lacak olan baz¬temel tan¬mlar ve teoremler verilecektir. Lineer pozitif operatörlerin s¬n¬rl¬ ve s¬n¬rs¬z aral¬klardaki yak¬nsakl¬k ko¸sullar¬ geni¸s bir

¸sekilde ele al¬nacak ve bu operatörlerin yak¬nsakl¬k h¬zlar¬n¬n incelenmesi ile ilgili belirli yöntemler sunulacakt¬r. Ayr¬ca çal¬¸smada kullan¬lacak olan bilinen baz¬lineer pozitif operatörler tan¬t¬lacak ve onlar¬n sa¼glad¬¼g¬ baz¬ özellikler hakk¬nda bilgiler verilecektir.

Tan¬m 2.1 (Operatör) X ve Y iki fonksiyon uzay¬ olsun. E¼ger X ’dan al¬nan herhangi bir f fonksiyonuna Y uzay¬nda bir g fonksiyonu kar¸s¬l¬k getiren bir L kural¬varsa buna X üzerinde bir operatördür denir ve her f 2 X için

L (f; x) = g (x)

¸seklinde gösterilir. Burada X uzay¬na L operatörünün tan¬m bölgesi denir ve X = D (L) ile gösterilir. L operatörü f fonksiyonuna Y ’da bir g fonksiyonu kar¸s¬l¬k getirir ki bu ¸sekildeki g fonksiyonlar¬n¬n kümesine L operatörünün de¼ger kümesi denir ve bu küme R (L) ile gösterilir.

L (f; x) = g (x) olmak üzere, L operatörü t de¼gi¸skenine ba¼gl¬olan f fonksiyonunu x de¼gi¸skenine ba¼gl¬olan g fonksiyonuna götürür (Hac¬yev ve Hac¬saliho¼glu 1995).

Tan¬m 2.2 (Lineer Operatör) X ve Y iki fonksiyon uzay¬olmak üzere

L : X ! Y ¸seklinde tan¬mlanm¬¸s operatör göz önüne al¬ns¬n. f ve g fonksiyonlar¬

X uzay¬ndan al¬nan herhangi iki fonksiyon ve 1 ve 2 say¬lar¬da key… iki reel say¬

olmak üzere,

L ( ¹f + ₂g; x) = ₁L (f; x) + ²L (g; x)

ko¸sulu sa¼gland¬¼g¬takdirde L operatörüne lineer operatör denir.

(Hac¬yev ve Hac¬saliho¼glu 1995).

Tan¬m 2.3 (Pozitif Operatör) X⁺ ve Y⁺ ile s¬ras¬yla X ve Y uzay¬ndan al¬nan pozitif de¼gerli fonksiyonlar¬n uzay¬gösterilsin. Yani

X⁺ = ff 2 X : f(t) 0g Y⁺ = fg 2 Y : g(t) 0g

olsun. E¼ger X uzay¬nda tan¬mlanm¬¸s L operatörü X⁺ uzay¬ndan al¬nan her bir f fonksiyonunu Y⁺ uzay¬ndan al¬nan bir g fonksiyonuna dönü¸stürüyorsa yani, 8t 2 D (f ) için

f (t) 0oldu¼gunda L (f; x) 0

oluyorsa bu takdirde L operatörüne pozitif operatör denir (Hac¬yev ve Hac¬saliho¼glu 1995).

Lineerlik ¸sart¬yla birlikte poziti‡ik ¸sart¬n¬ da sa¼glayan operatörlere lineer pozitif operatörler ad¬verilir.

Lemma 2.1 L : X ! Y bir lineer pozitif operatör olsun. L operatörü monoton- luk özelli¼gini sa¼glar. Yani her t için f (t) g(t) oldu¼gunda L (f; x) L (g; x) e¸sitsizli¼gi sa¼glan¬r (Hac¬yev ve Hac¬saliho¼glu 1995).

Lemma 2.2 L lineer pozitif operatör olmak üzere, jL (f; x)j L (jfj ; x) e¸sitsizli¼gi sa¼glan¬r (Hac¬yev ve Hac¬saliho¼glu 1995).

Tan¬m 2.4 (Normlu Uzay) X bir lineer uzay olsun. k:k : X ! R fonksiyonu a¸sa¼g¬daki ¸sartlar¬ sa¼glarsa k:k fonksiyonuna X üzerinde bir norm, X uzay¬na da bir normlu uzay denir.

i) 8x 2 X için kxk 0

ii) kxk = 0 , x = 0

iii)8x 2 X ve 2 R için k xk = j j kxk iv) x; y 2 X olmak üzere kx + yk kxk + kyk

¸seklindedir (Kreyszig 1978).

Tan¬m 2.5 (S¬n¬rl¬ Operatör) X ve Y iki fonksiyon uzay¬, L : X ! Y bir operatör olsun. D(L) X L operatörlerinin tan¬m kümesini, k:kX ve k:kY ise s¬ras¬yla X ve Y uzaylar¬üzerindeki normlar¬göstersin. 8f 2 D(L) için,

kLfkY MkfkX

olacak ¸sekilde M 2 R⁺ varsa L ye D(L) üzerinde s¬n¬rl¬operatör denir.

kLk_{X !Y} = inffM : kLfkY MkfkX g

= sup

kfkX 6=0

kLfkY

kfkX

say¬s¬na L operatörünün normu denir (Hac¬yev ve Hac¬saliho¼glu 1995).

Tan¬m 2.6 (Bölünmü¸s Fark) f fonksiyonunun D (f ) tan¬m kümesinden birbirinden farkl¬x₀; x₁; :::; x_m ¸seklinde (m + 1) tane nokta seçilsin.

f [x₀] = f (x₀)

f [x₀; x₁] = f (x₁) f (x₀) x₁ x₀ : : : = : : :

f [x₀; x₁; :::; x_m] = f [x₁; x₂; :::; x_m] f [x₀; x₁; :::; x_{m 1}]

x_m x₀ ; m 1

¸seklinde tan¬mlanan e¸sitli¼ge s¬ras¬yla f fonksiyonunun birinci ve m-inci mertebeden bölünmü¸s farklar¬denir (DeVore ve Lorentz 1993).

Tan¬m 2.7 (·Ileri Fark Operatörü) Key… bir f fonksiyonu için f (x_j) = f (x_j+1) f (x_j)

olmak üzere k 1 için,

4^kf (x_j) =4^{k 1}f (x_j+1) 4^{k 1}f (x_j) ile tan¬mlanan operatöre ileri fark operatörü ad¬verilir.

Ileri fark operatörü bölünmü¸· s farklar yard¬m¬yla da ifade edilebilir.

8j 0 için x_j = j olmak üzere,

f (x_j+1) f (x_j) = f (j + 1) f (j)

= f [j; j + 1]

= 4f(xj) dir. Bunu üç nokta için yaparsak,

f x_j; x_j+1; x_j+2 = f x_j+1; x_j+2 f x_j; x_j+1 x_j+2 x_j

= 1

2 4f(xj+1) 4f(xj)

= 1

24²f (x_j) elde edilir (DeVore ve Lorentz 1993).

¸

Simdi bunu genelle¸stiren teoremi verelim.

Teorem 2.1 8j; s 0 için x_j = j olmak üzere, f x_j; x_j+1; :::; x_j+s = 1

s!4^sf (x_j) e¸sitli¼gi ile verilir.

Tan¬m 2.8 (Lipschitz ¸Sart¬) a; b 2 R olmak üzere [a; b] aral¬¼g¬nda tan¬ml¬ bir f fonksiyonu verilsin. Her x; t 2 [a; b] ; M > 0 ve 0 < 1 için,

jf (t) f (x)j Mjt xj

e¸sitsizli¼gini sa¼glayan f fonksiyonlar¬n¬n s¬n¬f¬na Lipschitz s¬n¬f¬ denir ve LipM ile gösterilir. Burada M Lipschitz sabiti olarak adland¬r¬l¬r.

Lemma 2.3 f; [a; b]aral¬¼g¬nda tan¬ml¬bir fonksiyon, 0 < 1 ve M > 0 olsun.

i) f 2 Lip^M ise f süreklidir.

ii) f türevlenebilir ve jf⁰(x)j M ise f 2 Lip^M1 dir.

iii) f 2 Lip^M () w (f; ) M ¸seklindedir.

iv) < ise Lip Lip olup bu ifadeler M say¬s¬ndan ba¼g¬ms¬zd¬r.

Tan¬m 2.9 (Hölder E¸sitsizli¼gi) p ve q; 1 < p < 1 ve 1 p+1

q = 1 ko¸sullar¬n¬sa¼glayan iki say¬ ve `p = (x_n) = (x₁; x₂; :::; x_n; :::) : P¹

k=1jx^kj^p yak¬nsak olmak üzere, her x = (x_n)2 `<sup>p</sup> ve her y = (yn)2 `^q için

P1

k=1jx^ky_kj P¹

k=1jx^kj^p

1=p P1 k=1jy^kj^q

1=q

e¸sitsizli¼gine Hölder e¸sitsizli¼gi denir.

Hölder e¸sitsizli¼ginde p = q = 2 al¬nd¬¼g¬takdirde P1

k=1jx^ky_kj P¹

k=1jx^kj²

1=2 P1 k=1jy^kj²

1=2

e¸sitsizli¼gi elde edilir. Bu e¸sitsizli¼ge Cauchy-Schwarz e¸sitsizli¼gi ad¬verilir.

Tan¬m 2.10 (Konveks Fonksiyon) [a; b] R ve f : [a; b] ! R fonksiyonu verilsin.

8 x; y 2 [a; b] ve 2 [0; 1] 2 R için

f ( x + (1 ) y) f (x) + (1 ) f (y)

oluyorsa f fonksiyonuna konveks fonksiyon denir (Hac¬yev ve Hac¬saliho¼glu 1995).

Bu tan¬m¬m + 1 nokta için genelle¸stirirsek,

8 x⁰; x₁; :::; x_m 2 [a; b] ve ^m 2 R için ⁰+ ₁+ ::: + _m = 1 olmak üzere f

Xm s=0

sx_s

! _m

X

s=0

sf (x_s) e¸sitsizli¼gi sa¼glan¬rsa f fonksiyonuna konveks fonksiyon denir.

Teorem 2.2 f fonksiyonu [a; b] de konveks olmas¬için gerek ve yeter ko¸sul f ’nin ikinci mertebeden bölünmü¸s farklar¬n¬n pozitif olmas¬d¬r (Hac¬yev ve Hac¬saliho¼glu 1995).

2.2 Genelle¸stirilmi¸s Konvekslik

Genelle¸stirilmi¸s konvekslik tan¬m¬ yakla¸s¬m teorisinde önemli bir yere sahip olup özellikle lineer pozitif operatörler dizisinin monotonlu¼gu hakk¬nda yorum yapabilme- mize ve bu operatörlerin ¸sekil koruma özellikleriyle ilgili bilgi sahibi olmam¬za imkan sa¼glamaktad¬r. Bu tan¬m matematikte interpolasyon metodu, genelle¸stirilmi¸s mo- ment problemleri, nümerik analiz, Sturm-Liouville problemlerinin öz fonksiyonlar¬n¬n sahip oldu¼gu sal¬n¬m özellikleri, s¬n¬r de¼ger problemleri, toplanabilirlik gibi konular¬n ayd¬nlat¬lmas¬nda önemli rol oynayan, belirli özelliklere sahip fonksiyonlar¬n olu¸stur- du¼gu Chebyshev sistemi üzerine kuruludur.

Bu sistemin temeli 1951 y¬l¬nda M. G. Krein taraf¬ndan at¬lm¬¸st¬r. Bu konu üzerine S. N. Bernstein, R. Descartes, A. Haar, E. N. Laguerre, P. L. Chebyshev ve de la Vallee Poussin gibi matematikçilerin çok büyük katk¬s¬oldu¼gu gibi, N. I. Achieser, I.

P. Natanson, G. Polya, G. Szegö gibi bilim adamlar¬n¬n da dikkate de¼ger çal¬¸smalar¬

bulunmaktad¬r.

Tan¬m 2.11 (Chebyshev Sistemi) fusg^ms=0 fonksiyonlar¬kapal¬ve s¬n¬rl¬[a; b] ara- l¬¼g¬nda tan¬ml¬, sürekli, reel de¼gerli fonksiyonlar olmak üzere e¼ger

u₀(x0) u₀(x1) u₀(xm) u₁(x₀) u₁(x₁) u₁(x_m)

... ... ...

u_m(x₀) u_m(x₁) u_m(x_m)

> 0 ; a x₀ < x₁ < < x_m b (2.1)

sa¼glan¬yorsa, bu durumda fusg^ms=0 fonksiyonlar¬n¬n olu¸sturdu¼gu sisteme [a; b] üze- rinde Chebyshev sistemi ad¬verilir ve k¬saca T sistemi olarak gösterilir.

(Karlin ve Studden 1966).

Tan¬m 2.12 (Geni¸sletilmi¸s Chebyshev Sistemi) fusg^ms=0 2 C^m[a; b] olmak üzere e¼ger

u₀(x₀) u₀⁰(x₁) u₀^(m)(x_m) u₁(x0) u₁⁰(x1) u₁^(m)(xm)

... ... ...

u_m(x0) u_m⁰(x1) u_m^(m)(xm)

> 0 ; a x₀ < x₁ < < x_m b (2.2)

sa¼glan¬yorsa bu durumda fusg^ms=0 fonksiyonlar¬n¬n olu¸sturdu¼gu sisteme [a; b] üze- rinde geni¸sletilmi¸s Chebyshev sistemi ad¬verilir ve k¬saca ET sistemi olarak gös- terilir (Karlin ve Studden 1966).

E¼ger her bir r = 0; 1; :::; m için fusg^rs=0 sistemi bir geni¸sletilmi¸s Chebyshev sistemi ise bu takdirde bu sistem geni¸sletilmi¸s tam Chebyshev sistemi olarak adland¬r¬l¬r ve k¬saca ECT sistemi olarak gösterilir (Karlin ve Studden 1966).

Genelle¸stirilmi¸s konvekslik kavram¬ilk olarak E. Hopf taraf¬ndan 1926 y¬l¬nda ortaya ç¬km¬¸st¬r. Daha sonra T. Popoviciu (1936), E. F. Beckenbach (1937), F. F. Bonsall (1950), R. Bellman (1961), S. Karlin ve A. Naviko¤ (1963) taraf¬ndan çal¬¸s¬lm¬¸st¬r.

Tan¬m 2.13 ffonksiyonu [a; b] aral¬¼g¬nda tan¬ml¬bir fonksiyon, fusg^ms=0fonksiyonlar¬

da [a; b] aral¬¼g¬nda tan¬ml¬, sürekli, reel de¼gerli fonksiyonlar ve fusg^ms=0 fonksiyon- lar¬n¬n olu¸sturdu¼gu sistem bir geni¸sletilmi¸s tam Chebyshev sistemi olsun. Buna göre e¼ger,

u₀(x₀) u₀(x₁) u₀(x_m+1) u₁(x0) u₁(x1) u₁(xm+1)

... ... ...

u_m(x0) u_m(x1) u_m(xm+1) f (x₀) f (x₁) f (x_m+1)

0 ; a x₀ < x₁ < < x_m+1 b (2.3)

sa¼glan¬yorsa bu takdirde f fonksiyonuna fusg^ms=0 fonksiyonlar¬na göre konvekstir denir ve (2.3) ifadesini sa¼glayan f fonksiyonlar¬n¬n kümesi C (u0; u₁; :::; u_m) ile gös- terilir (Lapidot 1978).

Genelle¸stirilmi¸s konvekslik tan¬m¬n¬s = 0; 1 için fu0; u₁g fonksiyonlar¬yard¬m¬yla tekrar özetlersek, fu0; u₁g ; [a; b] üzerinde tan¬ml¬geni¸sletilmi¸s tam Chebyshev sis- temi olmak üzere

u₀(x₀) u₀(x₁) u₀(x₂) u₁(x₀) u₁(x₁) u₁(x₂) f (x₀) f (x₁) f (x₂)

0; a x₀ < x₁ < x₂ b (2.4)

sa¼glan¬yorsa bu takdirde f fonksiyonuna fu0; u₁g fonksiyonlar¬na göre konvekstir denir ve (2.4) ifadesini sa¼glayan f fonksiyonlar¬n¬n kümesi C (u0; u₁) ile gösterilir (Ziegler 1968).

E¼ger f fonksiyonu (a; b) aral¬¼g¬nda sürekli ve reel de¼gerli fonksiyonlar¬n uzay¬ndan al¬nan bir fonksiyon ise bu durumda genelle¸stirilmi¸s konvekslik tan¬m¬nda a < x0 <

x1 < x2 < bal¬nabilir. Genelle¸stirilmi¸s konvekslikte e¼ger ui(t) = tⁱ; i = 0; 1seçilirse klasik konvekslik tan¬m¬na ula¸s¬l¬r (Ziegler 1968).

Uyar¬2.1 Tan¬m 2.13’te C[a; b] uzay¬yerine I sonlu ya da sonsuz, aç¬k ya da kapal¬

bir aral¬k olmak üzere C (I) uzay¬da al¬nabilir. Buna göre genelle¸stirilmi¸s konvekslik tan¬m¬[0; 1) aral¬¼g¬için de uygulanabilir (Ziegler 1968).

2.3 Sonlu Aral¬kta Sürekli Fonksiyonlar Uzay¬

Tan¬m 2.14 Kapal¬bir [a; b] aral¬¼g¬üzerinde tan¬ml¬, sürekli ve reel de¼gerli fonksi- yonlar¬n olu¸sturdu¼gu kümeye C [a; b] fonksiyon uzay¬denir.

C [a; b] =ff : f : [a; b] ! R süreklig kümesidir.

C [a; b] fonksiyonlar uzay¬üzerinde toplama (+) ve skalerle çarpma (:) i¸slemleri, + : C [a; b] x C [a; b] ! C [a; b]

(f; g) ! (f + g) (x) = f(x) + g(x) : : R x C [a; b] ! C [a; b]

( ; f ) ! ( f) (x) = f(x)

¸seklinde tan¬mlans¬n. Bu durumda C [a; b] ; üzerinde tan¬mlanan bu i¸slemler ile birlikte bir vektör uzay¬d¬r.

C [a; b] uzay¬nda bir norm,

kfkC[a;b] = max

a x bjf(x)j ile gösterilir. Burada k:kC[a;b] : C [a; b] ! R olmak üzere,

i)8f 2 C [a; b] için kfk 0

ii) 8f 2 C [a; b] için kfk = 0 () f = 0 iii) 8f 2 C [a; b] ve 2 R için k fk = j j kfk iv) 8f; g 2 C [a; b] için kf + gk kfk + kgk

ko¸sullar¬sa¼gland¬¼g¬ndan C [a; b] ; k:kC[a;b] uzay¬bir lineer normlu uzayd¬r.

Tan¬m 2.15. Bir (fm) fonksiyonlar dizisinin f fonksiyonuna C [a; b] normunda düzgün yak¬nsak olmas¬için her x 2 [a; b] olmak üzere,

m !1lim kf^m fkC[a;b]= 0 olmas¬d¬r. Norm tan¬m¬kullan¬ld¬¼g¬takdirde,

m !1lim max

a x bjf^m(x) f (x)j = 0 e¸sitli¼ginin sa¼glanmas¬d¬r.

C [a; b]uzay¬n¬n normuna göre yak¬nsama düzgün yak¬nsamad¬r. Düzgün yak¬nsama fm(x) f (x)¸seklinde gösterilir.

2.4 Lineer Pozitif Operatörler Dizisinin Yak¬nsakl¬k Ko¸sullar¬

Yakla¸s¬m teorisi, ele al¬nan bir fonksiyonun, kendisinden daha basit ¸sekilde özellik- leri incelenebilen ve dolay¬s¬yla kolayl¬kla daha fazla sonuç elde edinilebilen fonksi- yonlara yak¬nsamas¬n¬ele al¬r. Yakla¸s¬m teorisi yard¬m¬yla karma¸s¬k bir fonksiyon hakk¬nda daha geni¸s bir bilgi sahibi olmam¬z sa¼glan¬r. Bu amaca yönelik 1885 y¬l¬nda Weierstrass [a; b] aral¬¼g¬nda sürekli her fonksiyona bir polinom yard¬m¬yla yakla¸s¬la- bilece¼gini ispatlam¬¸st¬r. Bu teorem yakla¸s¬m teorisinde büyük bir öneme sahiptir;

çünkü sürekli fonksiyonlar yerine çok daha kolay incelenebilen polinomu ele almak daha kolayd¬r.

Teorem 2.3 (Weierstrass Yakla¸s¬m Teoremi) f fonksiyonu [a; b] aral¬¼g¬ üzerinde tan¬ml¬ sürekli fonksiyonlar uzay¬ndan al¬nan bir eleman olmak üzere, her " > 0 için f (x) Pe_m(x) < " olacak ¸sekilde derecesi m: olan bir Pe_m polinom dizisi vard¬r. Ba¸ska bir ifadeyle, [a; b] aral¬¼g¬nda sürekli her f fonksiyonuna düzgün olarak yak¬nsayan bir Pe_m polinomlar dizisi vard¬r (Weierstrass 1885).

Bu teoremin bir ispat¬n¬1912 y¬l¬nda Rus matematikçi S.N. Bernstein [0; 1] aral¬¼g¬n- daki sürekli fonksiyonlar uzay¬nda tan¬ml¬ve yakla¸s¬m teorisinde çok önemli bir yere sahip olan Bernstein polinomlar¬n¬tan¬mlayarak yapm¬¸st¬r.

Yakla¸s¬m teorisinde önemli bir yere sahip çal¬¸sma alanlar¬ndan birisi de lineer pozitif operatörler ve bunlar¬n yakla¸s¬m özelliklerinin incelenmesidir. Lineer pozitif opera- törler kavram¬1950 li y¬llarda bu ¸sekildeki operatör dizilerinin sonlu, kapal¬aral¬k üzerinde sürekli fonksiyona düzgün yak¬nsakl¬¼g¬ veren, Bohman-Korovkin teoremi olarak bilinen teoremin ispatlanmas¬yla daha geni¸s çapta çal¬¸s¬lmaya ba¸slanm¬¸st¬r.

Bu teoremin ispatlanmas¬nda, ismi geçmemesine ra¼gmen T. Popoviciu’nun da büyük katk¬lar¬olmu¸stur.

Teorem 2.4 (Bohman-Korovkin Teoremi) f , [a; b] aral¬¼g¬nda sürekli, reel de¼gerli ve tüm reel eksende s¬n¬rl¬ bir fonksiyon, (L^m)m 1 lineer pozitif operatörlerin bir dizisi olsun. um; v_m ve wm [a; b] aral¬¼g¬ üzerinde düzgün olarak s¬f¬ra yak¬nsayan fonksiyon dizileri olmak üzere, her x 2 [a; b] için,

L^m(1; x) = 1 + u_m(x) L^m(t; x) = x + v_m(x) L^m t²; x = x²+ w_m(x)

ko¸sullar¬ sa¼glan¬yorsa bu durumda (L^m)_{m 1} lineer pozitif operatörler dizisi [a; b]

aral¬¼g¬üzerinde f sürekli fonksiyonuna düzgün olarak yak¬nsar (Korovkin 1953).

Bohman-Korovkin teoremi yakla¸s¬m teorisinde büyük bir öneme sahiptir. Çünkü ele al¬nan operatörün 1; t; t² deki görüntülerinin s¬ras¬yla 1; x; x² ye düzgün yak¬n- sad¬¼g¬n¬göstermek demek bundan sonra bu operatörün sonlu aral¬ktaki bütün sürekli fonksiyonlara düzgün yak¬nsad¬¼g¬n¬göstermek demektir.

Korovkin teoreminde ei(t) = tⁱ, i = 0; 1; 2 fonksiyonlar¬Korovkin test fonksiyonlar¬

olarak adland¬r¬l¬r.

2.5 Süreklilik Modülü

Yakla¸s¬m teorisinde lineer pozitif operatörler ile çal¬¸s¬rken kar¸s¬m¬za ç¬kan di¼ger önemli bir problem ele al¬nan operatörün sürekli bir fonksiyona olan yak¬nsamas¬nda yakla¸s¬m h¬z¬n¬belirlemektir. Bunu belirlemek için kullan¬lan en önemli metotlar- dan biri süreklilik modülüdür. Süreklilik modülü kavram¬1910 y¬l¬nda H. Lebesgue taraf¬ndan tan¬mlanm¬¸s ve 1911 y¬l¬nda D. Jackson taraf¬ndan doktora tezinde de çal¬¸s¬lm¬¸st¬r.

Tan¬m 2.15 f fonksiyonu [a; b] aral¬¼g¬üzerinde tan¬ml¬, sürekli ve reel de¼gerli bir fonksiyon olsun. x; y 2 [a; b] olmak üzere jx yj ¸sart¬n¬sa¼glayan key… bir > 0 için jf(x) f (y)j de¼gerlerinin en küçük üst s¬n¬r¬na f fonksiyonunun [a; b] aral¬¼g¬nda